Los números reales. Números racionales e irracionales Piensa y calcula Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista m y escribe el valor exacto de la arista de un cubo de volumen m V = = 8 m a = m Aplica la teoría. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: / π,6 Racional. Irracional. Irracional. Irracional.. Escribe cinco números racionales. 9,,,, 8 0 0 0 0 6. Representa gráficamente, de forma aproximada: 9 e 00. Escribe cinco números irracionales.,,,π,e. Escribe tres números racionales comprendidos entre / y /,, 8. Representa gráficamente, de forma exacta: 0 0,,6 0,9 0, 0. Calcula: + 6 8 : ( ) ( + 6 8 ) 6 0 SOLUCIONARIO
9/6 /6 0/8 9/8 8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de lado cm y escribe qué tipo de número es. cm 9. Un rectángulo mide de largo x y de alto ; por un lado le cortamos un cuadrado de lado, y se obtiene un rectángulo semejante. Cuánto mide x? Es un número irracional. Qué número conocido es x? x es racional o irracional? x + = x =, x = x La solución negativa x = no tiene sentido. + La solución es x = Es el número áureo de oro. Es irracional. x x. La recta real Piensa y calcula Representa en la recta real, de forma aproximada, los números y =,6 0 / Aplica la teoría 0. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y, y, 0 d(, ) = ( ) =, 0 d(,;,) =, (,) = 6,. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente los siguientes intervalos, y clasifícalos: [, ) (, ) (, +@) ( @,], {x ; Ì x < } 0 Intervalo semiabierto o semicerrado. {x ; < x < } 0 Intervalo abierto. {x ; x > } 0 Semirrecta, intervalo abierto. {x ; x Ì } @ 0 Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. TEMA. LOS NÚMEROS REALES
. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos: ( @, ) [, ]. Representa gráficamente los siguientes entornos: E(, ) E*(, ) E*(, ) E(, ) 0 0 0 0 0 0. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: 0 0 0 0 E(, ) E*(0, ) E(, ) E*(, ). Sucesiones de números reales Piensa y calcula Escribe tres términos más en las siguientes sucesiones:, 6, 0,,,,, 8,,,,,,,,,,, 6, 0,, 8,, 6,,,, 8, 6,, 6,,,,,,,,,,,,, 8,,, Aplica la teoría. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:,,,,, 0, 0, 0,,, 9, 6,,,,,, 9,,,,, 9,,,, 0, 0, 0, 80, 60, 0,,, 9, 6,, 6, 9, 6,,,,, 9,,,, 6. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = n a n = n + a n = ( ) n (n + ) a n = ( ) n,, 8, 6,, 9,,,,,,, 8 6 SOLUCIONARIO
. Halla el término general de las siguientes sucesiones:,, 6, 8, 0,,, 9, 6,, a n = n a n = n 8. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones e indica el valor al que tienden: a n = a n = n n n + a n = a n = ( ) n n n lím n + = n +@ n lím = 0 n +@ n No existe el lím ( ) n n n +@ Los valores de la sucesión oscilan de negativo a positivo en cada término haciéndose cada vez más grandes en valor absoluto. lím n = + @ n +@. Radicales y operaciones Piensa y calcula Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 8 = x x = 0 = 8 = x x = x = 0 000 x = x = ± x TEMA. LOS NÚMEROS REALES
Aplica la teoría 9. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes radicales: 6 ± No tiene solución real.. Opera los siguientes radicales: 0 8 6 : 6 : 6 0 6 / 0. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: / / / /. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: 6 / /6 / /. Las expresiones que están como potencia pásalas a radical y las que están como radical pásalas a potencia: ( ) 6 ( ) ( 6 ) ( ) 6. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones: 8 6. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en los siguientes radicales: 8 0 6. Racionaliza las siguientes expresiones: + ( ) +. Suma los siguientes radicales: 8 0 + 98 0 + 6 8. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden m, m y m + + = =,0 m SOLUCIONARIO
. Logaritmos Piensa y calcula Halla el valor de x en los siguientes casos: = x x = x = 0 = x e) x = 0 000 f) 0 x = 000 000 x = 8 x = x = x = 000 e) x = 0 f) x = 6 Aplica la teoría 9. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 6 = x x = x = 8 0 6 = x e) x = 0 000 f) 0 x = 000 x = 6 x = x = x = 000 000 e) x = 0 f) x = 0. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: log log log / log 00 0. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes logaritmos: log 0 log 6 log 98, log 68,. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos: log,6 log 0,006 L,68 L 0,0006. Sabiendo que log = 0,00 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: log log log 8 log log = log = log = 0,600 log = log 0/ = log = 0,6990 log 8 = log = log = 0,900 log = log = 0,699 = 0,9. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos, halla: log, log 0,0 6 log 8,0 log 0,098 6,60 0,696 0,89 0,66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log, log 8, log 0,0 log 000,860,86,06,6,6800,906,00,99 TEMA. LOS NÚMEROS REALES
Ejercicios y problemas. Números racionales e irracionales 6. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: e Irracional. Racional. Irracional. Racional.. Escribe tres números racionales comprendidos entre y 9,, 0 0 8. Representa gráficamente de forma exacta: 0 0 6 0. Calcula: + 8 6 : ( + ) ( + 6 8 6 ) / / 9/ 8/. Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen cm y escribe qué tipo de número es. cm es un número irracional.. La recta real. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y, y, 0 d(, ) = ( ) =, 0 d(,;,) =, (,) =,9. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente los siguientes intervalos, y clasifícalos: (, ] [, ] [, + @) ( @, ) 6, 9. Representa gráficamente de forma aproximada: π 0 00,6 0, 0,68 0, 0 {x ; < x Ì } 0 Intervalo semiabierto o semicerrado. {x ; Ì x Ì } Intervalo cerrado. 0 {x ; x } 0 Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. {x ; x < } 0 Semirrecta, intervalo abierto. 6 SOLUCIONARIO
. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: (, + @) semirrecta, intervalo abierto. (, ) intervalo abierto. ( @,] semirrecta,intervalo semiabierto o semicerrado. [, ) intervalo semiabierto o semicerrado.. Representa gráficamente los siguientes entornos: E*(, ) E(, ) E(, ) E*(, ) 6. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: E(, ) E*(, ) E*(, ) E(, ). Sucesiones de números reales. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:,,,,,, 9,,,,,,,,,, 0,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,,,,,,, 6 8,, 9,,,,, 9,,,,,,, 9,,,, 0,, 6,, 0, 8. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = + 0 n a n = n + a n = ( ) n n(n + ) n a n = n +,;,0;,00;,000;,,, 9,, 6,, 0,,,,, 9. Halla el término general de las siguientes sucesiones:,,,, 9,,,,, 8 a n = n a n = n 0. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones e indica el valor al que tienden: a n = + a n = + n n n n + a n = a n = + ( ) n n n lím ( + ) = n +@ n TEMA. LOS NÚMEROS REALES
Ejercicios y problemas. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en los siguientes radicales: 0 lím ( + n n ) = @ n +@. Suma los siguientes radicales: 6 + 0 n + lím = 0 n +@ n n lím ( + ( ) n ) = n +@ 6. Multiplica los siguientes radicales: 60 6 8 90. Divide los siguientes radicales: 0 : : 6 8 6 / 6 6. Radicales y operaciones. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes radicales: 6 8 8 8. Transforma los radicales siguientes. Los que están como potencia pásalos a radical y los que están como radical pásalos a potencia: ( ) ( ) ( ) ( ) ± No tiene solución real.. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: / / / /. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: / / / / 9. Expresa en forma de un solo radical las siguientes expresiones: 6 6 60. Racionaliza las siguientes expresiones: + + 0 + 8 SOLUCIONARIO
. Logaritmos 6. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: = x x = x = 8 0 = x e) x = 00 f) 0 x = 000 000 x = x = x = x = 000 e) x = ± 0 f) x = 6 6. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: log log log log 0,000 9 0 6. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes logaritmos: log log,6 log 8, log 8, 6. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log 86, log 0,08 L 6,0 L 0,0,9,08 6,699,99 6. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log, log 0,6 log,98 log 0,00 9,00,696 0,68 0, 66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log,6 log,98 log 0,0 log 0,06,869,8 0,0,8 Para ampliar 6. Qué números enteros tienen inverso entero? El y el ; cada uno es inverso de sí mismo. 68. Halla el opuesto y el inverso de: 0. Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: Ì x Ì x > < x Ì x < [, ] (, + @) (, ] ( @,) El opuesto es / y el inverso es / El opuesto es y el inverso es / 69. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: π + e 6 Irracional. Racional. Irracional. Racional.. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: x < x <, x + < x + <, E(, ) E(0;,) E(, ) E( ;,). Representa gráficamente los conjuntos dados por las siguientes expresiones: x = x < x Ì x > TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9
Ejercicios y problemas. Suma los siguientes radicales: a 8a 8a + a 0a 6x 8 + x 8x. Racionaliza las siguientes expresiones: a b a a a a b 6a a (x + x 8) x b a a + ab a + a b + b a a a b a b. Calcula, aplicando la fórmula de cambio de base, los siguientes logaritmos y redondea el resultado a cuatro decimales: log /,8 log /,69 log / 0,0006 log 0, 0,009 0 0 0 0 a + b a b,988,,609,6 Con calculadora 6. Halla con la calculadora el valor de los siguientes números redondeando a cifras: + π e φ =,9,88,680,80. Halla el valor de los siguientes resultados y redondea el resultado a cinco decimales:,00000 000 000 0,999999 000 000,88 0,688 8. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos; redondea los resultados a cuatro decimales: log π log e L π L 0 0,9 0,,,06 9. Utilizando la calculadora, halla: π π e e π e e π 6,6,,9,0 Problemas 80. Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de diámetro m. Qué clase de número es? L = π m Es un número irracional. A = B = / m C = F = /6 m D = E = G = /8 m 8. La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide m, halla el área de cada una de las figuras que lo componen. B F A E C D G 8. Escribe el menor intervalo abierto,cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número π (, ) 8. La longitud de una finca rectangular es m y el perímetro es inferior a 0 m. Qué valores puede tomar el ancho de la finca? 80 SOLUCIONARIO
x + 0 Ì 0 0 < x Ì 0 8. Calcula las siguientes potencias redondeando los resultados a cinco decimales. A qué número real muy conocido se aproximan los valores que se van obteniendo?, 0,0 00,00 000,0000 000 e),0000 00 000 f),00000 000 000,9,08,69,8 e),8 f),88 Se aproximan hacia el número e 8. Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero cuyo lado mide a cm a Área = cm 86. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x m d = x m 8. Demuestra que el producto de dos números irracionales no es siempre irracional, resolviendo el siguiente contraejemplo: halla un número irracional que al multiplicarlo por el número irracional sea racional. ( )( + ) = = log log log log 0 log = log = log = 0,00 log = log = log =,980 log = log = log = 0,600 log log = = 0,9 9. Una célula se reproduce por bipartición cada hora. Cuántos días tardará en sobrepasar el billón? x = 0 x log = x = = 9,86 log Tardará casi días. 9. Un coche deportivo cuesta 0 000 y se devalúa cada año un %. Cuántos años tardará en valer menos de 0 000? 0 000 0,8 x = 0 000 0,8 x = log + x log 0,8 = 0 x log 0,8 = log log x = =,9 log 0,8 Tardará casi años. 88. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga a log Para profundizar (, ) 89. De dos números se sabe que log x + log y = 0. Qué relación hay entre x e y? log xy = log xy = y = x Es decir, son inversos. 90. Sabiendo que log = 0,6990 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: 9. Sabiendo que los triángulos ABC y ADE son semejantes, calcula el valor de x. Qué número conocido es x? Es racional o irracional? D B x E A x C TEMA. LOS NÚMEROS REALES 8
Ejercicios y problemas x + = x =, x = x La solución negativa x = no sirve. + La solución es x = Es el número áureo o de oro. Es irracional. A = a 99. Halla la fórmula del área del siguiente octaedro regular, cuya arista mide a cm a 9. Los números racionales son densos. Veamos dos formas de demostrarlo: Halla la media aritmética entre / y /, comprueba que es racional y que está en el intervalo (/, /) Halla el número que se obtiene al sumar entre sí los numeradores y los denominadores de / y /, comprueba que es racional y que está en el intervalo (/,/) / = 0,6666666666 / = 0,6666666666 / = 0, 6/8 = / = 0, / = 0,8 / = 0,8 A = a 00. Halla la fórmula del área del siguiente icosaedro regular, cuya arista mide a cm a 9. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número e [, ] 96. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros,que contenga al número áureo,o de oro: (, ) φ = 9. La masa de la Tierra es,98 0 kg, y la del Sol,,98 0 0 kg. Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra? +,98 0 0 : (,98 0 ) = 0,68 veces A = a 0. Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm a V = 0. Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm a V = 0. Un papel A0 mide m, y cuando se corta a la mitad da origen a un A que tiene la particularidad de que es semejante al anterior. 98. Halla la fórmula del área del siguiente tetraedro regular, cuya arista mide a cm a x y Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de un papel de formato A0 x y 8 SOLUCIONARIO
Un A es la mitad de un A, un A es la mitad de un A,y un A es la mitad de un A.Calcula de forma aproximada hasta los milímetros las dimensiones de un A (el A es el sustituto del folio, por la semejanza entre todos los A ; esta semejanza permite hacer fotocopias reduciendo o ampliando y manteniendo las proporciones del texto y/o dibujo y los márgenes). log 0 = log 0 = log + log 0 =, log 900 = log 00 = log + log 00 =,9 log log / = = 0,86 log ( 0) log + log 0 log 0 = = = 0,86 x 0. Sabiendo que log =,6 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: x y x = =y y x/ Además: xy = y = /x x = x = x x =, y = / y x/ y log, log 0 log log 00 log, = 0,6 log 0 =,6 log = 0,866,6 log 00 = =, 9 mm 0 mm 0. Sabiendo que log = 0, y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: log 0 log 900 log / log 0 TEMA. LOS NÚMEROS REALES 8