. Introducción y notación Límites de Funciones Hasta ahora, se han visto muchos conceptos sobre las funciones desde un enfoque muy intuitivo. Cosas como la continuidad, el crecimiento o los máximos y los mínimos se han estudiado basándose casi siempre en observar la gráfica y sacar conclusiones. No obstante, podemos conseguir nosotros hacer un dibujo aproximado de la gráfica sabiendo únicamente la expresión de la función? Para todo esto se usa el concepto de límite, que es una de las herramientas básicas en matemáticas para el estudio de las funciones. En el presente curso se ha visto ya el concepto de límite de sucesiones, aunque también desde un punto de vista intuitivo. Sin entrar en conceptos rigurosos, vamos a establecer notaciones. Notación: denotaremos como (a n ) a la sucesión de término general a n. Es decir, por ejemplo la sucesión, 2, 3, 4, 5 = ( n ) También, denotaremos que la sucesión (a n ) tiene límite a como n (a n ) = a En el caso de la sucesión que hemos puesto antes de ejemplo, n ( n ) = 0 Ahora bien, qué significan los límites de funciones? Cómo se calculan? 2. Límite de una función en un punto 2. Límites y sucesiones Los límites de sucesiones se calculan siempre en el infinito (esto es, cuando la n se hace más grande). Esto básicamente consiste en saber cómo se comporta la sucesión cuando aumenta la n.
Primeros 9 términos de la sucesión n Sin embargo, los límites en funciones responden a qué es lo que le ocurre a las imágenes de la función cuando nos aproximamos a un punto concreto del eje de las x tanto como queramos. Se acerca a algún punto? Aumenta mucho? Disminuye? Podemos acercarnos a todos los puntos? El concepto tanto como queramos es delicado, pero podemos usar las sucesiones para construir algo parecido. Supongamos que tenemos la función f(x) = x + 3, y queremos saber qué ocurre cuando la función se aproxima al. f(x) = x + 3 Podemos coger, ahora, una sucesión de números que tienda a. Por simplicidad, vamos a coger la sucesión
(a n ) = ( 0 ) n Esta sucesión converge claramente a. Para convencernos, veamos algunos valores de la sucesión n a n 0.9 2 0.99 3 0.999 4 0.9999 5 0.99999 Ahora, qué pasaría si aplicamos f(x) a los elementos de la sucesión? Es decir, si sustituyéramos x por a n en la f. Veámoslo f(a n ) = ( 0 ) n + 3 = 4 ( 0 ) n Pero esta (f(a n )) no deja de ser otra sucesión de números. A qué tenderá esta nueva sucesión? No es difícil de ver que esta nueva sucesión tiende a 4 cuando n tiende a infinito. Este límite de la sucesión es a lo que vamos a llamar límite de la función y lo expresaremos de la siguiente manera f(x) = 4 x Aquí es importante distinguir entre lo que vale la función en un punto, es decir f(), y a lo que tiende la función en ese punto. También hay que notar que esta definición es provisional y la mejoraremos en seguida. Ejercicio : Se os ocurre alguna función que conozcáis cuyo límite no concuerde con su valor? Una cosa importante a tener en cuenta es por dónde nos acercamos al punto. Así pues, supongamos ahora la siguiente función x + 3 x < f(x) = { x 8 x } La sucesión que hemos considerado antes, toma valores siempre menores que (comprueba la tabla de valores vista anteriormente). Así pues, parece claro que f(x) = 4 x Pero, qué pasa si ahora consideramos la sucesión (b n )?, donde b n = + ( 0 ) n
Esta sucesión es claramente mayor que, de manera que la imagen de esta sucesión por la función será f(b n ) = + ( 0 ) n 8 = 7 + ( 0 ) n Esta sucesión tiene un límite distinto del anterior ( cuál es?). Así pues, parece que vamos a tener que cambiar lo que habíamos dicho, pues parece que el concepto de límite está ligado a la manera que tenemos de acercarnos al punto. Definición: ) Diremos que el límite de una función por la derecha cuando x tiende a x 0 es l, y lo denotaremos f(x) = l x x 0 + Cuando la sucesión elegida se aproxime a x 0 por la derecha (como hemos hecho en nuestro segundo caso), y la sucesión de imágenes tienda a l. 2) La definición para el límite por la izquierda es análoga, tomando sucesiones por la izquierda y siendo la notación f(x) = l x x 0 3) Así pues, diremos que el límite de una función cuando x tiende a x 0 es l, y lo denotaremos Cuando f(x) = l x x 0 f(x) = f(x) = l x x 0 + x x 0 Es decir, cuando tenga los dos límites laterales y ambos coincidan. Hay que tener en cuenta que este límite no tiene porqué ser un número, si no que puede ser + o, como pasaba con las sucesiones. Ejercicio 2: Calcular, si se puede, los siguientes límites: a) x 2 x 3 b) x 0 x c) x 0 x d) x 5 x 3 + x 2 e) x 3 f(x), con f(x) = { x2 + 3x 6 si x 3 x + 9 si x > 3 f) x 3 f(x), con f(x) = { x2 + 3x 6 si x 3 x 9 si x > 3
2.2 Cálculo del límite en un punto A pesar de que hablar de sucesiones nos permite tratar los límites con más rigor, lo cierto es que en la práctica la mayor parte de los límites de las funciones que manejáis están previamente calculados. Así pues, para calcular el límite de las funciones exponenciales, polinómicas, logarítmicas o racionales en un punto del dominio, basta con sustituir en la función el punto que quieres conocer el límite. x 3 x3 2x 2 5x + 7 = 3 3 2 3 2 5 3 + 7 = x 5 2x = 2 5 = 32 x 2 + 8 x 2 x + 3 = 2 5 Gráfica de la función x 3 2x 2 5x + 7. Resaltado el valor en x = 3 Ejercicio 3: Dibuja con GeoGebra las gráficas de las otras funciones de ejemplo. Cuánto valen en los puntos a los que se aproxima?
Ejercicio 4: Vuelve a hacer los límites a, c y d del Ejercicio 2. Ejercicio 5: Calcula los siguientes límites a) x2 +3x 6 x 2 x+7 b) 9 x c) e x + x 2 6 x x 0 2 Otra pregunta a hacerse es qué es lo que ocurre en las funciones definidas a trozos. En cada trozo, el límite se calculará como se ha visto previamente. Solamente tienes que tener cuidado en los puntos de unión de los trozos. En ese caso, tendrás que calcular los límites laterales de cada trozo. Si coinciden, hay límite. Veamos un ejemplo con la siguiente función x < f(x) = { x 2 x < 2 x Como hemos dicho antes, nos interesa saber qué es lo que pasa en x = y en x =. x=- f(x) = = x x f(x) = x + x x2 = ( ) 2 = Como ambos límites coinciden, la función tiene límite en x =, y es x f(x) = x= f(x) = x x x2 = 2 = f(x) = 2 = 2 x + x Como ambos límites no coinciden, la función no tiene límite en x =. Veamos una imagen de esta función, para observar qué ha ocurrido en los puntos de corte.
A la izquierda de x =, la función vale de manera constante (función naranja). A la derecha de x =, la función es x 2 (función verde), que tiende a cuando la x tiende a. Por eso la función se pega bien en x =. Por el contrario, en x =, por la izquierda la función tiende a y por la derecha vale constantemente 2 (la función azul). Ese es el motivo por el que hay un salto en x =. Ejercicio 6: Calcula los límites de las siguientes funciones a trozos en los puntos de unión de los trozos e x + 2 x < 0 a) f(x) = { 5 x = 0 x + 3 x > 0 x x < 3 b) f(x) = x 2 4 3 x < 2 { log(x ) x > 2 x < 2 c) f(x) = { x 2 e x 3 x 2 2.3 Continuidad Hasta ahora se ha visto la continuidad de funciones de manera intuitiva. Probablemente se haya definido como una función que se puede dibujar sin separar el boli del papel. Esto tiene varios problemas. El primero, y más importante, es que necesitas ver la función dibujada para saber si es continua o no. El segundo es que el concepto de continuidad realmente se asocia a puntos del dominio y no a la función. El concepto de límite nos permite hacer una definición en referencia a un punto.
Definición: una función f(x) es continua en x 0, punto del dominio de f(x), si se cumple simultáneamente i) Que exista f(x 0 ) ii) Que exista f(x) = f(x) = l x x 0 x x+ 0 iii) Que f(x 0 ) = l Así pues, con lo visto anteriormente, sabemos que las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y racionales son continuas en su dominio de definición. En las funciones a trozos, hay que tener mucho cuidado en los puntos de unión de los trozos. Ejercicio 7: A la vista de lo visto en este apartado, dónde serán y no serán continuas las funciones del Ejercicio 5? Asociado al concepto de continuidad, está el de discontinuidad y los diferentes tipos de la misma. - Si existe el x x0 f(x). En este caso hay una discontinuidad evitable. En este caso pueden ocurrir dos cosas.. Que no exista la función en ese punto. 2. Que la función en ese punto valga distinto que el valor del límite Discontinuidad evitable tipo 2 Discontinuidad evitable tipo - Si no existe x x0 f(x) o no es un número (± ), es una discontinuidad inevitable. Puede ser de dos tipos. Si f(x) = a y f(x) = b no existe el límite, y nos encontramos con una x x 0 x x+ 0 discontinuidad de salto finito. 2. Si f(x) = ± o f(x) = ±, hay una discontinuidad de salto infinito. x x 0 x x+ 0
Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito 2.4 Operaciones con límites Hay ciertas operaciones que podemos hacer con los límites, que simplifican los cálculos de los límites. Veamos cuáles son: Suma: [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) x x 0 x x0 x x0 Producto: Cociente: f(x) g(x) = f(x) g(x) x x 0 x x0 x x0 f(x) f(x) x x 0 g(x) = x x0 g(x) x x 0 si x x0 g(x) 0 Potencia: f(x) g(x) = f(x) g(x) x x0 x x 0 x x0 Composición: g(f(x)) = g ( f(x)) x x 0 x x0
2.5 Operaciones con infinitos En las operaciones vistas anteriormente, puede ocurrir que algunos de los límites sean ±. Veamos qué ocurriría en esos casos ± k = + = = Indeterminación (±k) = ± si k 0 + si k es par y k > 0 (± ) k = { ± si k es impar y k > 0 0 si k < 0 = ± ± = Indeterminación k ± = 0 k = 0 = Indeterminación k + si k > = { 0 si 0 < k < k 0 si k > = { si k < = Indeterminación Como veis, hay cuatro operaciones que generan una indeterminación. De momento no os preocupéis por qué es eso. Se verá con más profundidad más adelante. 3. Límite de una función en el infinito Hasta ahora hemos visto qué les pasa a los funciones cuando nos aproximamos a un punto. Ahora nos preguntamos, qué les pasa a las funciones cuando aumenta mucho la x? Y cuando disminuye? Eso es lo que se conoce como el comportamiento de la función en el infinito. Es similar a la idea del límite de sucesiones. Para calcular estos límites, basta con sustituir en la función x por (o, dependiendo del caso). Una vez hecha la sustitución, basta observar en la tabla del apartado 2.4 y ver qué resultado tiene.
Veamos algunos ejemplos x + x2 + 6 = (+ ) 2 + 6 = + + 6 = + x x2 + 6 = ( ) 2 + 6 = + + 6 = + Viendo la gráfica, cómo interpretas estos límites? Veamos otros ejemplos: x + x 2 = = 0 x x3 6 = ( ) 3 6 = 6 = Gráfica de x 2 + 6 Para ver un poco mejor cómo funciona, es recomendable usar el Geogebra para dibujar las gráficas y observar qué va ocurriendo conforme aumenta la x. Ejercicio 8: Calcula los siguientes límites a) x + x b) x ex c) x + x d) x x5 e) x x5 4. Indeterminaciones Cuando hemos visto el comportamiento de las funciones en el infinito, hemos observado que había varias indeterminaciones. Ahora bien, qué es esto? Una indeterminación es, básicamente, una operación matemática cuya realización no tiene sentido o puede dar lugar a problemas. Pero, si bien la realización de esa operación no se puede llevar a cabo, sí que cabe preguntarse qué ocurrirá cuando la función tienda a ese punto que genera la indeterminación. A continuación veremos los casos de indeterminaciones que se verán en este curso. 0 0 Esta indeterminación, normalmente, suele ser causada por un cociente de polinomios o un cociente de raíces, en el límite donde se anulan el numerador y el denominador. Por ejemplo x 2 4 x 2 x 2 x + 3 2 x x 2 + x 2
x 2 + x 3 3 x 3 x + 2 El primer caso, cociente de polinomios, se resuelve tratando de sacar el factor (x x 0 ) o (x 0 x). Es decir, x 2 4 = (x + 2)(x 2), luego x 2 4 x 2 x 2 = (x + 2) (x 2) = (x + 2) = 4 x 2 (x 2) x 2 Gráfica de x2 4 x 2 En los dos últimos casos, se introduce una raíz. En caso de haber también un polinomio, con el polinomio se hace lo mismo que en el ejemplo anterior. Para las raíces, se multiplica y divide por el conjugado. Veamos, a modo de ejemplo, el segundo límite propuesto arriba x + 3 2 x x 2 + x 2 = ( x + 3 2)( x + 3 + 2) x (x ) (x + 2) ( x + 3 + 2) = x + 3 4 = x (x ) (x + 2) = (x ) x (x ) (x + 2) ( x + 3 + 2) = = x (x + 2) ( x + 3 + 2) = 2
La mayor parte de las situaciones que generan estas indeterminaciones son de cocientes de polinomios. El comportamiento de estas funciones en el infinito depende de lo rápido que el numerador y el denominador tiende a infinito. En el caso de los polinomios, siempre tiende más rápido el polinomio de mayor grado. Sabiendo eso, la regla para saber qué pasa con estos límites es simple. Si tenemos x ±. Si el grado de p(x) > el grado de q(x), p(x) q(x) p(x) x ± q(x) signo de los coeficientes directores de p y q. 2. Si el grado de q(x) > el grado de p(x), x ± 3. Si el grado de p(x) = el grado de q(x), p(x) x ± q(x) = ±. El signo del límite depende del q(x) = 0. p(x) = cociente de los coeficientes directores Bastará, en general, con coger el coeficiente director de cada polinomio y aplicar lo anterior. Puede ocurrir también que en lugar de un polinomio, haya una raíz en el numerador o en el m denominador (o en ambos). En este caso, basta con considerar x n anterior. = x n m, y aplicar lo Estas indeterminaciones pueden venir de una diferencia de cocientes de la indeterminación anterior, o una diferencia de raíces. En el primer caso, basta con juntar los cocientes en un único cociente. Veamos un ejemplo: x 2 + 3 x + x 2 x2 + x x + = (x 2 + 3) (x + ) (x 2 + x) (x 2) = x + (x 2) (x + ) 2x 2 + 5x + = x + x 2 x 2 = 2x 2 x + x 2 = 2 En el segundo caso, hay que multiplicar y dividir por el conjugado. Veamos un ejemplo x + 3 x + 5 = ( x + 3 x + 5) ( x + 3 + x + 5) = x + x + ( x + 3 + x + 5) x + x + 3 x 5 ( x + 3 + x + 5) = x + 2 ( x + 3 + x + 5) = 2 + = 2 = 0
± Esta indeterminación probablemente sea la más delicada de todas. Para resolverlo, usaremos la siguiente propiedad: Sabiendo esto, si queremos calcular Si x x0 f(x) = +, entonces ( + f(x) x x 0 f(x) ) = e f(x) g(x) x x 0 Y nos da una indeterminación de, tenemos que hacer lo siguiente.. Sumamos y restamos uno en la base: 2. Hacemos la inversa de f(x) ( + f(x) ) g(x) x x 0 ( + x x 0 ) f(x) 3. Elevamos al denominador y a su inverso ( + x x 0 ( ) f(x) f(x) ) = ex x0 g(x) (f(x) ) g(x) g(x) (f(x) ) x x0 Así pues, en resumen, esta indeterminación se resuelve siempre con la siguiente fórmula: = f(x) g(x) = e g(x) (f(x) ) x x0 x x 0 Veamos un ejemplo de esto. Si tenemos el límite: (2x + x x + 2 ) x =
Al sustituir por la x y hacer el límite. Ahora, sumamos y restamos uno dentro del paréntesis: 2x + ( + x x + 2 ) x Juntamos la fracción en una sola: x ( + x x + 2 ) x Ahora, sustituimos el x x+2 por el inverso del inverso, es decir: ( + x x + 2 x Ahora, elevamos todo al numerado y a su inversa, y usamos la propiedad de que el límite de la potencia es la potencia de los límites, y nos queda: ) x Y por lo visto anteriormente, x ( + ) x + 2 [ x x+2 x ] x x x+2 x Luego ( + x x + 2 x ) x+2 x = e (2x + x x + 2 ) x = ex x+2 = e 3 3 = e
Ejercicio 9: Resuelve los siguientes límites a) 4 x2 x 2 3 x 2 +5 d) ( x+2 ) x 2 x 2 2x 3x b) 2 + x + x+3 e) )x+ x + (2x+ 2x 3x c) 2 +3x x + x 2 f) +2x+ x + ( 3x2 2x+7 ) g) x + 4x2 3x + 7 2x h) x 2 x3 4x x 2 3x+2 5. Asíntotas En cursos anteriores se ha hablado algunas veces de que las funciones presentan asíntotas, pero qué es esto? Por expresarlo de una manera sencilla, una asíntota es una recta a la que la función se aproxima hasta tocarse en el infinito. Este tipo de rectas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas. 5. Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales son rectas del tipo y = k, con k un número, a las cuales la función se va aproximando indefinidamente en el infinito o en el menos infinito. Para calcular las asíntotas horizontales de una función f(x), basta con calcular los límites en el infinito y ver si da como resultado un número Por ejemplo, para la función f(x) = k x + f(x) = k x Entonces f(x) = 6x3 x 2x 3 + x 2 x + 6x 3 x 2x 3 + x 2 = 6 2 = 3
x 6x 3 x 2x 3 + x 2 = 6 2 = 3 Luego la función se aproxima a la recta y = 3 cuando tiende a + y a. Veamos el dibujo: Como se puede apreciar, la función verde se aproxima a la recta y = 3 cuando la x se hace muy grande o muy pequeña. 5.2 Asíntotas verticales Las asíntotas verticales son rectas del tipo x = k, con k un número. Para ver qué rectas son asíntotas horizontales, hay que mirar los puntos k tales que f(x) = ± x k Entonces, la función x = k es una asíntota vertical de f(x). Hay que destacar que aquí basta con que uno de los límites laterales se vaya a infinito, de manera que habrá una asíntota vertical aunque no exista el límite. Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos la función x2 f(x) = x 2
Sabemos que en un cociente de polinomios, las raíces del denominador pueden hacer que la función se vaya a ±. Así pues: Luego las raíces son ±. Así: x 2 = (x + ) (x ) x 2 x + x 2 = + x 2 x x 2 = x 2 x + x 2 = x 2 x x 2 = + Así pues, la función f(x) presenta dos asíntotas verticales, que son x =, x =. Veamos el dibujo. Como se puede ver, la función se aproxima a x = y x = tanto como se quiera. Ejercicio 0: En la función del ejercicio anterior hay una asíntota horizontal, podrías calcular cuál es?
5.3 Asíntotas oblicuas Las asíntotas oblicuas son rectas del estilo y = mx + n, a las que la recta se aproxima tanto como se quiera. Para calcular las asíntotas oblicuas, hay que calcular el siguiente límite: f(x) m = x x n = x (f(x) m x) De manera que para saber si la función tiene o no una asíntota oblicua, basta con calcular los límites f(x) x x Veamos un ejemplo. Sea f(x) (f(x) m x) x f(x) = x2 + 2 x 2 Entonces: f(x) m = x x = x x 2 + 2 x 2 x = x x 2 + 2 x 2 2x = n = ( x2 + 2 + 2 m x) = x x 2 x (x2 x 2 x) = = x ( 2x + 2 x 2 ) = 2
De manera que la recta y = mx + n = x + 2 es una asíntota oblicua. Veamos la gráfica Ejercicio : La gráfica del ejemplo anterior tiene una asíntota vertical. Podrías indicar cuál es? Por qué? Ejercicio 2: Calculas las diferentes asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 b) f(x) = x4 + x2 c) f(x) = (x ) 2 2 x 2 x d) f(x) = x +x 2 e) f(x) = x2 3x+2 x 2 + f) f(x) = x2 x 2 g) f(x) = e x h) f(x) = (x ) e x i) f(x) = ln(x) x