de Sitem y Automátic Tem 3. Modeldo de item fíico Automátic º Curo del Grdo en Ingenierí en Tecnologí Indutril
de Sitem y Automátic Contenido Tem 3.- Modeldo de item fíico 3.. Introducción. 3.. Modeldo de item fíico. 3... Sitem eléctrico y electrónico. 3... Sitem mecánico. 3..3. Sitem electromecánico. 3.3. Linelizción de modelo mtemático de item no linele.
de Sitem y Automátic Introducción Concepto de modelo: Sitem fíico:
de Sitem y Automátic Introducción Concepto de modelo: Sitem fíico: Perturbcione L relción R que lig l ccione U i entrd con lo efecto Y j lid, egún Y = RU, contituye el modelo del item. Ver vídeo
de Sitem y Automátic Introducción Tipo de modelo:. Modelo mentle: on lo propio de l peron. Son imprecio, difícile de comunicr y borroo.. Modelo fíico: on cotoo en tiempo y en dinero. Modelo etático: Modelo ecl; modelo de imitción. Modelo dinámico: Anlogí o modelo nálogo; prototipo. 3. Modelo imbólico: No mtemático: Lingüítico, y en verble o ecrito. Gráfico o equemático: mp, digrm de flujo Mtemático: Relcione entre l ditint vrible del item modelr en l correpondiente etructur mtemátic ecucione.
Introducción Modelo mtemático: Contrucción de un modelo mtemático. Etp. Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic
Introducción Modelo computerizdo: Etp eguir pr u elborción:. Decompoición del item en ubitem.. Aplicción de leye de conervción m, momento, energí, en cd ubitem obtención de l ecucione crcterític de cd ubitem. Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic 3. Prticulrizción de l expreione obtenid pr lo vlore de lo prámetro crcterítico de lo elemento del ubitem. El reultdo obtenido e un modelo forml del item 4. Progrmción de ecucione del modelo trvé de oftwre propido Simulink, Modelic,.
de Sitem y Automátic Contenido Tem 3.- Modeldo de item fíico 3.. Introducción. 3.. Modeldo de item fíico: 3... Sitem eléctrico y electrónico. 3... Sitem mecánico. 3..3. Sitem electromecánico. 3.3. Linelizción de modelo mtemático de item no linele.
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Concepto báico: Ley de Ohm: L corriente eléctric I en un conductor o circuito, e igul l diferenci de potencil V obre el conductor o circuito, dividido por l reitenci R que opone u po. V I R
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Concepto báico cont.: Leye de Kirchoff:. L um de l tenione en un lzo cerrdo e igul cero. V 0 Leye de conervción
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Concepto báico cont.: Leye de Kirchoff: Leye de conervción. L um de l corriente que entrn en un nodo e igul l um de l corriente que len del mimo. I e I I e I 0
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Elemento contitutivo: Generdor de corriente Generdor de tenión
Modeldo de item eléctrico y electrónico Elemento contitutivo cont.: e Ri R e C ic dt Reitenci Condendor Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Bobin Trnformdor
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Circuito LRC L R e i i C e o Aplicmo l ecución de conervción: L di dt R i t i t dt ei t C e o t i t dt C
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Circuito LRC Aplicmo l trnformd de Lplce l ecucione diferencile: I L I R I Ei C I E o C I L Ei R C
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Circuito LRC Contruimo el digrm de bloque E i L R C I C E o y obtenemo l función de trnferenci del circuito, reduciendo dicho digrm. E0 G E L C i R C
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Impednci complej: L impednci complej Z de un circuito de do terminle e el cociente entre l trnformd de Lplce de l tenión exitente entre lo terminle, E, y l trnformd de Lplce de l corriente trvé del circuito, I, bjo l upoición de que l condicione inicile on cero. I Z E Z E I
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic ESQUEMA ADMITANCIA COMPLEJA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA IMPEDANCIA COMPLEJA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA R L C t i R t e dt di L t e dt i C t e R E I L E I /C E I /R I E /L I E C I E R E I I R E L E I I L E C E I I C E R I E Z L I E Z C I E Z Modeldo de item eléctrico y electrónico
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Impednci complej: Función de trnferenci de circuito erí: C Z R L Z L R C e i e o i e i e o Z Z Modeldo de item eléctrico y electrónico 0 C R C L Z Z Z E E G i
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Funcione de trnferenci de elemento en ccd: Mucho item relimentdo tienen componente que crgn otro: Aplicndo l Trnformd de Lplce uponiendo condicione inicile nul l función de trnferenci erí: o i e dt i C dt i C R i dt i i C e R i dt i i C 0 R C C R R C C R R C E E i o
Modeldo de item eléctrico y electrónico Funcione de trnferenci de elemento en ccd: No obtnte, coniderndo l do mll independiente, e obtendrí el iguiente modelo lterntivo. Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Eo E i R C R C R C R C L función de trnferenci erróne obtenid í difiere de l obtenid nteriormente bjo upoición de crg entre componente. R C R C
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdore opercionle AO Son dipoitivo electrónico be de l electrónic nlógic linel y no linel. i - e - e + e o i + Propiedde del AO idel:. Tierr virtul o corto virtul: e + = e L tenión entre lo terminle de entrd + y - e nul.. Impednci de entrd infinit: i + = i = 0 L corriente entre lo terminle de entrd + y - e nul. 3. Impednci de lid nul: Slid como fuente de tenión idel. 4. Gnnci infinit: e o = Ae + - e A infinit.
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdore opercionle AO
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Amplificdor inveror: z z i + e + i - e - 0 / ; / 0 0; I I Z V I Z V I i i e e i Z Z V V G i o Modeldo de item eléctrico y electrónico
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdor inveror cont.: Configurcione frecuente. Z Z G R R C R R R R C C R R C R R R C R R C R C R RC R R R R C R / R R C R / RC R R C RC C { C R C R C }
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdor umdor inveror: V V V n z z z n i i i n i - e - i + e + z r i r I I I r r V V n j / Z ; I V / Z ; ; o I / Z j ; r ; I n V n / Z n ; V o n j V j Z Z r j
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdor NO inveror: 0 / ; / 0; I I Z V V I Z V I V e i i i i z z i + e + i - e - V i Z Z V V G i o
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Amplificdor umdor NO inveror: z z r z b I e V e / Z ; I V e / Z ; ; I V e e ; n n / Z n ; V V V n z z z n i i i n i b ii -- e -- i i + e + e n j V o V I j o / Z 0; Z Z n j b b e V n j n j j e V Z j j Z j / Z ; / Z j 0;
de Sitem y Automátic Modeldo de item eléctrico y electrónico Seguidor de tenión: Vo V i G
de Sitem y Automátic Contenido Tem 3.- Modeldo de item fíico 3.. Introducción. 3.. Modeldo de item fíico: 3... Sitem eléctrico y electrónico. 3... Sitem mecánico. 3..3. Sitem electromecánico. 3.3. Linelizción de modelo mtemático de item no linele.
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Concepto báico: L m de un cuerpo e l cntidd de mteri que contiene. L fuerz e define como l cu que tiende producir un cmbio en el movimiento del cuerpo l cul e plic.
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Concepto báico cont.: Segund ley de Newton pr lo item de trlción: L fuerz plicd un cuerpo e igul m dicho cuerpo por u celerción. m i F i Leye de conervción Segund ley de Newton pr lo item de rotción: En eto item el equivlente del concepto m y fuerz correponde l de inerci y pr, repectivmente. J T i i donde J el momento de inerci de l crg T l celerción ngulr y el pr plicdo.
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Elemento contitutivo it. de trlción: M, muelle y mortigudor. Amortigudor K N m B N m
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Elemento contitutivo it. de trlción cont.: Plnc. Trnformdor de fuerz
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Obtención de ecucione dinámic it. trlción:. Indicción de lo entido de deplzmiento en cd m y determinción de item de referenci coherente con lo mimo.. Trzdo del digrm del cuerpo libre pr cd m e utituyen lo vínculo por fuerz vinculre. 3. Aplicción de Leye de l mecánic de Newton en cd m: Ecución de conervción
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Cuerpo obre crro: y u Cuerpo ecucione dinámic? ut yt m b k deplzmiento del crro l entrd del item, deplzmiento del cuerpo obre el crro l lid del item, m del cuerpo, coeficiente de fricción vico de l uperficie del crro, e l contnte del muelle.
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Cuerpo obre crro cont.:. Digrm del cuerpo libre: m. Plntemo l ecución: Amortigudor Muelle
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Cuerpo obre crro cont.: 3. Reordenmo lo término: 4. Aplicmo l trnformd de Lplce l ecución nterior, pr condicione inicile nul: 5. Y obtenemo l función de trnferenci del item:
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Do cuerpo conectdo: ecucione dinámic?
Modeldo de item mecánico Do cuerpo conectdo cont.: Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Elemento contitutivo it. de rotción: Inerci, muelle y mortigudor. Amortigudor T T T K Nm rd B Nm rd
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Elemento contitutivo it. de rotción cont.: Reductor. Trnformdor de pr T n θ T T T θ n
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Obtención de ecucione dinámic it. rotción:. Indicción de lo entido de rotción en cd inerci y determinción de item de referenci coherente con lo mimo.. Trzdo del digrm del cuerpo libre pr cd inerci e utituyen lo vínculo por pre vinculre. 3. Aplicción de Leye de l mecánic de Newton en cd inerci: Ecucione de conervción
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Do inerci conectd con muelle: Inerci Soporte Muelle momento de inerci nulo Inerci ecucione dinámic?
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico Do inerci conectd con muelle cont.: Mimo item de referenci
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico ESQUEMA ECUACIONES BLOQUE FUNCIONAL M in rozmiento ft xt f t M in rozmiento ft vt f t M in rozmiento vt xt
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic ESQUEMA ECUACIONES BLOQUE FUNCIONAL b k M ft xt in rozmiento k b k b M F X X k b M F k t x b dt t dx M dt t x d t f F X k b M k F X F T X k F D C t x k t f R T...... b F X F T X b F D C dt t dx b t f R T...... F X b F X k Modeldo de item mecánico
de Sitem y Automátic Modeldo de item mecánico ESQUEMA ECUACIONES BLOQUE FUNCIONAL pt J t p t d t J dt P J P J k pt t p t k t P k P k pt B t d t p t B dt P B P B k B t pt d t d t p t J B t k dt dt P J B k P J B k
de Sitem y Automátic Contenido Tem 3.- Modeldo de item fíico 3.. Introducción. 3.. Modeldo de item fíico: 3... Sitem eléctrico y electrónico. 3... Sitem mecánico. 3..3. Sitem electromecánico. 3.3. Linelizción de modelo mtemático de item no linele.
Modeldo de item electromecánico Concepto báico: t: trnlcionl Uo de dipoitivo de coplmiento t pr l converión de mgnitude eléctric mecánic o vicever. Vel. ng. Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Sitem de trlción Cte. del pr motor K m e K b 3 Sitem de rotción Cte. de fuerz contr-electromotriz del motor
Modeldo de item electromecánico Motor de corriente continu: i R L K m i f = cte. Cte. del pr motor B Coef. fricción vico crg e e m Cte. de fuerz contrelectromotriz del motor K b,t Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Cte. de fuerz contrelectromotriz del motor Contnte del pr motor di e t L R i dt * d d e m t K b t dt dt T t K i t i t * m t e m t Flujo mgnético en l rmdur Si e m t K i t f d d T t J B 0 dt dt d t,, T t e i t dt Kb K m f = cte. item de unidde p.e., SI, e cumple: etán expredo en el mimo
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Motor de corriente continu cont.: Aplicndo l trnformd de Lplce l ecucione: Contruimo el digrm de bloque del item: T B J I K T K E E E I R L m b m m E E I R L m B J T error E E R L I m
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Motor de corriente continu cont.: Función de trnferenci del motor CC i e conider que l vrible de lid e l poición ngulr del eje motor: L inductnci L en el circuito de inducido generlmente e pequeñ y e puede deprecir, por tnto: ] [ b m m P K K B R J R B L J L K E G T K E G m gm P b m m K K B R J R T b m m gm K K B R K K Gnnci del motor Cte. de tiempo del motor
de Sitem y Automátic Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Motor de corriente continu cont.: Función de trnferenci del motor CC i e conider que l vrible de lid e l velocidd ngulr del eje motor: L inductnci L en el circuito de inducido generlmente e pequeñ y e puede deprecir, por tnto: G G E E Ω G P V V T K E Ω G m gm V b m m V K K B R J R B L J L K E Ω G Ω dt d t Sbiendo que:
Modeldo de item electromecánico Generdor de corriente continu: i f R f R L i e f L f e g e o,t g Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic e e g ~ Cte. de fuerz contrelectromotriz del motor ~ Cte. del pr motor e T f g g t L t L t K t K f g di f R f i f t dt di Ri t e dt d t dt t i t g o t Si e g Flujo mgnético en l rmdur t K i t T ext T d t,, t, Tg t e i t dt item de unidde p.e., SI, e cumple: g f f d d t J B 0 dt dt etán expredo en el mimo K K g g
Modeldo de item electromecánico Potenciómetro: de rotción de trlción E Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic e o t E E t mx e o t E x mx x t
de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Tcómetro: e o t K t Vel. ngulr
Modeldo de item electromecánico Servomecnimo de poición: Obtener l función de trnferenci de lzo cerrdo pr el mecnimo de poición de l figur, uponiendo que l entrd y l lid del item on l poición del eje de entrd y l poición del eje de lid, repectivmente. Gnnci potenciométric R L Motor CC Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Error r-c Potenciometro r Gnnci mplificdor e K l K p e i e b T i f cont N. N r = deplzmiento ngulr del eje de entrd de referenci, en rdine. c = deplzmiento ngulr del eje de lid, en rdine. θ = deplzmiento ngulr del eje del motor, en rdine. e = tenión plicd l inducido, en voltio. e b = fuerz contr-electromotriz, en voltio. i = intenidd de corriente del devndo de inducido, en mperio. Reductor f c Potenciometro
de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Servomecnimo de poición cont.: Supóngne lo iguiente vlore numérico pr l contnte del item: K l = gnnci del detector de error potenciométrico = 4/π V/rd K p = gnnci del mplificdor = 0 V/V R = reitenci del devndo de inducido = 0. L = inductnci del devndo de inducido = deprecible K b = contnte de fuerz contr-electromotriz = x 0-4 V/rd/ K = contnte de pr motor = x 0-4 N-m/A J = momento de inerci del eje motor inc. crg = 5,4 x 0-5 Kg-m f = coeficiente de fricción vico del eje motor inc. crg = 4 x 0-4 N-m/rd/ n = relción de engrnje N /N = /0
Modeldo de item electromecánico Servomecnimo de poición cont.: El detector de error potenciométrico: E Kl[ R C ] 7,64[ R C ] y pr el mplificdor: Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic E K E 0E p Pueto que l función de trnferenci del motor de CC, umiendo que l lid del item e l poición ngulr, e: E T K m gm
Modeldo de item electromecánico Servomecnimo de poición cont.: Y biendo que: K gm R f K KK b 0.40 4 4 0 0 4 0 4.5 Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic T m R Tenemo: R J f KK b 0.5.40 4 0.40 0 E.5 0.3 5 4 0 4 0.3
de Sitem y Automátic Modeldo de item electromecánico Servomecnimo de poición cont.: Contruimo el digrm de bloque del item: R 7,64 E 0 E.5 0.3 0 C L función de trnferenci de lzo cerrdo de ete item e: C R 73.46 7.69 73.46
de Sitem y Automátic Contenido Tem 3.- Modeldo de item fíico 3.. Introducción. 3.. Modeldo de item fíico: 3... Sitem eléctrico y electrónico. 3... Sitem mecánico. 3..3. Sitem electromecánico. 3.3. Linelizción de modelo mtemático de item no linele.
de Sitem y Automátic Linelizción de item Sitem linele v. Sitem NO linele: Relción linel entre tod u vrible: F x t, x t,, x t n x t 0 F x t, x t 0 x t Tienen l propiedd de l linelidd: xt vt Sitem Linel Sitem Linel yt wt Ax t Bv t Sitem Ay t Bw t Linel
de Sitem y Automátic Linelizción de item Sitem linele v. Sitem NO linele cont.: Relción NO linel entre tod u vrible: F x t, x t,, x t n x t 0 F x t, x t 0 x t NO tienen l propiedd de l linelidd: xt vt Sitem No Linel Sitem No Linel yt wt Ax t Bv t Sitem Ay t Bw t No Linel
de Sitem y Automátic Linelizción de item Punto de operción En Ingenierí e trbj uulmente en torno lo que e denomin punto de operción. En e condicione, lo modelo de lo item, que uelen er por nturlez no linele, pueden proximre rzonblemente por item linele, iempre y cundo el vlor de l vrible que definen el comportmiento del item no e leje demido del que tienen en el punto de operción. y 0 = El procedimiento de linelizción que e derrollrá quí e b en l expnión de funcione no linele lrededor del punto de operción emplendo erie de Tylor.
de Sitem y Automátic Linelizción de item Método de l perturbcione expnión en erie de Tylor: En el co de un item etático cuyo modelo fuer repreentble medinte un función f no linel, de l form y = fu, e plicrá el método de l perturbcione coniderndo pequeñ vricione lrededor del punto de operción crcterizdo por u 0 e y 0, iendo y 0 = f u 0. Pr plicr dicho método: El. nuevo L vrible modelo independiente obtenido u e reemplz etá expredo por en término incrementle y tiene crácter linel. Ete modelo no erí etrictmente. L vrible linel dependiente i e expre y = fu e en repreent términopor boluto por tener término independiente: y - y 0 = ḟ u 0 u - u 0. 3. Aplicndo y = fu l expnion en erie de Tylor, e obtiene y tomndo ólo el término de l primer derivd proximción l tngente, e obtiene:
de Sitem y Automátic Linelizción de item Método de l perturbcione expnión en erie de Tylor: En el co de un item etático de múltiple vrible de entrd i.e. multivrible cuyo modelo fuer repreentble medinte un función f no linel, de l form en el que e coniderrá como punto de operción el crcterizdo por e y 0, iendo y 0 =. L derivd prcile que precen en et expreione hn de er evlud en el punto de operción i.e. on vlore contnte. El nuevo modelo obtenido etá expredo en término incrementle y tiene crácter linel.
Linelizción de item Método de l perturbcione expnión en erie de Tylor: En el co de un item dinámico cuyo modelo fuer repreentble medinte un ecución diferencil dependiente de un función F no linel, de l form, en el que e coniderrá como punto de operción el crcterizdo por, podrí plicre el procedimiento motrdo en el co nterior in má que coniderr l función F como un función no linel de múltiple vrible: l entrd y u derivd y l lid y u derivd. Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic L derivd prcile que precen en et expreione hn de er evlud en el punto de operción i.e. on vlore contnte. El nuevo modelo obtenido etá expredo en término incrementle y tiene crácter linel.
de Sitem y Automátic Linelizción de item El punto de operción: El punto de operción coniderdo uele er un punto de repoo o equilibrio, o e, un punto en el que l derivd de l eñle de entrd y lid on nul. Por otr prte, en dicho punto de operción deberá tifcere l ecución diferencil que decribe el comportmiento del item. Por tnto, en él deberá cumplire: El punto debe er olución de l ecución diferencil Eto permite reecribir l expreión obtenid nteriormente en l form iguiente: L derivd prcile que precen en et expreione hn de er evlud en el punto de operción i.e. on vlore contnte. El nuevo modelo obtenido etá expredo en término incrementle y tiene crácter linel.
de Sitem y Automátic Linelizción de item Crcterític de lo modelo linelizdo obtenido: L vrible quedn referid un item de eje centrdo en el punto de operción elegido. Hy tnt poible proximcione linele como punto de operción. Ventj e inconveniente: Ventj: Elimin l no linelidde de l ecucione y l contnte que precen como término independiente. Inconveniente: El modelo ólo e válido pr pequeñ vricione lrededor del punto de operción. Hy errore de cálculo fuer del punto de operción, que erán myore cunto má e leje el etdo del item de dicho punto.
Linelizción de item Péndulo: Obtener un modelo mtemático pr el item repreentdo en l figur y proceder u linelizción en u punto de equilibrio. T l T i T i J J m d T F d ml mgl in F,, T 0 Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic mgl in m mg Truco: Se clcul el punto de equilibrio o repoo: T 0 0 0 0 in 0 0 T ml mlg in 0 0 0 p p 0 0 p 0, 0, 0 0 T,, T 0 0 0,0, 0 0
de Sitem y Automátic Linelizción de item Péndulo: Si e lineliz l función F en torno ete punto, e obtiene: F F F T 0 T En ete co prticulr e cumple: 0 0 T 0 0 T T 0 T ml 0 T mlg co 0 T ml 0 p 0 0,0, 0 mlg T 0 ml Eto permite reecribir el modelo en término incrementle nteriormente obtenido como un modelo en término boluto: mlg T 0 ml mlg T 0 ml mlg T
FIN Deprtmento de Ingenierí de Sitem y Automátic Automátic º Curo del Grdo en Ingenierí en Tecnologí Indutril