Cómo actualizar la probabilidad de un evento dado que ha sucedido otro? o Cómo cambia la probabilidad de un evento cuando se sabe que otro evento ha ocurrido?
Ejemplo: Una persona tiene un billete de lotería con los números 2,7,10,14,15,20. Antes de que se realice el sorteo la probabilidad de que gane la lotería es X.
Cuál es la probabilidad de sacarse la lotería después de saber que ha salido el número 7?
Veamos como se puede definir la probabilidad condicional. Después de realizar muchas veces un experimento, se tiene que es el número de intentos en los que B ocurre. Entre estos elementos se cuenta los intentos en que el evento A también ocurre. Se puede considerar entonces que la razón es una medida de la probabilidad (condicional) de A dado que ha ocurrido B
Definición: Si se sabe que un evento B ha ocurrido y deseamos conocer la probabilidad de otro evento A, tomando en cuenta que B ha ocurrido, tenemos que esta probabilidad condicional está dada por: con Pr(B)>0
Regresando al problema anterior: Sea B={uno de los números ganadores es el número 7} y A={los números 2,7,10,14,15,20 son seleccionados}
Otro ejemplo: Suponga que se lanzan dos dados (distinguibles) y se observa que la suma X es un número impar Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?
Regla de multiplicación para probabilidades condicionales. Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces Similarmente, si Pr(A)>0,
Ejemplo: Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules. Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?
Generalización a más eventos: Para 3 eventos: Para n eventos:
Ejemplo: Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( ) Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?
Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades standard (no condicionales).
Ley de la probabilidad total Partición: Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y. Se dice entonces que los eventos B forman un partición.
Ley de la probabilidad total Teorema: Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:
Ejemplo Se tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos. Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo. Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?
Eventos independientes: Si el conocimiento de que el evento B ha ocurrido no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes. Definición: dos eventos A y B son independientes si
De aquí se sigue que A y B son eventos independientes si y solo si: y
Probabilidad condicional Ejemplo: Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs. Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4 Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período de tiempo?
Eventos independientes (generalización): Los k eventos son independientes (o mutuamente independientes) si para cada subconjunto de j de los eventos se tiene que
Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:
Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={HH, HT, TH, TT}. Sean los siguientes eventos: -H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT} -H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH} -ambos resultados iguales: C={HH, TT}
Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienn las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que
Teorema de Bayes Si se conoce Pr(A B i ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B i eventos dado A.
Teorema de Bayes Sea B i,...,b k los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(B i )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que
Teorema de Bayes Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%. Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre 10 000. Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test. Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?
Teorema de Bayes Se tienen 3 diferentes máquinas M 1 M 2 M 3 con las que se hace un producto. Los productos fabricados se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la máquina M 1, 30% con la M 2 y 50% con M 3. También se sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M 1 son defectuosos, mientras que con M 2, 2% son defectuosos y con M 3, 3% de los productos son defectuosos.
Teorema de Bayes Pregunta: Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por M 2?
Teorema de Bayes para probabilidades condicionales: