MATEMÁTICA 6 BÁSICO RAZONES Y PORCENTAJES Material elaborado por: Héctor Muñoz Adaptación: Equipo de Matemática Programa Mejor Escuela
1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD En esta Unidad se discute la interpretación de información dada en términos de razones como una forma de expresar una comparación por cuociente. Se presentan y discuten diversas formas de expresar una razón. Luego se introduce el lenguaje de porcentajes. Se identifica el porcentaje como una forma de expresar una razón y se establecen relaciones entre los porcentajes y fracciones de denominador 100, y se interpreta información dada en términos de porcentajes. Finalmente se establecen procedimientos de cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada y de cálculo de aumentos o disminuciones porcentuales. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS 3.1. Razones como comparación por cuociente 3.2. El lenguaje de porcentajes 4. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Demostrar que comprende el concepto de razón de manera concreta, pictórica, simbólica y/o usando software educativo. Demostrar que comprende el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica, simbólica y/o usando software educativo. Indicadores de evaluación: o Dan una representación pictórica de una razón. o Describen la razón de una representación concreta o pictórica de ella. o Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5, o 3 es a 5. o Identifican y describen razones en contextos reales. o Explican la razón como parte de un todo. Por ejemplo, para un conjunto de 6 autos y 8 camionetas, explican las razones: 6:8, 6:14, 8:14. o Identifican razones equivalentes en el contexto de la resolución de problemas. o Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas. o Explican el porcentaje como una parte de 100. o Explican el porcentaje como una razón de consecuente100. o Usan materiales concretos o representaciones pictóricas para ilustrar un porcentaje. o Expresan un porcentaje como una fracción o un decimal. o Identifican y describen porcentajes en contextos cotidianos, y lo registran simbólicamente. o Resuelven problemas que involucran porcentajes. 2
5. HABILIDADES Resolver problemas que implican cálculos con múltiplos, fracciones, razones y porcentajes Aplicar estrategias para realizar cálculos Razonar matemáticamente en el contexto de la resolución de problemas 3
MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE 1. Profundización de contenidos y recomendaciones metodológicas 1.1. Formas de comparación En educación básica los estudiantes conocen 3 tipos de comparación entre números o entre cantidades: la comparación simple en que se trata de determinar cuál de dos números o de dos cantidades es mayor, la comparación por diferencia, en que se determina mediante una sustracción cuanto mayor es un número que otro o una cantidad que otra, y la comparación por cuociente, en que se determina mediante una división cuántas veces mayor es un número que otro o una cantidad que otra. La razón constituye una forma de expresar una comparación por cuociente. Así, por ejemplo, si en un curso hay 12 niñas y 18 niños, diremos que el número de niñas está en la razón de 12 : 18 en relación con el número de niños. La razón puede simplificarse, de modo que también podemos afirmar que el número de niñas está en la razón de 2 : 3 en relación con el número de niños. Esto significa que por cada 3 niños hay 2 niñas, o que de cada 5 personas que pertenecen al curso, 2 son niñas y 3 son niños. De esta forma la razón nos da una idea de cómo se distribuyen niños y niñas en este curso. En la mayor parte de los casos, la razón expresa la comparación de dos valores de una misma magnitud. Y si ambos valores están dados en la misma unidad, su cuociente es un número sin dimensión. También podemos formar el cuociente entre valores de magnitudes diferentes. Por ejemplo, si una llave de agua al gotear pierde 1,8 litros cada 24 horas, el cuociente entre 1,8 litros y 24 horas representa la tasa o rapidez con que se pierde agua y queda expresado en una nueva unidad: litros/hora. 1.2. El porcentaje como razón El lenguaje de porcentajes se basa en la comparación por cuociente y, por lo tanto, los porcentajes están estrechamente relacionados con la noción de razón. La principal diferencia consiste en que el caso de los porcentajes, la razón se expresa en forma de una división con divisor 100. Por ejemplo, decir que en una elección un candidato obtuvo el 43,8 % de los votos significa que el número de personas que votó por ese candidato está en razón de 43,8 : 100 con respecto al número total de personas que votó en esa elección. Al interpretar una información dada en términos de porcentajes es necesario tener en claro cuál es la cantidad que se está comparando con cuál cantidad. En este ejemplo, se 4
compara el número de personas que votó por el candidato con el número de personas que votó en la elección. 1.3. Diferentes formas de expresar una razón En la práctica han ido surgiendo diversas formas de expresar una razón. Estas pueden ser consideradas como parientes del porcentaje. Entre estas formas diferentes se pueden mencionar las siguientes: El tanto por mil. Es similar al porcentaje, pero se expresa la razón como una división con divisor 1.000. Por ejemplo, afirmar que en un año el precio de un determinado producto experimentó un aumento de 5 por mil significa que el aumento de precio está en la razón de 5 : 1.000 con respecto al valor que tenía hace un año. Tantos de cada tantos. Decir, por ejemplo, que 5 de cada 6 personas tienen una determinada opinión significa que el número de personas que tiene esa opinión está en la razón de 5 : 6 con respecto al total de personas consideradas. Tantos por cada tantos. Cuando se afirma, por ejemplo, que en una región hay 5 bibliotecas por cada 10.000 habitantes, se está comparando el número de bibliotecas con el número de habitantes de la región. Y el valor dado implica que el número de bibliotecas está en la razón de 5 : 10.000 con respecto al número de habitantes. Partes por millón o partes por billón. En algunas mezclas la proporción en que se encuentra un componente es tan baja que expresarla en términos de porcentaje implica el empleo de números muy pequeños. En esos casos se suele expresar esa proporción en ppm (partes por millón) o incluso en ppb (partes por billón). Afirmar, por ejemplo, que el aire contiene alrededor de 350 ppm de dióxido de carbono significa que de cada 1 millón de moléculas de aire, 350 son de dióxido de carbono. En todos estos casos se está efectuando una comparación por cuociente entre dos cantidades. Lo único que varía es la forma en que se expresa el resultado. 1.4. El cálculo de porcentajes Uno de los procedimientos más frecuentes de cálculo de porcentajes consiste en disponer en una proporción las distintas cantidades involucradas. En dicha proporción, la cantidad de referencia se hace corresponder con 100. La resolución de dicha proporción requiere conocer algunas propiedades de las proporciones y cierto manejo de resolución de ecuaciones que los alumnos de 6º año todavía no poseen. Sin embargo, considerar el porcentaje como una proporción no es la única posibilidad. En esta unidad se relaciona el porcentaje con una fracción de denominador 100. De esta forma, para determinar cuánto es el p% de una cantidad dada C, basta multiplicar C por la fracción. En otras palabras, la expresión p% de C se considera equivalente a de C. De modo que el cálculo del p% de C puede hacerse dividiendo p : 100 y multiplicando el resultado por C, o multiplicando p C y dividiendo el resultado por 100. 5
También se puede pensar en calcular el 1% y luego multiplicar por p. Esto implica dividir C : 100 y multiplicar el resultado por p. Por supuesto, estos 3 procedimientos son equivalentes y entregan el mismo resultado. Es importante que los estudiantes comprendan la justificación de cada uno de estos procedimientos. 6
MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA Nº 1. RAZONES En la Guía nº 1 se introduce el concepto de razón como una forma de expresar una comparación por cuociente. Luego de recordar las tres formas de comparación que el estudiante ha conocido hasta ahora, se presenta el lenguaje de razones y se analizan varios ejemplos cotidianos en que se entrega información en términos de una razón. La guía está dividida en 2 secciones: 1. Formas de comparación 2. Una forma de expresar una comparación por cuociente GUÍA Nº 2. PORCENTAJES La Guía nº 2 presenta el porcentaje como una forma de expresar una razón en que la razón entre las cantidades que se comparan se iguala a una fracción de denominador 100. Se establecen relaciones entre algunos porcentajes y su correspondiente equivalencia en términos de fracción y se interpreta información dada en lenguaje de porcentaje en distintos contextos que pueden resultar familiares para el estudiante. Luego se discuten diversos procedimientos para calcular el p por ciento de q y se plantean situaciones problemáticas que requieren el cálculo del porcentaje de una cantidad dada o de aumentos o disminuciones porcentuales. La guía está dividida en 3 secciones: 1. El porcentaje como forma de expresar una razón 2. Cálculo de porcentajes 3. Situaciones diversas 7