UNIVERSIDAD LA REPÚBLICA ESCUELA DE INGENIERÍA FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA PROF. FRANCISCA GONZÁLEZ AY. GABRIEL SORIA TRABAJO: Funciones Trigonométricas FECHA: 22 de septiembre de 1999 INTEGRANTES: CARLOS OLIVA MINILO MARY CARMEN SANTANA ALEXIS ROJAS C.
Funciones Trigonométricas 2 ÍNDICE Descripción Página Portada 01 Índice 02 Introducción 03 Definición de las funciones trigonométricas 04 Teorema del seno 05 Teorema del coseno 06 Identidades trigonométricas fundamentales 06 Fórmulas de reducción 07 Medida de ángulos en radianes 07 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 08 Fórmulas de adición y sustracción 08 Funciones trigonométricas del ángulo doble 09 Conclusión 10 Bibliografía 11 Apéndice 12
Funciones Trigonométricas 3 INTRODUCCIÓN En este trabajo trataremos de mostrar de una forma práctica las funciones trigonométricas, con sus formas de presentación, origen y manejos. También se incluirán algunos ejemplos al final para mejor difusión y entendimiento del contenido.
Funciones Trigonométricas 4 1. Definición de las funciones trigonométricas : θ 360º. Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que aparecen en la figura. Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas, se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo cuadrante que su lado final. Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O, y de coordenadas ( x, y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los signos de las coordenadas del punto P, como está indicado para los cuatro cuadrantes. Entonces, cualquiera que sea el cuadrante en que esté θ, las seis funciones trigonométricas de θ se definen en magnitud y signo, por las siguientes razones: seno de θ = sen θ = y/r coseno de θ = cos θ = x/r tangente de θ = tg θ = y/x cotangente de θ = ctg θ = x/y secante de θ = sec θ = r/x cosecante de θ = csc θ = r/y.
Funciones Trigonométricas 5 Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico. Sistema de cuadrantes: Teorema del Seno Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:
Funciones Trigonométricas 6 Teorema del Coseno Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más lados que ángulos. Se define como: 2. Identidades trigonométricas fundamentales: csc θ = 1/sen θ sec θ = 1/cos θ ctg θ = 1/tg θ tg θ = sen θ/cos θ sen² θ + cos² θ = 1 1 + tg² θ = sec² θ
Funciones Trigonométricas 7 1+ ctg² θ = csc² θ 3. Fórmulas de reducción: sen (90º ± θ) = cos θ cos (90º ± θ) = ± sen θ tg (90º ± θ) = ± ctg θ sen (180º ± θ) = ± sen θ cos (180º ± θ) = -cos θ tg (180º ± θ) = ± tg θ sen (270º ± θ) = -cos θ cos (270º ± θ) = ± sen θ tg (270º ± θ) = ± ctg θ sen (360º ± θ) = ± sen θ cos (360º ± θ) = cos θ tg (360º ± θ) = ± tg θ 4. Medida de ángulos en radianes. Sea θ un ángulo central que intercepta un arco de longitud s sobre un círculo de radio r. La medida del ángulo θ, en radianes, está definida por θ = s/r. Obsérvese que por ser s y r longitudes, esta razón es un número abstracto. De esta definición de medida en radianes tenemos de inmediato la relación de conversión:
Funciones Trigonométricas 8 π radianes = 180º de donde, 1 radián = 180/π =57,2958º (aprox.) = 57º17 45 (aprox.), 1º = π/180 radianes = 0,017453 radianes (aprox.). 5. Funciones trigonométricas de ángulos especiales: Ángulo θ en Radianes Grados sen θ cos θ tg θ 0 0º 0 1 0 π/6 30º ½ ½ 3 3 /3 π/4 45º ½ 2 ½ 2 1 π/3 60º ½ 3 ½ 3 π/2 90º 1 0 indefinida 6. Fórmulas de adición y sustracción. sen ( x ± y ) = sen x * cos y ± cos x * sen y; cos ( x ± y ) = cos x * cos y ± sen x * sen y; tg (x ± y ) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ± tg x * tg y ).
Funciones Trigonométricas 9 7. Funciones trigonométricas del ángulo doble. sen 2x = 2 * sen x * cos x cos 2x = cos² x - sen² x = 1-2 * sen² x = 2 cos² x - 1 tg 2x = ( 2 * tg x ) / ( 1 - tg² x).
Funciones Trigonométricas 10 Conclusión Las funciones trigonométricas, son poderosas herramientas en el desarrollo de complicados problemas, que incluyen triángulos no rectángulos y en que no se tienen muchos datos ó información referente al mismos. Con estas se pueden resolver problemas que antes no eran posibles de resolverse con los métodos tradicionales.
Funciones Trigonométricas 11 Bibliografía Geometría analítica - Lehmann - pág. 459 a 462. Geometría analítica - Joseph H. Kindle - pág. 95 a 96.
Funciones Trigonométricas 12 APÉNDICE