INTEGRALES IMPROPIAS Hst hor hemos estudido l integrl de Riemnn de un función f cotd y definid en un intervlo cerrdo y cotdo [, ], con., Ahor generlizmos este concepto.. Integrl de un función cotd, definid en un intervlo no cotdo (Integrl impropi de ª especie). Ejemplo: f( x) = en [, ) x 2. Integrl de un función no cotd, definid en un intervlo cotdo (Integrl impropi de 2ª especie). Ejemplo: f( x) = en (0,] x 3. Integrl de un función no cotd, definid en un intervlo no cotdo (Integrl impropi de ª y 2ª especie). Ejemplo: x 0 x 0 x x f ( x) = en (0, ) dx = dx + dx ª especie 2ª especie
Definición: Se f un función cotd definid en el intervlo [, ),. Si pr todo > l función es integrle en [, ] y demás es finito el límite lim f ( x) dx <, se dice que existe l integrl impropi de f en [, ) y es convergente. Ejemplo: f( x) = en 2 [, ) ; x dx = lim dx lim x lim 2 2 x = x = + = Definición: Se f un función cotd definid en el intervlo (, ],. Si pr todo < l función es integrle en [, ] y demás es finito el límite lim f ( x) dx <, se dice que existe l integrl impropi de f en (, ] y es convergente. Definición: Se f un función cotd definid en el intervlo (, ). Si pr todo < l función es integrle en [, ] y demás son finitos los límites lim f ( x) dx < y lim f ( x) dx <, se dice que existe l integrl impropi de f en (, ) y es convergente, es decir, c f ( x) dx = lim f ( x) dx + lim f ( x) dx < Oservción: Si existe f ( x ) dx f ( x ) dx lim f ( x ) dx = L implicción contrri no se d. c Vlor Principl en sentido de Cuchy
Condiciones pr l existenci de l integrl impropi de ª especie: ) Condición necesri: Si existe (converge) f ( x ) dx, entonces lim f( x) = 0. 0 x ) Condición necesri y suficiente: si f es un función cotd definid en [, ), e integrle en [, ], con función primitiv F tl que lim F ( ) = k<, entonces f ( x) dx es convergente y f ( x) dx = k F( ) Criterios de Comprción: Si f es integrle en el intervlo [, ], g en un función tl que 0 f( x) gx ( ) x [, ), y l integrl de g en [, ) es convergente, entonces l integrl f en [, ) es convergente y f ( x) dx g( x) dx. Además si l integrl f en [, ) es no convergente, entonces l integrl de g en [, ) no es convergente.
Ejemplo: 2 x 2 dx x ( + e ) es convergente pr todo x 2 y que x ( + e ) x x x 2 0 y lim lim. 2 x 2 dx = dx x 2 2 = = 2 2 2 Ejemplo: x + 2 dx es divergente pr todo x y que 5/3 2x x+ 2 x 2/3 2/3 /3 > = x y x dx lim 3 x. 5/3 5/3 2x 2x 2 2 = = 2 Ejercicio: Estudie pr qué vlores de α es convergente l integrl de l función f( x) = en el intervlo [, ), con > 0. x α
Integrles impropis de 2ª especie Definición: Se f un función definid en (, ] y supóngse que f es integrle en [ + ε, ] ε > 0. Si existe y es finito el límite lim f ( x ) dx + ε 0 <, se dice + ε que existe l integrl impropi de f en (, ] y es convergente. Análogmente: - L integrl de un función f no cotd en el intervlo [, ) se define como el límite (cundo existe y es finito): lim f ( x ) dx +. ε 0 ε - Si l función f no está cotd en c [, ], entonces se define c c ε f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = lim f ( x ) dx + lim f ( x ) dx c ε 0 + ε 0 + c+ ε Teorem: Se f un función definid en (, ] que tiene función primitiv F. Entonces si lim F ( + ε ) = k se verific que f ( x ) dx ε 0 es convergente y demás f ( x ) dx = F ( ) k Ejercicio: Estudie l convergenci de: f( x) = ln( x), x (0,] y de: gx ( ) =, x [ 2,3] 2 x +
Criterios de comprción: Si l función f es integrle en [ + ε, ] ε > 0, + ε < y g es un función tl que 0 f( x) g( x) x (, ], se tiene que: ) Si l integrl de g es convergente entonces l integrl de f es convergente y f ( x) dx g( x) dx ) Si l integrl de f es no convergente entonces l integrl de g es no convergente.
INTEGRALES EULERIANAS Definición: Se define l función Gmm de prámetro p como l integrl: p x p x e dx 0 Γ ( ) = Proposición: Existenci Si p>0, l integrl Γ ( p) es convergente. Demostrción: ( ) Se el intervlo 0, = (0,) [, ). x p ) Se f( x) = e x, definid en (0,); entonces como 0, st con demostrr x p p ex x que es convergente l integrl en (0,) de l función x pr p > 0, pr concluir que tmién será convergente l integrl en (0,) de l función pr p > 0: x p ex 0 x p dx ε 0 ε 0 = ε [ x] = ε = p= + ε 0 ε + ε 0 x p p p p, si p > 0 lim x = lim ε p + p = + p p, si p < 0 lim ln lim ln, si 0 Por tnto, pr p>0 será convergente e x dx. 0
x 2) Semos que [, ) : 0 = e x x Como dx = lim dx lim x, 2 2 x = = x p x entonces 0< x e dx <, p. p+ x p x x e x 2 2 p En definitiv, de ) y de 2) se tiene que convergente pr p > 0. 0 x p x e dx es Propieddes: ) Γ () = 2) Γ ( p) = ( p ) Γ( p ), p> 3) Si p y p 2 Γ ( p) = ( p )! 4) Γ (/ 2) = π
Definición: Se define l función et de prámetros p y q como: p q p q = x x dx 0 β (, ) ( ), y es convergente pr p> 0, q> 0 Propieddes: ) β( pq, ) = β( q, p) 2) β (, q) = / q p q 3) β( p, q) = x ( x) dx= β( p +, q ), p > 0, q > 0 Γ( p) Γ( q) 4) β ( pq, ) = Γ ( p + q) p [ ] [ ] π /2 2 2q 0 q - q 5) β( pq, ) = 2 sin( θ) cos( θ) dθ, pq, > 0
Definición INTEGRALES DOBLES (puntes extrídos de Moisés Villen)
De quí surge l definición de integrl dole:
Aquí pudimos her integrdo con respecto x, y luego con respecto y igulmente. Háglo como ejercicio.
Integrles doles sore regiones generles:
) Hciendo un rrido verticl:
2) Hciendo un rrido horizontl:
Ejemplo 4