PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12 y la razón 16. Calcula el primer término. : a 1 + a 2 + a 3 = 12 d = 16 a1 =? a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3d = 12, y como d = 16 3a1 + 48 = 12 3a1 = -36 a1 = -12 2. Halla la suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002. : Acá se tiene que a1 = 98, d = 2, an = 1002, y como 1002 = 98 + (n 1)2 904 = 2(n 1) 452 = n 1 n = 453 entonces S = (98 + 1002) 453/2 S = 1100 453/2 S = 249,150 3. Los dos primeros términos de una progresión aritmética son (a-b) 2 y (a+b) 2. Halla la diferencia y la suma de los siete primeros términos. a1 = (a b)², a2 = (a + b)², d =?, S7 =? a2 = a1 + d a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b² + d d = 4ab a7 = a1 + 6d a7 = a² -2ab + b² + 24ab a7 = a² + 22ab + b² por lo tanto S = (a² - 2ab + b² + a² + 22ab + b²) 7/2 S = (2a² + 20ab + 2b²) 7/2 S = 7(a² + 20ab + b²) 4. El último término de una progresión aritmética de 10 términos vale 16. La suma de todos sus términos vale 70. Calcula el primer término y la diferencia. a10 = 16, S10 = 70, a1 =?, d =? a10 = a1 + 9d 16 = a1 + 9d a1 = 16 9d pero como S10 = 70 70 = (16 9d + 16)10/2 70 = (32 9d) 5 14 = 32 9d 9d = 18 d = 2 entonces a1 = 16 18 a1 = -2
5. El primer término de una progresión aritmética es 17, el último 12 y la diferencia - 1/2. Averigua cuántos términos tiene esta progresión y cuánto vale su suma. a1 = 17, an = 12 d = -½, n =?, S =? 17 = 12 + (n 1) -½ -5 = (n 1) -½ 10 = n 1 n = 11 S = (17 + 12) 11/2 S = 29 11/2 S = 319/2 6. El primer término de una progresión aritmética de 8 términos es 4/25 y el último 1/4. Halla la suma de los 8 términos. S8 = (4/25 + ¼ ) 4 S8 = 41/100 4 S8 = 164/100 7. El primer término de una progresión aritmética es 1, el segundo 2 y la suma de todos sus términos 210. Averigua cuántos términos tiene esta progresión. a1 = 1, a2 = 2, S = 210, n =? 210 = (1 + 2) n/2 420 = 3n n = 140 8. El primer término de una progresión aritmética es a-2, la diferencia es 2-a y la suma de todos sus términos es 10-5a. Averigua cuántos términos tiene. a1 = a 2 d = 2 a S = 10 5a n =? an = a 2 + (n 1)(2 a) an = a 2 + 2n an 2 + a an = 2a 4 + n(2 a) an = 2(a 2) n(a 2) 10 5a = [a 2 + 2(a 2) n(a 2)] n/2 5(2 a) = (a 2)(3 n)n/2-5 = (3 n) n/2-10 = 3n n² n² - 3n 10 = 0 (n 5)(n + 2) = 0 n = 5 9. Halla la suma de todos los múltiplos de 5 comprendidos entre 1 y 1000 (incluido). a1 = 5 an = 1000 d = 5 1000 = 5 + 5(n 1) 995 = 5(n 1) 199 = n- 1 n = 200 S = (5 + 1000)200/2 S = 1005 100 S = 100500
10. En una progresión aritmética de 6 términos, el primero vale 2 y la suma de todos ellos es igual a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión. n = 6 S=18 a1 = 2 an = 2 + 5d y S = (a1 + an) n/2 18 = (2 + 2 + 5d) 3 18 = (4 + 5d) 3 6 = 4 + 5d 5d = 2 d = 2/5 y la progresión es 2, 12/5, 14/5, 16/5, 18/5, 4 11. La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3 y el último término es 1. Halla los otros tres términos. n = 4, a4 = 1, S4 = 3, a1=?, a2=?, a3=? a4 =a1 + 3d 1 = a1 + 3d pero como S4 = (a1 + a4) 2 3 = (1 3d + 1) 2 3 = (2 3d) 2 3/2 = 2 3 d 3d = 2 3/2 3d = ½ d = 1/6 por lo tanto a1 = ½ a2 = 2/3 a3 = 5/6 12. En una progresión aritmética, el último término es 2+7 2, la diferencia, 2 y la suma de todos los términos 14+28 2. Halla el primer término y el número de términos de la progresión. Al final 13. Interpola 6 medios aritméticos entre 32 y 70. 32, _, _, _, _, _, _, 70 se trata de una PA de a1 = 32, an = 70, n = 8 70 = 32 + 7d 7d =38 d = 38/7 la PA es 32, 262/7, 300/7, 338/7, 376/7, 414/7, 452/7, 70 14. Cuántos números impares consecutivos, después del 7, suman 135? a1 = 7 d = 2, S = 135, n =? an = 7 + 2(n 1) y como S = 135 135 = [7 + 7 + 2(n 1)] n/2 270 = [14 + 2(n 1)] n 270 = 2[7 + n 1] n
135 = n(6+ n) 135 = 6n + n² n² + 6n 135 = 0 n = 9 15. Halla la suma de los veinte primeros múltiplos de 3. a1 = 3, d = 2, n = 20 S =? an = 3 + 19 2 an = 3 + 38 an = 41 por lo tanto S = (3 + 41) 10 S = 440 16. Los coeficientes de una ecuación de segundo grado y el término independiente forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de los términos de la progresión y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente del segundo término. Cuál es la ecuación? Consideremos la ecuación ax² + bx + c = 0, en la cual se tiene que b = a + d c = a + 2d como la suma de las raíces (α + β), sabemos que vale b/a, tenemos _ a + d = _ a + a + d + a + 2d a 3 y como el producto de las raíces (αβ) vale c/a, tenemos que a + 2d = a + d + 7 a es decir _ a + d = 3a + 3d a 3 - a + d = ( a + d) (1) a y a + 2d = a(a + d + 7) (2) de (1) se tiene que a = -1, reemplazando en (2) -1 + 2d = -1(-1 + d + 7) -1 + 2d = -6 d 3d = -5 d = -5/3 y los coeficientes son a = -1 b = --8/3 c = --13/3 17. Los primeros términos de una progresión aritmética son: -30, -19, -8, Halla dos términos consecutivos de dicha progresión cuyas raíces cuadradas se diferencien en una unidad. a1 = -30 a2 = -19 a3= -8, entonces d = 11 x x 1 = x 2 12 = 2 x = 36 x 11 = 1 x x 11 x + 1 = x 11 ()²
Y los términos consecutivos son 25 y 36 18. Al preguntar a un empleado cuánto tiempo llevaba trabajando en una empresa, contestó: "No lo sé; sólo puedo decir que llevo cobrados 174.000, que este año me han dado 14.400 y que cada año he tenido un aumento de salario, respecto al anterior de 600." Cuántos años lleva trabajando en esa empresa? Se trata de una PA en la que S = 174,000, an = 14,400 y d = 600, n =? 14, 400 = a1 + 600(n 1) a1 = 14,400 600(n 1) y como S = 174,000 S = (a1 + an)n/2 174,000 = [(14,400 600(n 1) + 14,400)]n/2 348,000 = [28,800 600(n 1)]n 348,000 = 28,800n 600n(n 1) /:100 3480 = 288n 6n(n 1) 580 = 48n n² + n n² - 49n + 532 = 0 y n = 20 19. A las nueve de la noche terminó una de las sesiones del Congreso, y en el tiempo que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. A qué hora empezó la sesión si el reloj da las horas y las medias horas (éstas con una sóla campanada)? Acá hay involucradas 2 situaciones. Una la que marca las horas con un número de campanadas igual a la hora que marca y otra que marca una campanada a la media hora. an = 9 d = 1 S = 48 9 = a1 + n 1 a1 = 10 n la suma de las campanadas es igual a la suma de las campanadas de la hora mas las medias horas (un toque) S = (a1 + an)n/2 + n 48 = [10 n + 9)n/2 + n 48 = (19 n)n/2 + n 96 = n(19 n) + n 96 = 19n n² + n n² - 20n + 96 = 0 n = 12 20. Una persona, no pudiendo pagar de una vez una deuda de 12950, propone a su acreedor pagarle 600 al final del primer mes y cada mes 50 más que el mes anterior. En cuántos meses se cancelará la deuda y cuál será el importe del último pago? Se trata de una PA en la que a1 = 600, d = 50 y S = 12950 an = 600 + 50(n 1) an = 600 + 50n 50 an = 550 + 50n entonces 12950 = [600 + 550 + 50n]n/2 25900 = n(1150 + 50n) 25900 = 1150n + 50n² /:50 518 = 23n + n² n² + 23n 518 = 0 n = 14 La deuda la cancela en 14 meses
a a a 2 3 4 21. Justifica si la sucesión cuyos primeros términos son los siguientes es una 2 2 2 n 1 n + 1 n + 2 progresión aritmética:, n,,,... n n n Para estar seguros que es una PA debe tenerse que la diferencia de dos elementos consecutivos es constante a 1 a a 2 3 n² 1 n² n² + 1 1 = n = = n n n n² + 1 n² + 1 n² 1 = n = = n n n n² + 2 n² + 1 n² + 2 n² 1 = = = n n n 1 n Por lo tanto es una PA 22. Hallar el término que ocupa el lugar 100 en la progresión a1 = -5 d = 2/3 n = 100 an = -5 + 99 2/3 an = -5 + 66 an = 61 13 11 5,,, 3,... 3 3 23. Encontrar los cinco primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el décimo término vale 60 y la diferencia vale 3. a10 = 60 d = 3 a10 = a1 + (n 1)d 60 = a1 + 27 a1 = 33 y los 5 primeros términos son 33, 36, 39, 42,... 24. Halla la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200. a1 = 101 an = 199 d = 2 199 = 101 + 2(n 1) 199 = 101 + 2n 2 199 = 99 + 2n 100 = 2n n = 50 entonces S = (101 + 199) 50/2 S=7500 25. En una progresión aritmética el primer término vale 3 y la diferencia es 2. Averigua cuántos términos de esta sucesión hay que sumar para que el resultado sea 10200. a1 = 3 d = 2, S = 10200 an = 3 + 2(n 1) an = 3 + 2n 2 an = 1 + 2n 10200 = [3 + 1 + 2n]n/2
20400 = (4 + 2n)n 20400 = 4n + 2n² 10200 = 2n + n² n² + 2n 10200 = 0 n = 100 26. La suma de los 18 términos de una progresión aritmética es 549 y el producto de los términos extremos (el primero y el último) es 280. Calcula la diferencia de la progresión y el valor de esos términos extremos. S18 = 549 a1 a18 = 280 d =? a1 =? a18 =? 549 = 9(a1 + a18) a1 + a18 = 61 a1 a18 = 280 de la primera a18 = 61 a1 reemplazando en la segunda a1(61 a1) = 280 61a1 a²1 = 280 a²1 61a1 + 280 = 0 a1 = 5 a18 = 56 56 = 5 + 17d 51 = 17d d = 3 27. Construye una progresión aritmética de 5 términos, sabiendo que el tercero vale 1 y la diferencia entre los extremos es 12. a3 = 1 a5 a1 = 12 1 = a1 + 2d 1 = a1 + 2d a1 = 1 2d a5 = a3 +2d a5 = 1 + 2d entonces 1 + 2d (1 2d) = 12 1 + 2d 1 + 2d = 12 4d = 12 d = 3 y la progresión entonces es -5, -2, 1, 4, 7 28. Calcula el primer término y la diferencia de una progresión aritmética de 100 términos, sabiendo que el último de los términos vale 199 y la suma de todos ellos vale 10000. a100 = 199 S = 10,000 a1 =? d =? 10,000 = (a1 + 199) 50 200 = a1 + 199 a1 = 1 y 199 = 1 + 99d 198 = 99d d = 2 29. Demostrar que la suma de los n primeros números impares es igual a n 2. a1 = 1 d = 2 an = 1 + 2(n 1)
an = 1 + 2n 2 an = 2n 1 S = (1 + 2n 1) n/2 S = 2n²/2 S = n² 30. Hallar el cuarto término de una progresión aritmética de la que se sabe que la suma de sus 2 primeros términos es 4 y la suma de sus 3 primeros términos es 3. a1 + a2 = 4 a1 + a2 + a3 = 3 se tiene entones que a3 = -1 a2 = a1 + d a3 = a1 + 2d se tiene a1 + a1 + d = 4 a1 + 2d = -1 es decir 2a1 + d = 4 a1 + 2d = -1 multiplicando por 2 la segunda y restándosela a la primera -3d = 6 d = -2 por lo tanto a1 = 3 a2 = 1 a3= -1 a4 = -3 31. El primer término de una progresión aritmética es 117; el último es 30 y la suma de todos los términos es 2175. Averigua el número de términos de la progresión y la diferencia. a1 = 117 an = -30 S = 2175 n =? d =? -30 = 117 + (n 1)d por otro lado 2175 = [a1 + a1 + (n 1)d]n/2 2175 = 87n/2 4350 = 87n n = 50 por lo tanto -147 = 49d d = -3 32. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm. Sean a = 8 b = 8 + d y c = 8 + 2d Como el triángulo es rectángulo debe satisfacer el teorema de pitágoras, (8 + 2d)² = (8 + d)² + 64 64 + 32d + 4d² = 64 + 16d + d² + 64 3d² + 16d 64 = 0 d = 8/3 y los lados son a = 8 b = 32/3 c = 40/3 33. Calcula la suma de todos los múltiplos de 13 comprendidos entre 500 y 7800. a1 = 507 d = 13 an = 7800 7800 = 507 + 13(n 1)
7293 = 13(n 1) 561 = n 1 n = 562 S = (507 + 7800) 562/2 S = 2334267 34. Una progresión aritmética consta de 3 términos. Su suma vale 27 y la suma de sus 511 cuadrados vale. Calcula los tres términos. 2 Sean a1 = x d a2 = x a3 = x + d, entonces x d + x + x + d = 27 3x = 27 x = 9 y por otro lado (x d)² + x² + (x + d)² = 511/2 reemplazando (9 d)² + 81 + (9 + d)² = 511/2 81 18d + d² + 81 + 81 + 18d + d² = 511/2 243 + 2d² = 511/2 2d² = 25/2 d² = 25/4 d = 5/2, o 5/2 por lo tanto los tres términos son a1 = 13/2 a2 = 5/2 a3 = 23/2 o bien a1 = 23/2 a2 = 5/2 a3 = 13/2 35. Halla el primer término de una progresión aritmética de la que se sabe que el término que ocupa el lugar 11 es el doble del que ocupa el lugar 7, y la diferencia de la progresión es 0 5. 36. En una progresión aritmética los términos que ocupan los lugares 3 y 5 suman 64, y los que ocupan los lugares 2 y 7 suman 70. Calcula dichos términos y la diferencia de la progresión. 37. Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. Cuántas filas tendrá la formación? 38. Calcular cuántos días estuvo trabajando un camarero en un establecimiento sabiendo que el primer día recibió una gratificación de 10, y que cada día que pasaba recibía 3 más de gratificación, llegando a cobrar el último día 55. 39. Encontrar los 6 términos de una progresión aritmética de la que se sabe que la suma de los 3 primeros vale 3 y la suma de los tres últimos vale 39. 40. Comprobar que {x 2 2x + 1, x 2 + 1, x 2 + 2x +1,...} es una progresión aritmética y calcular el 5º término. 41. Los ángulos de un hexágono están en progresión aritmética y el menor mide 40º. Halla los demás. 42. Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera halla dicho número. 43. Interpola cuatro medios diferenciales entre 7 y 22. (Se trata de construir una progresión aritmética de 6 términos de manera que el primero valga 7 y el último 22). 44. Interpola ocho medios diferenciales entre 1 y 2 45. Halla la suma de los n primeros términos de la sucesión 3 4 n 1 n 2,, n n n 3,... n
46. La suma de los términos de una progresión aritmética es 169 y su término central vale 13. Averigua cuántos términos tiene esta progresión.