Auomáca Ejercicio Capíulo4.RepueadeRégimenTraniorio JoéRamónLlaaGarcía EherGonzálezSarabia DámaoFernándezPérez CarloToreFerero MaríaSandraRoblaGómez DeparamenodeTecnologíaElecrónica eingenieríadesiemayauomáca
Repuea de Régimen Traniorio EJERCICIO 4.. Calcular lo valore de K y K h para que el iema enga una repuea con un obreimpulo del % y un iempo de g. R() + - G() H() Y() K G() ; H() Kh ( ) p K ( ) M() K( Kh) ( ) M p e. K ( KK ) K h =.4 g wd rad / g wd w n w n =. rad/g w d M()..68. K. KKh M().9.6 K ( KK h ) K K h.6/.9.78
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. EJERCICIO 4.. Dada la repuea del iguiene iema a una enrada ecalón unidad, calcular k, f y M. x k M F f.8 G () M f k G() C w n w w n n Comparando amba expreione e iene: w n k M ; f ( Mk) ; C / k M p M c(p) c( ).8.9 c( ) p e.9 =.6 p w n g w n.96 rad / g x( ) limx()
Repuea de Régimen Traniorio limg() lim M f k C / k k /N / m w n k M k.96 M.96 M.87Kg.96 f ( Mk).6.6 Mk.6.87 f.4n /(m / g) EJERCICIO 4.. Para el iema de la figura iguiene, calcular el valor de K y p para que cumpla: R() + - M p % 4g G() K G() ( p) Y() M() K p K M() w n w w n n M p e..69 jw w n 4g w n. rad / g -.78 Re ArcCo( ) 46.6º w n.69 *..78 () M K w K p k n.7 p n.69..6
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. EJERCICIO 4.4. Para el iema de la figura iguiene, donde G() ( 6) Calcular: - Tiempo de ubida - Tiempo de pico. - Sobreimpulo. - Tiempo de aenamieno. R() + - G() Y() G() ( 6) () G() ( 6) M 6 w n rad /g;.6 - Tiempo de Subida: r w d ArcCo( ) ArcCo(.6).97rad / g w d w n.6 4rad / g r.97 4.g - Tiempo de Pico: p w d p 4.78g - Sobreimpulo: M p e M p e.6.6.9 9.% 4
Repuea de Régimen Traniorio Tiempo de aenamieno: w n.g.6* EJERCICIO 4.. Para el iema del ejercicio.. uponiendo: M kg; f N /(m / g); k N / m; F() N; Obener la repuea emporal del iema ane un ecalón uniario Del ejercicio. e iene: X() F() M f k Aplicando una fuerza ecalón uniario la alida del iema erá: () ( X ). X() (.).866..866 (.).866.866
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Aplicando abla de ranformada: x() e.. Co(.866).76e Sen(.866) EJERCICIO 4.6. Para el iema del ejercicio.. uponiendo: M Kg; M. Kg; f = f = N m/g; k = N m Calcular la repuea emporal del iema ane una enrada ecalón uniario. En el ejercicio. e obuvo la funcione de ranferencia que relacionaban la variable del iema: V () M f k F() M f f M f k f V () F() Suiuyendo por lo valore: V () F() M f f M f k f. f... 6
Repuea de Régimen Traniorio V (). V () (. )... Aplicando la abla de ranformada de Laplace:.88.86.4.4 v..4 ()..e.co(.4.6) e V () F().. V () (. ).9 V (). Aplicando la abla de ranformada de Laplace:.9.4.4.4 v..4 ().9e.66en(.4.69) e.7.6 v()..4.. v(). -. 4 6 8 Tiempo () 7
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. EJERCICIO 4.7. Para el iema del ejercicio.. i e aplica una fuerza f() de Newon, calcular: - Poición del delizador en eado eacionario. - Poición máxima a la que llega. En el ejercicio.. e obuvo la función de ranferencia del iema linealizada en orno del puno de repoo donde x = : F() X() Valor en régimen eacionario: F() lim X() lim lim. Luego x e.. Valor máximo: X() F() Comparando ea expreión con la de un iema de egundo orden e iene: n n 6. 98. 98 M p e. 98 e 88.. 88% X max.. 88.. 8
Repuea de Régimen Traniorio EJERCICIO 4.8. ) Obener la funcione de ranferencia G, G, G, G 4.y oal del iema. ) Inroducir un conrolador proporcional que haga al iema comporare como i fuee de º orden, con obreimpulo, ane enrada ecalón, del 4.% R() + - G () G () + + G () G 4 () Para obener la función de ranferencia del iema de la figura e han realizado una erie de enayo a lo bloque G, G, G y G 4 que lo coniuyen. Al bloque G e le ha omeido a una eñal de enrada rampa unidad, obeniéndoe la repuea de la gráfica: 4....4..6.7.8.9 Al bloque G e le ha inroducido una eñal ecalón unidad, repondiendo como e puede ver en la gráfica:......4..6.7.8.9 9
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Al bloque G e le ha inroducido una eñal impulo unidad, obeniéndoe:.4....8.6.4.....4..6.7.8.9 Al bloque G 4 e le ha inroducido una eñal ecalón unidad, obeniéndoe.9.8.7.6..4.......4..6.7.8.9 ) El bloque G () correponde con un derivador con ganancia : () El bloque G () correponde con una ganancia uniaria: () G G El bloque G () correponde con un inegrador de ganancia.: () G. 9 El bloque G 4 () correponde con un inegrador de ganancia unidad: () G 4 Luego la cadena direca del iema quedará: G T () (G () G ()) G () G 4 () ( ) 9
Repuea de Régimen Traniorio GT() M() G () T 9 K 9 9 K( ) K K K 9 ( ) K 9 K 9 ) Suponiendo que el cero no afeca a la repuea: M p e.4. 77 K n K n 9 K 9 K K K EJERCICIO 4.9. Obener la repuea del iema del ejercicio.9. ane una enrada ecalón uniario. Analizar el poible uo de un iema equivalene reducido. En el ejercicio.9. e obuvo la función de ranferencia del iema que relaciona el deplazamieno angular del eje de alida con el deplazamieno angular del eje de referencia: r () + - E() E () a Amplific. Moor () m Engrane () c c r. 7 La ranformada de la alida c, para ea enrada ecalón uniario e: c( ). 7
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Expanión en fraccione parciale:.4..4. c().48 9. (.7).. (.7). y la repuea del iema ane una enrada ecalón queda: ().4e c Que de forma gráfica ería: 9..48Co(.)e.7.4 Sin(.) e..7 La repuea e muy imilar al de un iema de egundo orden ubamoriguado, con la iguiene caraceríica: Mp = 4%; r =.7g.; p =.g. El moivo de que la repuea ea imilar a la de un iema de egundo orden eá en que, para ee valor de ganancia del amplificador, la función de ranferencia de lazo cerrado iene do polo complejo conjugado en -.7j. (dominane) y uno real en -9.. De ea forma podemo ver que el polo del eje real iene una conane de iempo pequeña comparada con la de lo oro do polo y por eo la forma de la repuea e dominada por lo complejo. Se podía penar en aproximar el iema por una implificación con olo lo polo complejo, como la iguiene: 78.6 M().4 78.6 El problema eá en que erá una aproximación muy burda ya que la relación enre la diancia al eje imaginario, de lo polo complejo con el polo real, e menor de (6.8)
Repuea de Régimen Traniorio luego no ería depreciable. Para comprobar que no e puede realizar la aproximación (en principio) comparamo la repuea, ane un ecalón unidad, del iema real con la del iema reducido: Se puede ver como en la pare ranioria e produce un error apreciable. EJERCICIO 4.. Para el iema del ejercicio.., uponiendo que el amplificador K oma el valor.6, dibujar de forma aproximada la repuea del iema x() ane una enrada ecalón uniario en la referencia de poición r(). Indicar lo valore numérico de lo principale parámero de dicha repuea. En el ejercicio.. e obuvo el iguiene diagrama de bloque del iema: r() + _ e() c() Amplificador K Bomba Embolo v() p() x()... Tranducor R(). ()... G 4.
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico...6 K G() () 4. K G()H()..6 4. M Lo polo de la función de ranferencia de lazo cerrado e encuenran en: p,.78 p.86 j.67.8 4..8 Como p eá lo uficienemene alejado para poder depreciarlo frene a p y p e coniderará el iema equivalene de egundo orden formado por lo do polo dominane p y p. Para eo polo e obiene lo principale parámero del iema: p, jd n jn.78 j.67 n.78 n.67.66.64.64. 6 n.78.6.77 co arco.44rad r d.44.67.99 p d.67.4.78 4.7.6. 6 M e e p.678 67.8% Valor final:.8 limm()r().64 4..8 4
Repuea de Régimen Traniorio La figura muera la repuea la repuea del iema compleo.. Repuea al ecalón uniario.9.8.7 Ampliud.6..4... 4 6 7 8 El iema equivalene coniderado para el cálculo de lo parámero ha ido: k () (.78) Tiempo() M red red.67 k red.46.66 k limm()r().64.46.66 k red.64 kred. 9.66 red() La repuea del iema reducido e: M.9.46.66. Repuea al ecalón del equivalene reducido..8 Ampliud.6.4. 4 6 7 8 Tiempo ()
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Comparando amba repuea en la mima gráfica pueden obervare la diferencia exiene al depreciar el polo má alejado del origen.. Comparaiva de la repuea de ambo iema..8 Ampliud.6.4. 4 6 7 8 Tiempo() La repuea en línea coninua correponde con el iema oal y la de línea diconinúa con el equivalene reducido. EJERCICIO 4.. Para el iema de conrol cuyo diagrama de bloque e muera en la figura: X() E() U() Y() K G() + - H() (.66) () 4 G H() ( 8)( 6). Obener la ranformada invera de la repuea del iema para una enrada ecalón uniario cuando K=.. Calcular un iema reducido equivalene al de lazo cerrado, para K=.. Calcular lo parámero de la repuea del iema para una enrada ecalón uniario: - Tiempo de ubida ( r ) - Tiempo de pico ( p ) - Máximo obreimpulo (M p ) - Tiempo de aenamieno ( ) 6
Repuea de Régimen Traniorio. Tranformada invera. 6) 4)( )( 4 ( 6) 4)( )( ( 6) 4)( ( 4 4 K G()H() K G() () M ).7.66) 7.)((.46)( ( 6) 4)(.667)( ( 6) 4)( )( 4 ( 6) 4)( )( ( Y() Cuya decompoición en fraccione imple e:.7.66) (.9.86 7..699.46.6.69 Y().7.66) (...46.86.7.66) (.46.86.7.66) (.9.86.7.66) (..7.66) (.66.86.7.66) (...46.86.7.66) (.7.7..7.66) (.66.86.7.66) (.7.78.7.66) (.66.86 Aplicando la abla de ranformada de Laplace: a e a co e a) ( a a en e a) ( a.7.66) (.7.78.7.66) (.66.86 7..699.46.6.69 Y().78en(.7) co(.7).86e.699e.6e.69 y().66 7.8.46.4) co(.7.994e.699e.6e.69 y().66 7.8.46 7
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico.. Siema reducido equivalene. Facorizando M() para K=. e iene: K G() M() K G()H(). 4. 4 ( 4)( 6) ( ( )( 4)( 6) 4 )( 4)( 6) M() 4.( )( 4)( 6).(.66)( 4)( 6) 4 69 47. ((.6).97 )(.47)( 6.) Un iema aproximado, aunque de forma groera, ería:.84 M'() (.6).97.84 4..6 donde e ha ajuado la ganancia del equivalene reducido para ener la mima ganancia eáica que el iema original (.9). Un modelo reducido má ajuado ería: M''().(.66) (.6).97.(.66) 4..6 La diferencia eá en el cero en.66, porque uma a la repuea del primer equivalene la repuea del iema de egundo orden a un impulo:...66 ''() M() X() 4..6 4..6 Y ''(). 4..6..66 Y 4..6.6 Repuea al impulo..4...... Tiempo (.) 8
Repuea de Régimen Traniorio Repuea al ecalón del iema original y equivalene reducido.7.6..4. M() M () M ()..... Tiempo (.). Parámero obenido obre el equivalene reducido: n.6.6.6 rad / n n 4. 4.. 9 arcco arcco.9 4.º.47 rad.6.6.9.978 rad/ d n p d.978. r d.47.978.77 n.9.6.46 M p e..% 9
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. EJERCICIO 4.. El iguiene iema e uiliza para eliminar durane u ranpore pare de la humedad de una uancia que e almacena en un ilo: Aire () Vm() + A _ Vh() Vref() h() La eñal de error e() compara la referencia de humedad Vref() con la obenida del enor Vh(), e amplifica por un valor A, y e uiliza Vm() como enrada a un moor de CC que acúa obre una válvula que gobierna el pao de una corriene de aire caliene. La ganancia del amplificador e de A Volio/Volio. La relación enre la poición del eje del moor () en grado y la enión aplicada al mimo Vm() viene dada en la iguiene gráfica: Vm() () La relación enre la humedad del maerial y() (en %) y la poición del eje del moor () (en grado) viene dada por la repuea impulional: () Area=
Repuea de Régimen Traniorio La humedad e deecada a la alida de la cina ranporadora mediane un inrumeno empleado como enor que genera enión por unidad de variación del grado de humedad h. Para calcular la función de ranferencia del enor de humedad, cuya ecuación diferencial que rige u funcionamieno e d Vh() k h() a Vh() d e realizó el enayo de omeer al enor a un cambio bruco de unidade en la humedad obeniéndoe lo iguiene dao que e mueran en la abla adjuna. Vh (volio) Tiempo (egundo) 7.89..64.6. 7. 8.6. 9 9.4. 9.64 4 9.78 4. 9.87 9.9. 9.9 6 9.97 6. 8 Dibujar el diagrama de bloque del iema compleo que iene como enrada la enión de referencia Vref() y como alida la humedad del maerial H(), indicando oda la variable y funcione de ranferencia. Analizando el iema repreenado e van obeniendo la relacione enre la diferene variable del iema: E() Vref () Vh() Vm() Vm() A E() A E() La relación enre la poición del eje del moor () en grado y la enión aplicada al mimo Vm() e obiene de la gráfica correpondiene. En ella e puede ver que cuando la enrada Vm() e un ecalón uniario, la alida () e una rampa de pendiene.. Luego dicho elemeno puede repreenare como un inegrador cuya función de ranferencia correponde con: ( ). Vm() () Vm(). La relación enre la humedad del maerial y() (en %) y la poición del eje del moor () (en grado) viene dada por la repuea impulional repreenada en la gráfica. Ea repuea correponde a un iema de primer orden de la forma: H() () k
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. La repuea emporal de un iema de primer orden ane una enrada impulo e de la forma: h() k e El valor inicial de la repuea e.: El área debe er igual a : h() k e k. k. e k. k e k k. Luego la función de ranferencia e: H() ().. Para calcular la función de ranferencia del enor de humedad, e iene la ecuación diferencial que rige u funcionamieno: d Vh() k h() a Vh() d Aplicando ranformada de Laplace e endrá: k H() Vh() a Vh() k H() ( a) Vh() Vh() H() k a k' La abla proporciona información obre la repuea de ee iema ane una enrada ecalón de ampliud. Como el iema correponde con uno de primer orden, de lo dao de la abla obenemo el valor de la conane de iempo y de la ganancia k. El valor al que e eabiliza la repuea para una enrada ecalón de unidade e. Para el iema de primer orden el valor al que e eabiliza la repuea e: Vh k' lim k' Luego: k' k' La conane de iempo correponde con el iempo rancurrido haa que la repuea alcanza el 6.% del valor final. El 6. % de e.64 que mirando en la abla correponde con = egundo.
Repuea de Régimen Traniorio Por ano la función de ranferencia e: Vh() H() El diagrama de bloque correpondiene al iema compleo erá: Vref() + _ E() Vh() A Vm() () H()... EJERCICIO 4.. La figura muera el equema del conrol de velocidad del moor de combuión inerna mediane la uilización de una ervoválvula hidráulica. Er Eo Servoválvula Hidráulica Amp. dif. i + - Suminiro Hidráulico Ou In Ou Ya Enrada Combuible Ya Válvula lineal q r Tacómero w o Moor Combuion w o T Carga Se abe que el amplificador diferencial iene una ganancia regulable, de valor K y que la función que realiza e: i K (Er Eo). La válvula lineal preena una relación conane enre el flujo de mezcla de combuible (q r )a u alida y u deplazamieno (Ya), igual a. Ademá, e omee al conjuno Moor-Carga a una enrada ecalón de ampliud unidad, obeniéndoe la repuea de la gráfica iguiene:
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Se dipone aí mimo de una gráfica dada por el fabricane de la ervoválvula hidráulica, que muera la repuea de la mima ane una enrada ecalón unidad de inenidad: - Se ha omeido a la acodinamo a una enrada rampa de pendiene r.p.m. (velocidad en el eje creciene linealmene), y e ha obenido que u repuea viene dada por la expreión: Eo(rampa ).. e Se pide:. Diagrama de Bloque del iema indicando la poición de la plana, acuador, regulador, enor, realimenación, eñal de error, de acuación, de enrada, de alida,...ec.. Función de ranferencia de cada bloque.. Función de ranferencia de lazo cerrado. 4. Indicar mediane obervación de la FTLC como erá u repuea ( er orden, º orden, obreamoriguado, ec.). Diagrama de bloque. r Señal de referencia Po. E r +_ Señal de conrol Señal de acuación Amplificador diferencial Acuador Plana i Y a q r Regulador Servoválvula Válvula lineal. Moor / Carga Señal de error Señal de realimenación E Tacómero Senor Señal de alida. Funcione de ranferencia. Moor-carga: La gráfica correponde con la repuea de un iema de primer orden donde la conane 4
Repuea de Régimen Traniorio de iempo leída de la gráfica e aproximadamene 4 egundo y la ganancia K del iema e.. () K.. Qr () 4. Servoválvula: La gráfica correponde con la repuea de un iema de egundo orden ubamoriguado, donde leyendo de la gráfica e puede ver que el iempo de ubida e de.4 egundo y el iempo de pico de. egundo. p. d.7rad / d p r.4 r d.87rad d co co.87.64 d n n d 7.4rad / Luego la función de ranferencia erá: Ya() I () Kn n n donde K correponde con la ganancia de régimen eacionario. Y a () I(). 6.8 9.86 6.8.68 9.86 6.8 Y a () I() 6 Válvula lineal: Qr() Y () a Tacómero: E ()..e Tomando ranformada: ().... ( ) E ( )
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Como ea eñal e la repuea del acómero ane enrada rampa de pendiene : ( ) E() () ( ). Ora poible forma de obener la función de ranferencia ería derivando la repuea del iema ane la rampa para obener la repuea del iema ane un ecalón: de () e d ( e Ea repuea correponde a un iema de primer orden con conane de iempo. y ganancia. (al er la enrada de ampliud ). ) E() K ()... Deecor de error: I() K(Er () E()). Función de ranferencia de lazo cerrado. () K. 6. ( GT. H() K 6 )(.) GT() M() G () H() T K ( 6 )(.) K. ( 6 )(.) () ( K( ) 6 )(.)( ) K 6. K( ) M 4 66. 6 K 4. Como e puede ver en la expreión anerior, la poición de lo polo de la función de ranferencia de lazo cerrado depende del valor que ome K. Con lo cual e muy dificil decir por mera obervación cual ería el comporamieno. Habría que dar valore a K o dibujar el lugar de la raíce. 6
Repuea de Régimen Traniorio EJERCICIO 4.4. Se deea dieñar un conrolador de alura para un globo aeroáico. Aire caliene en inerior, a emperaura T Quemador Elevación por Vieno (W) Z Para ello e dipone de un alímero, cuya función de ranferencia e la unidad, y de la dinámica del iema que, debido a la dificulad de enconrar la ecuacione de la dinámica del iema con preciión, e ha obenido en bae a vario experimeno. El primer experimeno enía la miión de morar la relación enre el Flujo de Calor (Q) aplicado al inerior del globo mediane un quemador y la Temperaura que e alcanza en u inerior. Para ello e ha realizado un enayo de forma que e ha aplicado una eñal de enrada ipo impulional de ampliud (Kcal/g), obeniéndoe la Gráfica Nº. Poeriormene e ha realizado oro enayo para conocer la relación enre la Temperaura inerior del globo y la alura (Z) que alcanza el mimo. Para eo e ha inroducido una eñal impulional de ampliud, obeniéndoe la Gráfica Nº. Area= Gráfica Gráfica Nº Por úlimo, e ha comprobado que, para caracerizar compleamene la dinámica del globo, e neceario ener en cuena la modificación de la alura producida por la componene acenional del vieno (W). Calcular: - Diagrama de bloque de la plana. - Función de ranferencia (Alura/Calor de enrada) de la plana. - Diagrama de bloque en lazo cerrado, indicando la eñale de enrada al iema y i ea on conrolable o no. 7
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. - Diagrama de bloque de la plana. W() Q() G() T() G() Z() Z() Como e oberva en la figura anerior, la plana eará formada, egún lo dao aporado, por do bloque que repreenan la dinámica del iema y que permien modelar la variacione de la emperaura inerior y de la alura del globo. (Comenar que la ecuacione que en ee ejercicio e han coniderado como abolua on, en realidad variacione ). Ademá, e incluye la enrada de perurbación producida por la componene verical del aire. - Función de ranferencia (alura/calor de enrada) de la plana. Para calcular la función de ranferencia de la plana e neceario obener la de cada uno de lo bloque que la componen: a) Función G (): La repuea emporal de la gráfica Nº e ípica de lo iema de primer orden ane una enrada impulo, luego erá de primer orden. Enonce: G k a k a a () g() y() () y() L k e Para =, e comprueba que y ()k. Y calculando el área bajo la curva: a area e d a a Y como el área e dao, queda que a=. Y eniendo en cuena que la ampliud del impulo de enrada ha ido, la función de ranferencia G () queda: T() G() Q () b) Función G (): La expreión maemáica de la curva de la gráfica Nº puede er aproximada por: y(). u(). e. Donde el valor de la conane de iempo del ermino exponencial e ha obenido a parir de la gráfica, comprobando el iempo rancurrido para llegar al 6,% del valor final. Tomando ranformada de Laplace con C.I. nula:... Y () ( ) Ea e la ranformada de la repuea del iema G ane una eñal de enrada impulo de ampliud, luego i dividimo enre la ampliud de la eñal de enrada e obiene la función de ranferencia: 8
Repuea de Régimen Traniorio G () Z(). T() ( ) Enonce, la función de ranferencia de la plana queda: G () Z(). Q () ( )( ) - Diagrama de bloque en lazo cerrado: Conrolador Zref E() Q() G() T() G() Z() W() Z() En ee iema e obervan do enrada Zref y W. La primera de ella e la enrada mediane la cual el operador del globo modifica la poición, e oalmene conrolable. En cuano a la eñal W, e no conrolable (ademá de aleaoria y obervable) ya que depende de la velocidad que alcance el vieno en cada inane. EJERCICIO 4.. Dibujar, indicando un número de puno que permia obervarlo correcamene, la repuea ( ) del iema cuya función de ranferencia de lazo cerrado e M(), ane una enrada ( ) al como la que e muera en la figura: + 6 8 Tiempo - Decomponemo la eñal de enrada en inervalo de iempo y analizamo el ipo de eñal. Aí obervamo que dede = a =6 -, la eñal de enrada e un ecalón de ampliud : Enrada R() ( ) M() Repuea C() 9
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. luego: C () M() R () ( ) 4( ) ( ) que decomponiendo en fraccione imple, quedará: 4( ) ( ) A B 4( ) A ( ) 4 4( ) B ( ) ( ). 4 4( ) ( ) 4 4 4. Haciendo ahora la ranformada invera, endremo: dando valore a : c. () 4 e 6 c () 4. c ().7869 c ().64 c ().7 c ().9 A parir de ee inane la enrada r () e un ecalón de valor -4. Luego: C () M() R () ( ) 4 8( ) ( ) 4( ) (.) Expandiendo en fraccione imple: 4( ) (.) A B (.) 8 4. Hallamo la ranformada invera, reulando:
Repuea de Régimen Traniorio c. () 8 4e Ahora el origen eá en el puno (6,) y la gráfica pare del valor.9, luego con ea conideracione, conruimo la abla: puno(6,) c () 8 4 4 ordenada : 4.9. puno(7,) c () 8.46.79 ordenada :.79.9.679 puno(8,) c () 8.47 6.8 ordenada : 6.8.9.68 puno(9,) c () 8.89 7.7 ordenada : 7.7.9.7 6 puno(,) c () 8.99 7.8 ordenada : 7.8.9.9 Y volvería a repeire el proceo, quedando la gráfica de la repuea: +4 +.9 +. -. 6 8 4 Tiempo - -.9-4
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. EJERCICIO 4.6. Para el iema que e muera en la figura iguiene, e han realizado una erie de experiencia con el fin de obener la funcione de ranferencia de cada uno de lo bloque que lo componen: W () R() Amplificador Regulador Acuador Plana + + - + W () + enor Se ha obervado que la inegral de la repuea del regulador, cuando e inroduce una eñal ipo ecalón uniario, viene dada por: Para conocer la repuea del enor, e ha inroducido ambién un ecalón unidad y e ha graficado u alida, iendo éa la que e muera a coninuación: e. + C().96 Repuea...... 4.6 Tiempo (eg.) Aendiendo a lo dao del fabricane, e abe que la función de ranferencia del acuador e: ( + ), y e ha obenido el flujograma de la plana, que e el que e muera: R'() 4 / (+) / (+) 6 7 C'()
Repuea de Régimen Traniorio Obener la funcione de ranferencia de cada uno de lo bloque que componen el iema. Regulador Si e deriva la inegral de la repuea, e endrá la repuea, luego: c() e ( ) e ( e Si e hace la ranformada de Laplace de ea repuea, e iene: C().... R() G() G() (. ) ) (. ) Depejando G(): Senor G(). La repuea e la de un iema de egundo orden, que e puede exprear en u forma canónica como: K n G() De la gráfica de la repuea, e iene que: - El iempo de pico ( p ) e. egundo..96 - El obreimpulo (M p ) e.48 4.8%. A parir de eo valore, e pueden obener lo de n y, de acuerdo con la iguiene relacione: M p e.48..678 rad p.6 n eg d n n. n luego uiuyendo en la ecuación de G(), quedará: G K (). ; K ganancia del iema n n 8. 9
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Plana La relación enre la alida C'() y la enrada R'(), viene dada por el flujograma. La obención de la función de ranferencia puede vere en el ejercicio.4.: M'() C'() R'() 6 4 ( ) Suiuyendo en el diagrama de bloque, endremo: R() K E() W () 6 4 + + ( ) - + 8. 9 + W () + C() EJERCICIO 4.7. Se abe que G () ane una enrada repuea 8. R() iene una repuea: iempo y que G () ane una enrada ecalón de ampliud A = iene una repuea: repuea iempo 4
Repuea de Régimen Traniorio de G () e conoce u repuea impulo uniario: repuea Área= iempo de G () e conoce ambién u repuea impulo uniario: Repuea..6 iempo y que G 4 () ane una enrada rampa uniaria iene como repuea:.6 Calcular dicha funcione de ranferencia. Comenzando por G (): La enrada e un ecalón de valor., y egún la gráfica de la repuea, e ve que e un ecalón de ampliud 8, luego hemo amplificado la enrada un valor de: 8 G () G () 8.
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Para G (), puede vere en la gráfica que la repuea e un ecalón de valor y como ea repuea e produce ane una enrada ecalón de ampliud, la función de ranferencia G () e la unidad: G () De G (), e abe por el ipo de repuea que e raa de un iema de primer orden, que e define por la conane de iempo y ganancia como: () G k T k T La ecuación de la repuea e: c() e, para T Inegrando enre e, e obiene el valor del área encerrada, y de ahí el valor de la ganancia. k k k T e k kt T T Área e d e d ( T) T T T T T T Luego la ganancia: k= Del valor de la ordenada en el origen e obiene la conane de iempo, ya que: k Para = : Luego erá: c() k T G () e T T T Para G () la repuea iene por ecuación: g K T () e y e dan do puno de dicha gráfica, por lo que e puede hallar la do incógnia que e ienen en la ecuación: K Para = g (). T K.6.6 T T Para =.6 g (.6).6 e. e T T Luego: lne.6 T.6 ln. () G.6 T.97.7.6 T.6 6
Repuea de Régimen Traniorio G 4 (): En la gráfica vemo que e raa de la repuea de un iema de primer orden a una enrada rampa uniaria, iendo el iema de la forma: () G 4 iendo T el error en el infinio, luego de la gráfica: T.8.8 T =.8 egundo Luego: () G 4.8 T T T T EJERCICIO 4.8. Obener la eñal de alida del iema de conrol de la figura, R () + _ + + R () Y() cuando e le aplican la enrada r () y r (). r () r () - Aplicando uperpoición de la do enrada e calculará la alida. La alida cuando r ()= e: R () + _ Y() 7
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. R () + _ ( ) Y() Y () ( ) R() ( ) Y () R () 6 R () ( ) y cuando r ()=: R () + + Y() Y () R () ( ) Y () R () 6 R() ( ) Aplicando uperpoición: Y () Y () Y () 6 6 R() R() ( ) ( ) ( ) Se obiene ahora la ranformada invera de la repuea: Y () A B ( )( ) A ( ) B ( ) 8
Repuea de Régimen Traniorio Y () y () e e ( e e ) EJERCICIO 4.9. Para el iema del ejercicio.. cuyo diagrama de bloque e muera a coninuación: n() N() r() R() + _ + + c() C() donde la enrada r() e un ecalón de ampliud, y la perurbación n() e de ipo exponencial decreciene, de ampliud unidad y conane de iempo / egundo, calcular la repuea emporal en auencia y preencia de ruido. En el ejercicio.. e iene el cálculo de la funcione de ranferencia. La función de ranferencia alida/referencia e: C() R() ( ) Y la función de ranferencia alida/ruido: C() R() 6 Se calculará la ranformada invera de Laplace de la alida en cada una de la iuacione. Sin ruido, (N() = ): L C() c () 4( ) A () ( ) C En donde, A, B y C e deerminan a parir de: 4 8 A B C B C 9
Problema de Ingeniería de Siema: Siema Coninuo. Concepo báico. Si e comparan lo coeficiene de, y, érmino de lo do miembro de la ecuación anerior, e obiene: A 8 C, A 4 B, A Reolviendo el iema, e iene: B C A Por ano, C() 7 Luego, en e 7 co e () c Con ruido, N () ) c ( () C () C () C () C N R N R L L L aneriormene reuela ya ) ( ) 4 ( () C R L L N () C L L L 4
Repuea de Régimen Traniorio L L co e L en e co e Luego: co e en e 4 co e () c en e en e co e () c 4