1 CÁLCULO I ANEXO: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales José Carlos Bellido Muñoz Félix Miguel de las Heras García Julián Herranz Calzada Antonio Ruíz Perea
Definiciones Conceptos de trigonometría. Definición. Los dos triángulos rectángulos ABC y AB C, se dice que son semejantes porque tienen un mismo ángulo en el vértice A. A c C a C b B B Por ser semejantes se cumple que las relaciones que existen entre dos lados cualesquiera de uno de los triángulos son las mismas que las que hay entre los lados equivalentes del otro triángulo. Estas relaciones dependen del ángulo, y si éste varía, también varían las relaciones que se establecen.
Definiciones 3 Las relaciones se pueden definir de la siguiente forma: CB C'B' a 1 CA c sen cosec CA C'A c sen CB a BA B' A b 1 BA c cos sec CA C'A c cos CA b CB C'B' a 1 CB b tg cotg BA B' A b tg BA a A C C c a b B B Una vez definidas esta relaciones básicas pueden establecerse otras relaciones entre ellas: Por el Teorema de Pitágoras: BC AB AC y dividiendo toda la ecuación por AC resulta:
Definiciones 4 BC AB AC AC 1 sen cos 1 C BC BC AC sen sen Por otro lado tg tg AB AB cos cos AC A c b B a Por último si la expresión sen cos 1 se divide por cos o bién por sen se obtienen las dos siguientes expresiones: sen cos 1 tg 1 sec sec tg 1 cos cos cos sen cos 1 1 cotg cosec cosec cotg 1 sen sen sen
Definiciones 5 Extensión de las funciones trigonométricas para ángulos A>90º Consideremos un sistema de coordenadas xy. P es un punto de coordenadas (x,y) cuya distancia la origen es r x y. Un ángulo A con origen en OX en sentido contrario a las agujas del reloj se considera positivo. Si en el sentido de las agujas del reloj se considera negativo. Funciones trigonométricas de un ángulo A de cualquier cuadrante y x y x r r sena cos A tga= cotga= seca= coseca= r r x y x y
6 Signos e intervalos de variación de las funciones trigonométricas Cuadrante sen A cos A tg A cotg A sec A cosec A I + 0 a 1 + 1 a 0 + 0 a + a 0 + 1 a + a 1 II + 1 a 0-0 a -1 - a 0 - - a 0 - - a -1 + 1 a III - 0 a -1 - -1 a 0 + 0 a + a 0 - -1 a - - - a -1 IV - -1 a 0 + 0 a 1 - a 0 - - a 0 + a 1 - -1a -
Relaciones entre grados y radianes 7 Se denomina radián a aquel ángulo subtendido en el centro O de una circunferencia por un arco MN igual al radio r. Como radianes = 360º se tiene que: 1 radián = 180º/ = 57,957795 º 1º = /180 = 0,17453935199 radianes Los ángulos más usuales en radianes son los siguientes: Ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 135º 180º 5º 70º 315º Radianes 0 /6 /4 /3 / 3/4 5/4 3/ 7/4
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Funciones de ángulos de cualquier cuadrante reducidos al primero 16 A 90º A / A 180º A / A 70º A 3/ A K(360º) A k A K entero sen sen A cos A sen A cos A ±sen A Cos cos A sen A cos A ±sen A cos A Tg -tg A cotg A ±tg A cotg A ±tg A Cosec cosec A sec A cosec A sec A ±cosec A Sec sec A cosec A sec A ±cosec A sec A Cotg cotg A tg A ±cotg A tg A ±cotg A Funciones de argumentos negativos sen( x) sen x cos( x) cos x tg( x) tg x cosec( x) cosec x sec( x) sec x cotg( x) cotg x
Relaciones entre las funciones de los ángulos del primer cuadrante 17 sen x = u cos x = u tg x = u cotg x = u sec x = u cosec x = u sen x u 1 u u / 1 u 1/ 1 u u 1 / u 1/u cos x u 1 u 1/ 1 u u / 1 u 1/u tg x u / 1 u u / 1 u u 1/u cotg x 1 u / u 1 u / u 1/u u u 1 1/ u 1 sec x 1/u 1/ 1 u 1 u 1 u / u u cosec x 1/u 1/ 1 u 1 u / u 1 u u / u 1 u u 1 / u 1/ u 1 u 1 u / u 1 Para los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la tabla precedente.
Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos 18 Ángulo x en grados Ángulo x en radianes sen x cos x tg x cotg x sec x cosec x 0 0 0 1 0 1 30 /6 1/ 3 3 3 3 3 3 45 /4 1 1 60 /3 3 1/ 3 3 3 3 3 90 / 1 0 ± 0 ± 1 180 0-1 0-1 Para ángulos situados en los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la tabla de reducción al primer cuadrante.
Fórmulas de adición y del ángulo doble 19 sen( x y) sen xcos y cos xsen y cos( x y) cos xcos y sen xsen y tg x tg y tg( x y) 1 tg x tg y cotg( x y) cotg xcotg y1 cotg x cotg y Fórmulas del ángulo doble sen x sen x cos x cos cos sen cos 1 1 sen x x x x x tg x cotg x1 x 1 tg x cotg x tg x cotg = A partir de estas expresiones se deducen inmediatamente las del ángulo doble.
Fórmulas del ángulo mitad 0 x 1 cos x x x sen si I ó II cuadrante, si III ó IV cuadrante x 1 cos x x x cos si I ó IV cuadrante, si II ó III cuadrante x 1 cos x x x tg si I ó III cuadrante, si II ó IV cuadrante 1 cos x sen x 1 cos x cosec x cotg x 1 cos x sen x
Fórmulas del ángulo múltiplo 1 sen 3 3sen 4sen 3 x x x 3 cos3 4cos 3cos tg3x 3 3tg x tg x 1 3tg x sen 4 4cos sen sen 3 x x x x 4 cos 4x 8cos x 8cos x 1 tg 4x x x x 3 4tg x 4tg x 4 1 6tg x tg x
Potencias y productos de funciones trigonométricas 1 1 x x x x 1 1 x x x x x x 4 4 3 1 1 3 1 1 x x x x x x 8 8 8 8 sen 1 cos cos 1 cos 3 3 sen 3sen sen 3 cos cos3 3cos 4 4 sen cos cos 4 cos cos cos 4 1 sen x sen y cos( x y) cos( x y) 1 cos x cos y cos( x y) cos( x y) 1 sen x cos y sen( x y) sen( x y)
Suma y diferencia de funciones trigonométricas 3 1 1 sen x sen y sen ( x y) cos ( x y) 1 1 sen x sen y cos ( x y) sen ( x y) 1 1 cos x cos y cos ( x y) cos ( x y) 1 1 cos x cos y sen ( x y) sen ( y x) sen x y tg xtg y cos xcos y tg xtg y sen x y cos xcos y
Funciones trigonométricas inversas o recíprocas 4 Definición Si x = sen y entonces y = sen 1 x, es decir, el ángulo cuyo seno es x o el seno inverso de x que denominaremos a partir de ahora arcsen x. Se trata de una función multiforme de x que puede considerarse como un conjunto de funciones uniformes llamadas ramas. Las demás funciones trigonométricas inversas, arccosx, arctgx, arccosecx, arcsecx y arccotg x también son multiformes. En ocasiones conviene seleccionar una determinada rama para algún propósito específico. Tal rama se denomina rama principal y sus valores se llaman valores principales.
Valores principales de las funciones trigonométricas inversas 5 Valores principales para x 0 Valores principales para x < 0 0 arcsenx π 0 arccosx π 0 arctgx < π 0 < arccotgx π 0 arcsecx < π 0 < arccosecx π π arcsenx < 0 π arccosx π π arctgx < 0 π < arccotgx < π π arcsecx π π < arccosecx < 0
Relaciones entre las Funciones trigonométricas inversas 6 arcsen xarccos x arctg xarccotg x arcsec xarccosec x 1 arccosec x arcsen x 1 arcsec x arccos x 1 arccotg x arctg x arcsen( x) arcsen x arccos( x) arccos x arctg x = arctg x arccotg( x) arccotg x arccosec( x) arccosec x arcsec x = arcsec x En todos los casos se da por entendido que se trata de valores principales.
7 Gráficas de las Funciones trigonométricas inversas
8 Gráficas de las Funciones trigonométricas inversas