Físia Moderna Teoría de la Relatividad Espeial Veloidad de la luz y Prinipio de Relatividad La primera menión de lo que hoy onoemos omo Prinipio de Relatividad se debe a Galileo, quien en su obra Diálogo sobre los dos sistemas del mundo (163) señala la imposibilidad de distinguir entre sistemas en reposo o on movimiento retilíneo y uniforme: "Enerraos on un amigo en la abina prinipal bajo la ubierta de un baro grande, y llevad on vosotros mosas, mariposas, y otros pequeños animales voladores... olgad una botella que se vaíe gota a gota en un amplio reipiente oloado por debajo de la misma... haed que el baro vaya on la veloidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya flutuaiones en un sentido u otro.... Las gotas aerán... en el reipiente inferior sin desviarse a la popa, aunque el baro haya avanzado mientras las gotas están en el aire... las mariposas y las mosas seguirán su vuelo por igual haia ada lado, y no suederá que se onentren en la popa..." Galileo Galilei Una onseuenia de lo expuesto es que el movimiento es siempre relativo. Sólo podemos afirmar que un uerpo se mueve o permanee en reposo respeto del sistema de referenia tomado. La forma en que se mueve también dependerá del sistema elegido. La meánia de Newton umple on el prinipio de relatividad, ya que según la Primera Ley o Prinipio de Ineria: Si sobre un uerpo no atúa ninguna fuerza, o todas las que atúan se ompensan dando una resultante nula, el uerpo no variará su veloidad. Esto es: si está en reposo, permanee en reposo; si se mueve, lo hará on movimiento retilíneo y uniforme (v =te) Una onseuenia de la primera ley de Newton es que reposo y movimiento retilíneo y uniforme son estados de equilibrio del uerpo (sobre el uerpo no atúa fuerza neta alguna) y son físiamente equivalentes (sistemas de referenia ineriales). Como todos los sistemas de referenia ineriales (SRI) son meániamente equivalentes, las leyes de Newton tienen la misma forma en todos ellos. Por tanto podemos reformular el Prinipio de Relatividad en la forma: Es imposible determinar, mediante un experimento de tipo meánio, si un sistema está en reposo o moviéndose on movimiento retilíneo y uniforme. Los desubrimientos realizados sobre eletromagnetismo en la segunda mitad del s. XIX pareía que ponían en peligro la extensión de este prinipio más allá de los dominios de la meánia. Según las euaiones obtenidas por Maxwell la luz era una onda eletromagnétia que se propagaba on una veloidad que dependía de las araterístias del medio (permitividad y permeabilidad). Lo realmente extraño de las nuevas ondas era que, aparentemente, no neesitaban medio alguno para propagarse, osa que en la époa era difíilmente asimilable. Todas las ondas onoidas hasta entones neesitaban de un medio que propagara la perturbaión (ondas meánias). La luz, en onseuenia, se propagaría también en un medio que llenaba el universo entero y al que se le dio el nombre de éter lumínio. La veloidad de propagaión respeto del éter sería: 1 1 0 0 1 C 7 N. 9 4 9. 10 N m 4 10 s C 8 3. 10 m s El elevado valor de la veloidad de la luz haía del misterioso éter una sustania on propiedades poo omunes: Debería de tener una rigidez superior a la del aero. 1
Debería de ser extremadamente tenue, ya que los planetas, por ejemplo, se mueven a través de él sin modifiar su veloidad apreiablemente. Lo esenial era que la luz tenía una veloidad determinada (300 000 km/s) respeto del éter, lo que llevaba a plantear uestiones básias para la Físia. 1. El Prinipio de Relatividad dejaba de ser válido. Si suponemos un sistema de referenia situado en el éter, podríamos detetar si un sistema se mueve o no respeto de él. Había, por tanto, un sistema de referenia privilegiado y, mediante un experimento (de tipo óptio), podría detetarse el reposo o movimiento (absoluto), violándose de esta manera el prinipio de relatividad. El éter jugaba el papel de un sistema de referenia absoluto.. La veloidad de la luz dependía del movimiento relativo fuente-observador Si la luz viaja on una veloidad respeto del éter en el que se propaga, y un observador se aera o se aleja de la fuente, debería obtener valores distintos para la veloidad de propagaión de la luz. El efeto es similar a uando se orre a favor o en ontra del viento. De ahí que el enontrar que la veloidad de la luz era distinta si se medía en reposo o en movimiento respeto de la fuente era equivalente a detetar el llamado "viento del éter". Observador en reposo respeto de la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a Observador aerándose a la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a + v Observador alejándose de la fuente luminosa. Mide una veloidad igual a - v Con el propósito de omprobar la dependenia de la veloidad de la luz on el movimiento fuente-observador, Mihelson y Morley realizaron en 1887 un experimento de gran importania en el desenvolvimiento posterior de la físia El experimento trataba de detetar la diferente veloidad de la luz uando la fuente luminosa (o el observador) se aeran o alejan. El aparato utilizado (interferómetro de Mihelson) onsta de un espejo semiplateado B (que deja pasar la mitad de la luz y refleja la otra mitad) sobre el que inide un haz de luz proedente de A. La mitad de la luz atraviesa el espejo sin desviarse, llega al espejo superior, se refleja en él, y tras llegar nuevamente al espejo semiplateado, llega al ojo del observador. La otra mitad del rayo inidente se refleja en el espejo semiplateado y alanza el espejo de la izquierda, reflejándose en él. Tras atravesar el espejo entral llega al ojo del observador produiéndose una interferenia entre ambos rayos. La figura e interferenia obtenida variará si lo hae el desfase de los rayos inidentes. La Tierra gira alrededor del Sol a una veloidad de unos 30 km/s. Si onsideramos que el haz horizontal del interferómetro está orientado en la direión en que la Tierra se mueve, abría esperar alguna diferenia de veloidad entre este rayo y el que se propaga vertialmente. Esto provoaría una diferenia en fase entre ambos que podría ser observada omo franjas de interferenia. Si ahora rotamos el interferómetro la veloidad de la luz debería de variar debiendo de apreiarse un desplazamiento de las franjas de interferenia observadas.
El experimento fue repetido multitud de vees no obteniéndose el resultado esperado. La veloidad de la luz, por tanto, pareía independiente del movimiento de la fuente. (Vídeo del experimento de Mihelson y Morley: http://www.youtube.om/wath?v=6-hbtlm-u) A prinipios del s. XX había que resolver, por tanto, algunos importantes problemas relaionados on la luz. Teoría de la Relatividad Espeial Albert Einstein (1879-1955) (quien según sus propias palabras desonoía el experimento de Mihelson y Morley) plantea una soluión orientada a salvar el Prinipio de Relatividad. En el fondo estaba una lara apuesta por la universalidad de las leyes de la físia. El Prinipio de Relatividad debería de ser válido tanto para la meánia omo para el eletromagnetismo y la óptia. Su planteamiento impliaba dos suposiiones básias: Presindir del éter lumínio y on él de la existenia de un sistema de referenia privilegiado respeto del ual podamos determinar si un uerpo está en movimiento o reposo absoluto, lo que equivale a mantener la vigenia del Prinipio de Relatividad. Mantener la afirmaión de Maxwell según la ual las ondas eletromagnétias (por onsiguiente la luz) se propagan on una veloidad de 300 000 km/s, pero omo ahora no existe el éter omo medio de propagaión, postula que esa veloidad es siempre la misma on independenia del movimiento de la fuente respeto del observador. Esta afirmaión equivale a elevar la veloidad de la luz a rango de ley físia. Albert Einstein en 1905 Einstein publió en 1905 un total de uatro artíulos en la revista Annalen der Physik, de singular importania en el desenvolvimiento de la físia. Uno de ellos, Sobre la eletrodinámia de los uerpos en movimiento, ontenía los postulados y el desarrollo básio de la que desde entones se onoería omo Teoría de la Relatividad Espeial (TER). La teoría se sustentaba en dos postulados que reogen el razonamiento expuesto más arriba. A pesar de la aparente simpliidad de los postulados, la TER daba soluión a los problemas planteados, pero los oneptos de espaio y tiempo hasta entones vigentes y fuertemente arraigados en la forma de pensar, deberían ser objeto de una ompleta revisión. La Teoría de la Relatividad ha signifiado desde entones una forma nueva de entender la realidad que a vees paree entrar en onflito on el sentido omún. Equivale a afirmar la total validez del Prinipio de Relatividad. No existe un sistema de referenia privilegiado (éter) que podamos onsiderar en reposo absoluto. La veloidad de la luz es un invariante. Tiene siempre el mismo valor. Primer postulado Las leyes de la eletrodinámia y de la óptia son válidas en todos los sistemas de referenia para los que son iertas las leyes de la meánia. Segundo postulado La luz se propaga en el vaío on una veloidad,, independiente del estado de movimiento de la fuente emisora. Se muestran a ontinuaión algunas de las onseuenias derivadas de la apliaión de los postulados. 1. Dilataión del tiempo Una de las onlusiones más sorprendentes de la TER es que el tiempo deja de ser un absoluto que transurre igual para todos los observadores (tal y omo onsideraba la meánia de Newton) para onvertirse en algo relativo que depende del movimiento de quien lo mide. En la figura se muestran dos observadores, uno (hombre) situado en el interior de un laboratorio que onsideramos que se mueve, según el eje x, on una veloidad v respeto de otro (mujer) que suponemos en reposo y en el exterior del laboratorio. 3
Un pulso de luz parte de un emisor-reeptor situado en el suelo del laboratorio, se refleja en un espejo situado en el teho y vuelve al suelo, donde es detetado. v Observador situado en el interior del laboratorio. El iniio (partida del pulso de luz del emisor situado en el suelo) y final del sueso (llegada al reeptor del suelo) ourren en el mismo lugar. Para determinar el iniio del sueso y su final usa un mismo reloj. Observador situado en el exterior. Se onsidera en reposo. El laboratorio se mueve respeto de él. El iniio del sueso y el final ourren en lugares diferentes. Para medir el iniio y el final del sueso usa relojes diferentes. El observador situado en el interior del laboratorio (de altura L) ve que el pulso parte y llega al suelo invirtiendo para ello un tiempo: L L ; tmov tmov Tiempo medido por el observador en movimiento t Mov El observador situado en el exterior ve al otro moviéndose on veloidad v haia la dereha, por lo que observa que el rayo desribe una trayetoria obliua. Apliando Pitágoras al triángulo señalado: t v t t v t L ; L Rep Rep Rep Rep v L Rep Rep Rep t L ; t t Tiempo medido por el observador en reposo 4 v Comparando: L t L Mov 1 L 1 t Rep t L t v v v Rep 1 1 v 1 1 trep t0 tmov Donde : 1 v v 1 1 Mov Supongamos que el laboratorio se mueve respeto del observador situado fuera a una veloidad igual a 0,90 (90 % de la veloidad de la luz) y que el observador situado en el laboratorio obtiene que la luz tardó 1,000 1 1 t t Rep Mov v 0 90 1, 1 4 1, 000 s, 94. 1, 000 s, 94 s
s en haer el reorrido indiado. El observador situado fuera (y que onsideramos en reposo) medirá que la luz tarda en realizar ese reorrido: Obtenemos que el mismo sueso requiere un tiempo mayor para el observador onsiderado en reposo. El reloj del observador situado en el interior del laboratorio atrasa respeto del reloj del observador onsiderado en reposo. El tiempo transurre más lentamente para el observador en movimiento. El tiempo se dilata uando nos movemos a veloidades próximas a las de la luz. Si estamos diiendo que es imposible determinar de manera absoluta si un observador está en reposo o moviéndose on movimiento retilíneo y uniforme no paree muy apropiado hablar de observador en reposo y observador en movimiento (ualquiera de los dos puede onsiderarse en reposo). De ahí que en físia relativista se empleen los oneptos de tiempo propio y tiempo impropio. Tiempo propio ( t 0 ) es el medido por el observador para el ual el instante en el que se iniia el sueso y el que mara su final se miden en el mismo lugar (o on un mismo reloj). En nuestro ejemplo el observador situado en el interior del laboratorio mide el tiempo propio ( t0). Cuando para el observador el iniio y final del sueso tienen lugar en diferentes lugares (tiene que emplear distintos relojes para medir), se die que mide el tiempo impropio (t). En nuestro ejemplo la mujer situada fuera del laboratorio mide el tiempo impropio (t) Cualquier intervalo de tiempo impropio ( t tiempo propio ( t 0 ) ) es siempre mayor que el de t 1 t t t t v 1 0 0 0 Para el ejemplo resuelto más arriba:. Contraión de las longitudes Como para ambos observadores la veloidad de la luz debe de ser exatamente la misma, y teniendo en uenta que el tiempo medido por ambos observadores no es el mismo, hemos de onluir que el espaio medido tampoo ha de ser igual: LMov ; LMov tmov t Mov LRep ; L t t t Rep Rep Rep Mov LMov tmov L t Mov Mov LRep tmov LRep Mov t0 1,000 s 0,94 t t,94.1,000 s,94 s 1 L L 1 L v 1 Rep Mov t Mov 5
En el supuesto anterior (v =0,90) si el observador situado en el laboratorio (onsiderado en movimiento) mide una distania de 10,00 m, el observador onsiderado en reposo medirá: 1 1 L L Rep Mov v 0 90 1, 1 Las distanias (medidas en la misma direión del movimiento) se ontraen para un observador en movimiento respeto de uno que onsideramos en reposo. 10, 00 m, 94. 10, 00 m, 94 m De forma análoga a lo que hemos visto para el tiempo se definen la longitud propia y la longitud impropia Longitud propia (L 0) es la medida por el observador para el ual los puntos que determinan los extremos de la longitud a medir están en reposo, así que puede medir la longitud omo diferenia entre las oordenadas de los puntos iniial y final. En nuestro ejemplo la mujer situada en el exterior del laboratorio mide una longitud propia (L0), uando mide, por ejemplo, la distania reorrida por éste. Cuando para el observador los puntos que determinan los extremos de la longitud a medir no están en reposo se die que mide una longitud impropia (L) En nuestro ejemplo el hombre situado en el interior del laboratorio mide una longitud impropia (L), uando mide, por ejemplo, la distania reorrida. Cualquier longitud propia (L 0) es siempre mayor que la longitud impropia (L) 1 L0 L L L 0 L v 1 El signifiado profundo de la dilataión del tiempo y la ontraión de longitudes radia en que si aeptamos los postulados de la TER, el tiempo y el espaio dejan de ser magnitudes independientes para estar íntimamente relaionadas. Los suesos ya no tienen lugar en un espaio y en un tiempo independientes entre sí (tal y omo se suponía en la meánia newtoniana) para tener lugar en un ontinuo espaio-tiempo en el ual ambas magnitudes están onetadas. 3. La veloidad de la luz es un límite superior para ualquier entidad físia Si algo pudiera tener una veloidad igual o superior a la de la luz, ésta nuna podría propagarse respeto de ella on veloidad, lo que viola uno de los postulados. Esta onsideraión es de suma importania en la TER, pudiendo, inluso, tomarse omo punto de partida de la misma. El propio Einstein delaró que "la Teoría de la Relatividad es un nuevo tipo de meánia araterizada por el heho de que ninguna veloidad puede superar a la de la luz". La existenia de un límite superior de veloidades entra en ontradiión on la segunda ley de Newton (F = m a), ya que según la dinámia newtoniana si apliamos una fuerza a un objeto éste aumentaría su veloidad sin límite alguno. 6
En la gráfia se muestra la diferenia entre la dinámia de Newton y la TER. Ambas oiniden uando v<<, pero en la TER la veloidad de la luz es un límite máximo infranqueable. La Los dinámia postulados newtoniana de la TER y obligan, por tanto, a rehaer ompletamente la dinámia de Newton. la TER oiniden para veloidades muy inferiores a la veloidad de la luz 4. La simultaneidad de dos suesos depende del sistema de referenia Supongamos (ver figura) que se generan sendos destellos luminosos (1 y ) en la parte delantera y trasera del vagón en el momento en que ambos puntos están equidistantes del observador situado fuera. Ambos destellos reorren el mismo espaio y, por onsiguiente, alanzarán al observador externo al mismo tiempo. Éste onluirá, por tanto, que ambos destellos han sido simultáneos. El observador situado en el interior tiene una veloidad v haia la dereha respeto del observador exterior y se dirige al enuentro del destello originado en la parte delantera (1) a una veloidad v. Al abo de un tiempo t el vagón, y on él su oupante, se desplaza un espaio v t, pasando de estar en la posiión A a estar en la B. Este observador será alanzado antes por el destello delantero y después por el que proede de la parte trasera. Para él los destellos no son simultáneos. La simultaneidad es un onepto relativo y no absoluto. 5. Relaión masa- energía Tal y omo se ha diho más arriba la segunda ley de la dinámia de Newton resulta inompatible on los postulados de la TER. Había que onstruir, por tanto, una nueva dinámia adaptada a la nueva onepión del espaio-tiempo que subyae en la teoría de Einstein (espaio y tiempo son magnitudes mutuamente dependientes). La expresión fundamental en dinámia relativista para una partíula relaiona su masa, energía y momento lineal en la forma: 4 E (m ) (p ) m p Partiendo de esta expresión podemos llegar a algunas importantes onlusiones: Si suponemos un sistema de referenia en el ual la partíula está en reposo, su momento lineal será nulo, obteniendo entones: E 0 m E0 es la llamada energía propia o energía en reposo de la partíula. La euaión plantea la equivalenia entre masa y energía. En palabras del propio Einstein: "masa y energía son esenialmente análogas, pues sólo son expresiones del mismo ente" La TER apunta por tanto a la posibilidad de rear partíulas on masa a partir de pura energía o la obtenión de enormes antidades de energía a partir de la aniquilaión de pequeñas antidades de materia. Esta última posibilidad ondujo a la onstruión de la primera bomba atómia. 7
partíulas). Fotografía (superior) de trazas dejadas por partíulas argadas en un detetor. Un horro de mesones K - entra desde la izquierda. Su trayetoria se urva muy ligeramente (debido al ampo magnétio) en el sentido de las agujas del reloj ya que tienen una masa onsiderable. En el entro de la imagen uno de los mesones se desintegra dando lugar a dos nuevas partíulas argadas (ver traza roja en la fotografía inferior) y un rayo gamma de alta energía. Este no deja traza alguna al areer de arga, pero da lugar a un par eletrón-positrón (reaión de partíulas a partir de energía) uya traza en espiral puede apreiarse laramente. La espiral de la dereha (urvada en el sentido de las agujas del reloj) pertenee al eletrón y la de la izquierda (urvada en sentido ontrario a las agujas del reloj) un positrón. La euaión que define la energía propia de una partíula permite expresar la masa en unidades de energía (lo que es muy útil uando se trabaja on En físia de partíulas se toma omo unidad de energía la adquirida por un eletrón (1,60 10-19 C) uando es sometido a una diferenia de potenial de 1 V. Esta unidad se denomina eletrón-voltio y se abrevia omo ev. E = e V = 1,60. 10-19 C. 1 V = 1,67. 10-19 J. 1 ev = 1,60. 10-19 J La energía orrespondiente a la masa en reposo de un eletrón (9,11.10-31 kg) será: 31 8 m 14 E m 9, 1110 kg ( 3 10 ) 8, 0 10 J s 14 1 ev 5 8, 0 10 J 5, 13 10 ev 0, 513 MeV 0, 000513 GeV 19 1, 60 10 J Se die que la masa de un eletrón son 0,000513 GeV. También se puede expresar de la forma siguiente: la masa de un eletrón son 0,000513 GeV/ (ya que m = E / ) Siguiendo el mismo proedimiento podemos alular la masa de un protón (1,67 10-7 kg): 7 8 m 10 E m 1, 67 10 kg ( 3 10 ) 1, 50 10 J s 10 1 ev 8 1, 50 10 J 8, 98 10 ev 898 MeV 0, 898 GeV 19 1, 67 10 J NOTA: las masas admitidas para el eletrón y el protón son de 0,000511 GeV/ y 0,938 gev/, respetivamente 1eV 1 E 1, 10 J 19 1,67 10 J 6 7, 10 ev 7, MeV 8
Resumen RELATIVIDAD GENERAL (Einstein, 1905) Postulados de la relatividad: Las leyes de la físia son idéntias para ualquier sistema inerial de referenia. La veloidad de la luz tiene el mismo valor para ualquier sistema inerial. Conseuenias: 1.- El reposo o el movimiento uniforme de un sistema son indetetables desde el propio sistema de referenia..- En todo sistema de referenia en movimiento el tiempo transurre más lentamente. 3.- En todo sistema de referenia en movimiento los uerpos se ontraen en la direión del movimiento. 4.- En todo uerpo en movimiento la masa aumenta. Además se observa que si superamos la veloidad de la luz las longitudes de los uerpos, el tiempo transurrido y la masa de los uerpos tendrían valores imaginarios. También vemos que al aumentar la masa del uerpo aumenta la energía neesaria para aelerarlo siendo infinita para v=. Todo ello nos lleva a darnos uenta de que 5.- No se puede superar la veloidad de la luz. Fórmulas: Supongamos que, en un ierto sistema de referenia, dos suesos ourren en el mismo lugar y on un intervalo de tiempo t. En otro sistema de referenia que se mueve on veloidad V on respeto al primero, los dos suesos ourren on un intervalo de tiempo t' dado por la fórmula. Si la longitud de un uerpo en reposo es L, entones su tamaño en movimiento, digamos L', será menor, de auerdo on la fórmula: Existe una equivalenia entre la masa y la energía expresada por la fórmula: Un uerpo de masa m que se mueve on veloidad V posee, en virtud de su movimiento, una energía igual a 1/ mv. En la teoría de la relatividad, la energía de movimiento del uerpo resulta ser Un uerpo que se mueve aumenta su masa, adquiriendo una nueva masa m' dada por la fórmula: se llama el fator de Lorentz 9
Teoría de la relatividad espeial Se entiende por sistema inerial aquel en el que es válida la primera ley de Newton `un uerpo en reposo permanee en reposo, y un uerpo en movimiento permanee en movimiento on veloidad onstante y retilínea, siempre que ninguna fuerza externa atúe sobre él o la resultante de todas ellas sea ero' Teoría de la relatividad para tontos La teoría de la relatividad de Einstein se divide en dos grandes teorías: Teoría espeial de la relatividad. Formulada en 1905, es de la que voy a hablar en este post, y desribe omo se peribe el espaio y el tiempo en funión del observador. Teoría general de la relatividad: Formulada en 1915, trata de expliar la gravedad, la fuerza más inomprendida de todas las fuerzas presentes en la naturaleza. Hablaré en otro post de ella. Teoría espeial de la relatividad. Hasta la formulaión de las teorías de Einstein se aeptaban omo orretas la físia de Newton sobre la ineria, la gravedad y el movimiento. Tenemos a dos tipos (B y C) que han deidido dar un paseo en baro. Es tan grande que tienen espaio sufiiente para que uno de ellos, (C), se ponga a andar en bii por la ubierta mientras B lee el periódio. El letor observa omo C se aleja de él a 0 km/h. Para el ilista el letor permanee quieto on respeto al baro. Por otro lado tenemos a un pesador sentado en la orilla de la playa que observa a los dos, sin embargo para éste el ilista no se mueve a 0 km/h, sino a 50 km/h, ya que tiene que sumar la veloidad del propio baro. Además, el letor no está quieto, sino que se mueve a 30 km/h, exatamente la veloidad del baro. Arriba del todo, en el sol, está oloado el malo de Superman IV, y observa la esena y onluye que el pesador se mueve a una gran veloidad (la veloidad que supone la rotaión de la tierra alrededor del sol) y que el letor va un poo más rápido y el ilista más rápido aún. La onlusión es que la veloidad de los uerpos depende del observador. Hasta aquí nada extraño, es algo que peribimos en ualquier experienia otidiana. Sin embargo, la físia newtoniana peribe el tiempo omo absoluto e independiente del observador, es deir, que si a la hora de salir el baro todos ponen a ero su ronómetro, a la llegada del baro pueden omprobar que siguen sinronizados y dan leturas idéntias. Nuestra experienia diaria nos die que el tiempo es el mismo, independientemente de si vas en ohe, andando, estás durmiendo o vas en avión. Pues no. Aquí es donde entra Einstein y die que no, que el tiempo también depende del observador. Esta sorprendente onlusión es muho más ompliada de asimilar de lo que paree. Según la teoría de la relatividad, el tiempo depende de la veloidad del observador, es deir que los ronómetros del letor, del pesador, de Superman y del ilista darían diferentes resultados a la llegada del baro a tierra. El ronómetro del ilista marará menos tiempo que el del letor, éste menos que el pesador y éste menos que el de superman. Con la veloidad se produe una espeie de ompresión en el tiempo, transurre de manera distinta. pero de qué estamos hablando? este fenómeno de la variaión del tiempo dependiendo de la veloidad ourre así, efetivamente, pero sólo es pereptible a altísimas veloidades (eranas a las de la luz). A esala humana la diferenia de tiempos es tan pequeña que es despreiable y sigue funionando perfetamente la físia de Newton, que onsidera al tiempo absoluto. De todas formas, vamos a alular la diferenia de tiempo que obtendría el ilista on respeto al pesador. La fórmula para el álulo es la del uadro de la dereha. El tiempo t' se alula en base al tiempo t (el tiempo medido desde el objeto móvil). Depende de la veloidad V (del objeto móvil) y la veloidad de la luz. Como vemos, la diferenia entre t' y t sólo es apreiable on veloidades eranas a la de la luz. Teoría de la relatividad espeial-resumen 10
(Jorge Gamboa Ríos: Dr. en Físia, Universidad de Sao Paulo (Brasil), diretor del Departamento de Físia, Faultad de Cienia, Universidad de Santiago de Chile) Después de algunos años de viaje, el gemelo astronauta regresa. Han envejeido en la misma medida? La respuesta es no y la razón preisa de ello la dio Albert Einstein en 1905 uando desribió su teoría espeial de la relatividad. Para la persona que viajó en la nave espaial, el tiempo pasó más lentamente, es más joven que su gemelo en la Tierra. Este fenómeno se llama dilataión del tiempo y se explia on el segundo postulado de la teoría de la relatividad espeial, que señala que la veloidad de la luz es la máxima veloidad que puede alanzar un uerpo en movimiento en el universo. El tiempo transurrido depende de donde hagamos nuestras mediiones, en este aso la Tierra y la nave espaial, que son los dos sistemas de referenia que utilizamos. Por otra parte, para ser onseuente on las definiiones de Einstein, debemos deir que esta dilataión del tiempo se aompaña -para el observador en movimiento, en este aso el gemelo viajero- por una ontraión de las distanias. Estos efetos ourren a muy altas veloidades y son prátiamente impereptibles a veloidades de la vida diaria. La teoría de la relatividad espeial ofree además otros resultados. Uno de ellos es la famosa euaión E=m, que predie que la masa se transforma en energía y vieversa y que además explia por qué se produe la energía nulear. Otra de sus onseuenias es la antimateria. Cada partíula tiene asoiada una antipartíula, es deir, otro orpúsulo on las mismas propiedades pero on arga elétria de signo ontrario. Así, a un eletrón le orresponde un positrón. Este onoimiento ha permitido produir nueva tenología média, omo el tomógrafo de positrones (PET). El papel que desempeñó Einstein en 1905 -y aquí reside el sereto de su genio- fue onstruir su teoría de la relatividad usando oneptos y resultados que estaban dispersos, pero que eran onoidos por todos los ientífios de su tiempo. Uno de ellos es el onepto de universalidad de los fenómenos físios. Es deir, uando se hae un experimento en un laboratorio (digamos en nuestra asa), una pregunta natural es: Qué pasa si repetimos el mismo experimento, en las mismas ondiiones, en otro lugar y en otro instante? Obviamente, el resultado del experimento debería ser el mismo. En el lenguaje de la físia de hoy, diríamos que los resultados del experimento son invariantes bajo traslaiones rígidas en el espaio y en el tiempo. Ahora, modifiquemos un poo las ondiiones previas. Por ejemplo, supongamos que un físio realiza un experimento arriba de un bus que se mueve a veloidad onstante, puede otra persona, que ve pasar el bus, obtener alguna informaión onfiable del experimento? La respuesta es sí, y se onoe desde la époa de Galileo en el siglo XV. Él fue el primer ientífio que dio los argumentos neesarios para que tanto la persona que va en el bus omo la que observa desde tierra obtengan la misma informaión. Este proedimiento es lo que se llama el prinipio de relatividad galileano. Sin embargo, aunque este prinipio paree evidente en sí, no lo es si haemos un experimento on ondas eletromagnétias. De auerdo on Galileo, si el bus se mueve on veloidad v on respeto al observador en tierra y el físio que está arriba del bus eniende una linterna, nos podemos preguntar: Cuál es la veloidad de los fotones que salen de la linterna, vistos por la persona que está en tierra? Con erteza Galileo respondería: La veloidad de los fotones es v+, si tanto los fotones omo el autobús van en el mismo sentido y on la misma direión, mientras que el experimento nos hará ver que -ontra nuestra intuiión- los fotones se mueven a la veloidad, tanto para el físio que va en el autobús omo para la persona que está en la tierra. 11
Esta ontradiión dio lugar a la primera hipótesis de la teoría de Einstein: La veloidad de la luz es una onstante universal y es independiente del observador La segunda hipótesis es más ténia en uanto nos obliga a modifiar las expresiones matemátias que dien ómo se relaionan las antidades que araterizan un evento, visto por dos observadores. De auerdo on Galileo, la manera de omparar la observaión de un sueso desde dos sistemas de referenia (que se mueven a veloidad onstante) es mediante una trasformaión, que hoy llamamos de Galileo. Esta transformaión -que es una fórmula matemátia- da el resultado +v menionado arriba y establee, además, que el tiempo es absoluto e independiente del sistema de referenia. La ondiión de independenia del tiempo de los sistemas de referenia es una ondiión obligatoria para que la fórmula de adiión de veloidades de Galileo sea orreta. Sin embargo, si los experimentos son onsistentes on la primera hipótesis de Einstein, entones la independenia del tiempo debería tener sólo una validez restringida, es deir, debería ser válida solo para objetos que se mueven a veloidades muho menores que la veloidad de la luz. Así el problema fundamental es generalizar el prinipio de relatividad de Galileo y al mismo tiempo enontrar un onjunto de euaiones que generalien las trasformaiones de Galileo. Notablemente, varios años antes, el físio holandés Hendrik Lorentz ya se había dado uenta de que los fenómenos eletromagnétios eran inonsistentes on los postulados galileanos y, por ello, postuló un onjunto de transformaiones ad ho. Los físios las llaman trasformaiones de Lorentz y -aparte de ontener las transformaiones de Galileo omo un aso partiular- son el punto de partida que usó Einstein para formular su segunda hipótesis: Las leyes de la físia son invariantes ante las transformaiones de Lorentz Las impliaiones físias de estos dos postulados son enormes. Por un lado, el tiempo deja de ser un onepto absoluto (y, por lo tanto, el onepto de simultaneidad de los eventos) y ahora depende del sistema de referenia; y, por otro, pone una ota a la veloidad máxima que se puede alanzar, a saber: ningún objeto se puede mover más rápido que la veloidad de la luz. La teoría de la relatividad espeial tiene múltiples pruebas experimentales que demuestran que ella es orreta. Por ejemplo, la produión de partíulas inestables que se rean en la alta atmósfera, o bien la existenia de materia y antimateria, que es quizás la omprobaión más espetaular. Este heho es tan interesante que meree una expliaión. En efeto, dentro de las impliaiones de la teoría de la relatividad espeial es posible demostrar que el uadrado de la energía de una partíula libre es proporional al uadrado de su momento. Este heho implia que, por lo tanto, la energía puede tener dos signos. A priori esto es inonebible porque tal objeto sólo puede tener energía positiva. Esta difiultad fue parialmente resuelta por el físio inglés Paul A. M. Dira en 197 uando desubrió la euaión que lleva su nombre. Dira argumentó en términos del mar de Fermi, es deir, sostuvo que el espaio está lleno de partíulas de arga -e y uando uno quita una de ellas, el vaío que queda es equivalente a poner otra partíula idéntia a la que se quitó pero on arga +e. A este vaío o agujero que queda en el mar, Dira lo llamó antipartíula. En otras palabras, una antipartíula tiene las mismas propiedades que su partíula asoiada, la misma masa, el mismo espín, exepto la arga elétria, que tiene signo ontrario. Esto explia por qué uando se enuentran un eletrón y un positrón se aniquilan y se produen dos fotones. La existenia de partíulas y antipartíulas fue una gran prediión y fue omprobada experimentalmente en 1931 por Carl Anderson. Toda la físia de altas energías que se desarrolló desde la époa de Dira en adelante ontiene la materia y la antimateria omo elementos básios, pero la expliaión orreta para entender las antipartíulas se onoió veintiino años más tarde on el desubrimiento de la eletrodinámia uántia por Feynman, 1
Shwinger, Tomonaga y otros. Aquí, se reformula la eletrodinámia de manera tal que se respetan los prinipios de la meánia uántia y la relatividad espeial. Si uno aepta la teoría de la relatividad tal omo está y las onseuenias que implia para la físia uántia, tenemos todavía muhos problemas que resolver. Por ejemplo, uál es razón para que en el universo no existan tantas antipartíulas omo partíulas. Más aún: las mediiones astrofísias demuestran que la razón entre antibariones y bariones es del orden de 10-10, es deir, livianamente hablando, por ada antipartíula hay diez mil millones de partíulas y por eso no hemos sido aniquilados por las antipartíulas Que pudo haber pasado en la historia del universo para que esta asimetría materiaantimateria fuera tan grande? Los físios no tienen todavía ninguna expliaión definitiva para esto. Algunos sostienen que iertas simetrías se perdieron por razones termodinámias en el iniio del universo, mientras otros sostienen que la simetría de Lorentz no tenía por qué haber sido exata en los primeros instantes del universo. Este último punto de vista está muy en boga desde hae unos años y lo llamamos físia más allá de la teoría de la relatividad. Hay una larga lista de experimentos posibles que podrían poner de manifiesto esta nueva físia y que, entre otras osas, inluyen anomalías en el espetro de rayos ósmios a energías muy altas. Estas ideas han dado lugar a una nueva línea de investigaión en físia de altas energías onoida omo fenomenología de gravedad uántia. Quizás en esta suerte de iliidad história, Einstein, omo Goethe, lanzó su pañuelo y son ahora los jóvenes quizás sólo dos o tres entre miles- los que deberían tener el oraje de reogerlo y enfrentarse a la herenia e ir más allá de lo que dejó un gigante. DILATACIÓN DEL TIEMPO La experienia omún nos india que el tiempo transurre tan rápido para una persona parada omo para una en movimiento. En ontraste, la teoría de la relatividad espeial revela que el observador que está parado ve omo el tiempo transurre más lentamente para el observador en movimiento que para él. Ejemplo prátio. En una nave espaial se instala una fuente de luz que emite un impulso luminoso y se refleja en un espejo por lo que vuelve al punto iniial. Para el observador astronauta el tiempo que tarda la luz en haer dos vees la distania entre la fuente luminosa y el espejo es D dividido entre la veloidad de la luz. Sin embargo, el observador parado en la Tierra, no mide la variaión de tiempo omo el intervalo de tiempo entre estos dos eventos. Este observador ve omo la nave se mueve, por lo tanto el pulso de luz se desplaza en diagonal. Sin embargo, la veloidad de la luz sigue siendo la misma. Como la trayetoria de la luz es más grande y su veloidad es onstante (según el postulado de la veloidad de la luz), se demuestra que el intervalo de tiempo para el observador en la tierra es mayor que el intervalo de tiempo para el astronauta que se mueve a gran veloidad. Como la veloidad del uerpo nuna puede llegar a, el resultado de la raíz uadrada siempre será menor que 1, por lo tanto El problema de diha fórmula es que la dilataión del tiempo es apreiable uando la veloidad v es relativamente erana a. Las veloidades que podemos onseguir en la vida otidiana son muho menores que la veloidad de la luz. CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD 13
Debido a la dilataión del tiempo, aquellos observadores que se mueven a veloidad onstante entre sí miden diferentes intervalos de tiempo entre los eventos. Por lógia, si el intervalo es diferente y la veloidad es onstante, la longitud ha de ser diferente. Y la lógia en este aso nos da la razón. Si la veloidad de una nave es 0,90, ambos observadores (el que está en la nave y el que está en la tierra) miden la misma veloidad. Por lo tanto, la distania para el astronauta y la distania para el observador desde la tierra serán, respetivamente: Si los intervalos de tiempo son diferentes y la veloidad onstante, me lleva a la onlusión de que la distania es diferente. La distania y el intervalo de tiempo son diretamente proporionales, por lo tanto, el astronauta que mide el menor tiempo, también mide la menor distania. Las dos euaiones se relaionan de la siguiente manera: De esta fórmula deduzo que la distania medida por un observador en movimiento respeto al evento es siempre mayor que la longitud medida por un observador en reposo respeto al evento: INCREMENTO DE LA MASA La masa de un uerpo depende, al igual que los intervalos de tiempo y las longitudes, del movimiento relativo respeto al observador. Cuando un objeto está en reposo on respeto al observador, la masa del objeto se denomina masa en reposo, m'. Cuando este objeto tiene una veloidad v on respeto a otro observador la masa se denomina masa relativa, m. La relaión entre la masa en reposo y la masa relativa viene dada por la euaión: Como el denominador es siempre menor que la unidad, la masa relativista es siempre mayor que la masa en reposo. Este heho sólo es apreiable a veloidades que tienden a la veloidad de la luz. Con esta fórmula se demuestra que una masa en reposo finita nuna puede llegar a la veloidad de la luz. Ya que si v fuera igual a, el denominador sería ero, y por lo tanto la masa relativista sería infinita, por lo que para aelerar este objeto sería neesaria energía infinita. Como esto no es posible, se demuestra que la veloidad de la luz es la máxima posible, por lo que ningún uerpo on masa puede llegar a ella. EQUIVALENCIA DE LA ENERGÍA Y LA MASA E=m Uno de los resultados más sorprendentes de la relatividad espeial es que la masa es una forma de energía, por lo que la masa y la energía son equivalentes (la masa puede transformarse en energía y la energía en masa). De aquí la euaión más famosa de Einstein: Cuando un objeto aelera del reposo, adquiere una energía inétia. La energía total del uerpo, E, es la forma de energía en reposo más la energía inétia. En relatividad la euaión de la energía inétia es un poo más ompliada que la usada normalmente: De la equivalenia entre masa y energía obtengo que a partir de una pequeñísima fraión de masa se puede obtener una enorme antidad de energía, omo se ha demostrado en las reaiones de fisión de los núleos pesados (en los que se basa la bomba atómia y las entrales nuleares) y en las reaiones de fusión de los núleos ligeros (en los que se basan la bomba H y los meanismos de produión de energía dentro de las estrellas, inluido el Sol). 14
De esta euaión se dedue también que es neesaria una enorme antidad de energía para obtener una mínima antidad de materia (en los aeleradores de partíulas se alanzan energías muy elevadas que haen posible rear nuevas partíulas de materia). SIMULTANEIDAD TEMPORAL Para que dos eventos sean simultáneos, un observador ha de estar situado en el punto medio de la línea imaginaria que los une y "ver" en el mismo instante omo sueden ambos eventos. Por ejemplo, un observador A se enuentra quieto y reibe dos destellos luminosos en el mismo instante. Otro observador B, se enuentra unos metros más era de un foo que del otro. Como la veloidad de la luz es onstante (según el segundo postulado de la teoría de la relatividad espeial) y la distania a un foo es menor que al otro, primero reibirá un destello y después otro. Entones, dos suesos pueden ser simultáneos para un observador y no serlo para otro. REPERCUSIONES FILOSÓFICAS Y CIENTÍFICAS Sería un error, o una mentira, deir que la teoría de la relatividad espeial abrió los ojos del mundo entero. Todos sabemos que esta teoría, que suena tan bien nombrarla, es muy poo onoida por todo aquél que no sea físio o matemátio. Pero esta situaión también se vivió después de la revoluión newtoniana y ahora todo el mundo onoe las leyes de Newton. No podemos remodelar nuestras vidas de auerdo on la nueva físia, hemos de dejar que la nueva físia remodele nuestras vidas. Poo a poo se han ido imponiendo los oneptos que introdujo Einstein y dentro de no demasiado tiempo, uando la teoría de la relatividad espeial entre en el temario esolar, la teoría de Einstein llegará a muha más gente. La teoría de la relatividad espeial supuso para la humanidad un toque de abstraión, no era lógia no se podía demostrar asi nuna, pero nuna se ha visto invalidada en ningún sueso. Esta teoría dejó una rara sensaión ientífia pues no se podía demostrar. Pero a medida que pasa el tiempo, se ha ido demostrando y los físios lo han ido aeptando. La teoría de la relatividad espeial dejó una rara onlusión a la soiedad que el pueblo llano no podía aeptar. Era algo ilógio e indemostrable. Para los físios fue algo diferente, algunos la reyeron, otros no. Pero ahora asi todos están de auerdo, la teoría de la relatividad espeial se umple siempre y por lo tanto es válida. COMO COMPROBAR LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Graias a los relojes atómios ahora se pueden efetuar mediiones de tiempo muy perfetas. Con estos relojes se pudo onseguir omprobar una de las premisas de Einstein, la dilataión del tiempo. Ante la imposibilidad de alanzar veloidades relativistas neesarias para la lara omprobaión se realizó una prueba. Se introdujeron 4 relojes atómios en 4 aviones diferentes y los hiieron dar vueltas alrededor de la tierra. Otro reloj estaba en el Observatorio Naval de Washington. Cuando los aviones hubieron dado varias vueltas a la esfera terrestre (se les suministraba ombustible sin aterrizar) se ompararon los tiempos y se apreió una diferenia de,73. 10-7 segundos. Inreíble pero ierto, la teoría de la relatividad espeial de Einstein predeía,75. 10-7 segundos, por lo que quedó laramente demostrada, al menos por ahora. 15