SGUICEG047EM33-A17V1 Bloque 33 Guía: Ubicación de puntos, distancia longitudes en el plano cartesiano
TABLA DE CORRECCIÓN UBICACIÓN DE PUNTOS, DISTANCIAS Y LONGITUDES EN EL PLANO CARTESIANO N Clave Dificultad Estimada 1 B Comprensión Media E Fácil 3 A Fácil 4 E Media 5 B Difícil 6 D Media 7 A Difícil 8 C Media 9 C Media 10 D Media 11 C Comprensión Fácil 1 B Comprensión Media 13 C Media 14 A Difícil 15 A Media 16 E Difícil 17 E Media 18 C Media 19 C Difícil 0 D Difícil 1 D Difícil B Media 3 C Difícil 4 D Media 5 D Media
1. La alternativa correcta es B. Comprensión Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen del promedio de las coordenadas respectivas de los puntos extremos. En este caso, el promedio entre la primera coordenada del punto P la primera coordenada del punto Q a 1 b 1 1 1 1 a b es a b 1. Por otro lado, el promedio entre la segunda coordenada del punto P la segunda coordenada del punto m Q es n 1 m 1 m n n. 4 Por lo tanto, el punto medio del segmento PQ es a b m n 1,. 4. La alternativa correcta es E. El punto medio de un segmento cuos puntos extremos son (x 1, 1 ) (x, ) se calcula como x1 x 1,. Luego, si P (3, 4) Q (8, ), entonces el punto medio de PQ es 3 8 4 11 11,,, 1.
3. La alternativa correcta es A. El punto medio de un segmento cuos puntos extremos son (x 1, 1 ) (x, ) se calcula como x1 x 1,. Luego, si P (5, 7), Q (3, ) el punto medio es (4, 1), entonces 5 3 7 (4, 1) =, Igualando la segunda componente, resulta 1 = 7. Entonces, = ( 7) = 5. 4. La alternativa correcta es E Dada una circunferencia de centro O (6, 8) un punto P (18, 13) perteneciente a ella, se puede determinar el radio r mediante la fórmula de distancia: r d OP 18 6 13 8 1 5 169 13 Dado el centro O (6, 8) de la circunferencia perteneciente al cuadrante I, se debe tener en cuenta que para que la circunferencia pase por el cuadrante * dos (II) es necesario que el radio sea maor que 6. * cuatro (IV) es necesario que el radio sea maor que 8. * tres (III) es necesario que el radio sea maor que la distancia desde el centro de la circunferencia al origen del plano cartesiano, o sea, 6 8 100 10. Entonces, la circunferencia pasa por los cuadrantes I, II, III IV.
5. La alternativa correcta es B. Si el vértice ubicado en el punto M se mueve hasta la posición (6, ), resulta la figura adjunta. Para determinar su área, se puede considerar el rectángulo de líneas punteadas, de lados 6 3, restarle el área del triángulo rectángulo superior, de catetos 1 6, el área del triángulo rectángulo inferior, de catetos. 3 4 6 x Por lo tanto, el área del nuevo cuadrilátero resultante, en unidades cuadradas, es 1 6 Área = 6 3 = 18 3 = 13 6. La alternativa correcta es D. Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen del promedio de las coordenadas respectivas de los puntos extremos. En este caso, el promedio entre la primera coordenada del punto M la primera coordenada del punto 4 k N es k, según el enunciado es igual a p. Por otro lado, el promedio entre la segunda p 5 p 7 coordenada del punto M la segunda coordenada del punto N es, según el enunciado es igual a (1 k). p 7 Entonces, se puede plantear el sistema + k = p ; = 1 k. Al despejar k en ambas ecuaciones 7 e igualarlas, resulta k = p = 1 p p 7 p + = 1 Por lo tanto, al multiplicar toda la ecuación por resolverla, resulta p + 4 = p 7 p p = 7 4 p = 13
7. La alternativa correcta es A. Si AC es una diagonal del paralelogramo ABCD, entonces BD es la otra diagonal. Como las diagonales de un paralelógramo se dimidian, entonces el punto medio de AC es igual al punto medio de BD. Luego, si A (1, ), B (3, 4), C (1, 7) D (p, m), entonces: x A x C, A C x B x D, B 11 7 3 p 4 m,, 9 3 p 4,, m D Igualando las coordenadas, resulta = 3 + p p = 1 9 = 4 + m m = 5 Por lo tanto, las coordenadas del punto D son ( 1, 5). 8. La alternativa correcta es C. Al graficar los puntos los segmentos mencionados, se tiene: I) Verdadera, a que RQ es un segmento horizontal PQ es un segmento vertical. II) Verdadera, a que PQ es un segmento vertical el eje de las ordenadas corresponde al eje Y. III) Falsa, a que RP es la hipotenusa del triángulo RQP, rectángulo en Q. Entonces, RP RQ. 1 1 R 3 Q 3 P x Por lo tanto, solo las afirmaciones I II son verdaderas.
9. La alternativa correcta es C. F E A(,0) 4 G(6, 0) D(10, 0) x h 4 4 B C Un hexágono regular tiene todos los lados congruentes entre sí. Al trazar las diagonales, se forman seis triángulos equiláteros congruentes. Luego, si la diagonal AD es igual a 8, entonces el lado de cada triángulo es igual a 4. El triángulo GDC es equilátero, de base GD la altura h es transversal de gravedad, por lo cual une el punto medio del lado GD con el vértice opuesto C, su longitud es lado 3 = 4 3 = 3 Luego, el vértice C se puede obtener desplazando G unidades a la derecha h unidades hacia abajo. Por lo tanto, el punto C tiene coordenadas (8, 3).
10. La alternativa correcta es D. Como A C tienen la misma abscisa, entonces el segmento AC es paralelo al eje Y. Como B C tienen la misma ordenada, entonces el segmento BC es paralelo al eje X. Entonces, significa que BCA = 90. Luego: AC BC, lo que (1) BCA = 5 CAB. Con esta información, es posible determinar el CAB, a que BCA 90 CAB = = 18. 5 5 () ABC = 7. Con esta información, es posible determinar el CAB, a que el ABC el CAB son complementarios. Entonces CAB = (90 ABC) = (90 7 ) = 18. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (). 11. La alternativa correcta es C. Comprensión Aplicando la fórmula de la distancia entre los puntos A B d AB x x = 1 1 ( 6 ) (4 1) 5 ( 4) (3) 16 9 = 5 1. La alternativa correcta es B. Comprensión La distancia entre un punto (c, d) el origen se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como c d. Luego: I) Falsa, a que si m = 3p, el punto B se puede expresar como ( 3p, p) = ( 6p, p). Entonces, OB = ( p 6p) ( p) 36 p p 37.
II) Falsa, a que si p = m, el punto B se puede expresar como (m, m). Entonces, OB = ( m) ( m) 4m m 5m. III) Verdadera, a que si p = m, el punto B se puede expresar como (m, m). Entonces, OB = ( m) m ( m) 4m 4m 8. Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 13. La alternativa correcta es C. Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, se obtiene el triángulo representado en la figura, de altura 13 base 8. (4, 13) Entonces, el área es base altura 138 5 (0, 0) x (8, 0) 14. La alternativa correcta es A. En la figura se ubican los puntos en un gráfico, tomando a como unidad. Considerando el lado PR como base, el cual mide 4a unidades, entonces la altura (h) que cae sobre la base mide 3a unidades. 3a P Por lo tanto, el área del triángulo PQR es base altura PR h 4a 3a Área = = 6a² a a a R x Q 3a h
15. La alternativa correcta es A. La distancia entre A(, 1) B(8, 1) es igual a 6. Luego, el triángulo equilátero ABC tiene lado l de longitud 6. Como ABDE es un rectángulo, la medida de BD es igual a la altura h del triángulo l 3 6 3 equilátero ABC, es decir, BD h 3 3 Con lo anterior, se sabe que las coordenadas del punto D son 8, 1 3 3. Entonces, la distancia entre los puntos A D es igual a d 8 1 3 3 1 6 3 3 36 7 63 3 7 AB Por lo tanto, la distancia entre los puntos A D es igual a 3 7. (Observación: La distancia entre A D también se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras). 16. La alternativa correcta es E. Considerando que QS es una diagonal del cuadrado, es posible determinar el perímetro a través de la diagonal, a que perímetro = lado 4 diagonal = lado perímetro = 4 diagonal diagonal La distancia entre un punto (c, d) el origen se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como c d. Luego, QS = ( ) 1 4 1 5. Por lo tanto, el perímetro del cuadrado PQRS es 5 10 unidades.
17. La alternativa correcta es E. La distancia entre los puntos (a, b) (c, d) se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como ( c a) ( d b). Por lo tanto, la longitud del segmento RS es 6 3 6 3 6 6 5 6 4 6 5 6 16 6 46 18. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, a que se forma un cuadrado de lado 6. Luego, el perímetro es cuatro veces la medida del lado, siendo 4. II) Verdadera, a que cada diagonal de un cuadrado mide el lado por, siendo 1. III) Falsa, a que el área es lado² = 6 = 7. Por lo tanto, solo las afirmaciones I II son verdaderas. 19. La alternativa correcta es C. Considerando que el triángulo PQR es isósceles en Q, entonces la altura que sale de Q llega al punto medio del lado PR. Luego, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (, ) el punto medio de PR. El punto medio de un segmento cuos puntos extremos son ( x 1, 1) ( x, ) se calcula como x x 1 1, 0 0. Entonces, el punto medio de PR es, = ( 1, 1).
Entonces, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (, ) el punto medio de PR. La distancia entre dos puntos ( x 1, 1) ( x, ) se calcula como altura que cae sobre el lado PR mide ( ( 1)) ( 1) = ( x x ) ( 1 1) 3 ( 3) 3 = 18 =, entonces la El lado PR mide ( 0 ( )) ( 0) = = 8 = Luego, el área del triángulo PQR es base altura = PR h 3 = 6. 0. La alternativa correcta es D. Aplicando la fórmula de la distancia entre A(, ) B(1, m), resulta: d AB 5 = x x B A B A ( 1 ( )) ( m ) 5 = (1 ) m 4m 4 5 = 9 m 4m 4 5 = m 4m 13 (Elevando al cuadrado) 5 = m² 4m + 13 0 = m² 4m 1 (Factorizando) 0 = (m 6)(m + ) Luego, m puede valer 6 o, pero como m es un número positivo, entonces m = 6. Con ello, el punto C tiene coordenadas (1, m 1) = (1, 5). Aplicando la fórmula de la distancia entre A(, ) C(1, 5), se tiene: d AC x x = 1 1 ( 1 ( )) (5 ) = ( 1 9 9 18 3 ) 3 = Por lo tanto, la distancia entre el punto A el punto C es 3.
1. La alternativa correcta es D. La transversal de gravedad es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Entonces, la longitud de la transversal de gravedad que cae sobre el lado AB es la distancia entre el punto C el punto medio de AB. El punto medio M de AB es x A x B, A B 3 ( 1) 31 4 4,, = (, ). Por lo tanto, la longitud de la transversal de gravedad del triángulo que cae sobre el lado AB, o sea, la distancia entre C(1, 3) M(, ), es d CM x x B A B A ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) 10. La alternativa correcta es B Dado que el segmento AB es vertical de longitud 4, para que el triángulo ABC sea rectángulo en B, es necesario que el segmento BC sea perpendicular al segmento AB. Es decir, debe pertenecer a la recta = 9. Además, el triángulo ABC cumple con el teorema de Pitágoras, por lo cual, dado que el cateto AB es igual a 4 la hipotenusa AC es igual a 5, el cateto BC debe ser igual a 3, por tríos pitagóricos. Luego, C está tres unidades a la derecha o tres unidades a la izquierda de B. Por ende, C tiene coordenadas (5, 9) o ( 1, 9). De las coordenadas propuestas, la que está dentro de las opciones es ( 1, 9).
3. La alternativa correcta es C I) Verdadera, a que el diámetro AB tiene puntos A(3, 5) B(7, 9). Luego, el centro de la circunferencia O corresponde al punto medio de los extremos del diámetro. 3 7 9 5 10 14 O,, 5, 7 II) Falsa, a que se tiene que la longitud del radio r de la circunferencia es igual a la mitad de la longitud de su diámetro. Luego, r 7 3 9 5 4 III) Verdadera, a que PO = (7 5) (5 7) ( ) 4 4 8. Como esta distancia es igual al radio, entonces el punto P pertenece a la circunferencia. Por lo tanto, solo las afirmaciones I III son verdaderas. 4. La alternativa correcta es D. La distancia entre los puntos (a, b) (c, d) se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como ( c a) ( d b ). Luego: I) No se cumple, a que si m = 1 p = 3, los puntos son Q( 1, ) R(, ). Entonces, QR = ( ( 1)) ( ) 3 0 9 10. II) Se cumple, a que si m = 1 p = 3, los puntos son Q( 1, 0) R(, ). Entonces, QR = ( ( 1)) ( 0) 3 9 4 13 10. III) Se cumple, a que si m = 3 p =, los puntos son Q( 1, ) R( 3, ). Entonces, QR = ( 3 ( 1)) ( ( )) ( ) 4 4 16 0 10. Por lo tanto, solo se cumple para II para III.
5. La alternativa correcta es D. (1) La distancia de R al origen. Con esta información, se puede determinar el valor numérico de p, a que la distancia entre un punto (c, d) el origen se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como D = 1 p c d. Luego, la distancia de R al origen se puede plantear como. Despejando, resulta D² = 1 + p² p² = D² 1. Como p es un número positivo, entonces p = D 1, con D un valor conocido. () La longitud del segmento RS. Con esta información, se puede determinar el valor numérico de p, a que la distancia entre los puntos (a, b) (c, d) se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras como L = ( c a) ( d b ( 1) (1 p) ( p 1) ( p 1) ( p 1) ). Luego, la longitud del segmento RS se puede plantear como p. Despejando, resulta L² = (p 1)². L Como p es maor que 1, entonces L = ( p 1) p = 1, con L un valor conocido. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó ().