C B 0 A

VI: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Recta Numérica.-Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado tan sólo un número real. Veamos un gráfico: Hacia el -... C B A Hacia el + -3 - - 3 3... Al punto se le asigna el valor (se le denomina ORIGEN) Al punto A se le asigna el valor 3 3 :Real Al punto B se le asigna el valor -. Al punto C se le asigna el valor -. Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes. (Hacia el + ) (Eje de Ordenadas) (Hacia el - ) Segundo Cuadrante (IIC) Tercer Cuadrante (IIIC) Primer Cuadrante (IC) Cuarto Cuadrante (IVC) (Eje de Abscisas) (Hacia el + ) (Hacia el - ) Nota: A la intersección de rectas se le denomina origen de coordenadas. Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la siguiente manera: P (a;b) en donde: a Abscisa del punto P b Ordenada del punto P

Observemos gráficamente: Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano. P(a;b) b a Veamos un ejemplo de Aplicación: Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano. a) P (3;) b) Q (-;) c) R (-;3) d) S (4;) Resolución: Q(-;) P(3;) - - - - -3 R(-;-3) 3 4 S(4;-) Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera:

Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.: b P(a;b) r a Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b). Calculemos su valor: b P(a;b) r a Por el teorema de Pitágoras calculemos r. r a b r a b Veamos un ejemplo de aplicación Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (; -3). Resolución: - Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( ; -3) en el plano:

P(-4;3) -4 r P 3 r R -3 R(;-3) Calculamos r p : rp rp 4 3 6 9 rp 5 5 Calculamos r R : rp rp rp 3 9 Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades: Su vértice es el origen de coordenadas. Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas. Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a que cuadrante pertenece dicho ángulo.

Analicemos Gráficamente Lado Final de IIC IC Eje positivo de las abscisas (lado inicial de todo ángulo en posición normal) Lado Final de IIIC O IVC a que el lado final de se encuentra en el IIC, entonces pertenece al IIC. a que el lado final de se encuentra en el IIIC, entonces pertenece al IIIC. Nota Importante: Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal? q n m O p Rpta.: R y p no son ángulos en posición normal porque su lado inicial no es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q si son ángulos en posición normal. Ejemplo de Aplicación: Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3; -4). Resolución: De inmediato se nos viene a la mente posibilidades:

3-4 P(3;-4) y son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero son los únicos? La respuesta es NO, cada uno de los puntos del plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar. A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los ángulos coterminales. Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con y por ser de menor magnitud. Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se denominan COTERMINALE, cuando sus lados finales coincide. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de vueltas o revoluciones. Veámoslo gráficamente: Para ángulos coterminales.

En la figura se observa: y poseen el mismo lado terminal. Además: = + vuelta - = vuelta Entonces y son COTERMINALES. En General: Si e son COTER-MINALES entonces = R (vueltas) = R (rad) = n (36 º). También son coterminales: Ambos con orientación negativa. n m Uno con orientación positiva y otro con orientación negativa. Para todos los casos se cumple la misma regla Nota: Si ángulos son coterminales entonces tendrán los mismo valores para sus razones trigonométricas. Es decir si y son coterminales: Sen + Sen Cos = cos Tg = Tg Sec = Sec Ctg = Ctg Csc = Csc

Nota Importante: Cambio de la orientación de un ángulo Sea el ángulo trigonométrico. - O O Observamos que para modificar la orientación de un ángulo lo que se hace es anteponerle un signo (-) y se le cambia el sentido a la flecha que representa la orientación del ángulo. De igual manera se realiza el cambio de orientación para un ángulo negativo (). O O (- ) Ángulos Cuadrantales: Un ángulo en posición normal es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Nota: Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante - Éstos ángulos son de la forma: Rad n x 9º ó R x (n :Entero) Ejm.: n (# Entero)

( )9 ó ( ) rad 9º ó rad ( )9 ó ( ) rad ()9 ó () rad º ó rad 9º ó rad ( )9 ó ( ) rad 8º ó rad 3 ( 3 )9 ó ( 3 ) rad 3 7º ó rad 4 ( 4 )9 ó ( 4 ) rad 36º ó rad Valores de las Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 9 8 7 36 Sen - Cos - Tg ND ND Ctg ND ND ND Sec ND - ND Csc ND ND - ND ND: No definido Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal: Sea un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a su lado final. Definimos las razones trigonométricas de de la siguiente manera:

P(a;b) r b Donde a O r a b Sen Cos ordenadade P Radio Vector abscisa de P Radio Vector a r b r Tg Ctg Sec Csc Ordenada de P Radio Vector Abscisa de P Ordenada de P Radio Vector Abscisa de P a r r a Radio Vector Ordenada de P a b r b Ejm. de Aplicación: Siendo P (-; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal. Calcular: A 3 Resolución: 5 Sen Cos P(-;4) r 4 - O

Calculamos: r 4 4 6 r 5 Calculamos Sen y Cos Ordenada de P 4 Sen RadioVector 5 Abscisade de P Cos RadioVector 5 5 5 Reemplazamos A 3 5 5 3( ) 5 A = 9 Rpta. Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.) Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro: Sen y Csc Las demás R.T. Son (-) (+) Todas las R.T. Son positivas Tg y Ctg Las demás R.T. Son (-) Cos y Sec Las demás R.T. Son (-) (+) (+) Para recordar: Primer Cuadrante P Positivos todas R.T. Segundo Cuadrante S Seno y su Co-Razón (Csc) son (+) Tercer Cuadrante T Tangente y su Co Razón (Ctg) son (+) Cuarto Cuadrante C Coseno y su Co-Razón (Sec) son (+)

VII: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE La conservación de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un ángulo del primer cuadrante se llama: reducción al primer cuadrante También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en forma directa mediante reglas practicas las cuales mencionaremos a continuación recordando antes que: - Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno. - Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente. - Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante. I Regla: Para ángulos positivos menores a una vuelta. R. T 9 co rt 7 R. T 8 RT 36 Importante! - El signo + ó del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir. - se considera un ángulo agudo. Ejemplos de Aplicación:. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 5º b) Tg º c) Sen 3º d) Sec 5º e) Csc 4º f) Ctg 345º Resolución: a. Cos 5º = Cos (8º - 3º) = -Cos 3º El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (5º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo b. Tg º = Tg (8º + º) = + Tg º. El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir () pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva. c. Sen 3º = Sen (7º + 5º) = -Cos 5º El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (3º) pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 7º. d. Sec 5º = Sec (9º + 5º) = - Csc (5º)

Ojo: También se pudo haber resuelto de la siguiente manera: Sec 5º = Sec(8º - 65º) = - Sec (5º) Ambas respuestas son correctas, por ser éstas equivalentes - Csc 5º = - Sec 65º Csc 5º = Sec 65º a que: sen Cos tag Ctg sec Csc Donde: y suman 9º Nota: Se eliminan los múltiplos de 36º. Ejemplos de Aplicación. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º) b) Cos (987º) c) Tg (4º Resolución a) Sen548 = sen( 36 + 88 ) = sen88 Luego: Sen548 = sen88 = sen(8 + 8 ) = -sen8 ó sen548 = sen88 = sen(7-7 ) = -cos7 Nota: A éste par de ángulos se les denomina Ángulo Complementarios. b) Cos987 = cos( 36 + 67) = cos67 Luego: e) Csc 4º = Csc (8º + 6º) = - Csc (6º) ó Csc 4º = Csc (7º - 3º) = - Sec (3º) f) Ctg 345º = Ctg (7º + 75º) = Cos987 = cos67 = cos(8 + 87 ) = -cos87 ó cos987 = cos67 = cos(7-3) = -sen3 - Tg (75º) ó Ct 345º = Ctg (36º - 5º) = - Ctg 5º II Regla: Para ángulos positivos mayores de una vuelta. 36 5 R. T R. T n c) Tg4 =Tg(3 36 + 6 ) = Tg6 Luego: Tg4 = Tg6.Tg(9

+ 7 ) = -ctg7 ó -Ctg(3 36 + 4 ) Ctg(- ) = -Ctg(4 ) Tg4 = Tg6 = Tg(8 - ) = -Tg III Regla: para ángulos negativos: Para todo ángulo, se cumple: sen sen tag tag Ctg Ctg Csc Csc Cos( ) Cos Sec( ) Sec Nota: Observamos que para el coseno y secante el signo desaparece es decir, solo trabajamos con el valor positivo. Veamos ejemplos: Ejemplo de Aplicación 3. Reducir al primer cuadrante: 3d) Csc(-4 ) = -Csc(4 ) = - Csc(5 36 + 34 ) Csc(-4 ) = -Csc(34 ) = -Csc(7 + 7 ) = -[-Sec 7º] = Sec 7º - Csc(34º) = - Csc (36º - º) = -[-Csc(º)] = Csc º Todo el capítulo Reducción al er Cuadrante se desarrolló trabajando netamente en el sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos los casos reglas y aplicaciones propuestas. A) cos(-3 ) B) sec(-74 ) C) Ctg(- ) D( Csc(-4 ) Resolución: 3a) cos(-3 ) = cos(3 ) 3b) Sec(-74 ) = sec(74 ) = Sec(7 + 4 ) = Csc4 ó Sec(74 ) = sec(36-86 ) = sec86 3c) Ctg(-) = -Ctg( ) =

VIII: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA La circunferencia trigonométrica es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares a la cual Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores se enuncian las siguientes denominaciones a los puntos: hemos denominado plano cartesiano. Tiene como características principales: - El valor de su radio es la unidad (R = ) A (;) B (;) C (-;) Origen de Arcos Origen de Complementos Origen de Suplementos - Su centro coincide4 con el origen de coordenadas del plano cartesiano. P y P Extremos de suplementos Arco en Posición Normal: Es aquel arco cuyo extremo inicial es el Veamosla gráficamente origen de arcos de la C.T. y su extremo B (;) P Medida del Arco Positivo final cualquier punto sobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco. (-;) C rad rad P Medida del Arco Positivo Nota: Todos y cada uno de los puntos que Observación: El ángulo central correspondiente a un arco en Posición normal o estándar, tiene igual medida en radianes que la medida del arco. Veamos Ejms.: pertenecen a la circunferencia trigonométrica (C.T.) cumplen la ecuación siguiente: x + y = Donde: C B P rad A Se Abscisa del Punto Ordenada del Punto que: T rad observa AP AT

Además: y son arcos en posición normal o estándar tales que: es (+) y al I C es (-) y al III C C 5/6 M B 5 rad 6 -rad 4 N Q - A Nota: Importante: Del gráfico: Éstos extremos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C.T. B =,57 5 M: Extremo del arco 5 IIC 6 6 N : Extremo del arco 4 4 IIIC Q: Extremo del arco - IVC Razones Trigonométricas de Arco en Posición Normal o Standar: 3,4 = C A = 6,8 Son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.T. Es decir: 3 = 4,7 R.T. (arco) = R.T. (ángulo central) Luego entonces: Ejemplos de Aplicación: Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de los arcos (en posición standar): 5 / 6; 4; Resolución - Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C.T. éstos tendrán su posición inicial en el punto A(,). Rad P( ; )

Sea P(x o, y o ) (P I C) que pertenece a la C.T. y también al lado final del ángulo en posición normal o standar. B P(Cos ;Sen) Calculemos las R.T. del ángulo. y sen y senrad cos Cosrad Tg Tgrad Ctg Ctg rad Sec Sec rad o Csc Csc rad o Observación Vemos que: o = Sen o = Cos P (-cos ;-sen ) C.T. Nota Importante: - a que P y Q a la C.T. entonces cumplen la ecuación + y = * Para P: Cos + Sen = Para Q : Cos + Sen = Se concluye que para todo arco la suma de los cuadrados de su seno y coseno dará la unidad Por lo tanto El punto P también se representa de la siguiente manera: P (x o, y o ) = P (cos; sen) Algunos alcances importantes: Para hallar coordenadas opuestas: De la observación P (cos ; sen ) Coordenadas del extremo de arco: C.T. P (-cos ; -sen )

Para hallar coordenadas simétricas - Línea COTANGENTE - Línea COSECANTE - Línea SECANTE Las líneas trigonométricas auxiliares son: - Línea COVERSO. - Línea VERSO. - Línea E-SECANTE Nota Importante: - Si el segmento de Recta está dirigido Para hallar Coordenadas Ortogonales: hacia la derecha ó hacia arriba entonces el valor numérico de la línea P (-Sen ;Cos ) P(Cos ;Sen ) trigonométrica correspondiente será positivo. - Si el segmento de recta está dirigido hacia la izquierda o hacia abajo C.T. entonces el valor numérico de la línea trigonométrica correspondiente será Líneas Trigonométricas Son segmentos de recta dirigidos, los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica, el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número. Las principales Líneas Trigonométricas son: - Línea SENO negativo.veamos y analicemos sus representaciones: Línea Seno: Se representa mediante la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal (Eje ) (apuntando hacia el extremo del arco). P rad C.T. - Línea COSENO Q A - Línea TANGENTE

En el gráfico: Se observa que QP representa al coseno Línea Tangente Es una parte de la tangente geométrica del Arco Trigonométrico. Nota: Como en el Ejm. el segmento está dirigido hacia la derecha entonces el coseno es positivo. Línea Coseno: trazada por el origen de arcos A(;). Se mide desde el origen e arcos y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado de la C.T. que pasa por el extremo del arco. Apunta hacia la intersección. Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical (Eje ) apuntando hacia el extremo del arco. rad A(,) R P rad C.T. En el gráfico: P Q Se observa que AQ representa a la tangente del Arco Trigonométrico. C.T. En el gráfico: Se observa que RP representa al coseno del Nota: Como en el ejemplo el segmento AQ está Arco Trigonométrico. Nota: Como en el Ejm. El segmento RP esta dirigido hacia la derecha entonces el coseno es positivo. dirigido, hacia abajo entonces la tangente es negativa. Línea Cotangente Es una porción de la tangente geométrica que pasa por el origen de complementos B(;), se empieza a medir desde el

origen de complemento y termina en la intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado de la C.T. que pasa por el extremo del arco, Apunta hacia dicha intersección. En el gráfico: Se observa que BT representa a la cotangente del arco trigonométrico. Nota: Como en el ejemplo, el segmento BT está dirigido hacia la izquierda entonces la cotangente es negativa. Línea Secante: Es una porción del diámetro prolongado que pasa por el origen de arcos A(;) y que se mide desde el centro de la C.T. En el gráfico: Se observa que OR B(;) representa a la secante del arco trigonométrico. Nota: Como en el ejemplo, el segmento OR está dirigido hacia la derecha entonces la secante es positiva. Línea Cosecante: Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del complemento B(; ), y que se mide desde el centro de la C.T. hasta la intersección del diámetro prolongado mencionado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco apunta hacia la intersección. hasta la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco. Apunta rad hacia la intersección. P rad tangente geométrica A C.T. M En el gráfico: Se observa que OM P tangente geométrica representa a la cosecante del arco trigonométrico. C.T.

Nota: Como en el ejemplo, el segmento OM está dirigido hacia abajo entonces la cosecante es negativa. Línea Auxiliar verso o seno verso: «Es lo que le falta al coseno de un arco origen de complementos B(; ), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco a diámetro vertical de la C.T. (Eje ). Apunta hacia el origen de complementos «el coverso jamás es negativo» para valer la unidad» se mide a partir de origen de arcos A(; ), hasta el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco, al diámetro horizontal del (Eje P B(;) L rad ). apunta hacia el origen de arcos es decir «el verso jamás es negativo». P En el gráfico: rad Se observa que LB representa al arco trigonométrico. C.T. En el gráfico: Se observa que NA, representa al verso del arco trigonométrico. Cumple la fórmula Verso() = - Cos Línea Auxiliar Coverso o Coseno Verso: «Es lo que le falta al seno para valer la unidad» el coverso se mide a partir de Cumple la Fórmula: Coverso() = - Seno Línea Auxiliar Ex-Secante «Es el exceso del al; secante a partir de la unidad». Se mide a partir del origen de arcos A(; ), hasta el punto donde termina la secante de ese arco. apunta hacia el punto donde termina la secante.

P R A(;) En el gráfico: Se observa que AR representa a la Ex- Secante del arco trigonométrico. Cumple la Fórmula: ExSec() = Sec - I: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Este capitulo es muy extenso y muy importante a su vez por que va a servir A este tipo de igualdad se le denomina Ecuación Condi-cional como base para capítulos posteriores, esta considerado como clave dentro de la trigonometría, y definitivamente - En cambio la igualdad (x ) (x + ) x² -9, cumple para todo valor de x tendremos que demostrar las razones por las cuales se les considera de gran importancia en el desarrollo de la A este tipo de igualdad se le denomina Identidad asignatura. Obs: - La Igualdad (x - )(x + ) = ; Es cierto si solamente si; cuando x = ó x = - - Recordar que no existe la división entre cero - Para indicar una identidad, se utiliza el símbolo que se lee: Idéntico a

Definición: Una Identidad Trigonométrica es una igualdad que contienen expresiones C.T. trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo: T + = ", Comprobemos la valides de la Identidad: Para Sen²37+ cos²37 = 3 4 5 5 9 5 6 5 5 5 Identidades Fundamentales: Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven de base par la demostración de otras identidades mas complejas se clasifican en: Sabemos que PT = Sen OT = Cos, (en el ejemplo ambos (+) ya que I C. y en el triángulo Rec. PT POT: Tg = OT Tg = Tg = Sen Sen Cos Cos Sen Cos Demostrado De la misma manera se demuestra: Cot = Cos Sen En Resumen: Las identidades por cociente son: Sen Tg Cos Se observa que: y Cos Cot Sen.- Por cociente.- Reciprocas Tg = Ctg 3.- PiTgóricas Para obtener dichas identidades, A continuación veremos las identidades recíprocas hacemos uso de la circunferencia trigonométrica.. Identidades por Cociente:

. Identidades Recíprocas: 3. Identidades Pitagóricas: C.T. P C.T. B P T T A Sabemos que PT = Sen y también OT = Cos Luego: En el triangulo POT, se observa: ; sen es decir: PT = Cos y también: OT = Csc = y Sec = PT OT Sen Sen Cos Cos sen y en el triángulo rec. POT: por el teorema de Pitágoras. (OP) = (OT) + (PT) = ( Sen ) + ( Cos ) = Sen + Cos (I) (sen Ic) Por lo tanto: Csc y sec sen cos En resumen: Las identidades recíprocas son: Sen Cos Tg Csc Sec Ctg Demostrado Con la identidad (I), demostramos también: + Tg = Sec y + Cot = Csc De la siguiente manera Sen + Cos = Dividimos ambos miembros entre (Sen ):

Sen Cos Sen Finalmente: Sen Sen Sen Sen Sen Sen De las identidades por división: Cos Ctg Sen Algunas Identidades Auxiliares Sen 4 + Cos 4 = Sen Cos Tg + Ctg = Sec.Csc Sen 6 + Cos 6 = 3Sen.Cos Sec + Csc = Sec. Csc Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos: de la identidad por cociente: Sen Csc a) Demostraciones: Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que Reemplazamos: () + (Ctg) = (Csc) + Ctg = Csc De similar manera se demuestra: + Tg = Sec cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. Ejm: - Demostrar que : Csc - Ctg. Cos = Sen De similar manera se demuestra: + Tg = Sec Resolución: Csc - Ctg. cos = sen En resumen las identidades pitagóricas son: - Sen + Cos = - + Tg = Sec - + Ctg = Csc Cos Cos Sen Sen Sen cos² sen² sen sen sen Sen = Sen. Demostrado

b) Demostrar que: cos A cos A sec A sena sena Resolución Utilizamos artificios: CosA sena cos A sena.. sec A sena sena sena sena Luego se tendría cos A sena sen² A cos A sena sen² A sena cos A sena cos A cos² A cos² A sec A sec A Resolución: (Cos -) + 4Sen Cos (cos² - (cos²)() + + 4sen² Cos² 4cos²cos² - 4cos² + + 4sen²cos² 4cos² [cos² - + sen²] + 4cos² [(cos² + sen²) - ] + 4cos² [ - ] + 4cos²() + = ) Simplificar: ( - cosx) (Cscx + Ctgx) sena sena sec A cos A sec A cosa sec A sec A. (Demostrado) c) Simplificaciones: Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares. Utilizar transformaciones algebraicas. Ejms. ) Simplificar: (Cos -) + 4Sen Cos Resolución: (-Cosx) Senx Cosx Senx Cosx (-Cosx) Senx d) Condicionales: Ejms. Cos x Senx Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se procede a encontrar la expresión pedida. a) Si Sen + Csc = a. Sen x x Senx Senx Calcular el valor de

E = Sen + aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de Csc Resolución Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado) (Sen + Csc = a² Sen² + (Sen)(Csc + Csc² = a² Sen² + + Csc² = a² Sen² + Csc² = a² - E = a² - b) Si: senx - cosx = m. Hallar el valor de: D = -senxcosx Resolución senx - cosx = m (elevemos al cuadrado) (Senx cosx)² = m² sen²x - senx Cosx + Cos²x = m² Sen²x + Cos²x - senxcosx = m² - senxcosx = m² D = m² e) Eliminación del Ángulo: Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no identidades como por Ejem. Tgx.Ctgx = Senx.Cscx = Cosx.secx = Sen²x + cos²x = Sec²x - Tg²x = Csc²x - Ctg²x = Ejm.:. Eliminar de: Csc = m + n () Ctg = m n () Resolución: Csc = n + n Ctg = m n Csc = (m+n) = m +mn+n (-) Csc = (m+n) = m -mn+n = 4mn. Eliminar de: acos bsen Sec.Ctg...() asen bcos KSec...( ) Resolución: De la expresión Cos acos bsen Sec.Ctg. Cos Sen Sen (acos bsen) (Sen) Sen (xsen) asencos - bsen = (3) (Elevamos ambas expresiones al cuadrado) Csc - Ctg m mn n - (m - mn n )

De la expresión k asen bcos ksec Cos (Cos) asencos - bcos = K (4) Restamos (4) menos (3) b( Cos Sen ) k - b = x - K = b + Recomendación: Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión: E = (senx ± cosx) y se te pide senx.cosx, se recomienda que eleves al k Cos (asen bsen) (Cos ) Cos asencos bcos k asencos bsen ( ) cuadrado ambos miembros para Identidad Importante: ( ± sen ± cos)² = (± sen)(± cos) Demostración: Recordemos (a+b+c) = a + b + c + (ab+bc+ac) (± sen ± cos)² = ² + (±sen)² + (±cos)² + [(±sen) + (±cos)+ (±sen)(±cos)] = + sen² + cos² + [(±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos) Agrupamos nuevamente + [(±sen)+ (±cos) + (±sen)(±cos)] = [ + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)] = [( ± (±sen) + (±cos( + (±sen))] = [(± (±sen)[ + (± cos)] ( ± sen ± cos)² = (± sen) ( ± cos)...(demostrado) obtener: E² = (senx ± cosx)² = sen² ± senxcosx - cos²x E² = Sen²x + Cos²x ± Senx.Cosx E² = ± SenxCosx Lo que se pide

: SUMA RESTA DE DOS ANGULOS En este capítulo realizaremos el estudio de las razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su vez están constituidas por la suma o resta de otros ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo con la demostración de las principales Identidades para ángulos compuestos que son: * Sen( + ) = SenCos + Cos Sen * Cos( + ) = Cos Cos -SenSen Demostración: A partir del grafico: Reemplazando Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen.. Demostrado También observamos: Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR) En el OQR OQ = ORCos = Cos.Cos En el MSR SR = MRSen = Sen.Sen ; (MR = Sen ) Reemplazamos: B M Cos(+) = CosOC.Cos -.Sen...(Demostrado) Procedemos ahora a obtener la Tg(+) S R P Q A Se observa: Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR) En el OQR QR = ORSen = Sen.Cos; (OR = Cos); (OR = Cos) En el MSR SM = RMCos = Cos.Sen; (RM = Sen) de la siguiente manera: Sabemos que: Tg(+) = sen sen cos cossen cos cos cos sensen Dividimos a la expresión por (Cos.Cos Tg(+) = sen cos cossen cos cos cos cos cos cos sensen cos cos cos cos Simplificando obtendremos:

- SenSen(-) Tg(+) = sen sen cos cos Tg Tg sen sen Tg Tg cos.. cos Tg(+) = Tg + Tg Tg. Tg (Demostrado) Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que: Ctg Sec Csc Tg Cos Sen Identidades Trigonométricas para la Diferencia de Ángulos: Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya demostrados), deducimos las identidades para la diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio. * Sen(+ +(- Sen(+(- cos sen sencos cos sen sen sen cos cossen - Sen cos cos cos sensen (Demostrado) * T - Tg(+(- tag T - tag tag tagtag tag Tg Tg Tg(-) = Tg.Tg (Demostrado) De igual manera tomar en cuenta que: Ctg Sec Csc Tg Cos Sen Algunas Propiedades de Importancia * Sen -.Sen - = Sen² - S * C - C +( C +(-)) = Cos. Cos(-) Demostrado * Tg + Tg T +).Tg Tg Tg +) Cos

* + + = 8 Tg Tg Tg = Tg sen( +).sen(-) = sen² - sen²...(demostrado) Tg Tg b) Tg + Tg + Tg(+). Tg Tg = * Si: + + = 9 Tg. Tg Tg( +) Tg Tg + Tg Tg = Demostremos las propiedades a) sen( +). sen(- ) = Sen² - sen² Sabemos que: T + Tga Tgb Tga.Tgb Multiplicamos (-Tg.Tg) a ambos Sabemos que: miembros: ( - Tg.Tg)Tg(+) = Tga Tgb Tga.Tgb ( - Sen( +) = Sen cos + cos sen..(i) Tg.Tg ) Sen( - ) = sen cos - cos sen..(ii) Tg(+) -TgTg.Tg( +) = Tg + Multiplicamos Miembro a miembro: Tg - - - Ordenamos convenientemente: - Tg + Tg + T + ).TgT = T Reemplazamos: + ) Demostrado Cos² = - sen Cos² = - sen² c) Si: + + = 8 Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg sen( + ) sen(-) = sen² ( - sen²) - ( - sen²)sen² = sen² - sen².sen² - [sen² - Sabemos que: + + = 8 + = 8 - sen².sen²] = sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen² Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg( + ) = Tg(8 - ) Tga Tgb = -Tg Tga.Tgb Tg + Tg = -Tg ( - TgTg) Tg + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg Ordenamos convenientemente: Tg + Tg + Tg = Tg Tg Tg (Demostrado) d) Si: + + = 9 Tg. Tg + Tg. Tg + Tg. Tg = " Sabemos que: + + = 9 + = 9 - Tomamos tangente a ambos miembros: Tg( + ) = Tg(9 - ) Tg Tg Ctg Tg Tg Tg Tg (Tg + Tg) = - Tg.Tg Tg.Tg + Tg.Tg = - Tg.Tg Ordenamos convenientemente: Tg.Tg+Tg.Tg+Tg.Tg = (Demostrado)