Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción linel sí como el cálculo de l expresión mtricil de un plicción linel respecto de ls bses del dominio y codominio de dich plicción. Utilizremos esto pr l obtención del núcleo y l imgen, y, prtir de ellos, clsificr los morfismos de espcios vectoriles en epimorfismos, monomorfismos o isomorfismos de un form más sencill. 1.- APICACIÓN INEA. Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo K, un plicción f: V V se dice que es un plicción linel si verific: 1. f(u + v) = f(u) + f(v), u, v V. 2. f(αu) = αf(u), α K, u V. En Mthemtic trbjremos con ls coordends de los vectores respecto de un bse y no con los vectores. Pr definir un plicción linel debemos de seguir ls regls hbitules de Mthemtic: nombre[vrible_]:= expresión Teniendo en cuent que en este cso tendremos como vrible un vector y como expresión otro vector: Ejemplo 1. Definir en Mthemtic l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, y + 5z) y clculr f(3,2,1): I
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}; f[{3,2,1}] Out[]:= {6, 5, 10, 7} En l práctic pr estudir si f es plicción linel se suele usr l definición l siguiente crcterizción: plicción f: V V es linel si, y solo si, f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), α, β, u, v V. Ejemplo 2. Estudir si l plicción del ejemplo nterior es linel. Out[]:= f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}; Simplify[f[*{x1,y1,z1}+b*{x2,y2,z2}]]== Simplify[*f[{x1,y1,z1}]+b*f[{x2,y2,z2}]] True Ejemplo 3. Estudir si l plicción g: 3 2 dd por g(x, y, z) = (xy, x + y) es linel. g[{x_,y_,z_}]:={x*y,x+y}; Simplify[g[*{x1,y1,z1}+b*{x2,y2,z2}]] == Simplify[*g[{x1,y1,z1}] + b*g[{x2,y2,z2}]] Out[]:= {(x + b x1), (x + b x1 + y + b y1)} == { x + b x1, x + b x1 + y + b y1} 2. EXPRESIÓN MATRICIA DE UNA APICACIÓN INEA. Se f: V V un plicción linel y se B = {e 1, e 2,..., e n } un bse de V. Entonces f está totlmente determind por ls imágenes de los vectores de B, es decir, f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n ), pues ddo un vector x de V de coordends x (x 1,...,x n ) B, entonces, f(x) = f(x 1 e 1 +... + x n e n ) = x 1 f(e 1 ) +... + x n f(e n ) Se hor B ={u 1,..., u m } bse de V y consideremos ls coordends de los vectores f(e 1 ),..., f(e n ) respecto de B : f(e 1 ) ( 11,, m1 ) B f(e 2 ) ( 12,, m2 ) B f(e n ) ( 1n,, mn ) B II
De est form se tiene: f(x) ( 11 x 1 +... + 1n x n, 21 x 1 +... + 2n x n,..., m1 x 1 +... + mn x n ) B Ahor bien, si denotmos ls coordends de f(x) por f(x) (y 1,..., y m ) B, entonces se obtiene: y 1 = 11 x 1 + + 1n x n y 2 = 21 x 1 + + 2n x n o mtricilmente: y m = m1 x 1 + + mn x n y1 y2 = M M ym m 11 21 1 12 22 M m2 O 1 n x1 2n x2 M M mn xn Est expresión recibe el nombre de ecución mtricil de un plicción linel f respecto de ls bses B y B. mtriz 11 21 A = M m1 12 22 M m2 O 1n 2n M mn recibe el nombre de mtriz socid f respecto de ls bses B y B que denotremos por A = M B,B (f). (Notr que el número de columns es igul l dimensión de V y su número de fils igul l dimensión de V ). Así, pr clculr l mtriz socid podemos dividirlo en los siguientes psos: Pso 1: Clculmos ls imágenes de los vectores de l bse B de V: f(e 1 ),..., f(e n ). Pso 2: Clculmos ls coordends de lo obtenido en el pso nterior respecto de l bse B de V. Pso 3: Construimos l mtriz A, por columns Recordemos que si f es un endomorfismo, V =V, l bse B de V se tom como B. Ejemplo 4. Clculr l expresión mtricil de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, y + 5z) respecto de ls bses B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B = {(1, 2, 3, 0), (2, 4, 6, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}. III
f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z} B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}}; Bp={{1,2,3,0},{2,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; MtrixForm[A] Out[]:= 11 6 1 0 3 2 1 3 2 3 2 1 0 1 1 3. REACIÓN ENTRE MATRICES ASOCIADAS A DISTINTAS BASES. Se f: V V un plicción linel con n = dim(v), m = dim(v ), y consideremos B y B bses de V y B y B bses de V, si A es l mtriz socid f respecto de B y B y C es l mtriz socid f respecto de B y B, se tiene que C y A son mtrices equivlentes, demás C = Q -1 AP, donde P es l mtriz del cmbio de bse en V de B B y Q es l mtriz del cmbio de bse en V de B B. En el cso prticulr de un endomorfismo y tomndo l mism bse en el espcio de prtid y en el de llegd, l relción entre A y C es C = P -1 AP. Dos mtrices cudrds A y C pr ls que existe un mtriz regulr P de form que C = P -1 AP se dice que son semejntes. Proposición. 1. Dos mtrices son equivlentes si, y solo si, son mtrices socids l mism plicción linel respecto de distints bses. 2. Dos mtrices son semejntes si, y solo si, son mtrices socids l mismo endomorfismo respecto de distints bses. Ejemplo 5. Comprobr l relción entre l mtriz socid f respecto de ls bses nteriores y l mtriz socid f respecto de ls bses cnónics. f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z} Bc3= IdentityMtrix[3]; Bc4=IdentityMtrix[4]; c= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bc4], f[bc3[[i]]]],{i,1,3}]]; B= {{1,1,1},{1,1,0},{1,0,0}}; Bp={{1,2,3,0},{2,4,6,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; IV
Out[]:= P=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[B],Bc3[[i]]],{i,3}]]; Q=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[Bp],Bc4[[i]]],{i,4}]]; Inverse[Q].A.P==c True 4. OPERACIONES CON APICACIONES INEAES Y REACIÓN CON AS MATRICES ASOCIADAS. Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo K, denotremos por Hom K (V, V ) l conjunto de tods ls plicciones lineles de V en V. En este conjunto se podemos definir operciones sum y producto por esclr de l form: Dds f, g Hom K (V, V ) y λ K se define ls plicciones lineles: f + g: V V ; (f + g)(u) = f(u) + g(u) λf: V V ; (λf)(u) = λf(u) Dds plicciones lineles f: V V y g: V V, su composición g ë f: V V definid por (gë f)(x) = g(f(x)) es tmbién linel. Vemos cómo l signción un plicción linel de su mtriz socid se comport bien respecto ls operciones con plicciones lineles: Proposición. Sen V, V y V espcios vectoriles sobre K de dimensiones finits, B, B y B bses de V, V y V respectivmente y f, g: V V y h: V V plicciones lineles, entonces se tiene: 1. M B,B (f + g) = M B,B (f) + M B,B (g). 2. M B,B (λf) = λm B,B (f), pr todo λ K. 3. M B,B (h ë f) = M B,B (h) M B,B (f). Ejemplo 6. Clculr ls mtrices socids f, g y h respecto de ls bses cnónics y comprobr l proposición nterior, siendo: f: 3 3 dd por f(x, y, z) = (x + y, 3x + y z, y + 5z). g: 3 3 dd por g(x, y, z) = (2x, y + z, x + y). h: 3 4 dd por h(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, 2y + z). f[{x_,y_,z_}]:={x+y, 3x+y-z, y+5z} g[{x_,y_,z_}]:={2x, y+z, x+y} h[{x_,y_,z_}]:={2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z} s[{x_,y_,z_}] = f[{x,y,z}] + g[{x,y,z}]; p[{x_,y_,z_}] = 3*f[{x,y,z}]; V
c[{x_,y_,z_}] = h[f[{x,y,z}]]; B= IdentityMtrix[3]; Af = Trnspose[Tble [f[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ag = Trnspose[Tble [g[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ah = Trnspose[Tble [h[b[[i]]],{i,1,3}]]; As = Trnspose[Tble [s[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ap = Trnspose[Tble [p[b[[i]]],{i,1,3}]]; Ac = Trnspose[Tble [c[b[[i]]],{i,1,3}]]; Out[]:= Out[]:= Out[]:= Af + Ag ==As True 3*Af ==Ap True Ah.Af ==Ac True 5.- NÚCEO E IMAGEN DE UNA APICACIÓN INEA. Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre K y f: V V un plicción linel, se definen el núcleo de f como el subespcio de V ddo por: Ker(f) = {x V / f(x) = 0} y se define l imgen de f como el subespcio de V ddo por: Im (f) = {f(x) / x V}. Un primer método pr clculr el núcleo, conocid l expresión mtricil de f, es decir, Y = AX, consistirí en resolver el sistem homogéneo que result de plnter f(x) = 0, es decir, AX = 0. Si el sistem nterior es S.C.D. entonces Ker(f)={0} y si es un S.C.I. entonces Ker(f) = ({u 1, u 2,..., u r }) siendo {u 1, u 2,..., u r }un bse del subespcio vectoril de soluciones del sistem AX = 0. orden NullSpce nos permite obtener est bse directmente. Ejemplo 7: Clculr bse, dimensión, ecuciones prmétrics e implícits del núcleo de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z). SOUCIÓN: En primer lugr clculemos l mtriz socid l plicción linel respecto de ls bses cnónics: f[{x_,y_,z_}]:={2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z} B= IdentityMtrix[3]; Bp= IdentityMtrix[4]; A= Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[Bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; MtrixForm[A] VI
Out[] = i 2 0 1y 1 1 0 3 j 1 1 z k 0 2 1 { Ahor l bse del núcleo: bsenucleo=nullspce[a] Out[] = {{1,-1,2}} En este cso deducimos que l dimensión del núcleo es 1 y por tnto necesitmos un prámetro,, pr el cálculo de ls prmétrics. Como el núcleo es un subespcio de 3, escribiremos un list con tres coordends {x,y,z} y formremos un ecución de ests coordends, con l list formd por ls coordends de los vectores de l bse del núcleo, multiplicd mtricilmente por l list de los prámetros. Por último, l función ogiclexpnd igulrá término término ls lists implicds, dndo lugr ls ecuciones prmétrics en l form hbitul. prm={}; coord={x,y,z}; prmnucleo=ogiclexpnd[coord == Trnspose[bseNucleo].prm] Out[] = x = = && y = = - && z = = 2 orden Eliminte[prmNucleo, prm] hce que se elimine el único prámetro que hy en este cso, obteniendo ls ecuciones implícits: Eliminte[prmNucleo, prm] Out[] = x = = -y && 2y = = - z Recordemos que el número de ecuciones implícits de un subespcio U de un espcio vectoril V, es igul dim(v) - dim(u). En nuestro ejemplo, efectivmente, nos hn slido 3-1=2 ecuciones implícits del núcleo de f. Pr clculr l imgen de l plicción linel, buscremos un sistem de generdores, que según vimos en un proposición, puede obtenerse prtir de los trnsformdos medinte f de culquier sistem de generdores del dominio. Teniendo en cuent esto, sbemos que ls columns de l mtriz socid f, permiten obtener un sistem generdor de Im (f). Así, un bse no será más que el conjunto formdo por el VII
myor número de columns que sen linelmente independientes y que podemos obtenerls prtir de l form norml de Hermite de l mtriz socid f. Ejemplo 8: Clculr bse, dimensión, ecuciones prmétrics e implícits de l imgen de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z). SOUCIÓN: Como se trt de l mism plicción linel del ejemplo nterior, y tenemos l mtriz socid l plicción linel respecto de ls bses cnónics, A. generdorimgen=trnspose[a]; RowReduce[generdorImgen] Out[]= {{1,0,1,-1},{0,1,1,2},{0,0,0,0}} Como vemos, en este cso los linelmente independientes son ls dos primers fils, por tnto l bse será: bseimgen=tble[%[[i]],{i,2}] Out[]= {{1,0,1,-1},{0,1,1,2}} Ahor tendremos que introducir dos prámetros {,b} y coordends {x,y,z,t} pues l imgen es subespcio vectoril de V = 4. s ecuciones correspondientes son: prm={,b}; coord={x,y,z,t}; prmnucleo=ogiclexpnd[coord == Trnspose[bseNucleo].prm] Out[]= t = = -+2b && x = = && y = = b && z = = +b Eliminte[prmNucleo, prm] Out[]= t = = -x+2y && x = = -y+z En este cso hemos obtenido dim(v )-dim(im(f))=4-2=2 ecuciones implícits del subespcio imgen de l plicción linel f. Como fácilmente se puede observr, el método nterior no es totlmente progrmble, pues es necesrio intervenir ñdiendo los prámetros y coordends necesrios pr ls ecuciones prmétrics, o eliminndo ls fils nuls pr l bse de l imgen. Vemos como l form norml de Hermite nos fcilit el cálculo del núcleo y l imgen de f. VIII
Si l clculr l form de Hermite por columns de A relizmos ls operciones A C elementles sobre, obtenemos donde P es l mtriz regulr de orden n tl que I P C = A.P, pues bien se tiene que ls columns no nuls de C form un bse de Im (f) y ls columns de P que están bjo ls columns de ceros de C (si ls hy) formn un bse de Ker (f). Recordemos que en el Mthemtic l orden RowReduce[A] nos clcul l form norml de Hermite por fils, luego l hcer lo nterior con el Mthemtic A nosotros trbjremos por fils trnsponiendo l mtriz ntes de clculr l form I de Hermite y l finl trnsponiendo el resultdo (C P). Ejemplo 9: Clculr el núcleo y l imgen de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z) usndo pr ello l form norml de Hermite. SOUCIÓN: f[{x_,y_,z_}]:={2x-z,x+y,3x+y-z,2y+z} B= IdentityMtrix[3]; Bp= IdentityMtrix[4]; A= Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[Bp], f[b[[i]]]],{i,1,3}]]; Join[A,B]; AI=Trnspose[%]; CP=RowReduce[AI]; MtrixForm[Trnspose[CP]] Out[]= 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0 2 Por tnto, un bse de l imgen es {(1,0,1,1),(0,1,1,-2)} y un bse del núcleo es {(1,-1,2)}. 6.- TIPOS DE APICACIONES INEAES. Un plicción linel pueden ser monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo si como plicción es inyectiv, sobreyectiv o biyectiv, respectivmente. Proposición IX
Dd un plicción linel f:v V, dim(v)=n, dim(v )=m, se verific: 1. f es inyectiv Ker(f) = 0 rng(a) = n. 2. f es sobreyectiv Im(f) = V rng(a) = m. 3. f es biyectiv A es cudrd y regulr. Según l proposición nterior l plicción f del ejemplo no es ni inyectiv pues dim(ker (f)) =1, ni sobreyectiv, pues dim(im (f)) =2. Por tnto f tmpoco es biyectiv. X