Programa Entrenamiento MT-1 SOLUCIONARIO Guía de ejercitación avanzada Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales SGUICEN030MT1-A16V1
TABLA DE CORRECCIÓN Guía de ejercitación Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales ÍTEM ALTERNATIVA HABILIDAD 1 A C 3 C 4 C 5 D Comprensión 6 B 7 A 8 C 9 D 10 C 11 A 1 E 13 A 14 D 15 B 16 C 17 A 18 C 19 C 0 E 1 C B 3 B 4 C 5 C 6 C 7 B 8 D 9 C 30 E
1. La alternativa correcta es A. El conjunto de todos los números que a 3 o más unidades de 7, corresponde al intervalo 3 3 4 7 10 Por otro lado, el conjunto de todos los números que están a 5 o menos unidades de 7 es 5 5 7 1 Luego, para encontrar los números que cumplen con ambas condiciones, se debe realizar la intersección de los intervalos: 4 7 10 1 Por lo tanto, el conjunto de todos los números que están más de 3 unidades y a menos de 5 unidades de 7 es [, 4] [10, 1].. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que x > 0 > x x < 0 II) Verdadera, ya que la cantidad subradical de una raíz con índice par es siempre positiva, entonces al anteponer un signo negativo delante de una expresión positiva, esta resulta siempre negativa. III) Falsa, ya que x 1 es siempre positivo y x > x > 0 Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre negativas.
3. La alternativa correcta es C. 8 + 3x 9x 10 3x 9x 10 8 6x 18 (Multiplicando por 1 se invierte la desigualdad) 6x 18 (Dividiendo por 6) x 3 Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es [3, + [. 4. La alternativa correcta es C. 5x 1 x 4 (Multiplicando por 10) 5 (5x 1) < 5(x + 4) (Desarrollando) 10x < 5x + 0 10x 5x < 0 + (Resolviendo) 5x < (Dividiendo por 5) x 5 Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es, 5. 5. La alternativa correcta es D. Comprensión Sean los números n, (n + ), (n + 4), entonces: n + n + + n + 4 < 40 (Desarrollando) 6n + 6 < 40 (Sumando 6) 6n < 40 6 (Resolviendo) 6n < 34 (Dividiendo por 6) n < 39
Entonces: n < 78 (Sumando 4) n + 4 < 78 + 4 (Sumando) n + 4 < 8 Como el par mayor debe ser menor que 8, el valor máximo que puede tomar es 80. 6. La alternativa correcta es B. 1 1 ( x 3) (x 3) 8 x (Multiplicando por 8) 16 x 4( x 3) 16 (x 3) (Desarrollando cuadrados) 16x 4( x 6x 9) 16 (4x 1x 9) (Distribuyendo) 16x 4x 4x 36 16 4x 1x 9 (Despejando) 16x 4x 1x 16 9 36 (Calculando) 8x 43 43 x 8 7. La alternativa correcta es A. Al plantear el enunciado resulta: x + 5 > x x x > 5 (Reduciendo) x > 7 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x < 7 Por lo tanto, el conjunto de todos los números que cumplen con dicha condición es x < 7.
8. La alternativa correcta es C. Para que la expresión x 4( x 6) pertenezca a los reales se debe cumplir que la cantidad subradical no debe ser negativa. Entonces: x 4(x 6) 0 (Distribuyendo) x 4x + 4 0 3x 4 (Dividiendo por 3, se invierte la desigualdad) x 8 Por lo tanto, la expresión x 4( x 6) pertenece a los reales cuando x está en ], 8]. 9. La alternativa correcta es D. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación por separado. Entonces, resolviendo cada inecuación: (1) x < 3 (Ordenando) x < 3 + x < 5 Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = ], 5[ () x + 3 (Ordenando) x 3 x 1 Por lo tanto, la solución de la inecuación () corresponde al intervalo S = [1, + [ Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones: 1 5 S 1 S = [1, 5[ Por lo tanto, la solución del sistema de inecuaciones corresponde al intervalo [1, 5[
10. La alternativa correcta es C. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación por separado: (1) (x ) > 4 (Dividiendo por ) x > (Ordenando) x > + x > 4 Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = ]4, + [ () (x +3) < 6 (Dividiendo por ) x + 3 < 3 (Ordenando) x < 3 3 x < 0 Por lo tanto, la solución de la inecuación () corresponde al intervalo S = [, 0[ Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones: 0 4 S 1 S = Por lo tanto, la solución del sistema de inecuaciones corresponde a 11. La alternativa correcta es A. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación por separado: (1) 4x + 7 > 3 (Ordenando) 4x > 3 7
4x > 4 (Despejando x) 4 x > 4 x > 1 Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = ] 1, + [ () 5 x + 3 (Ordenando) x 5 + 3 x (Multiplicando por 1, la desigualdad se invierte) x Por lo tanto, la solución de la inecuación () corresponde al intervalo S = [, + [ La intersección de ambos intervalos corresponde a [, + [, debido a que se encuentra contenido dentro del intervalo ] 1, + [ Por lo tanto, el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales es [, + [. 1. La alternativa correcta es E. La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación por separado: (1) 3x + 4 13 (Ordenando) 3x 13 4 3x 9 (Multiplicando por 1, la desigualdad se invierte) 3x 9 (Despejando x) 9 x 3 x 3 Por lo tanto, la solución de la inecuación (1) corresponde al intervalo S 1 = [ 3, + [. () 3x x 3 (Ordenando) 3x x 3 (Reduciendo) x 3
Por lo tanto, la solución de la inecuación () corresponde al intervalo S = ], 3]. El único punto que ambos intervalos tienen en común es x = 3. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema dado es { 3}. 13. La alternativa correcta es A. Resolviendo el sistema de inecuaciones x + 1 3 x 4 6 x x 10 x 1 Por lo tanto, el conjunto solución es x 1, expresado en intervalo: ], 1] 14. La alternativa correcta es D. (1) () (1) 3 x 3 x 3 x 5x 1 3 3 x 3 x 3 (Amplificando por 6) 6x 18 4x 9 (Despejando) 6x 4x 18 9 (Calculando) x 9 (Dividiendo por ) 9 x () x 5x 1 3 (Amplificando por 3) x 15x 3 (Despejando)
3 15x x (Calculando) 5 14x (Dividiendo por 14) 5 x 14 5 Por lo tanto, el conjunto solución del sistema de inecuaciones es, 14 15. La alternativa correcta es B. Analizando las condiciones por separado, dado t entero: t > 6 significa que t debe pertenecer al conjunto { 5, 4, 3,, 1, 0, 1, } 3t < 6 t < significa que t debe pertenecer al conjunto {1, 0, 1,, 3, 4, 5, } Luego, el único número de las alternativas que pertenece simultáneamente a ambos conjuntos es 5. 16. La alternativa correcta es C. Analizando las condiciones por separado: 4 > x significa que x debe pertenecer al intervalo,4. Por otra parte, x x significa que x debe pertenecer al intervalo,. La intersección de ambos intervalos corresponde al conjunto P, por ello, el valor de x debe pertenecer al intervalo,4. Luego: I) 0 sí pertenece al intervalo,4. II) sí pertenece al intervalo,4. III) 4 no pertenece al intervalo,4. Por lo tanto, solo I y II pertenecen al conjunto P.
17. La alternativa correcta es A. Para que una raíz de índice par tome valores reales, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Por lo tanto, para que la expresión 6 x tome valores reales, se debe cumplir que: 6 x 0 (Ordenando) x 6 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x 6 Por otro lado, para que la expresión 4 x tome valores reales, se debe cumplir que: 4 x 0 (Ordenando) x 4 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x 4 Entonces, la expresión 6 x 4 x toma valores reales para todos los x que al mismo tiempo son menores o iguales que 6 y menores o iguales que 4. Por lo tanto, x ], 4] 4 6 18. La alternativa correcta es C. El presupuesto mínimo de dinero ocurre si no asisten los niños (o sea, si asistieran 18 niños) y si todos los niños tuvieran la edad para recibir la bolsa de dulces de $ 400, sumado a la bebida. En tal caso, para cada niño habría un presupuesto de (400 + 300) = $ 700, o sea, para los 18 niños se gastaría (700 18) = $1.600. El presupuesto máximo de dinero ocurre si asisten los 0 niños y si todos los niños tuvieran la edad para recibir la bolsa de dulces de $ 600, sumado a la bebida. En tal caso, para cada niño habría un presupuesto de (600 + 300) = $ 900, o sea, para los 0 niños se gastaría (900 0) = $18.000.
Por lo tanto, el mínimo y el máximo de dinero que el comité debe presupuestar es $ 1.600 y $ 18.000, respectivamente. 19. La alternativa correcta es C. Para que la expresión sea un número real, es necesario que ambas raíces sean números reales, y que el denominador sea distinto de cero. Una raíz cuadrada es un número real siempre y cuando la cantidad subradical sea mayor o igual que cero, por lo tanto: (1) x 1 0 x 1 Entonces, existen dos opciones: x 1, o bien, x 1 x ], 1] [1, + [ Además: () x 1 > 0 x > 1 x ]1, + [ Luego, al intersectar las soluciones (1) y (), la expresión es un número real si x ]1, + [. Por lo tanto, la expresión no será un número real cuando x sea un valor que no esté en ese intervalo, es decir, cuando x pertenezca al intervalo ], 1]. Tener presente que, para este caso y otros similares, x 1 x 1 x 1. x 1 0. La alternativa correcta es E. Analizando el enunciado: 1) Son 4 libros. ) En la parte superior deben haber 7, 8, 9, 10, etc, libros. 3) En la parte inferior, menos del doble que en la parte superior, pero más de 13. Calculando respecto a los valores del punto. 7 = 14, tiene que ser más que 13, por lo tanto se descarta esta opción.
8 = 16, se descarta, ya que 15 + 8 no da 4. 9 = 18, puede ser 15 + 9 da 4. 10 = 0, puede ser 10 + 14 da 4. 11 =, se descarta, ya que 11 + 13 = 4, y en la parte superior deben haber más de 13. Por lo tanto, en el nivel superior se pueden colocar 9 o 10 libros. 1. La alternativa correcta es C. Si a pertenece al intervalo [ 4, 1], entonces: 4 a 1 (Multiplicando por ) 8 a Si b pertenece al intervalo [, 3], entonces: b 3 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) b 3 (Reordenando) 3 b Como se conocen los valores extremos de cada intervalo, entonces la suma de (a b) se encuentra entre la suma de los valores extremos. O sea: 8 a 3 b (Sumando) 11 a b 0 Por lo tanto, el intervalo que contiene todos los valores posibles de (a b) es [ 11, 0].
. La alternativa correcta es B. I) (b a) es menor que b, ya que: 0 < a (Multiplicando por 1 cambia el sentido de la desigualdad) 0 > a (Sumando b a ambos lados) b > b a II) (b a) es menor que b, ya que: b < 0 b + b < b b < b (Sumando b a ambos lados) III) (b a) NO es menor que b, ya que si b = 3 y a = 1, entonces a = es mayor que b = 3. Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre menores que b. 3. La alternativa correcta es B. Según el enunciado, se tiene que a puede tomar cualquier valor entre y 5, en tanto b puede tomar cualquier valor entre y 3. Luego: I) Falsa, ya que si a = 6 y b = 10, entonces a > b. II) Falsa, ya que si a = 6 y b = 10, entonces a b = ( 6)( 10) = 60 > 15. 1 III) Verdadera, ya que como a b > 15, entonces su inverso también se cumple, 15. ab Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
4. La alternativa correcta es C. Si la prueba tiene un total de x preguntas, entonces Bastián contestó x preguntas y Sofía contestó x preguntas. Luego: I) Verdadera, ya que si ambos contestan mal la misma cantidad m de preguntas, significa que Bastián contestó bien (x m) preguntas, mientras que Sofía contestó bien (x m) preguntas. Como Bastián tiene x preguntas correctas más que Sofía, entonces Bastián obtiene un mayor puntaje corregido. II) Verdadera, ya que si ambos contestan bien la misma cantidad b de preguntas, significa que Bastián contestó mal (x b) preguntas, mientras que Sofía contestó mal (x b) preguntas. Como Bastián tiene x preguntas incorrectas más que Sofía, entonces Sofía obtiene un mayor puntaje corregido. III) Falsa, ya que si Sofía contesta bien todas las preguntas que respondió, entonces obtiene x como puntaje corregido. En cambio, si Bastián contesta bien la mitad de las preguntas que respondió, entonces obtiene x preguntas buenas y x preguntas malas, por 3x lo tanto obtiene un puntaje corregido. 4 Por lo tanto, solo I y II son verdaderas. 5. La alternativa correcta es C. Al resolver el sistema (1) x y 3 () x 3y a en términos de a resulta: Multiplicando (1) por 3 resulta: 6x 3y = 9 (3) Reduciendo () + (3) resulta: 7x = a + 9 x = Reemplazando la expresión para x en (1) resulta: a 9 7 a 9 y = 3 7 (Ordenando) a 18 3 = y 7 (Sumando)
a 18 1 7 a 3 7 = y (Reduciendo) = y Por lo tanto, para que x > y, debe cumplirse que: a 9 a 3 > 7 7 (Multiplicando por 7) a + 9 > a 3 (Ordenando) a a > 9 3 (Reduciendo) a > 1 (Multiplicando por 1) a < 1 6. La alternativa correcta es C. x, z son números positivos e y es un número negativo. x y > y z / : y x < z, o sea x ], z[ Luego: I) Verdadera, ya que se vio anteriormente. II) Falsa, ya que y es siempre positivo, por lo tanto al cumplirse x < z, entonces se cumple que x y < y z. III) Verdadera, ya que y es un número negativo, por lo tanto x + y < x y z < z y. Como x < z, entonces x + y < z y. Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
7. La alternativa correcta es B. (1) x > 0. Con esta información, no es posible determinar que ( x y) es siempre mayor que 1, ya que no se tiene información sobre el valor de y. () x + y < 1. Con esta información, es posible determinar que ( x y) es siempre mayor que 1, ya que: x + y < 1 (Multiplicando por 1) x y > 1 (Sumando ) x y > 1 Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 8. La alternativa correcta es D. (1) x 3,4. Con esta información es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo. () x > 3. Con esta información es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 9. La alternativa correcta es C. Si Raúl tiene x años, entonces José tiene (x + 4) años. Como Jaime tiene 1 años, y es el hermano mayor, entonces se puede plantear la desigualdad: x < x + 4 < 1. Entonces, x < 8. Luego:
(1) La edad de Raúl es un número par de años. Con esta información, no es posible determinar la edad de Raúl, ya que x podría ser, 4 ó 6 años. () El resultado entre la suma de la edad de Raúl y la de José es menor que la edad de Jaime. Con esta información, no es posible determinar la edad de Raúl, ya que: x + x + 4 < 1 x < 1 4 x < 8 x < 4 Entonces, x podría ser 1, ó 3 años. Con ambas informaciones, sí es posible determinar la edad de Raúl, ya que: {, 4, 6} {1,, 3} = {}. Luego, la edad de Raúl al ser un número par es años. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 30. La alternativa correcta es E. (1) a + b = c. Con esta información, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c, ya que no se puede establecer una relación de orden entre a y b. () a < c. Con esta información, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c, ya que no se puede establecer una relación de orden entre a y b ni entre b y c. Con ambas informaciones, no es posible determinar el orden decreciente de a, b y c. ya que no se puede establecer si a < b o que b < a. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.