Práctic # 6 MAT-122: Cálculo Diferencil e Integrl II, Dr. Porfirio Suñgu S. 1. Fórmuls Básics de Newton-Cotes Considere f : [, b] R diferencible ls veces que se necesri según cd método. Ddo el número de subintervlos n, defin el tmño de pso uniforme h = (b )/n, luego tome = +ih pr i =, 1, 2, n. Se E el error ddo por el vlor bsoluto del último término de ls fórmuls, donde ξ i es lgún número entre y +1, como µ es lgún núemro entre y b. Luego un cot superior de E E máx se clcul como el máximo de l mism sobre el intervlo [, b]. Dd un tolernci ɛ > es posible clculr n, es decir se encuentr el menor n tl que E máx ɛ. P : Punto Medio xi+1 P 1 : Regl de Trpecio f(x)dx = hf( ) + h3 3 f (ξ i ), donde = + +1, luego 2 n 1 f(x)dx = h f( x k ) + b 3 h2 f (µ), E E máx = b 3 h2 máx f (x) (1) x b k= xi+1 f(x)dx = h n 1 2 [f() + 2 P 2 : Regl de Simpson 1/3 f(x)dx = h 3 [f() + 4f(+1 ) + f(+2 )] h5 9 f (4) (ξ i ), luego pr n pr f(x)dx = h[ f() + f(+1) ] h3 2 12 f (ξ i ), luego k=1 xi+2 f(x)dx = h n/2 3 [f() + 4 f(x k ) + f(b)] b 12 h2 f (µ), E b 12 h2 máx x b f (x) (2) donde E E máx = b 18 h4 máx x b f (4) (x). P 3 : Regl de Simpson 3/8 luego pr n múltiplo de 3 xi+3 (n/2) 1 f(x 2j 1 ) + 2 f(x 2j ) + f(b)] b 18 h4 f (4) (µ) (3) f(x)dx = 3h 8 [f() + 3f(+1 ) + 3f(+2 ) + f(+3 )] 3h5 8 f (4) (ξ i ), f(x)dx = 3h n/3 n/3 (n/3) 1 8 [f()+3 f(x 3j 2 )+3 f(x 3j 1 )+2 donde E E máx = xi+4 3(b ) h 4 máx 24 f (4) (x). x b f(x 3j )+f(b)] 3(b ) h 4 f (4) (µ) 24 P 4 : Boole f(x)dx = 2h 45 [7f() + 32f(+1 ) + 12f(+2 ) + 32f(+3 ) + 7f(+4 )] 8h7 945 f (6) (ξ i ), luego pr n multiplo de 4 f(x)dx = 2h n/2 n/4 45 [7f()+32 f(x 2j 1 )+12 (n/4) 1 f(x 4j 2 )+14 (4) 8(b ) f(x 4j )+7f(b)] 378 h6 f (6) (µ) (5)
donde E E máx = 8(b ) 378 h6 máx x b f (6) (x). Ejemplo 1.1. Pr n = 8, sen h = (5 ( 3))/n = 1, = 3 + i pr i =, 1, 2,, n 5 3 3 sen 2xdx 1 3[sen( 6) + 2(sen( 4) + + sen 8) + sen 1] = 1,73 2 Figur 1: Método del Trpecio Ejemplo 1.2. Pr n = 4, sen h = (5 ( 1))/n = 1,5, = 1 + 3i/2 pr i =, 1, 2,, n 5 1 2 sen 3xdx 1 2[sen( 3) + 4 sen(4,5) + 2 sen(6) + 4 sen(1,5) + sen 15] =,42 3 Figur 2: Método des Simpson 1/3 2
2. Ejercicios 1. Pr cd método, hllr el mínimo n tl que el error de promimción se menor o igul que un tolernci ɛ > dd, luego plicr el método pr clculr un proximción de l integrl. Clculr ls siguientes integrles por el A) Método de Riemnn del Punto Medio, B) Método de Trpecios, C) Método de Simpson 1/3 y D) Método de Simpson 3/8 ) b) c) g) 2 9 4 3 1 π x 2 dx, xdx, ɛ = 1 8 ɛ = 1 3 (4 x 2 )dx, ɛ = 1 3 f(x)dx, ɛ = 1 3, donde f(x) = d) e) f ) 2 x x 2 + 1dx, π/2 cos(x 2 )dx, π π/2 { sen x x, x > 1, x = x sen xdx, ɛ = 1 2 ɛ = 1 2 ɛ = 1 2 2. Con l yud de lgún plictivo computcionl, clculr el vlor excto de ls integrles del Ejercicio 1, clculr el error excto y comprr con l cot superior del error utilizd pr clculr n, l cul deberi resultr menor que l tolernci ɛ. 3. Use l Regl de Simpson 1/3 con n = 14 pr clculr el áre limitd por ls curvs y rects y = x cos x, y =, x = y x = π/2. 4. L Tbl muestr diverss medids de un experimento que determin proximciones de un función contínu y = f(x). Clcule proximdmente l integrl Regl de Trpecios y l Regl de Simpson 1/3. 2 x..25.5.75 1. 1.25 1.5 1.75 2. y 4.32 4.36 4.58 5.79 6.14 7.25 7.64 8.8 8.14 f(x)dx utilizndo l 5. Clculr el vlor proximdo de π clculndo l integrl por el método de Simpson 1/3 pr tres vlores de n, donde ) π = 1/2 6 1 dx, b) π = 4 1 x 2 1 + x dx 2 6. Use l Regl de Simpson 1/3 pr n = 1 y un sistem de mnipulción lgebric pr clculr un proximción de t de l ecución integrl t sen( x)dx = 2 7. El gráfico de f consiste de tres segmentos de rect unio los puntos (, ), (2, 2), (6, 2) y (8, 3). Defin F (x) = x f(t)dt 3
) Esboce el gráfico de f b) Complete l tbl x 1 2 3 4 5 6 7 8 F (x) c) Clcule los extremos de F en el intervlo [, 8] (máximos y mínimos) d) Determine los puntos de inflexion de F en [, 8]. 8. Use un Sum de Riemnn propido pr clculr los siguientes límites 1 + 2 + + n ) lím n n 3/2 b) lím n 1 5 + 2 5 + + n 5 n 6 Si prefiere, puede generr un rchivo digitl llmdo pr6_mt122_apellidosnombres.pdf y envir por correo electrónico mterispss+mt122@gmil.com. 3. Algoritmos y progrms computcionles Algoritmo de Simpson 1/3: Pr Aproximr l integrl I = ENTRADA: Límites de integrción y b. Entero positivo pr n SALIDA: Aproximción S I Pso 1: Tome h = (b )/n Pso 2: Defin S = f() + f(b) S1 = (Sum de terminos impres) S2 = (Sum de términos pres) Pso 3: Pr i = 1, 2, n 1 efectue 4 y 5 Pso 4: Tome x = + ih Pso 5: Si i es pr, sume S2 = S2 + f(x) sino, sume S1 = S1 + f(x) Pso 6: Clcule S = h(s + 2 S2 + 4 S1)/3 Pso 7: Retorne S y Pre f(x)dx: Construcciones Geogebr En l págin oficil de l Crrer de Mtemátic se encuentrn los rchivos Geogebr que ilustr gráficmente los métodos numéricos desrrolldos http://cmt.ums.bo/pgins.php?pg=1 4
Progrm MATLAB Progrm MATLAB que implement los métodos de Newton-Cotes que se debe ejecutr como función de 4 rgumentos. Ej. integnum( 2*sin(3*x),-1,5,6,2) function integnum(f,,b,n,d) %f=función integrr f(x)de tipo string 2*sin(3*x) ; %=límite inferior; %b=límite superior; %n=número de subintervlos (n multiplo de d %d=grdo del polinomio de proximción %d= Riemnn, d=1 Trpecio, d=2 simpson1/3, d=3 Simpson3/8, d=4 Boole if mod(d,1)> d< d>4 fprintf( d debe ser entero positivo entre y 4\n ); return; if d>1 && mod(n,d)> n = floor(n/d)*d + d; fprintf( Se redefine n=%i l entero superior multiplo de %i\n,n,d); h=(b-)/n; x=:h:b; xh=x; y=evl(f); yh=y; if d== %Metodo Rectngulr o de Riemnn Sn=h*sum(y(1:n)); fprintf( \nriemnn Rn = %.15f\n,Sn); elseif d==1 %Método de Trpecio sum=y(1)+y(n+1)+2*sum(y(2:1:n)); Sn=sum*h/2; fprintf( \ntrpecio Tn = %.15f\n,Sn); elseif d==2 %Método de Simpson 1/3 sum=y(1)+y(n+1)+4*sum(y(2:2:n))+2*sum(y(3:2:n-1)); Sn=sum*h/3; fprintf( \nsimpson1/3 Sn = %.15f\n,Sn); elseif d==3 %Método de Simpson 3/8 sum=y(1)+y(n+1)+3*sum(y(2:3:n-1))+3*sum(y(3:3:n))+2*sum(y(4:3:n-2)); Sn=sum*3*h/8; fprintf( \nsimpson3/8 Sn = %.15f\n,Sn); elseif d==4 %Método de Boole sum=7*(y(1)+y(n+1))+32*sum(y(2:2:n))+12*sum(y(3:4:n-1))+... 14*sum(y(5:4:n-3)); Sn=sum*2*h/45; fprintf( \nboole Bn = %.15f\n,Sn); %grfico dk=(b-)/1; x=:dk:b;y=evl(f); plot(x,y); hold on; xlbel( X ); ylbel([ Y = f]); if d== title([ Integrl Riemnn Rn = num2str(sn)]); elseif d==1 title([ Integrl Trpecio Tn =,num2str(sn)]); elseif d==2 title([ Integrl Simpson1/3 Sn =,num2str(sn)]); 5
elseif d==3 title([ Integrl Simpson3/8 Sn =,num2str(sn)]); elseif d==4 title([ Integrl Boole Bn =,num2str(sn)]); if d> for k=1:d:n xk=xh(k):dk:xh(k+d); cpol=polyfit(xh(k:(k+d)),yh(k:(k+d)),d); pol=polyvl(cpol,xk); stem(xk,pol, y. ); plot(xk,pol, r ); elseif d== for k=1:n xk=xh(k):dk:xh(k+1); cpol=yh(k); pol=polyvl(cpol,xk); stem(xk,pol, y. ); plot(xk,pol, r ); stem(xh,yh,. );line(x,y); hold off; L ejecución en l ventn de comndos muestr el vlor de l integrl proximd y su ilustrción gráfic en ventn seprd >> integnum( 2*sin(3*x),-1,5,4,2) Simpson1/3 Sn =.421533742228936 Integrción Numéric en Internet Python: http://rodrigogr.com/blog/tg/metodos-numericos/ Integrción Numéric en line: http://www.billetesrgentinos.com.r/sites/clculo Integrción Numéric interctiv: http://www.zweigmedi.com/mundorel/integrl/numint.html Google Ply: https://ply.google.com/store/pps/detils?id=com.num.intsimp 6