educgu.com NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIÓN Se llm númeo complejo un p odendo de númeos eles (, ). Los númeos eles y se llmn componentes del númeo complejo. A l componente se le desgn pte el y l componente se le desgn pte mgn. El númeo complejo se nc como tl po l necesdd que tenemos de ñd cetos númeos los y conocdos. Est necesdd es l de consde que como no exste l íz cudd de un númeo negtvo tenemos que usc un fom de expes dcho númeo. Po este motvo l íz cudd de -1 se le llm. AFIJO Y MÓDULO DE UN COMPLEJO Escogendo unos ejes ctesnos vmos epesent un númeo complejo (,) como un vecto del plno, cuyo ogen se el punto (0,0), el ogen de coodends, y cuyo extemo se el punto N de coodends (, ). El vecto sí epesentdo defne un númeo complejo, y dch epesentcón se le llm fjo de un númeo complejo. φ (,) (0,0) Como se ve en el dujo es el módulo del vecto. Aplcndo en el vecto epesentdo en l fgu l descomposcón del vecto tendemos:.cosφ.senφ Est descomposcón ndc el pso de coodends ctesns poles y vceves. tnϕ + ϕ ctn Pl Folgues Russell educgu.com
educgu.com El númeo complejo z se puede po tnto expes de ls sguentes foms: Ctesn: (, ) Bnómc: +. Pol: φ Tgonométc: (cos φ+ sen φ) Ejemplo: Vmos ps fom pol el númeo complejo -. P ello lo pmeo clculímos el módulo del númeo complejo, y después el gumento, tenendo en cuent p el gumento el cudnte en el que se encuent el númeo complejo que estemos ttndo. ϕ + ctg ( ) 18 ctg 1º Como se puede ve l ho de usc el gumento (ángulo) hy que tene en cuent el cudnte donde est studo el númeo complejo, y que l usc el cocente / en l clculdo, est no tene en cuent todos los cudntes, es dec s d negtvo l clculdo supone que es del º cudnte unque tmén pued se del º, y s d postvo tene en cuent que es del 1 e cudnte unque tmén pued se del º. Po tnto p evt eoes podemos hce el cocente / como s no tuve sgno (unque s lo teng), clcul el ángulo que nos dí en el pme cudnte y después pslo l cudnte coespondente, tenendo en cuent el sgno de ls ptes eles e mgns. P se el cudnte l que petenece un númeo complejo se tene en cuent su fjo (epesentcón gáfc): 1 e cudnte.- pte el postv, pte mgn postv. º cudnte.- pte el negtv, pte mgn postv. e cudnte.- pte el negtv, pte mgn negtv. º cudnte.- pte el postv, pte mgn negtv. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA SUMA Y RESTA P sum y est númeos complejos de fom nómc st con sum o est l pte el con l el y l mgn con l mgn. (+) + (-) [(+) + (+(-))] 7+ (+) - (-) [(-) + (-(-))] -1+7 Pl Folgues Russell educgu.com
educgu.com MULTIPLICACIÓN P multplc númeos complejos de fom nómc se tj como p multplc culque nomo. (+). (-).+.(-)+().+().(-) -+1-10 -+1-10(-1) -+1+101+11 Como se puede compo se susttuye l expesón po -1 y que 1. DIVISIÓN P dvd númeos complejos de l fom nómc se multplcn numedo y denomndo po el conjugdo del denomndo. + ( + ) ( + ) + + ( )( + ) ( ) + 19 19 + 1 1 1 + + + 1 + 10 9 + 19 + 9 10 ( 1) ( 1) + 19 10 9 + POTENCIACIÓN P hce l potenc de un númeo complejo tenemos que consde que es multplc lo msmo vs veces (según cul se el exponente), po ese motvo cundo el númeo complejo está elevdo l cuddo o l cuo podemos esolvelo como el cuddo o el cuo de un nomo, peo cundo es un potenc elevd solo seí elzle utlzndo el nomo de Newton. Como esto esult muy tjoso, es pefele esolve est potenc psndo pevmente fom pol, esto nos smplfcá mucho el tjo. Antes de explc como se elz l potenccón de númeos complejos vmos ve ls potencs del númeo complejo. n 1... 1. c+ ( 1 ). ( 1)( 1). 1.... 10 1.+ 1.1 1 c... 1 1. ( 1). 1. ( ) Donde c es el cocente y el esto. S lo que vmos multplc son dos númeos complejos con pte el e mgn, tenemos que multplclo como s se tt de nomos. ( )(. ) + 9 1 9 ( ) 1 Pl Folgues Russell educgu.com
educgu.com S l potenc es myo se puede esolve ncluso po el nomo de Newton. 0 1 1 0 ( )..( )..( ) +..( )..( ) +..( )..( ) 1..1.1. + 10.8.9 1080 0 + 810 1 10..7 +..81 1.1. 0 + 70 0 70 + 1080 + 810 1 + 1077 De tods foms el esolve l potenccón de fom nómco es muy looso, po tnto lo esolveemos psndo fom pol, como veemos más delnte. RADICACIÓN L dccón de fom nómc es muy complcd y equee muchs opecones, de tods foms vmos hce un ejemplo de cómo se podí esolve. + elevmos los dos memos l cuddo. ( ) ( + ) + + + + + + ( ) ( ) + Re solvemos el sstem. S,9 0, S,9 0, ( 1) Igulmos l pte el con l el y l mgn con l mgn,9 + 0, Po tn to l íz tendá dos solucones :,9 0, Como se puede ve es muy looso ún tenendo en cuent que hcmos l íz más sencll, que es l cudd, po ese motvo se soluconán ls dccones con l fom pol. Pl Folgues Russell educgu.com
educgu.com OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR SUMA Y RESTA Nunc se hcen en fom pol. MULTIPLICACIÓN P multplc númeos complejos en fom pol, multplcmos los módulos y summos los gumentos. ϕ ϑ ' ( ' ) ϕ +ϑ ( ) 7 0 0+ 1 DIVISIÓN P dvd númeos complejos en fom pol, dvdmos los módulos y estmos los gumentos. 0 0 1 POTENCIACIÓN L potenccón no dej de se un multplccón sucesv, po tnto elevmos el módulo l potenc y multplcmos el gumento po dch potenc. 8 8 8 ( 0 ) () () 900 0 8 0 RADICACIÓN P hce íces tenemos que hce lo sguente: Se hce l íz del módulo Se sum l gumento 0k, esto es p ndc ls vuelts que puede d en l ccunfeenc Todo esto se dvde po el índce de l íz Ls solucones de ests opecones seán tnts como el índce de l íz, y que l k se le dn, empezndo desde ceo, tntos vloes como ndc el índce de l íz. S epesentmos ess solucones en unos ejes se nos fom un polígono de tntos ldos como nos ndque el índce de l íz. Es dec s l íz es qunt seá un pentágono, s es cuto seá un cuddo, Pl Folgues Russell educgu.com
educgu.com 0 0+ 0k k k k k k k 0 1 0 0+ 0 0+ 70 0+ 1080 0+ 10 0+ 1800 90 70 1110 10 180 1 18 0 Se puede ve que como es un íz sext, tene ses solucones que se colocán en los ejes fomndo un hexágono egul. Tmén podemos compo que el esultdo está en estndo los ángulos fnles y compondo que nos d sempe el msmo esultdo, es dec: 0-0 -180 18-10 1-0 -0 A l epesentcón gáfc de un númeo complejo se le llm fjo. 1º º º 18º º 0º Pl Folgues Russell educgu.com