1. Ls cónics como secciones plns de un superficie cónic. 1.1. Focos, directrices y eje focl. 1.. Rzón de distncis de un punto de l cónic un foco y un directriz. 1.3. Nuev definición métric de ls cónics. 1.4. Teorem de Dndelin. Tercer definición de elipse o hipérbol. 1.5. Secciones del cilindro de resolución. Eje menor de l elipse. 1.6. L excentricidd en función del eje focl y l distnci focl 1.7. Cónics degenerds.. Estudio nlítico..1. Ecución focl de ls cónics... Ecución crtesin de l elipse y de l hipérbol...1. Circunferenci... Hipérbol equiláter..3. Ecución crtesin de l prábol..4. Ecución generl de ls cónics..5. Clsificción de ls cónics. síntots..6. Ecución reducid de ls cónics (elipse e hipérbol)..7. Determinción de los ejes..7.1. Ejes de un cónic..8. Ecución reducid de l prábol. 3. Presenci en l Nturlez, l Técnic y el rte. 3.1. Presenci en l Nturlez. 3.. Presenci en l Técnic. 3.3. Presenci en el rte. Bibliogrfí Recomendd. 1/0
1. LS CÓNICS COMO SECCIONES PLNS DE UN SUPERFICIE CÓ- NIC. Siguiendo l trdición dóric ntigu, definiremos ls cónics como secciones producids en un superficie cónic de resolución por un plno que no pse por el vértice. De hí su nombre. Si el plno secnte cort tods ls genertrices de l superficie llmremos l sección elipse. Si es prlelo un sol genertriz, l curv tendrá un punto impropio y l llmremos prábol. Si es prlelo dos genertrices, tendrá dos puntos impropios y se llm hipérbol. Como el plno prlelo por el vértice solo puede contener, lo sumo dos genertrices del cono, esto son todos los csos posibles. Si α es el ángulo de ls genertrices con el eje y el ángulo de este con el plno de l sección, podemos crcterizr l nturlez de l sección según se α < (elipse) α = (prábol) o α > (hipérbol). Si el plno de l sección es perpendiculr l eje ( =90º) l sección es un circunferenci. Por tnto l circunferenci es un cso perpendiculr de l elipse. En nuestro estudio no trtremos este cso, visto en tems nteriores. Llmremos puntos interiores (exteriores) los que se proyectn desde el vértice según ryos interiores (exteriores) l espcio cónico encerrdo por l superficie. De quí se deduce que tod rect que pse por un punto interior un cónic tiene con ést dos puntos comunes (propios o impropios), por tener el plno que le proyect dos genertrices comunes con l superficie cónic. /0
1.1. Focos, directrices y eje focl. En culquier de los tres csos, trcemos por el eje del cono el plno α perpend i- culr l plno ρε que contiene l cónic. El plno α será el plno de simetrí del cono y de ρε, y por tnto, de l cónic. Sen g y g ls dos genertrices contenids en dicho plno y e l rect de intersección de α con ρε. Trcemos en el plno α ls dos circunferencis inferiores l ángulo gg (o un opuesto por el vértice) tngentes sus ldos y l rect e. Sen F y F los puntos de contcto con e. Ests circunferencis se reducen un sol rect e que es prlel g o g (prábol) y por tnto, en tl cso no hy ms que un punto F. Los puntos F y F se llmn focos de l cónic. Si hcemos girr ls circunferencis obtenids lrededor del eje del cono se enge n- drn esfers que son tngentes l superficie cónic ( lo lrgo de sends circunferencis c y c, situds en plnos perpendiculres l eje) y tmbién tngentes l plno ρε en F o F respectivmente, puesto que l distnci del centro O(O ) l plno ρε es l perpendiculr OF(OF ) igul l rdio. Se llmn focos de un sección cónic los puntos de contcto de un plno con ls esfers inscrits en el cono y tngentes l plno de l sección. L intersección d (d ) del plno de l circunferenci de contcto con el plno de l cónic se llm directriz de éste correspondiente l foco F(F ). L prábol no tiene ms que un foco y un directriz. Se llm eje focl l rect FF que contiene los focos. Est rect e es eje de simetrí de l cónic (por ser intersección de un plno con el plno α de simetrí). Es, por tnto, perpendiculr ls directrices. Los puntos ( ) de l cónic situds en el eje se llmn vértices de l cónic. L prábol solo tiene uno. Los segmentos PF(PF ) que unen un punto P culquier de l cónic con los focos, se llmn rdios vectores del punto P. 3/0
1.. Rzón de distncis de un punto de l cónic un foco y un directriz. En virtud de ls definiciones nteriores result que el rdio vector que une un punto culquier P de l sección con un foco F, es igul l segmento PM de genertriz que pse por P y l circunferenci c. PF=PM, puesto que mbos son segmentos de rects tngentes por P un esfer. hor bien, PM form constntemente el mismo ángulo α con el eje del cono, y el segmento de perpendiculr PR de P l directriz es prlelo l eje focl e, y form con el eje del cono el ángulo constnte. Pero ls proyecciones de PM y PR sobre el eje del cono son igules por estr R y M en un mismo plno norml l eje, es decir, PM cosα = PR cos. Por tnto: PF PM = PR PR = cos = Ε cosα (constnte) y podemos enuncir: L rzón de distncis de un punto de un cónic un foco y un directriz es l mism pr todos los puntos. Est es un constnte Ε que se llm excentricidd y es igul l que existe entre los cosenos de los ángulos que formn con el eje el plno de l sección y ls genertrices rectilínes de l superficie. Según α <, α = o α >, es decir según se trt de un elipse, prábol o hipérbol, se tendrá Ε <1, Ε =1 o Ε >1. 1.3. Nuev definición métric de ls cónics. Recíprocmente, todo lugr geométrico de puntos de un plno cuy rzón de distncis un punto fijo F y un rect fij d es constnte, Ε, es cónic. Se FD el segmento de perpendiculr de F d y se el punto del que cumple l condición: F = Ε. FD Trcemos un esfer rbitrri tngente en F l plno ρε del lugr, y en el plno dimetrl por trcemos l tngente M. El cono circunscrito dich esfer lo lrgo de su sección por el plno MD (impuest est sección no dimetrl, en cuyo cso vriremos l esfer), será cortdo por el plno ρε según un cónic cuyos puntos, entre los que est, verificn l condición del enuncido. 4/0
Y son los únicos puntos que le verificn, pues si P, por ejemplo, es un punto int e- rior y trzmos por P l prlel d, l distnci de F uno de los puntos P de intersección verificre FP <FP y por tnto FP P R < Ε. nálogmente probrímos que pr puntos exteriores P es FP" P R" > Ε. cbmos de probr de pso que: pr todo punto interior (exterior) l rzón de distncis l foco y l directriz es menor (myor) que l excentricidd. El rzonmiento es válido pr ls tres curvs. Demostrdo lo nterior podemos dr ests nuevs definiciones de elipse, hipérbol y prábol, equivlentes ls nteriores: Cónic es el lugr geométrico de puntos de un plno cuy rzón de distncis un punto fijo (foco) y un rect fij (directriz) es un cntidd constnte, Ε. Si Ε <1 l cónic se llm elipse, si Ε >1 se llm hiperbólic y si Ε =1 es un prábol. De otro modo: prábol es el lugr geométrico de puntos de un plno equidistntes de uno fijo (foco) y de un rect fij (directriz). En prticulr, el vértice de l prábol es el punto medio del segmento FD de perpendiculr trzd por el foco l directriz. 1.4. Teorem de Dndelin. Tercer definición de elipse e hipérbol. Considermos hor los dos rdios vectores PF y PF por un mismo punto P cu l- quier de l cónic, que son respectivmente igules los segmentos de genertriz PM y PN que psen por P. Se tendrá: Elipse: Hipérbol: PF+PF =PM+PN=MN=HJ PF -PF=PN-PM=MN=HJ 5/0
Pero en el cso de l elipse, HJ es l distnci entre los puntos de contcto de dos circunferencis inscrit y exinscrit l triángulo V, cuy longitud es igul l ldo. En l hipérbol, el triángulo V permite obtener: (p=semiperímetro): H=p- J=p HJ= J- H= Luego los rdios vectores de un elipse tienen, sum constnte, los de un hipérbol, tienen diferenci constnte, en vlor bsoluto. En mbos csos est longitud constnte es l longitud del eje focl, entendiendo por tl l distnci entre los vértices y de l cónic situd en él. Se le suele designr por, mientrs que l distnci FF se design por c. Recíprocmente: el lugr geométrico de puntos P de un plno ρε cuy sum (diferenci) de distncis dos puntos fijos F y F es un longitud constnte, es un elipse (hipérbol) cuyos focos son F y F. En efecto: colocds y simétricmente respecto el punto medio de FF, tles que =, y pertenecen l lugr, puesto que F+F = F + F= Trcemos hor un esfer rbitrri, tngente l plno ρε en F y en el plno dimetrl que contiene y, dos tngentes V y V. El cono circunscrito dich esfer por el punto V de intersección (se suponen secntes, pues en cso contrrio vriremos l dimensión de l esfer), cort l plno ρε según un cónic cuyos puntos, entre los que se hlln y, cumplen l condición del enuncido. Y son los únicos puntos que l cumplen, pues todos los puntos P (P ) situdos en el interior (prolongción) de un rdio vector culquier PF verificn: P F < PF +P P F y sumndo P F +P F < PF +PF = tenemos P F > PF PP P F P F +P F > PF +PF = Es decir, l sum de distncis de todo punto interior (exterior) l elipse sus focos es menor (myor) que el eje focl. nálogmente se prueb que l diferenci de distncis de todo punto interior (exterior) l hipérbol sus focos es myor (menor) que l longitud del eje focl. En resumen, podemos dr un tercer definición de elipse e hipérbol, equivlente ls nteriores: Elipse (hipérbol) es el lugr geométrico de puntos cuy sum (diferenci) de distncis dos puntos fijos (focos) es constnte. Est definición junto l nterior de prábol son ls definiciones de donde se suele prtir en ls exposiciones elementles. 6/0
1.5. Secciones del cilindro de resolución. Eje menor de l elipse. L sección producid en un superficie cilíndric por un plno ρε oblicuo l eje es un elipse. En efecto, definiendo ls esfers tngentes l cilindro y l plno de l sección, si F y F son los puntos de contcto de ls misms, P es un punto culquier de l sección y MN el segmento de genertriz que ps por P y limitdo por ls circunferencis de tngenci respectivs, se tiene: PF+PF =PM+PN=MN (constnte) lo que demuestr que l sección es elíptic. Tmbién se puede probr, por l constnci de l rzón: PM PR siendo PR l distnci de P l rect intersección de ρε con el pleno de l circunferenci de contcto, de donde result que est rect es directriz. El plno dimetrl del cilindro, perpendiculr ρε, es plno de simetrí de l elipse y un intersección con ρε será el eje de simetrí. El diámetro perpendiculr dicho eje por el punto medio O de. Será simismo eje de simetrí del cilindro y de ρε, y por tnto, de l elipse. El segmento BB limitdo por sus intersecciones con l elipse se llm eje menor y es igul l diámetro del cilindro. Se le design por b y sus extremos B y B se llmn tmbién vértices de l elipse. 1.6. L excentricidd en función del eje focl y l distnci focl. En l elipse y en l hipérbol l excentricidd es igul l rzón: FF c = entre l distnci focl, c, y l distnci = entre los vértices del eje focl. En efecto, trzndo por V l perpend iculr VL l eje del cono en el plno de simetrí α (norml l de l sección) tendremos: Ε = cos = sen = V cosα senα L 7/0
y por un propiedd de ls bisectrices interiores y exteriores de un triángulo, se verific (restndo o sumndo términos en proporción según ser elipse o hipérbol): Ε = V = V = V ±V L L pero V -V=FF (elipse) y V +V=FF (hipérbol). Luego Ε = FF en culquier cso. 1.7. Cónic degenerds. Si en l definición de cónic como sección de un cono omitimos l restricción de que el plno sección no pse por el vértice y consideremos el cilindro como un cono (de vértice impropio), obtenemos, demás de l elipse, hipérbol y prábol, ls diferentes clses de cónics, llmds degenerds: Dos rects concurrentes (I) Dos rects prlels (II) Dos rects confundids en un (III y IV) Dos rects imginris con un punto propio común (V) Dos rects imginris con un punto impropio común (VI). ESTUDIO NLÍTICO Consideremos unos ejes crtesinos rectángulos Ox, Oy coincidentes con los ejes y BB de l elipse o de l hipérbol. Los dos rdios vectores r 1, r de cd punto P son ldos de un triángulo PFF cuy diferenci de cudrdos se expres fácilmente medinte el tercer ldo FF =c y l proyección x de l medin OP sobre el. sí tendremos: 8/0
Elipse Hipérbol r r = 4cx r r = 4cx 1 1 r + r 1 = r r 1 = de donde: r r 1 = c x r + r 1 = c x Conocids r + r 1 y r r 1 se deduce por sum y rest respectivmente: r = + c x = + Ε.x r = c x = Ε.x 1 r = + c x = + Ε.x r = + c x = + Ε.x En l prábol, tomndo como eje x el de l prábol y como eje y l tngente en el vértice y llmndo p l distnci del foco l directriz result r=dp, luego: 1 r = x + P.1. Ecución focl de ls cónics. Llmndo 8 l ángulo que form el rdio r 1 con F se tiene: Elipse r 1 cos8 = x c Hipérbol r 1 cos8 = c x y eliminndo x entre ests ecuciones y ls respectivs expresiones del rdio vector, pr lo cul bst multiplicrls por Ε y sumrls ls nteriores, y teniendo en cuent que: Elipse Hipérbol = b + c c = b + tenemos: luego: r 1 = Ε.x r 1 Ε cos8 = Ε.x Ε.c r 1 = + Ε.x r 1 Ε cos8 = Ε.c Ε.x 9/0
r (1 + Ε cos8) = Ε.c = c b = r (1 + Ε cos8) = Ε.c = c b = 1 1 y llmndo p = b qued l ecución vlid pr mbs cónics: P r = 1 + Εcos8 que lig ls dos coordends polres (r,8) del punto P respecto un origen situdo en el foco y un eje polr coincidente con l dirección del rdio-vector mínimo. Est ecución vle tmbién pr l prábol pues: r cos8 = P x y como en r cos8 = P + x result: P r (1+ Ε cos8) = P luego r = 1 + cos8.. Ecución crtesin de l elipse y l hipérbol. Volviendo los ejes crtesinos coincidentes con los de l cónic, tenemos: r 1 = ( x c) + y y sustituyendo r 1 por Ε.x ó + Ε.x (respectivmente) tenemos: + c x cx = x + c cx + y luego x + c x + y = c Pero en l elipse, el coeficiente de x es: y en un hipérbol, el coeficiente de x es: c b = c b = luego dividiendo por b result: Elipse Hipérbol x y + = 1 (1) b x y = 1 () b que se llmn ecuciones reducids de dichs cónics referids sus ejes. 10/0
Recíprocmente, tod curv de ecución (1) (supuesto >b), pues en cso contrrio bstrí con cmbir los ejes, puede escribirse, poniendo c = b en l form: x + c x + y = c o equivlentes, es decir: + c x ± cx = x + c ± cx + y o se: ± c x = (x ± c) + y Pero con el signo + el segundo miembro es el cudrdo de l distnci P(x,y) l punto F (-c,0) y con el signo es el cudrdo de l distnci P(x,y) l punto F(c,0), de donde: r del punto r 1 del punto + c x = r c x = r 1 = r 1 + r que expres que todo punto del lugr cumple l definición de elipse. nálogmente ocurre pr l hipérbol...1. Circunferenci. Si en un elipse es =b entonces c=0, los focos se confunden (excentricidd nul) y l elipse se convierte en un circunferenci de ecución:... Hipérbol equiláter. x + y = Si =b en l hipérbol result c=. Ls síntots, que son ls rects y = ± b x, son hor y = ± x y por tnto, perpendiculres. L ecución qued x y =.3. Ecución crtesin de l prábol. Respecto unos ejes crtesinos coincidentes con el eje de l prábol y l tngente en el vértice, se tiene: 11/0
y como r = x + P o se: P x + y = r tenemos: x + P Px + y = x + P + Px 4 4 y = Px (3) llmd ecución reducid de l prábol. Recíprocmente, tod ecución de l form (3) puede ponerse en l form P x + y = P x + que trduce l condición de equidistnci del punto P(x,y) del lugr l punto l rect x = P. P F,0 y.4. Ecución generl de ls cónics. Un cónic, en un sistem crtesino ortonorml culquier, est representdo por un ecución de º grdo con dos vribles: 11 x + 1 xy + y + 13 x + 3 y + 33 = 0 Usndo l notción mtricil dich ecución puede escribirse como: x x 11 1 13 ( x y 1) 1 3 y = 0 o se (x, y,1) y = 0 3 31 33 1 1 siendo l mtriz simétric ( ij = ji ) Pr el estudio de l cónic es muy importnte tener en cuent el vlor del determinnte de dich mtriz, que se llm discriminnte de l cónic. Si el discriminnte es cero l ecución de l cónic puede descomponerse en producto de dos fctores de primer grdo y l ecución representr dos rects. Ests rects serán distints cundo el rngo de l mtriz vlg. Si el rngo vle 1 l ecución de l cónic es el cudrdo de l ecución de un rect (rect doble). 1/0
Por tnto pr que l ecución generl de º grdo con dos vribles represente un cónic no degenerd h de ser 0. Si = 0 decimos que l cónic es degenerd..5. Clsificción de ls cónics. síntots. Sbemos que l elipse no tiene puntos en el infinito, mientrs que l prábol y l hipérbol si los tienen. Ls tngentes l hipérbol en los puntos infinitos se llmn síntots. Ls ecuciones de ls síntots, por ser rects, serán de l form y=mx+n. Pr hllrls procederemos sí: L intersección de l rect y =mx+n con l cónic se obtiene resolviendo el sistem: que proporcion: 11 x + 1 xy + y + 13 x + 3 y + 33 = 0 y = mx + n 11 x + 1 (mx + n) + (mx + n) + 13 x + 3 (mx + n) + 33 = 0 (4) o se: ( 11 + 1 m + m ) x + ( 1 n + mn + 13 + 3 m)x + ( n + 3 n + 33 ) = 0 dividiendo por x : ( + m + m ) + ( n + mn + + m) 1 + ( n + n + ) 1 = 0 11 1 1 cundo x nos qued: 13 3 x 3 33 x 11 + 1 m + m = 0 ecución de º grdo en m que present 3 csos: 1) 1 11 > 0 o se 11 1 1 > 0 en este cso l ecución tiene dos ríces reles. Hy dos vlores reles de m, por lo que l cónic tiene dos síntots y es un hipérbol. 13/0
) 1 11 < 0 o se 11 1 1 < 0 l ecución no tiene ríces reles. No hy síntots y l cónic es un elipse. 3) 1 11 = 0 o se 11 1 1 = 0 hy un ríz doble. Solo hy un punto en el infinito y l cónic es un prábol. En el cso de l hipérbol l ecución 1 + m + m = 0 11 1 1 1 11 > 0 y por tnto: tiene dos ríces reles distints m 1 y m. Pr hllr n sustituimos estos vlores en l ecución: + m + m = 0 11 1 1 1 luego en l ecución (4) qued: ( n + m n + + m ) + ( n + n + ) 1 = 0 1 1 13 3 1 3 33 x y hciendo x qued: ( 1 n + m 1 n + 13 + 3 m 1 ) = 0 ecución que proporcion: + m n = 13 3 1 y nálogmente + m 1 n + m = + m 13 3 1 1 1 En el cso de l prábol, resolviendo l ecución: 11 + 1 m + m = 0 tenemos: m = 1 o se 1 + m = 0 Este vlor de m nos d l dirección del punto del infinito de l prábol. Pr hllr n 1 hcemos: + m n 1 13 3 1 = no finito l ser el denomindor 0. + m 1 1 14/0
.6. Ecución reducid de ls cónics. L ecución generl de un cónic puede simplificrse trsldndo el origen de coordends l centro de l cónic. Si ls coordends del centro son (h,k), ls fórmuls de trnsformción son: x=x+h y=y+k y l ecución generl se convierte hor en: 11 ( X + h) + 1 ( X + h)(y + k) + (Y + k ) + 13 ( X + h) + 3 (Y + k) + 33 = 0 ordenndo y desrrollndo: 11 X + 1 XY + Y + ( 11 h + 1 k + 13 ) X + ( 1 h + k + 3 )Y +...... + ( 11 h + 1 hk + k + 13 h + 3 k + 33 ) = 0 (5) si pretendemos que no queden términos lineles h de ocurrir: 11 h + 1 k + 13 = 0 h + k + = 0 1 3 sistem que permite encontrr ls coordends del centro: 13 h = 3 11 1 1 1 = 31 33 11 h = 1 11 1 13 3 1 = 3 33 Los términos encerrdos en el último préntesis de (5) representn el vlor numérico que tom l ecución generl de l cónic l sustituir x por h e y por k. Representndo tl cos por f(h,k) l ecución (5) se convierte en: 11 X + XY + Y + f (h, k ) = 0 (6) 1 Puede comprobrse que: con lo cul l formul (6) quede sí: f (h, k) = 33 11 X + 1 XY + Y + = 0 33 (7) Hy que señlr que en l expresión de ls coordends del centro h de ser luego l prábol no tiene centro. 33 0 15/0
.7. Determinción de los ejes de l cónic. L ecución (9) puede escribirse sí: 11 1 0 x ( x y 1) 1 0 y = 0 0 0 1 33 Si queremos que l cónic teng por ejes de simetrí los de coordends, su ecución no cmbirá l cmbir x por x ni y por y, luego h de ser nulo el término XY. Por tnto en este cso l ecución de l cónic seri de l form: c 1 x + c y + c 3 = 0 o mtricilmente: ( x y c 0 0 x 1 1) c 0 y = 0 0 0 c 3 1 Pr que los ejes de l cónic coincidn con los de simetrí h de producirse un giro de mplitud α medinte: x cosα senα 0 x X = x cosα ysenα o bien: y = senα cos α 0 y Y = xsenα + y cosα 1 0 0 1 1 y llmndo T es mtriz result T t = T 1 11 1 0 x Entonces: ( x y 1) 1 0 y = 0 0 0 1 33 c 0 0 x 1 ( x y 1)T 0 c 0 T y = 0 t 0 0 c 3 1 se convierte en y por tnto: 11 1 0 0 1 0 c 1 0 0 T = T c 0 0 33 0 0 c 3 o bien: 16/0
11 cosα + 1 senα = c 1 cosα cosα + senα = c senα 1 1 11 senα+ 1 cosα = c senα senα+ cosα = c cosα 1 33 = c 3 Este ultimo nos d el vlor de c 3 y ls nteriores conducen : 11 c 1 + 1 senα = 0 1 cosα + ( c )senα = 0 y pr que este sistem de ecuciones homogénes se comptible y con soluciones no nuls, h de ser: 11 c 1 1 1 c = 0 ( = ) 1 1 y desrrollndo ( + )c + ( ) = 0 1 11 1 11 1 y como = 33 11 1 c qued c 1 ( 11 + )c 1 + 33 = 0 Ls otrs dos ecuciones conducen un expresión idéntic, sustituyendo c 1 por c : c ( + )c + = 0 11 33 Un vez clculds los vlores de c 1, c, c 3 se sustituyen en l ecución c + c + c = 0 1 x y 3 quedndo: c x + c y + = 0 1 33 o bien: x y + = 1 c 1 33 c 33 y comprndo est ecución con l de un cónic referid sus ejes observmos que: 17/0
x y ± = 1 b luego: = b = c1 33 c 33 y obtendremos un elipse si: > 0 y > 0 c 1 33 c 33 Si mbos vlores son negtivos, y b serin imginrios y tendrímos un elipse imginri. Si uno es negtivo obvimente tenemos un hipérbol. Si lguno de los c 1 y c es nulo, no sirve este proceso y lo hremos ms delnte..7.1. Ejes de un cónic. Un vez clculdos c 1 y c, podemos obtener el ángulo que formn los ejes de l cónic con los ejes crtesinos: c tgα = 1 11 1 y puesto que 31 3, son ls coordends del centro, como l ecución de l rect 33 33 que ps por (x 0, y 0 ) con pendiente tgα es y y 0 = tgα(x x 0 ), ls ecuciones de los ejes son: y c x 3 1 11 31 = ( 33 1 ) 33 3 1 31 y = (x ) 33 11 c 1 33 en el cso de cónic con centro (elipse o hipérbol).8. Ecución reducid de l prábol. El cmino seguido nteriormente no sirve pr l prábol, l no tener centro. Sin embrgo, se puede seguir un cmino nálogo hciendo girr primero los ejes crtesinos hst situr el eje de bsciss prlelo l de l prábol. Después se trsld el centro de coordends l vértice y su ecución es, entonces, de l form: 18/0
y = px como se vio nteriormente. El vlor de P, siguiendo este proceso nos d: P = ± ( 11 + ) El signo de P depende del sentido que se tome como positivo en el eje OX. 3. PRESENCI EN L NTURLEZ, EL RTE Y L TÉCNIC. 3.1. Presenci en l Nturlez. Son innumerbles los puntos de encuentro de ls cónics y l Nturlez. Ls tryectoris de los plnets lrededor del sol, de los stélites lrededor de los plnets, muestrn órbits elíptics. Se encuentrn tryectoris de tipo prbólico e hiperbólico en ls tryectoris de ciertos comets y en los movimientos de cuerpos en los cmpos de fuerzs, como el cmpo grvittorio. Por otr prte, l teorí tómic explic, en lgunos modelos, hoy superdos, que ls órbits electrónics pueden presentr excentriciddes por ser elíptics. 3.. Presenci en l Técnic. Como se sbe, un de ls plicciones militres ms importntes de ls cónics se produce l descubrir el lnzmiento de cñones y misiles, que es de tipo prbólico. Es importnte tmbién l utilizción de espejos de tipo prbólico, sí como ntens de tipo prbólico, que utilizn l propiedd de que todos los ryos prlelos l eje del espejo o de ls ntens, psen, l reflejrse, por el foco. Est mism propiedd se utiliz en los fros de los coches. 3.3. Presenci en el rte. L utilizción de ls cónics en el rte está muy generlizds. Desde l construcción de edificios con plnt elíptic, que utilizn l propiedd de que si se emite un sonido en uno de los focos, es oído por otr person situd en el otro foco, hst l construcción de puerts con specto de segmento de prábol, o de pue n- tes con ojos prbólicos. 19/0
BIBLIOGRFÍ RECOMENDD. lgebr. L.Thoms y M.E.Ríos. Sntnder. Geometrí nlític. L.Crust. Editoril Bosch Curso de Geometrí Métric. P.Puig dm. Ed.Bibliotec Mtemátic. Geometrí y Cónics. Grupo Cero. ICE. Universidd de Vlenci. 0/0