SERIE # 4 CÁLCULO VECTORIAL

1) Calcular 1 x y dy dx. 0 0 1 ) Evaluar la integral doble circunferencia x y 9. x 9 x da R, donde R es la región circular limitada por la 648 15 x y ) Calcular el valor de e da donde R es la región del plano XY localizada entre las R circunferencias de ecuaciones x + y = 1, x y 9. 9 ( e e) 4) Utilizar integrales doble para calcular el área de la región del plano XY localizada en el primer cuadrante y limitada por las curvas de ecuaciones 16 ( x 1) y, 8x y. 8 5) Calcular el área de la región del plano XY, interior a las curvas de ecuaciones x + y = 9, x y 6x 0. 9 6 u

) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región localizada entre las curvas de ecuación y x, x 4y 4, x 4. 4 Ln u 7) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, limitada por las curvas de ecuaciones: x=, x=6, y = x -10x+6, y - x -10x+0..8795 8) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región localizada entre las curvas de ecuación x 14x 5y 59 0, x 14x 5y 11 0. 00 u x y 9) Calcular da, donde R es la región limitada por las gráficas de y x, y x, R1 x y y x 4 y y x 4. u x y Sugerencia: Haga la transformación v x y R 4ln 5 10) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, limitada por las curvas xy 1, xy 4, y x, x y. Ln 8 u

) Calcular el volumen de la región localizada por arriba del plano XY, interior al z = 9 - x y, exterior al cilindro x y 4. paraboloide 5 u. 1) Determinar el volumen de la región limitada por las superficies: az = y, x y r, z 0, donde a y r son constantes. 4 r u. 4a 1) Calcular el volumen de la región que es limitada por las superficies S 1 y S representadas por : 81 u. S x z y S y. 1 : 4, : 5 0 14) Calcular cos da, donde R es la región interior a la circunferencia r 4 sen y R exterior a la circunferencia r, dadas en coordenadas polares. cos da 0 R 15) Utilizar integración doble para calcular el área de la región del primer cuadrante interior a la curva cuya ecuación polar es r sen (4 ). 9 u. 8

16) Utilizar integración doble para calcular el área de la región interior a la curva cuya ecuación polar es r 6 cos. 9 u. 17) Calcular el área de la región exterior a la circunferencia cuya ecuación polar es r = e interior a la cardioide de ecuación polar r = (1+cos ). 9 18 u 4 18) Calcular el área de la región limitada por la lemniscata cuya ecuación en coordenadas polares es r 4 cos. 4 u. 19) Calcular el área de un pétalo de la rosa cuya ecuación polar es r = cos 4. u. 16 0) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región interior a la curva de ecuación polar r = a(1+cos ) donde a es una constante. 6 a x y dx dy siendo R la región interior del primer cuadrante limitado R por las curvas x y 1, x y 8, x y, x y 6. 1) Calcular Sugerencia: Hacer el cambio de variable u x y, y x y

4 ) Comprobar el teorema de Green, considerando el campo vectorial trayectoria carrada que se muestra en la figura. v x y i y j y la A criterio del profesor. ) Utilizar el teorema de Green en el plano mediante integrales de línea, el área de la región mostrada en la figura. 8 u

5) Utilizar el teorema de Green para calcular el valor de 4 Página 6 x y C dx y x dy, a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura. Comentar el resultado. 0. Comentario a criterio del profesor. 6) Haciendo uso del teorema de Green determinar el área del cardioide x a (cos t cos t), y (sent sen t). 6a u. 7) Utilizar el Teorema de Green para calcular el área de la región cerrada que es limitada por la elipse de ecuación 9x 4y 6. 6 u x y dx dy siendo R la R x y región del plano XY donde + 1 siendo a y b constantes. a b 8) Utilizar el teorema de Green en el plano, para calcular ( ) 4 ab a b

9) Mediante integrales de línea, calcular el área del plano XY limitada por las curvas x 4 y, x y 0. 1 u. 0) Calcular el área de la porción del cilindro de ecuación con centro en el origen de radio 8. x y 8y interior a una esfera 56 u 1) Calcular el área de la superficie z = x+ y, comprendida en el primer octante e interior al cilindro de ecuación ( x y ) 4( x y ). u. ) Calcular el área de la porción de plano de ecuaciones x+ z = 4 interior a la elipse x y z 16. 4 u. ) Calcular el área de la porción de superficie x y R localizada por arriba del plano XY comprendida entre los planos z = m x, z = n x donde m > n >0. ( n m) R u x y z 4) Calcular el área de la porción del plano de ecuación 1, comprendida entre a b c los planos coordenados.

1 a b b c c a u 5) Obtener el área de la superficie primer octante. z x y delimitada superiormente por z = y en el 17 1 4 6) Calcular el área de la porción de cono de ecuación de ecuación x x y 6 0. x y z 0, interior al cilindro 9 u 7) Calcular el área de la porción de paraboloide de ecuación z = 9 x y localizado por arriba del plano XY. 1 a b b c c a u 8) Calcular el área de la porción de la esfera de ecuación entre los planos de ecuación z y z 4. x y z 5 localizada 0 u 9) Calcular el área de la porción de superficie de ecuación arriba del plano XY. 4 z x y localizada por

17 1 u 6 40) Calcular el área de la parte del paraboloide y dentro del cilindro x y 4. z = x y localizada en el primer octante 17 1 u 48 41) Calcular el área de la porción de la esfera x z 1. x y z y, 0 interior al cilindro (4 ) u 4) Calcular el área de las porción del cilindro x y a. y z = a que está dentro del cilindro 8a 4) Calcular el área de la parte del cono x y z 9. x y z, que se encuentra dentro de la esfera 9 u 44) Sea S la superficie Calcular f nˆ ds. S x y z 1 y f es la función f ( x, y, z )= x y z.

8 u. 44) Calcular la integral de superficie F n ˆ ds del campo F =(x ) i ( x y) j ( x z) k, S donde S es la superficie lateral del cilindro x y a, limitado por los planos z = 0, z = 5. 4 5 a 45) Utilizar integración doble para calcular el área de la porción del cono comprendida entre los planos z = 1, z = 4. z x y 15 u 46) Para el cono x + y - z = 0, obtener una ecuación vectorial de la superficie en coordenadas cilíndricas así como su correspondiente diferencial de área. r ( r, ) r eˆ r eˆ ds r dr d r z 47) Calcular el área de la parte de la esfera conos x y z y x y z. x y z 1 que esta comprendida entre los u. 48) Se sabe que el metro cuadrado de mosaico ya colocado cuesta $150.00. Calcular el costo del recubrimiento de la cúpula de la I. de S. A. que tiene por ecuación

x y z 50, para z 14 donde x, y, z están en metros. 9 a u 49) Determinar el flujo del campo,, F x y z x y i y j xz k a través de la superficie S formada por los planos coordenados y los planos de ecuaciones x, y y z. Flujo = 40 50) Calcular volumen del sólido limitado por las superficies de ecuaciones x z 9, y z 4, x y z 1. 90 u 51) Calcular el volumen de la región localizada por arriba del plano XY, interior al cilindro x y x y limitada por el paraboloide z x y. u. 5) Utilizar integración triple para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano x 6y 4z 1 0. 4 u 5) Utilizar integrales triples para calcular el volumen del sólido limitado por la superficie x y 4 z y el plano y z 4.

u. 54) Calcular el volumen de la región limitada por las superficies S 1 y S, donde S : x y 4 y S : y z 4. 1 18 u. 55) Determinar el volumen de la región localizada entre los conos z x y interior a la esfera x y z 16 y donde z 0. z x y y 64 1 u. 56) Calcular el volumen de la región interior a la esfera z x y ; con z 0. x y z 4 como al cono 16 1 u 57) Determinar el volumen dentro del cono que está sobre el plano XY entre las esferas x y z 1 y x y z 4. 14 u 58) Calcular el volumen de la región D interior a la esfera r sen, dado en coordenadas cilíndricas circulares. x y z 4 y al cilindro

16 64 u. de vol. 59) Mediante la integración triple, calcular el volumen del sólido localizado en el primer octante, limitado por las superficies de ecuaciones : z = x y, x 0, y 0, z. u 9 60) Mediante integración triple en coordenadas esféricas, calcular el volumen del sólido limitado superiormente por el cono z = x + y, e inferiormente por la esfera x y z z 4 0. 8 u. x y z ds, para la superficie S: z interior al cilindro s 61) Calcular x y 1. s 6) Calcular el flujo de campo,, F x y z z y x i x z xz j z xy k que atraviesa la superficie cerrada S determinada por las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas cilíndricas son r = 4 1+cos, z, z. 96 uf..

6) Utilizar el teorema de la divergencia para calcular F n ˆ ds, donde S F ( x) i ( y) j (4 z) k y S es la superficie cerrada que envuelve a la región interior a la esfera 750 x y z 5 localizada por encima del plano XY. 64) Sea el campo vectorial,, 4 F x y z x y i x z y j xy z k. Calcular el valor de F n ˆ ds sobre la superficie cerrada que envuelve a la región en el primer s octante limitada por el plano x y 6z 1. 4 65) Calcular el flujo del campo vectorial,, F sen eˆ sen eˆ sen eˆ que atraviesa la superficie de la esfera de ecuación NOTA: El campo F está referido al sistema esférico. 15 u.f. x y z 5. 66) Utilizar el teorema de la divergencia de Gauss para calcular F n ˆ ds, donde s F ( x ) i ( y ) j ( z ) k y S es la superficie cerrada que rodea el sólido limitado por el paraboloide 96 u.f. x y z z 4, 0 4 y el disco x y z 4, 0. 67) Utilizar el teorema de Gauss, para calcular el flujo del campo,, F x y z x y z xi y j z k que atraviesa la superficie de la esfera x y z.

16 u.f. 68) Por medio del teorema de Gauss, calcular F n ˆ ds para el campo vectorial s F( x, y, z) ( x ) i ( y ) j ( z ) k 0. y la esfera S con centro en el origen y radio igual a 1. 69) Utilizar el teorema de Gauss para calcular el flujo del campo F x, y, z ( x ) i ( y ) j ( z ) k a través de la superficie x y z 9. 916 uf.. 5 F x y z x y i x j x z k que pasa 70) Calcular el flujo del campo vectorial,, a través de la superficie S:x y z 6, limitada por los planos coordenados. 7 de u. de flujo. 6 V x, y, z ( xy) i ( z) j ( x ) k a través de la superficie 71) Calcular el flujo del campo cerrada que envuelve al sólido limitado por las superficies de ecuaciones y 8 x, x 0, y 4, z 0, z 6. 48 uf.. 7) Calcular el flujo del campo vectorial F x, y, z yz formada por el paraboloide z x y y el plano z 1. j a través de la superficie S

8 u. de flujo. 5 7) Calcular el flujo del campo vectorial F x, y, z x z i ( x y z) j (5 x y) k a través de la región triangular del plano que tiene sus vértices en los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1). 5 u. de flujo. 74) Calcular el flujo neto del campo vectorial de la superficie 1 u. de flujo. 5 S x y z : 1. F x, y, z x i ( y )j ( z )k a través 75) Calcular el flujo neto del campo vectorial F x, y, z x i ( y)j ( z)k a través de la superficie S formada por y x z y y 8 u. de flujo. 76) Calcular el flujo neto del campo vectorial de la superficie 1 u. de flujo. 5 S x y z : 1. F x, y, z x i ( y )j ( z )k a través

77) Utilizar el teorema de la divergencia de Gauss para calcular ˆ s F n ds,, Página 17, donde F x y z x xz i yz j x y k y S la superficie cerrada que envuelve a la región del primer octante limitada por los planos de ecuaciones x 0, y 0, z 0, x y z. 1 78) Determinar el flujo F, donde,, 4 F x y z x z i y xy j z yz k a través de la superficie S definida por la frontera de la región acotada por el semicono x y z y el plano x 9. Flujo = 4 79) Calcular el flujo neto del campo vectorial la superficie S formada por 7 u. de flujo. x y z y x F x, y, z x i ( y)j ( z)k a través de 80) Calcular A n ˆ ds, sobre la superficie cerrada S que encierra al sólido limitado por s el cilindro x y 9 y los planos y 8, x 0, y 0, z 0, siendo 6 A z i x y j x k y ˆn el vector unitario normal a S. 18 81) Calcular la circulación total del campo vectorial x y 1 largo de la curva C : x y z 1 F x, y, z xy i ( yz) j ( xz) k a lo

Circulación total = 8) Calcular el flujo del campo vectorial esfera x y z 1. u. de flujo. F x, y, z x i ( y ) j ( z ) k a través de la 8) Calcular la circulación total del campo vectorial,, F x y z xz y i yz x j x y k a lo largo de la curva x y C : z 1 Circulación total = 84) Calcular la circulación total del campo vectorial F x, y, z y 6x y z largo de la curva Circulación=15 x y z C : x y ( z ) 10 i j k a lo 85) Calcular mediante el teorema de Stokes, el valor de F d r, para c F ( x, y, z) ( y ) i ( z) j ( x) k y la curva C que se muestra en la figura:

F dr 9 c 86) Calcular la circulación total del campo vectorial la curva C x : y 4. F( x, y) ( x y)i ( xy )j a lo largo de 8. 87) Calcular la circulación total del campo vectorial de la curva C x : y. F( x, y) ( x y)i+( xy )j a lo largo 88) Utilizar el teorema de Stokes para calcular el valor de x y z ( ) 10 C: z x y 4. donde F( x, y, z) ( y) i ( x) j ( y z) k. F dr a lo largo de la curva C 89) Sea el campo de fuerzas F x, y, z ( x) i ( z) j ( y) k. Emplear el teorema de Stokes para determinar el trabajo que realiza el campo F para mover una partícula una vuelta z = x+ y completa a lo largo de la curva C de ecuaciones. x y 16 ut..