Semana 12 [1/8] 15 de mayo de 2007
Aviso Semana 12 [2/8] Importante Los contenidos asociados a números complejos en la tutoría de la semana 11, se consideran como parte de esta semana. Esto se reflejará en los contenidos a evaluar en los controles 6 y 7.
Forma polar de los complejos Semana 12 [3/8] Introducción Recordemos que definimos C a partir de Ê 2. Es por esto que podemos dar a los complejos una interpretación de vectores en dos dimensiones, como muestra la siguiente figura. Figura: Representación del plano complejo. Si z = a + bi C, entonces z = a bi y z = a bi. De este modo, geométricamente z es el vector opuesto a z, y z es el vector reflejado de z con respecto al eje horizontal, al cual se le llama eje real. Al eje vertical se le llama eje imaginario. Figura: Representación gráfica de z, z y z.
Forma polar de los complejos Semana 12 [4/8] El complejo e iθ De este modo, interpretamos la suma de dos números complejos como la suma de vectores en Ê 2. Cómo interpretar el producto entre complejos? Para ello utilizaremos la llamada notación polar. Definición Sea θ Ê. Definimos el complejo que denotaremos e iθ como e iθ = cos θ + i sin θ Utilizamos la notación de potencias pues el objeto e iθ cumple las siguientes propiedades: Propiedades 1 e i 0 = 1. 2 ( θ Ê) e iθ = 1. 3 ( θ Ê) e iθ = (e iθ ) 1 = e i( θ) (y lo denotaremos e iθ ). 4 ( θ, ϕ Ê) e iθ e iϕ = e i(θ+ϕ). 5 ( n )( θ Ê) (e iθ ) n = e inθ (a este resultado se le conoce como fórmula de Moivre).
Forma polar de los complejos Semana 12 [5/8] El complejo e iθ Demostración. (1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la fórmula para z 1 vista en la tutoría anterior. Para (4) Sean θ, ϕ Ê. e i(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ) = (cosθ cos ϕ sin θ sin ϕ) + i(sinθ cos ϕ + cosθ sin ϕ) = (cosθ + i sin θ)(cosϕ + i sin ϕ) = e iθ e iϕ Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en C. Para n Æ, { z 0 = 1 z n+1 = z n z. Y para n < 0 en, z n = (z 1 ) n = (z n ) 1. Esto siempre que z 1 exista, que en nuestro caso significa z 0, lo cual es cierto para e iθ gracias a (2). Ahora, para n Æ probamos la propiedad por inducción. El caso n = 0 sale de que por definición, z 0 = 1, y la propiedad (1). Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n Æ es cierto que (e iθ ) n+1 = e i(nθ), entonces (e iθ ) n+1 = e i(nθ) e iθ = e i(nθ+θ) = e i(n+1)θ. El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.
Forma polar de los complejos Semana 12 [6/8] Definición de forma polar En términos geométricos, e iθ es el complejo de módulo 1 que forma un ángulo θ con el eje real, medido en sentido antihorario. Propiedad Todo complejo z C se puede escribir de la forma z = re iθ, con r 0 y θ Ê. A esta escritura se le llama forma polar. Demostración. Si z = 0, entonces z = re iθ tomando r = 0 y θ Ê cualquiera. Si z 0, entonces tomamos r = z, y θ el ángulo que forma z (visto como vector de Ê 2 ) con el eje real. Este ángulo cumple cos θ = Re(z) sin θ = Im(z) z z De esta forma ( Re(z) re iθ = r(cos θ + i sin θ) = z + i Im(z) ) = Re(z) + iim(z) = z z z
Forma polar de los complejos Semana 12 [7/8] Definición de forma polar A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i. r = z = 2 2 + 2 2 = 8 Observando que z representa al vector (2, 2) Ê 2, elegimos el ángulo θ = π/4, con lo que 2 + 2i = 8 e iπ/4 Es fácil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. Continuemos con el ejemplo z = 2 + 2i. El ángulo podría haber sido elegido como 2π + π/4, con lo que e i(2π+π/4) = e i 2π e iπ/4 = (cos(2π) + i sin(2π))e iπ/4 = (1 + i 0)e iπ/4 = e iπ/4 por lo que también 2 + 2i = 8 e i(2π+π/4) Más en general, el ángulo θ puede ser cambiado por θ + 2kπ para cualquier k sin alterar el número complejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ángulo θ que cae en el rango ( π, π]. Módulo y argumento Si z = re iθ : Al valor r se le llama módulo, y se nota z. Al valor θ se le llama argumento, y se nota arg(z).
Forma polar de los complejos Semana 12 [8/8] Interpretación geométrica de la forma polar Propiedad Sean z, w C \ {0}. z = w z = w ( k ) arg(z) = arg(w) + 2kπ Ahora estamos en pie de dar una interpretación geométrica al producto de complejos. Sean z = re iθ, w C \ {0}: Si w = α Ê, entonces z w = (αr)e iθ, es decir z w es un estiramiento o contracción de z en un factor α. Si w = e iϕ, entonces z w = re i(θ+ϕ), es decir z w es una rotación de z en ángulo ϕ = arg(w). De este modo, si w = ρe iϕ, entonces z w representa un estiramiento o contracción de z en un factor w, además de rotarlo en un ángulo arg(w).