Los Sumerios Los Egipcios Los Bbilonios Ls pirámides de Egipto Inicio de nuestr er 5500.C. 3300.C. 3000.C. 000.C. 0 AÑO 5500.C. 3300.C. 3000.C. ACONTECIMIENTOS Los Sumerios, ntecesores de los Cldeo-Asirios, nteriores los Egipcios, constituyen l civilizción más ntigu que h dejdo documentos históricos, indicdores del conocimiento que tuvieron de un sistem numérico. Los Egipcios usron jeroglíficos pr representr los números, es decir imágenes de objetos que de lgun mner se relcionbn con el número que se deseb representr. L construcción de ls grndes pirámides entre los ños 3000.C. y 000.C. necesitó un grn vnce en l ingenierí por consiguiente mucho conocimiento en el cálculo. Los Bbilonios utilizron l ide del vlor de posición pr representr los números myores que 59, sin necesidd de nuevos símbolos l bse de su sistem er 60.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 PRIMER AÑO SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un ccidente fisiológico, l hecho de que tengmos diez dedos en ls mnos y diez en los pies, h determindo l dopción del sistem deciml de numerción, unque con el correr de los siglos se hn propuesto y utilizdo otros sistems. 3 6 1 18 0 El sistem sexgesiml (bse 60) fue credo por los bbilónicos hci el ño 000.C. pr medir el tiempo y los ángulos. Este sistem prece hberse proximdo 6 veces 60 dís en un ño y porque se necesitn 6 rdios del círculo pr volver l punto de prtid. L civilizción my floreció en Mesoméric lrededor del siglo IV de nuestr er. Todví no se hn descifrdo todos los jeroglíficos mys, pero se sbe que tenín dos sistems de numerción, los dos en bse 0. r Pr los cálculos cronológicos, los mys utilizbn un sistem posicionl de bse 0 pero signbn el vlor 360, en lugr de 400 (0 x 0), l número que ocupb l unidd de tercer orden, gregbn después de 5 dís nefstos, cercándose sí los 365 dís del ño. Pr otros usos tenín un sistem vigesiml estricto con notciones diferentes. En un de ls notciones, cd dígito del 1 l 19 y el cero estbn representdos por un cbez distint, relciondo con los dioses mys. L otr notción es más prctic y const de solo 3 símbolos: LA CUEVA DE LA CODICIA Hce y muchos ños, se cuent que en un cuev morb el espíritu de l codici y vrici, en l cul existín muchos tesoros y fortuns. Psdo muchos ños el espíritu envejeció y cercno l muerte se resistí bndonr su fortun por eso ntes de dr su último liento de vid profirió un mldición: He quí l blnz de l codici y vrici el cul determinrá ls intenciones de cd ser y se juzgdo de cuerdo ests; muerte l vro y codicioso, vid l que no lo es y diciendo ests plbrs murió. Desde ese dí, muchs persons intentron sustrer los tesoros de l cuev sin suerte lgun muriendo en el intento y recordndo ls últims plbrs del espíritu mligno ls persons colocron en l entrd de l cuev el siguiente viso : He quí l cuev que cstig con l muerte l vro y codicioso. Jotr y Jeremy, dos ventureros, hbín descubierto que en dich cuev existín rubíes que pesbn 1 kg., estrells dords que pesbn como 3 rubíes y lingotes de oro que pesbn como 3 estrells dords y demás que l blnz l que hbí referido el espíritu er el terreno de l cuev, en el cul un person se hundí si pesb más de 100 kg. Jotr le dijo Jeremy su compñero- he quí que treré esos tesoros pr que podmos ser ricos y diciendo ests plbrs ingresó l cuev; y dentro Jeremy, que pesb 76 kilos crgó en sus bolsillos 1 rubí, estrells dords y lingotes de oro. Y llí vemos Jotr esperndo que su migo slg de l cuev con vid, lo logrrá? El punto L brr El crcol pr el uno pr el cinco pr el cero
Vemos: Bse Nombre del sistem Cifr que se usn Jeremy Binrio 0, 1 3 Ternrio 0, 1, 4 5 Cuternrio Quinrio 0, 1,, 3 0, 1,, 3, 4 6 Senrio 0, 1,... 76 kg. 7 8 9 10 Heptnrio Octnrio Nonrio Deciml 0, 1,, 3,.. 11 Undeciml 1 Duodeciml Por ejemplo: 1. Los meses del ño se grupn en meses, que es lo mismo que usr el sistem 1. Los dís de l semn se grupn en 7 dís, que equivle usr el sistem Como te drás cuent ls joys vn grupds de 3 en 3, de hor en delnte lo representremos: 3. Cundo comprs plátnos los venden por mnos lo que equivle usr el sistem 1 1 (3) Me indic de cunto en cunto se grupn Mencion 3 ejemplos de otros sistem de numerción: 1.. Pero tmbién existen muchs forms de grupr, hor bien intent grupr todos los rubíes de 4 en 4: 1 (3) (4) Me indic de cunto en cunto se grupn, este número se le llm Bse 3. Jotr y su lumno luego de tnts trvesís se quedron sin dinero y muy hmbrientos vgndo por el desierto punto de morir, pero por suerte pr ellos encontrron un lámpr mágic en l cul viví un genio que les concedió el siguiente deseo: Podrás pedir l cntidd de moneds de oro que desees pero ten en cuent que 3 moneds se convertirán en un jrr de gu más pur, simismo 3 jrrs de gu se convertirán en un suculento plto de exquisitos mnjres y por último
3 pltos de exquisitos mnjres se convertirán en cenizs, us sbimente tu deseo y diciendo ests plbrs despreció. Cuál es l myor cntidd de jrrs y pltos de mnjres que podrán obtener Jotr y su lumno sin que se conviertn en cenizs? - Bse 1: Myor cifr: Menor cifr: Myor número de 3 cifrs: Alumno Jotr Menor número de 3 cifrs: OBSERVACIÓN Todo número entre préntesis represent un sol cifr excepto l bse: 4 (1) 8 (13) tiene 3 cifrs y no 4 Qué bse se h utilizdo? Cuál es l myor cifr? Y l menor cifr? 7 (16) (13) 6 (0) tiene 4 cifrs y no 6 EN GENERAL: Si l bse es n: Myor cifr utilizr: Cundo se quiere representr un número y no se conocen ls cifrs se utilizn letrs del lfbeto y un brr encim de ls cifrs. Ejemplo: Menor cifr utilizr: n tiene que ser un entero y Un número de 3 cifrs: bc Un número de 4 cifrs en bse 5 bcd (5) myor _ Ls cifrs son _ que l bse. bc bc Ejemplo: bc es un número de 3 cifrs bc x b x c - Si l bse es 4: L myor cifr será: L menor cifr será: El myor número de cifrs es : El menor número de cifrs es : - Si l bse es 8: L myor cifr será: L menor cifr será: El myor número de 3 cifrs es : El menor número de 3 cifrs es : CONVERSIÓN DE UN NÚMERO EN BASE n A BASE 10 Nos encontrmos nuevmente en l cuev del espíritu vro y Jotr h logrdo slir sno y slvo con rubíes y lingotes de oro que er lo máximo que podí crgr sin que murier en l cuev. Tmbién ingresó l cuev el lumno de Jotr y slió de l cuev crgndo rubíes, estrells y lingotes que tmbién er lo máximo que podí crgr sin que murier. Cuántos kg. de joys crgó Jotr y su lumno?
Jotr APLICACIÓN Hllr si 3 (4 ) 11 0 3 3 1 1 0 (3) RESOLUCIÓN Se utiliz l descomposición polinómic: x 3 x 3 + 0 x 3 + 0 x 3 1 + x 1 Alumno 11 3 (4 ) x 4 + 3 11 x 4 + 3 11 3 4 x 8 4 8 4 3 3 1 1 (3) L descomposición polinómic sirve pr psr un número en bse n l bse 10. OTRA FORMA DE CONVERTIR UN NÚMERO EN BASE n A BASE 10 x 3 x 3 + x 3 + 6 x 3 + x 3 1 + x 1 A este proceso se le llm Descomposición polinómic 13 (4) 1 3 4 4 + 4 + 6 7 Descomponer polinómicmente: 1-53 (6) x x Método de Ruffini 6 1 1 5 3 (6) - 13 (4) 5 x 6 1 + 6 x 1 13 (4) 7 Este método es más práctico cundo el número tiene más de cifrs. 4 4 1 1 1 3 (4) 1 x 4 + x 4 1 + 3 L numerción es un prte _ que se encrg del estudio de l lectur y de los números. 111 (4) 1 x + 1 x + x + 1 x + bc (n) x n + b x n + c bcd (n) + + +
1. Completr l siguiente orción de mner correct: L bse de un sistem de numerción es un número myor que. Cuál es l myor cifr que se puede utilizr en un sistem de: A. Bse 6? Bse 13? Bse M? Bse (M - )? B. Bse 7? Bse 16? Bse (N + 1)? Bse (6 - N)? 3. Contest ls siguientes pregunts: A. El número 8 (3) está ml escrito porque El número 387 (-4) está ml escrito porque B. Ejercici os de Aplicci El número 4(-8) (1) está ml escrito porque El número bc (1) está ml escrito porque 4. Escribir: A. El myor número de 3 cifrs de l bse 7: El myor número de 4 cifrs diferentes de l bse 8: B. El myor número de 4 cifrs de l bse 8: El myor número de 3 cifrs de l bse 5. Escribir: (N + ): A. El menor número de 4 cifrs de l bse 6: El menor número de 3 cifrs diferentes de l N B. El menor número de 3 cifrs de l bse 4: El menor número de 5 cifrs de l bse N: 6. Indique que números están ml escritos: I) 104 (3) II) 806 (9) III) b (b 1) (b > > 0) (, b enteros) ) I b) II c) III d) I y II e) I y III I) c 34 (6 ) II) 483 (9) III) 1345 (4) (c > 6) ) I b) II c) III d) I y II e) I y III 7. Cuánts cifrs tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) b (8 ) tiene: II) (10) (11) 84 (13) tiene: III) ( 1)c (7 ) tiene:
I) 68 (b 1)4 (9 ) tiene: II) 34567 (8) tiene: 3 4 III) ( x )(x )(x ) 5 (x ) tiene: 8. Colocr > ; < ó según correspond: 4 (5) 3 (6) 30 (9) 7 17 (9) 18 (9) 13 (4) 1 (5) 9. Cuánto sumn todos los posibles vlores de en? I) 86 (9 ) II) ( 1)( ) (4 ) 11. Hllr los vlores de, b, c y d, si los siguientes números están bien escritos. Dr como respuest l sum de cifrs. 1( b) ; b1(d) ; d3 ; c1(5) (c) ) 3 b) 4 c) 8 d) 10 e) 1 1. Hllr los vlores de y b si los siguientes números están bien escritos. Dr como respuest l sum de + b b 8( ) ; b 3 b ) 10 b) 1 c) 13 d) 15 e) 18 13. Hllr el vlor de si: 6 (7 ) 41 ) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 1 1 (4 ) 5 I) 3 (6 ) II) ( 3)( 1) (6 ) ) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 14. Hllr el vlor de si: 7( 8) 3(9) 10. Cuánto sumn todos los posibles vlores de en? ) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 I) () (6 ) II) 1 3 (6) 3( 6) 4(5) ) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 15. Hllr x si: 31 (x) + 3 (x) 54 (6) I) (3) (7 ) II) 8 () ) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Tre Domicilir 396 134 (5) 8. Cuánto sumn los posibles vlores de en:? ( 0) I) 376 (10 ) II) 0 (1 ) 1. Cuál es l myor cifr que se puede utilizr en un sistem de: Bse (N + 3)? Bse 14?. Contest ls siguientes pregunts: El número (13) (1) está ml escrito porque El número 13(-) (3) está ml escrito porque 3. Escribir: El myor número de 3 cifrs diferentes de l bse 8. El myor número de 3 cifrs diferentes de l bse 5. 4. Escribir: El menor número de 3 cifrs diferentes de l bse 7. El menor número de 4 cifrs diferentes de l bse 6. 5. Indicr que números están ml escritos: I) 348 (1) II) 776 (7) III) bc (1) ) I b) II c) III d) I y II e) II y III 6. Cuánts cifrs tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) b 34 (8 ) II) 7 xy (9 ) III) 1 (b)b (11 ) ) 4 ; 3; 3 b) 4 ; 3; 4 c) 4 ; 3 ; 5 d) 4 ; 4; 4 e) 4 ; 4 ; 5 7. Colocr > ; < ó según correspond: ) ; 10 b) ; 15 c) 3 ; 15 d) 3 ; 10 e) 4 ; 15 9. Cuánto sumn los posibles vlores de en? ( 1)() (1) ) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10. Hllr los vlores de y b, si los siguientes números consecutivos están ordendos de mner scendente. Dr como respuest ( + b) (9) ; 35 (6) ; 30 (b) ) 10 b) 11 c) 1 d) 13 e) 14 11. Hllr el vlor de ; si: 3 7 (9 ) 86 ) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 1. Clculr el vlor de, si: (5 ) + 13 (4) 19 ) 5 b) 4 c) 3 d) e) 1 13. Clculr el vlor de, si: 1( 8) 4(7) ) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 14. Ordenr de myor menor los siguientes números: 34 (8) ; 45 (6) ; 1101 () 15. Hllr x si: 1 (x) + 35 (x) 36 ) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 31 (6) 130 (9)