DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 1 1.- VECTORES EN EL PLANO TEMA 7: VECTORES Hay magnitdes como ferza, desplazamiento, elocidad, qe no qedan completamente definidas por n número. Por ejemplo, no es sficiente decir qe la elocidad de n móil es 30 km/h sino hay qe indicar además na dirección y n sentido. Estas magnitdes se llaman magnitdes ectoriales y se representan mediante ectores. Definición de ector: Un ector es n segmento orientado qe qeda determinado por dos pntos, A y B, el primero de los pntos se denomina origen y el segndo es el extremo, y se designa por AB. Cando los pntos A y B coinciden, la representación gráfica del ector AA es el pnto A. Estos ectores reciben el nombre de ectores nlos. Elementos de n ector También n ector qeda determinado por s módlo, dirección y sentido. Dado el ector = AB, se define: Módlo del ector, como la longitd del ector AB, o bien, la distancia entre los pntos A y B. Se designa por AB. Dirección del ector, como la dirección de la recta qe contiene a los pntos A y B. Sentido del ector, como el recorrido de la recta cando nos desplazamos de A a B. La intensidad o módlo de n ector es la longitd del segmento qe lo representa, por lo qe habrá de ser proporcional al alor de la magnitd medida. Si n móil se desplaza a 10 km/h y otro a 20 km/h, el ector qe representa al segndo tendrá na longitd doble qe la del primero. Si dos ectores tienen la misma intensidad no significa qe sean el mismo ector, ya qe peden diferir en s dirección o sentido. Así, si dos móiles se desplazan a 80 km/h, pero no a de Seilla a Madrid y el otro de Madrid a Seilla, anqe los ectores tengan la misma intensidad, tendrán direcciones distintas y, por lo tanto, se tratará de ectores diferentes. Dos ectores AB y CD tienen la misma dirección si están sitados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Dos ectores AB y CD de la misma dirección, diremos qe tienen el mismo sentido si están en el mismo semiplano de la recta AC. Tendrán sentido contrario si están en distinto semiplano. B A C Mismo sentido D B A C D Sentido contrario El conjnto de ectores fijos de n plano recibe el nombre de plano ectorial y se designa por V 2
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 2 Vectores eqialentes o eqipolentes Sea V 2 el plano ectorial. Dos ectores se dicen qe son eqialentes si tienen la misma dirección, sentido y módlo. La eqialencia se designa con el símbolo. Gráficamente AB CD si determinan n paralelogramo ABCD. Es fácil comprobar qe AB CD si los segmentos AC y AB tienen el mismo pnto medio. Dado n ector AB y n pnto C existe n único ector de origen C qe es eqialente al ector AB. Para determinarlo, trazamos el segmento AC y a continación trazamos por C na paralela a AB y por B na paralela a AC. A C B D 2.- OPERACIONES CON VECTORES 2.1.- Sma de ectores Sean y dos ectores, la sma + es n neo ector qe se determina procediendo del sigiente modo: 1º procedimiento: se sitúa a continación de de manera qe el extremo de coincida con el origen de. + 2º procedimiento: se sitúan y con origen común, se completa n paralelogramo. El ector + es la diagonal de dicho paralelogramo cyo origen es el de y. + Propiedades de la sma: Conmtatia: + = + Asociatia: ( + ) + w = + ( + w ) Elemento netro: 0 + = V 2 Elemento opesto: (- ) + = 0
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 3 2.2.- Resta de ectores Para restar dos ectores se le sma a el opesto de. = + ( ) - + La diagonal cyo origen es el origen común de y es + La diagonal qe a del extremo de al extremo de es 2.3.- Prodcto de n ector por n número El prodcto de n número k por n ector es otro ector k : Con la misma dirección de Con el mismo sentido, si k > 0, o sentido contrario si k < 0. S módlo es igal a k El ector -1 se designa por y se llama opesto de 2.4.- Combinación lineal de ectores Dados dos ectores y y dos números a y b, llamamos combinación lineal (C.L) de y al ector a + b, donde a, b R. 2 w w = 2 + 3 Lego w es na C.L. de y 3 Para expresar el ector w como C.L. de y procedemos del sigiente modo: - Colocamos los tres ectores con origen común. - Trazamos nas rectas x e y qe contengan a y - Por el extremo de w trazamos paralelas a x e y. Un ector w es combinación lineal de otros dos ectores y, si existen dos números reales, a y b, tales qe w = a + b
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 4 3.- BASES Vectores linealmente independientes y dependientes Dados dos ectores del plano, y, se dice qe son linealmente dependientes cando si existe k R tal qe se erifica qe = k Se dice qe dos ectores son linealmente independientes cando no son dependientes. Dos ectores y con la misma dirección son linealmente dependientes porqe = k donde k R. Dos ectores y con distinta dirección son linealmente independientes. Base Se dice qe dos ectores, y, forman na base en el plano cando: - Son linealmente independientes - Calqier ector se pede expresar como combinación lineal de estos dos. Se representa por B = {, } Dos ectores con distinta dirección constityen na base del plano ectorial V 2, ya qe calqier ector se pede expresar como combinación lineal de ellos. Base ortogonal y ortonormal Dada na base B = {, }, decimos qe es na base ortogonal cando y son perpendiclares. Dada na base B = {, }, decimos qe es na base ortonormal cando y son perpendiclares y además ambos tienen módlo 1, = 1 y = 1 Coordenadas de n ector respecto de na base Calqier ector w se pede expresar como combinación lineal de los ectores de la base B = {, } de forma única: w = a + b, donde a, b R Diremos qe el par ordenado (a,b) son las coordenadas de w respecto de la base B = {, } Calcla las coordenadas del ector w respecto de la base B = {, }: 2 w 3 w = 2 + 3 w = (2,3)
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 5 4.- COORDENADAS DE UN PUNTO 4.1.- Sistema de referencia Un sistema de referencia en el plano es na terna R = { O, {, }}, está formado por n pnto fijo O y na base B = {, }. Al pnto O se le llama origen del sistema de referencia. A las rectas OX y OY qe contienen a los ectores {, } con origen en O, se les llama ejes del sistema de referencia. 4.2.- Vector de posición de n pnto Vamos a establecer qe a cada pnto del plano le corresponde n único ector. Para ello consideremos n pnto fijo O del plano. Dado el pnto P, le asociamos el ector de origen O y extremo P, OP. El ector OP correspondiente al pnto P se le llama ector de posición del pnto P respecto del pnto fijo O. 4.3.- Coordenadas de n pnto Consideremos la base canónica definida por dos ectores de módlo 1 y perpendiclares: Consideremos el sistema de referencia R = {O, i, j } B = { i, j } donde i = (1,0) ; j = (0,1) Vamos a determinar n par de números ordenados qe caractericen a cada pnto del plano. Sea P n pnto calqiera del plano y consideremos s ector de posición, OP. Este ector se pede expresar como combinación lineal de los ectores { i, j } de la base de la sigiente forma: OP = OP1 + OP2 P OP 1 = (p1, 0) = p 1 (1,0) = p 2 P 1 i j O i OP P 1 OP 2 = (0, p2 ) = p 2 (0,1) = p 2 j Por tanto: OP = p1 i + p 2 j Al pnto P le corresponde el par (p 1,p 2 ) qe son las coordenadas del pnto P respecto del sistema de referencia R. Dichas coordenadas son únicas ya qe las componentes del ector de posición de dicho pnto son únicas respecto de la base B = { i, j }
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 6 4.5.- Coordenadas de n ector determinado por dos pntos Definición Sean los pntos A = (a 1, a 2 ) y B = (b 1,b 2 ), el ector AB es n segmento orientado qe tiene s origen en A y s extremo en B, siendo ss coordenadas: AB = (b1,b 2 ) (a 1,a 2 ) = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Sean A = (2,3) y B = (6,5) Por la sma de ectores: a + AB = b AB = b a a = (2,3) ector de posición del pnto A b = (6,5) ector de posición del pnto B AB = b a = (6,5) (2,3) = (4,2) Dos ectores son paralelos cando tienen la misma dirección, es decir, cando ss componentes son proporcionales. a = (a 1, a 2 ) y b a1 a2 = (b 1,b 2 ) tienen la misma dirección si = b b 1 2 4.6.- Módlo de n ector A partir de las coordenadas de los pntos Sean A(a 1,a 2 ) y B(b 1, b 2 ) dos pntos qe determinan el ector B El módlo de n ector es la longitd del ector AB, o b 2 bien, la distancia entre los pntos A y B x b 2 a 2 A x 2 = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 a 2 AB = ( b a ) + ( b a ) 1 1 a 1 b 1 a 1 b 1 El módlo de n ector es siempre positio o cero A partir de ss coordenadas Si = ( 1, 2 ) = + 1 2
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 7 5.- OPERACIONES CON COORDENADAS 5.1.- Sma y resta de ectores Sean = ( 1, 2 ) y = ( 1, 2 ) dos ectores del plano: + = ( 1, 2 ) + ( 1, 2 ) = ( 1 + 1, 2 + 2 ) = ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) = ( 1 1, 2 2 ) 5.2.- Prodcto de n ector por n número Sean = ( 1, 2 ) ector del plano y k R: k = k( 1, 2 ) k = (k 1, k 1 ) El módlo del ector k es k = k Ejemplos: 1.- Dados los ectores = (2, 3) y = (5, -2), realiza las sigientes operaciones: a) + = (2 + 5, 3 2) = (7, 1) b) = (2 5, 3 + 2) = (-3, 5) c) 2 + = (4, 6) + ( 5, -2) = (9, 4) 2.- Expresa el ector w = (-5, 2) como combinación lineal de = (2, -1) y = (3, -2) Debe existir dos nº a y b de manera qe se cmpla: w = a + b (-5, 4) = a (2, -1) + b (3, -2) (-5, 4) = (2a + 3b, a 2b) 2a + 3b = 5 a 2b = 4 a = 2, b = -3 3.- Dados los ectores = (3, - 4) y = (2, -1). a) Demostrar qe forman n base. b) Calclar s módlo c) Determinar las coordenadas del ector w = (1, -8) en fnción de la base B = {, } a) Para qe constityan na base deben ser linealmente independientes, y lo son porqe tienen distinta dirección. b) = = 3 + 4 = 5 2 + 1 = 5 c) Para determinar las coordenadas de w respecto de la base B hay qe determinar dos nº, a y b, de manera qe se erifiqe: w = a + b (1, -8) = a (3, -4) + b (2, -1) (1, -8) = (3a + 2b, 4a b) 3a + 2b = 1 a = 3, b = -4 w = (3, -4) 4a b = 8
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 8 6.- APLICACIONES DE LOS VECTORES 6.1.- Coordenadas del pnto medio de n segmento Las coordenadas del pnto medio de n segmento son la semisma de las coordenadas de los extremos. x x + x 2 1 2 1 2 M = M = y y + y 2 6.2.- Condición para qé tres pntos estén alineados Los pntos A (x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) y C(x 3, y 3 ) están alineados siempre qe los ectores AB y AC tengan la misma dirección. Esto ocrre cando ss coordenadas son proporcionales. x x y y = x x y y 2 1 2 1 3 1 3 1 6.3.- Simétrico de n pnto respecto de otro Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el pnto medio del segmento AA'. Por lo qe se erificará igaldad: AM = MA 6.4.- Coordenadas del baricentro El baricentro o centro de graedad de n triánglo es el pnto de intersección de ss medianas. Las coordenadas del baricentro son: x + x + x y + y + y G =, 3 3 6.5.- Diisión de n segmento en na relación dada 1 2 3 1 2 3 Diidir n segmento AB en na relación dada r es determinar n pnto P de la recta qe contiene al segmento AB, de modo qe las dos partes, PA y PB, están en la relación r: PA = r PB
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 9 6.- PRODUCTO ESCALAR Spongamos los ectores = (3,4) y = (6,0). Vamos a hallar el ánglo qe forman. Para ello proyectamos sobre, obteniendo n triánglo rectánglo. = 3 + 4 = 5 α Cos α = 5 3 α = 53,1º La dificltad amenta cando consideramos dos ectores calesqiera. α Necesitaríamos conocer las coordenadas del pnto H. Para ello amos a definir na nea operación entre ectores, el prodcto escalar qe relacionará ánglos, distancia y componentes Definición: Se llama prodcto escalar de dos ectores = ( 1, 2 ) y = ( 1, 2 ), y se escribe, al número qe reslta al mltiplicar ss módlos por el coseno del ánglo qe forman: = cos α Halla el prodcto escalar de los ectores = (4, 3) y = (1, -1), sabiendo qe el ánglo qe forman es de 45º. = = 4 + 3 = 5 1 + 1 = 2 = cos α = 5 2 2 2 = 5 Signo del prodcto escalar Si el ánglo (, ) Si el ánglo (, ) es agdo cos (, ) es obtso cos (, ) > 0 > 0 < 0 < 0
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 10 Propiedad fndamental: a) Si = 0 ó = 0, entonces = 0 El recíproco no es cierto. Por ejemplo: = (1,0) y = (0,1) α (, ) = 90º cos α = 0 = 0 b) La condición necesaria y sficiente para qe el prodcto escalar de dos ectores no nlos sea igal a 0 es qe los dos ectores sean perpendiclares: Si 0 y 0, = 0 si y sólo si Si = 0 cos (, ) Si cos (, ) = 0 = 0 = 0 Operatia con el prodcto escalar. Propiedades 1) Propiedad conmtatia: = 2) Propiedad asociatia: k( ) = (k ) = (k ) 3) Propiedad distribtia: ( + w ) = + w Expresión analítica del prodcto escalar Sean = ( 1, 2 ) y = ( 1, 2 ) = 1 1 + 2 2 Sea B = { i, j } la base canónica del espacio ectorial. Sean = ( 1, 2 ) y = ( 1, 2 ), amos a determinar na expresión analítica del prodcto escalar: Como calqier ector se pede expresar como combinación lineal de los ectores de na base B: = 1 i + 2 j = 1 i + 2 j = ( 1 i + 2 j )( 1 i + 2 j ) = 1 1 i i + 1 2 i j + 2 1 j i + 2 2 j j Como la base B = { i, j } es na base ortonormal, se erifica qe: a) i j = j i = 0 b) i i = 1 = j j Por tanto, = 1 1 + 2 2
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 11 Expresión analítica del módlo de n ector Dado calqier ector se erifica: 2 = Interpretación geométrica = cos 0º = 2 El prodcto escalar de dos ectores calesqiera es igal al prodcto de no de ellos por el ector obtenido al proyectar el otro sobre él cos α = OA OA = cos α = proy (, ) Como = cos α, tenemos: = OA Es decir: = proy (, ) Si el ánglo es obtso, cos α = cos ( 180º α ) = OA = OA Hallar la proyección del ector = (2, 1) sobre el ector = ( 3, 4). proy (, ) = = 2 ( 3) + 1 4 6 + 4 2 = = ( 3) 2 + 4 2 9 + 16 5 Expresión analítica del ánglo formado por dos ectores Dados dos ectores = ( 1, 2 ) y = ( 1, 2 ), se erifica: cos (, 1 1 + 2 2 ) = = + + Si = 3, = 5 y = -2, aeriga el ánglo (, ) cos (, ) = = 2 2 3 5 15 = ( ), = 97 39' 44'' 1 2 1 2