Polinomios 7. Teorema del resto. Factorización Polinomios Actividades Aprenderás a Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma a como el valor numérico para = a. Aplicar la regla de Ruffini para factorizar un polinomio. 7. TEOREMA DEL RESTO. FACTORIZACIÓN El valor numérico del polinomio P() = +, para = 1, es 4, porque: P ( 1) = ( 1) ( 1) + = 1+ + = 4 Si dividimos el polinomio P() por + 1: 1 0 1 1 1 1 1 4 65 66 67 Comprueba que el resto de la división P() : Q() coincide con el valor numérico de P() para el opuesto del término independiente de Q() en cada caso. a) P() = 5 1 Q() = 5 b) P() = 5 5 + 4 Q() = + Calcula el resto de la división del polinomio 9 5 0 1 por 1. Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P() = 4a + 9 por es igual a 1. podemos observar que el resto de la división (R = 4) coincide con el valor numérico del polinomio para = 1. 68 Calcula el resto de la división del polinomio P() = 9 + 1 7 por 1. Cuál es el resto de la división de P() por ( 1)? Recuerda Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente. Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P(), para = a, coincide con el resto de la división del polinomio P() por el binomio a, es decir: R = P(a) Al dividir un polinomio, P(), por el binomio a, obtenemos un polinomio cociente, C(), y un resto, R, que es un número. Aplicando la prueba de la división: P() = ( a) C() + R Si sustituimos por a resulta: P(a) = (a a) C(a) + R = 0 + R = R Factorización de polinomios El valor numérico del polinomio P() = +, para = 1, es 0, porque: P(1) = 1 1 + = 1 + = 0 Por tanto, = 1 es una raíz de P(). Por el teorema del resto sabemos que la división de P() por 1 es eacta, es decir, 1 es un divisor de P(). Para factorizar un polinomio, P(), se pueden buscar sus raíces: a, b, c,, de modo que los binomios de la forma a, b, c,, sean factores de su descomposición factorial. P() = ( a)( b)( c) 69 70 71 7 Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio 4 16 como producto de polinomios de grados 1 y con coeficientes enteros. Copia en tu cuaderno y completa los recuadros. a) 5 + 4 1 = ( + )(5 ) b) 5 + 1 = ( )( 1) c) 1 7 + 1 = ( 1)( 1) d) 6 + + 1 = ( + )( + 1) Comprueba que 5 es una raíz del polinomio 9 + 1 5. Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros. a) 4 + 4 + 4 b) 5 4 17 + 5 56 + 0 EJERCICIO RESUELTO Lenguaje matemático Si al factorizar un polinomio obtenemos un factor de la forma ( a), diremos que a es una raíz doble del polinomio; si nos aparece ( a), se trata de una raíz triple, y así sucesivamente. EJERCICIO RESUELTO } Factoriza y halla las raíces de los polinomios: a) P() = + 5 6 Solución a) Las posibles raíces enteras son los divisores de 6: ±1, ±, ± y ±6 Podemos aplicar la regla de Ruffini para hallar la descomposición factorial. 1 5 6 1 1 1 8 0 1 no es una raíz Las raíces de P() son: 1, y 1 5 6 1 1 1 6 1 1 6 0 6 1 0 Entonces: + 5 6 = ( + 1)( )( + ) b) Q() = 4 + b) Etraemos factor común: ( + ) Así, = 0 es una raíz de Q(). Como los divisores de son ±1 y ±, aplicamos la regla de Ruffini para hallar otras raíces. 1 1 1 1 0 1 0 0 = 1 es una raíz de Q(). Por tanto, 4 + = ( 1) ( + ) es la factorización de Q(), porque + no tiene raíces, (ten en cuenta que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo y al sumarle también). 7 } Prueba que todo número entero verifica que su cubo más el doble de su cuadrado más su cuádruple más es múltiplo del número siguiente. Solución Designamos por un número entero cualquiera. Así, + 1 es el siguiente. Definimos el polinomio con las condiciones del enunciado: P() = + + 4 + Comprobamos que + 1 es un divisor de P(). 1 1 4 1 1 1 1 0 Entonces: + + 4 + = ( + 1) ( + + ) 74 Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos, el resultado es múltiplo del número que le antecede. DESAFÍO Prueba que, si e y son dos números enteros consecutivos, entonces + y + (y) es un cuadrado perfecto. 56 57 Sugerencias didácticas Es conveniente dedicar algo de tiempo a comprender la demostración del teorema del resto para facilitar su uso posterior en los ejemplos y ejercicios. Y tiene una consecuencia muy importante: si P(a) = 0, el teorema proporciona una factorización del polinomio P(). Además, para proseguir factorizando, solo debemos repetir el mismo proceso. Así, cuando el ejercicio propuesto consista en hallar las raíces enteras de un polinomio P(), el alumno podrá calcular el valor numérico de este para los valores de la variable que son candidatos a ser sus raíces, es decir, de los divisores del término independiente de P(), seleccionando aquellos en los cuales dicho valor numérico es nulo. Puede ser interesante también proponer a los alumnos que calculen el resto de una división de un polinomio de grado muy alto por 1 o por + 1, para que observen que en estos casos no conviene aplicar la regla de Ruffini, sino que es más conveniente el teorema del resto. Soluciones de las actividades 65 Comprueba que el resto de la división P() : Q() coincide con el valor numérico de P() para el opuesto del término independiente de Q() en cada caso. a) P() = 5 1 Q() = 5 b) P() = 5 5 + 4 Q() = + a) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: y resto: 1 P(1) = 5 5 5 1 = 1 b) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: 4 + 9 + 96 y resto: 84 P ( ) = ( ) 5 5 ( ) + 4 = 84 66 Calcula el resto de la división del polinomio 9 5 0 1 por 1. R = P(1) = 1 9 5 1 0 1 = 16 80
Polinomios 67 Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P() = 4a + 9 por es igual a 1. Aplicando el teorema del resto: P() = 1 4a + 9 = 1 8 16a + 9 = 1 a = 1 68 Calcula el resto de la división del polinomio P() = 9 + 1 7 por 1. Cuál es el resto de la división de P() por ( 1)? Aplicando el teorema del resto: R = P(1) = 9 + 1 7 = 0 Por tanto, 1 es un divisor de P(). 9 1 7 1 6 7 6 7 0 Entonces: P() = ( 1) ( 6 + 7) = ( 1 )( ( 6) + 7) = ( 1) ( 6 + 7) = ( 1) ( 6) + 7( 1) Luego el resto de la división de P() por ( 1) es: 7( 1) 69 Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio 4 16 como producto de polinomios de grados 1 y con coeficientes enteros. 4 16 = ( ) ( + ) ( + 4) 70 Copia en tu cuaderno y completa los recuadros. a) 5 + 4 1 = ( + )(5 ) c) 1 7 + 1 = ( 1)( 1) b) 5 + 1 = ( )( 1) d) 6 + + 1 = ( + )( + 1) a) 5 + 4 1 = ( + 1)(5 1) c) 1 7 + 1 = (4 1)( 1) b) 5 6 + 1 = (5 1)( 1) d) 6 + 5 + 1 = ( + 1)( + 1) 71 Comprueba que 5 es una raíz del polinomio 9 + 1 5. Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros. P 5 = 5 5 9 + 1 5 5 = 15 4 5 4 + 0 5 = 0 Dividimos aplicando la regla de Ruffini: 9 + 1 5 = ( 5) ( 1) 7 Halla las raíces y factoriza los polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros. a) 4 + 4 + 4 b) 5 4 17 + 5 56 + 0 a) Las raíces del polinomio son: 1 y (ambas son dobles) 4 + 4 + 4 = ( 1) ( + ) b) Las raíces del polinomio son: 1 (doble), (doble) y 5 5 4 17 + 5 56 + 0 = ( 1) ( ) ( + 5) 7 Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos, el resultado es múltiplo del número que le antecede. Designamos por un número natural cualquiera. El polinomio que describe las condiciones del enunciado es: P() = + P(1) = 1 + 1 = 0 P() es múltiplo del binomio 1, es decir, que el resultado es múltiplo del número natural anterior. Desafío 74 Prueba que, si e y son dos números enteros consecutivos, entonces + y + (y) es un cuadrado perfecto. Si consideramos y = + 1 y sustituimos: + ( + 1) + ( + 1) = + + + 1+ ( + + 1) = 4 + + + + 1 Factorizando este polinomio: 4 + + + + 1 = ( + + 1) Lo que prueba que + y + (y) es un cuadrado perfecto. 81
Polinomios Qué tienes que saber? 58 QUÉ tienes que saber? Ten en cuenta Un monomio es una epresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o más variables con eponente natural, que forman la parte literal. El grado de un monomio es la suma de los eponentes de las variables de la parte literal. Ten en cuenta Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado, llamados términos. El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Ten en cuenta El número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P(), se llama valor numérico y se escribe P(a). Si el valor numérico de P() para = a es igual a 0, es decir, P(a) = 0, se dice que a es raíz del polinomio. Teorema del resto Ten en cuenta Al dividir dos polinomios, P() y Q(), se obtienen dos polinomios, C() y R(), que verifican que: P() = Q() C() + R() El grado del polinomio cociente, C(), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P(), y el polinomio divisor, Q(). El grado del polinomio resto, R(), es menor que el grado del polinomio divisor. El valor numérico de un polinomio, P(), para = a, coincide con el resto de la división del polinomio P() por el binomio a. R = P(a) Resuelve las operaciones: a) 5 + 1 b) 7 5 ( ) a) La suma se puede realizar porque los monomios son semejantes. b) Al multiplicar, el grado del monomio resultante es la suma de los grados de los factores. Monomios Polinomios 5 + 1 = ( 5 + 1) = 17 7 5 ( ) = 7 ( ) 5+ = 14 8 Escribe los polinomios ordenados e indica su coeficiente principal y su grado: a) 4 + + 5 b) 8 5 + 4 4 Polinomios Coeficiente principal Grado + 5 + 4 1 8 5 + 4 4 8 5 Determina si los valores 1 y son raíces del polinomio: P() = + 1 Halla la descomposición factorial de este polinomio y determina todas sus raíces. P(1) = 1 + 1 1 1 = + 1 1 = 0 1 es una raíz de P(). P ( ) = ( ) + ( ) ( ) 1 = 4 + 4 + 6 1 = 15 no es una raíz de P(). Aplicamos la regla de Ruffini: 1 1 1 1 4 1 4 1 0 1 1 0 Las raíces de P() son: 1, 1 y 1 División de polinomios Halla el cociente y el resto de la división: ( 4 + + + 5) : ( + + 1) Dividendo 4 + 1 + + 5 + + 1 4 1 + 10 4 + 1 + + 5 4 + 19 + 4 10 + 6 + 5 4 10 0 10 4 Resto 10 4 5 Regla de Ruffini. Teorema del resto Divisor Cociente + 1 = ( 1)( + 1)( + 1) Epresiones algebraicas. Monomios 75 76 77 78 79 80 81 8 8 84 85 Escribe cinco enunciados y halla las epresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables. Halla dos monomios cuya suma sea 11. Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio. Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta. a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio. b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio. c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio. Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 4 n + a n = n? Halla dos monomios cuyo producto sea 7 y cuyo cociente sea. Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5 n es un monomio de grado 7. Copia y simplifica las siguientes epresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios. 9 4 7 8 5 11 4 + 9 5 6 + 6 4 Determina un monomio cuyo cuadrado sea: a) 8 c) 1 4 b) d) 4 6 9 Eiste algún monomio cuyo cuadrado sea 5? En las siguientes operaciones, m y n son números naturales. 5 n Actividades Finales 4 n+ n 1 m 15 : m 1 m+ Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. Para qué valores de n y de m tienen grado 4? Sea la longitud del lado de un cubo. Es un monomio la epresión con la que calculamos su volumen? De qué grado? 86 87 88 Razona si es posible epresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen del cubo de arista. Lo es su cuadrado? Estudia si pueden epresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras. Responde a estas cuestiones: a) Es un monomio la epresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8? De qué grado? b) Y la epresión de su área? De qué grado? c) Si las diagonales midiesen 6 y 8, serían monomios las epresiones de su perímetro y de su área? Polinomios. Valor numérico 89 90 91 9 9 94 95 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio: P() = + 1, para = 1 y para =. Comprueba si 1 es una raíz de los polinomios: a) P() = 40 9 + 1 b) Q() = 4 + 1 c) R() = + 7 d) S() = 4 6 + 9 Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio a + a, para = a, es igual a 1. Calcula el valor de a y de b si = 0 y = son dos raíces del polinomio: P() = 5 + a + b Determina el valor de a y de b en la epresión del polinomio P() = 4 9 + a + b, sabiendo que dos de sus raíces son = 1 y =. Estudia si puede ocurrir que 8a 0 sea una raíz del polinomio P() = a n n + + a 1 + a 0 con coeficientes enteros y grado n 1. Halla dos polinomios, P() y Q(), tales que el grado del polinomio suma, P() + Q(), sea menor que los grados de P() y de Q(). 59 Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Identificar los elementos que caracterizan los monomios y polinomios. Realizar operaciones con monomios y polinomios. Utilizar la regla de Ruffini y aplicar el teorema el resto para factorizar polinomios. Actividades finales Soluciones de las actividades 75 Escribe cinco enunciados y halla las epresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables. Respuesta abierta, por ejemplo: El área de un rectángulo cuyos lados miden e y es y. Las variables son e y. El perímetro de un cuadrado de lado es 4. La variable es. El área de un rombo cuyas diagonales miden y y es y. Las variables son e y. El perímetro un romboide cuyos lados miden e y es + y. Las variables son e y. El área de un triángulo cuya base mide y cuya altura mide y es y. Las variables son e y. 76 Halla dos monomios cuya suma sea 11. Respuesta abierta, por ejemplo: los monomios 11 y 11 suman 11. 77 Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio. Respuesta abierta, por ejemplo: si los monomios son y entonces la suma del primero con el cuadrado del otro es. 8
Polinomios 78 Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta. a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio. c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio. b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio. a) Falsa. Si los monomios son y, su suma + no es un monomio. b) Falsa. Si los monomios son y, su suma es el monomio. c) Verdadera 79 Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 4 n + a n = n? = 1 a a = 4 n = n a n = (1 a) n 4 n = n n = 80 Halla dos monomios cuyo producto sea 7 y cuyo cociente sea. Respuesta abierta, por ejemplo: 5 y 81 Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5 n es un monomio de grado 7. 5 n = 10 + n + n = 7 n = 4 8 Copia y simplifica las siguientes epresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios. 9 4 7 8 + 9 4 5 5 11 + 6 6 4 9 4 = 7 8 Es un monomio. + 9 = 7 4 + 4 = 9 4 Es un monomio. 4 5 5 = 5 11 No es un monomio. 9 + 6 6 = 1 4 + 4 No es un monomio. 8 Determina un monomio cuyo cuadrado sea: a) 8 b) c) 1 4 d) 4 6 9 Eiste algún monomio cuyo cuadrado sea 5? 1 a) 4 b) c) d) El grado del cuadrado de cualquier monomio es par, por lo que 5 no es el cuadrado de ningún monomio. 84 En las siguientes operaciones, m y n son números naturales: 5 n 4 n+ m 15 : m 1 n 1 m+ Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. Para qué valores de n y de m tienen grado 4? n + es un número par 5 n 4 n+ = 0 n+ 15 n 1 m : m 1 = 5 m+ m+ m + es un número par. n + = 4 n = 1 m + = 4 m = 1 85 Sea la longitud del lado de un cubo. Es un monomio la epresión con la que calculamos su volumen? De qué grado? El volumen del cubo es, que es un monomio de grado. 86 Razona si es posible epresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen del cubo de arista. Lo es su cuadrado? La longitud del lado del cubo cuyo volumen es se epresa mediante el monomio: Su cuadrado también es un monomio: 8
Polinomios 87 Estudia si pueden epresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras. El perímetro del rectángulo naranja se puede epresar mediante el monomio 6. Su área es el monomio. El perímetro del rectángulo azul es: +, no se puede epresar mediante un monomio 6. Sin embargo, su área es el monomio. 88 Responde a estas cuestiones: a) Es un monomio la epresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8? De qué grado? b) Y la epresión de su área? De qué grado? c) Si las diagonales midiesen 6 y 8, serían monomios las epresiones de su perímetro y de su área? a) Las semidiagonales del rombo miden y 4, así que, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es ( ) + ( 4 ) = 5, luego el perímetro del rombo es el monomio 0, cuyo grado es 1. b) El área del rombo es 4, que es un monomio de grado. c) Si las semidiagonales miden y 4, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es ( ) + ( 4 ) = 9 + 16 4, que no es un monomio. Luego el perímetro del rombo no puede epresarse como un monomio. d) En este caso, el área del rombo es 4, que es un monomio de grado. 89 Calcula el valor numérico del polinomio P() = + 1, para = 1 y para =. P(1) = 1 1 + 1 1 = 0 P() = 8 4 + 1 = 5 90 Comprueba si 1 es una raíz de los polinomios: a) P() = 40 9 + 1 c) R() = + 7 b) Q() = 4 + 1 d) S() = 4 6 + 9 a) P( 1) = + 1 + 1 = 0 1 es una raíz. c) R( 1) = 1 + + 7 = 11 1 no es una raíz. b) Q( 1) = + + 1 = 6 1 no es una raíz. d) S( 1) = 6 + 9 = 0 1 es una raíz. 91 Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio a + a, para = a, es igual a 1. P(a) = a a + a = a a = 1 9 Calcula el valor de a y de b si = 0 y = son dos raíces del polinomio: P() = 5 + a + b 0 es una raíz P(0) = 0 b = 0 es una raíz P() = 0 96 8 + a = 0 a = 44 9 Determina el valor de a y de b en la epresión del polinomio P() = 4 9 + a + b, sabiendo que dos de sus raíces son = 1 y =. 1 es una raíz P(1) = 0 1 9 + a + b = 0 a + b = 8 es una raíz P() = 0 81 81 + a + b = 0 b = a Entonces: a a = 8 a = 4 b = 1 94 Estudia si puede ocurrir que 8a 0 sea una raíz del polinomio P() = a n n + + a 1 + a 0 con coeficientes enteros y grado n 1. Si a 0 = 0, entonces 0 es una raíz del polinomio P() = a n n + + a 1. 95 Halla dos polinomios, P() y Q(), tales que el grado del polinomio suma, P() + Q(), sea menor que los grados de P() y de Q(). Respuesta abierta, por ejemplo: Si P() = + 8 1 y Q() = + +, entonces P() + Q() = 10 +. 84
Polinomios Polinomios Actividades Finales 96 Epresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están epresadas en centímetros. 10 Realiza el producto: ( + a)( + b + c) 11 Calcula el cociente y el resto de la división: ( 4 + 7 54 18 6) : ( 18 ) 15 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces. 97 98 99 100 101 10 15 a) Cuál es el grado del polinomio hallado? b) Calcula el área de la figura si = 1,5 cm. Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P() y Q(). a) P() = 4 + 5 Q() = b) P() = + + + 1 Q() = 4 + + Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades. a) ( + a + 1) ( + b + 1) = 5 + 4 + + 1 b) ( a) ( b) = 5 + + + Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios: ( 1 + + n n+1 ) ( 1+ ) Dados dos polinomios, P() y Q(), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio ap() + bq()? Y del polinomio P () Q ()? Justifica tus respuestas. Desarrolla las epresiones. a) ( 4 4 + ) c) ( 1 7 ) b) ( 1+ 8 ) d) ( 5 y 7 y ) Desarrolla estas epresiones. a) ( 4 + y + z ) c) ( ) b) ( 1+ + y ) d) ( + ) 6 104 105 106 107 108 109 110 111 c b Construye una figura que represente el producto: ( + a)(y + b) Calcula el cociente y el resto de las divisiones: a) ( + 5 + 8) : ( + 5) b) ( 4 + + ) : ( + 1) c) ( 5 5 4 4 + 1) : ( ) d) ( 10 + 5 ) : ( ) ac ab Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. Grado Dividendo divisor cociente a 1 O O 1 5 O Halla un polinomio tal que, al dividirlo por, dé como cociente + 4 y como resto + 1. Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones. a) ( 5 + 1) : ( + 1) b) ( 5 + 1) : ( 1) c) ( 4 + + ) : ( ) Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ( 6 + 4 9) : ( ) b) ( + + ) : ( 1) c) ( 9 4 + + ) : ( 1 ) d) ( 4 + 8) : ( ) Puede ser + + 1 el resto de la división de un polinomio por +? El cociente de la división de P() = + + 6 por Q() = + 5 es C() = 7 +. a) Qué números deben ocupar los recuadros? b) Cuál es el resto de la división? 11 114 115 116 117 118 Dado un polinomio, P(), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P () + 1 por P(). Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división. a) Dividendo: 17 + 1 Divisor: + 1 b) Dividendo: 16 + 15 + + Divisor: 1 c) Dividendo: 14 4 1 + + 1 Divisor: Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 6 + a 4 1 por el polinomio + sea igual a. Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio a + 10 por, el resto es nulo. Halla el valor de a para el que + a + 9 es divisible por el polinomio +. Halla el valor de a y b para que + a + b tenga como raíz = 4 y que el resto de dividirlo por + sea. Factorización de polinomios 119 10 11 Factoriza los polinomios. a) + 6 + b) a a + a c) 4 5 d) 1 4 Factoriza las epresiones sacando factor común. a) 5( y) 4ay + 4a b) a( + y) + 8b + 4by Etrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las epresiones. a) 9( y) 4 ( y) b) ( + y) + ( + y) + + y c) ( y) ( y) + y 1 Se puede factorizar el polinomio + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales? 1 14 Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 57 40, sin calcular eplícitamente este número. Factoriza los polinomios propuestos. a) 4 + + 6 b) + 7 4 8 c) 4 5 + 5 + 5 6 d) 1 10 16 17 18 19 9 1 + 16 4 1 + 1 y 1 + 1, y 6 + 11 6 1, 1 y Halla las raíces de estos polinomios. a) ( ) ( + ) + 1 b) ( 4) ( + 8) c) ( 0) ( + 1) ( 5) Factoriza los siguientes polinomios. a) + 5 14 b) + 6 7 c) + 18 + 40 Factoriza estos polinomios. a) 5 + 5 b) 4 401 c) 4 + 4 4 EJERCICIO RESUELTO } Factoriza la epresión: Solución ( y ) + 8z( y ) + 16z Llamamos w a la epresión: y Así, reducimos la epresión del ejercicio a: w + 8zw + 16z Observamos que esta epresión corresponde al cuadrado de una suma: w + 8 zw + 16 z = ( w + 4 z ) Sustituimos la epresión original de w: ( w + 4 z ) = ( y + 4 z ) La factorización de la epresión corresponde al cuadrado de un trinomio. Factoriza las epresiones. a) ( + y ) + z ( + y ) + z b) + ( y + z ) + ( y + z ) c) ( 4 y ) 8 z ( 4 y ) + 16 z d) ( 1) 6 y ( 1) + 9 y 60 61 96 Epresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están epresadas en centímetros. a) Cuál es el grado del polinomio hallado? b) Calcula el área de la figura si = 1,5 cm. P() = 6 + (6 + ) 15 4 = 4 + 0 + 96 a) P() tiene grado. b) P(1,5) = 4 1,5 + 0 1,5 + 96 = 1 cm 15 6 97 Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P() y Q(). a) P() = 4 + 5 Q() = b) P() = + + + 1 Q() = 4 + + a) P() + Q() = 4 + 7 P() Q() = 4 + P() Q() = 4 4 + 8 + 9 + 10 b) P() + Q() = 4 + + + P() Q() = 4 + + 1 P() Q() = 7 + 6 + 4 + + + + 85
Polinomios 98 Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades. a) ( + a + 1) ( + b + 1) = 5 + 4 + + 1 b) ( a) ( b) = 5 + + + a) ( + a + 1) ( + b + 1) = 5 + a 4 + ( + b) + ( ab + 1) + ( a + b) + 1 = 5 + 4 + + 1 Igualando los coeficientes: + b = 1 b = 1 a + b = 0 a = 1 b) ( a) ( b) = 5 a b + ab = 5 + + + Igualando los coeficientes: a = a = b = 1 b = 1 99 Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios: ( 1 + + n n+1 )( 1+ ) ( 1 + + n n+1 )( 1+ ) = 1 + + + + n + 1 n + 1 n + = 1 n + 100 Dados dos polinomios, P() y Q(), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio ap() + bq()? Y del polinomio P () Q ()? Justifica tus respuestas. Si r es una raíz de ambos polinomios entonces: P(r) = Q(r) = 0 Por tanto: ap(r) + bq(r) = 0 r es una raíz de ap() + bq(). Del mismo modo: P (r) Q (r) = 0 r es una raíz de P () Q (). 101 Desarrolla las epresiones. a) ( 4 4 + ) c) ( 1 7 ) ( ) b) ( 1+ 8 ) d) 5 y 7 y c) 16 8 + 16 4 + 4 b) 64 6 + 16 + 1 c) 49 4 14 + 1 d) 5 4 y 70 y + 49 y 4 10 Desarrolla estas epresiones. a) ( 4 + y + z ) c) ( ) b) ( 1+ + y ) d) ( + ) a) 16 + 9y + 4z + 4y + 16z + 1yz c) 6 + 1 8 b) 9 + 4y + 1y 6 4y + 1 d) 6 + 6 4 + 1 + 8 10 Realiza el producto: ( + a)( + b + c) ( + a)( + b + c) = + a + b + c + ab + ac 104 Construye una figura que represente el producto: ( + a)(y + b) b ab y ay ( + a)(y + b) = y + b + ay + ab 105 Calcula el cociente y el resto de las divisiones: a) ( + 5 + 8) : ( + 5) c) ( 5 5 4 4 + 1) : ( ) b) ( 4 + + ) : ( + 1) d) ( 10 + 5 ) : ( ) a) Cociente: + 5 Resto: 8 17 c) Cociente: + + Resto: 1 b) Cociente: + 1 Resto: + d) Cociente: 5 + 1 Resto: 10 + 86
Polinomios 106 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. Grado Dividendo Divisor Cociente 1 1 5 107 Halla un polinomio tal que, al dividirlo por, dé como cociente + 4 y como resto + 1. ( ) ( + 4 ) + + 1 = + 4 7 108 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones. a) ( 5 + 1) : ( + 1 ) b) ( 5 + 1) : ( 1 ) c) ( 4 + + ) : ( ) a) Cociente: 4 + + 1 Resto: 0 b) Cociente: 4 + + + + 1 Resto: c) Cociente: + + 6 + 19 Resto: 59 109 Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ( 6 + 4 9) : ( ) c) ( 9 4 + + ) : ( 1 ) b) ( + + ) : ( 1) d) ( 4 + 8) : ( ) a) Cociente: + Resto: 9 b) Cociente: 1 + 4 9 8 Resto: 7 8 c) Cociente: + + + 1 Resto: 1 d) Cociente: 1 Resto: 5 110 Puede ser + + 1 el resto de la división de un polinomio por +? No puede ser pues el grado del resto de una división ha de ser menor que el grado del divisor. 111 El cociente de la división de P() = + + 6 por Q() = + 5 es C() = 7 +. a) Qué números deben ocupar los recuadros? b) Cuál es el resto de la división? a) P() = Q() C() + R() Como el grado de Q() es 1, el resto de la división debe ser un número para que su grado sea menor. Entonces: + + 6 = ( + 5) ( 7 + ) + a + + 6 = + + 5 ( ) + 5 + a Así, en el primer recuadro de P() debe aparecer un y en el segundo un. En el recuadro de C() falta el número 41. b) Para hallar el resto de la división: = 5 41 + a a = 08 11 Calcula el cociente y el resto de la división: ( 4 + 7 54 18 6) : ( 18 ) Simplificamos los radicales: ( 4 + 6 6) : ( ) Dividimos ambos polinomios por : ( 4 + 6 ) : ( ) ( ) + + Aplicamos la regla de Ruffini para dividir y obtenemos el cociente: C ( ) = + + Como la división es eacta, el resto es 0. 11 Dado un polinomio, P(), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P() + 1 por P(). Observamos que al dividir + 1 por obtenemos como cociente y como resto 1. Del mismo modo, al dividir P() + 1 por P() obtenemos como cociente P() y como resto 1. 87
Polinomios 114 Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división. a) Dividendo: 17 + 1 Divisor: + 1 b) Dividendo: 16 + 15 + + Divisor: 1 c) Dividendo: 14 4 1 + + 1 Divisor: a) R = P( 1) = 0 b) R = P(1) = 5 c) R = P() = 14 115 Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 6 + a 4 1 por el polinomio + sea igual a. Aplicando el teorema del resto: P ( ) = ( ) 6 + a ( ) 4 ( ) 1 = 1458 + 81a + = a = 18 116 Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio a + 10 por, el resto es nulo. Aplicando el teorema del resto: P() = 0 a + 10 = 0 4a = 0 a = 0 117 Halla el valor de a para el que el + a + 9 es divisible por el polinomio +. Aplicando el teorema del resto: P ( ) = 0 ( ) + ( ) a ( ) + 9 = 0 a + 9 = 0 a = 118 Halla el valor de a y b para que + a + b tenga como raíz = 4 y que el resto de dividirlo por + sea. Aplicando el teorema del resto: P(4) = 0 4 + a 4 + b = 0 b = 16 4a P ( ) = ( ) + a ( ) 16 4 a = 6a 1 = 5 b = 6 119 Factoriza los polinomios. a) + 6 + b) a a + a c) 4 5 d) 1 4 a) ( + 1) b) a( 1) c) ( + 5)( 5) d) (1 + )(1 ) 10 Factoriza las epresiones sacando factor común. a) 5( y) 4ay + 4a b) a( + y) + 8b + 4by a) 5( y) + 4a( y) = (5 + 4a)( y) b) a( + y) + 4b( + y) = (a + 4b)( + y) = (a + b)( + y) 11 Etrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las epresiones. a) 9( y) 4 ( y) b) ( + y) + ( + y) + + y c) ( y) ( y) + y a) ( 9 4 ) ( y ) = ( + )( )( y ) b) ( + + 1) ( + y ) = ( + 1 ) ( + y ) c) ( + 1) ( y ) = ( 1 ) ( y ) 1 Se puede factorizar el polinomio + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales? Suponemos que es posible factorizar el polinomio + 7 = (a + b)(c + d) con a y c no nulos. Entonces si = b a b a + 7 = a b a + b c b a + d = 0 b a + 7 = 0 La suma de números positivos no puede resultar 0, así que concluimos que no es posible factorizar + 7 de esta forma. 1 Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 57 40, sin calcular eplícitamente este número. n = 57 40 = (57 + 40)(57 40) = 97 17 14 Factoriza los polinomios propuestos. a) 4 + + 6 c) 4 5 + 5 + 5 6 b) + 7 4 8 d) + 10 a) ( + 1)( )( ) c) ( 1)( + 1)( )( ) b) ( )( + )( + 7) d) ( + 1)( + )( 5) 88
Polinomios 15 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces. 9 1 + 16 4 1 + 1 y 1 + 1, y 6 + 11 6 1, 1 y 9 1 + 16 4 y 1 + 1, 1 y + 1 1 6 + 11 6 1, y 16 Halla las raíces de estos polinomios. a) ( ) ( + ) + 1 b) ( 4) ( + 8 ) c) ( 0) ( + 1) ( 5 ) a) =, =, = 1 b) = 0, =, =, = 4 c) = 0, = 1, = 5 17 Factoriza los siguientes polinomios. a) + 5 14 b) + 6 7 c) + 18 + 40 a) ( )( + 7) b) ( )( + 9) c) ( + 4)( + 5) 18 Factoriza estos polinomios. a) 5 + 5 b) 4 401 c) 4 + 4 4 a) ( 5) ( + 1) b) ( 7) ( + 7) ( + 49) c) ( ) ( + ) ( + + 1) 19 Factoriza las epresiones. a) ( + y ) + z ( + y ) + z c) ( 4 y ) 8 z ( 4 y ) + 16 z b) + ( y + z ) + ( y + z ) d) ( 1) 6 y ( 1) + 9 y a) ( + y + z ) c) ( 4 y + 4 z ) b) ( + y + z ) d) ( 1 y ) 89