MÓDULO 7: TRIGONOMETRÍA PLANA Física Los ángulos y sus medidas. Funciones trigonométricas. Cuadrantes. Teorema de Pitágoras. Áreas. Volúmenes. UTN Facultad Regional Trenque Lauquen 29/01/2015
MÓDULO 7: TRIGONOMETRÍA PLANA Física Los ángulos y sus medidas Con objeto de estudiar los ángulos y su medida consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad o circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido. Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo. Radianes Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la medida de toda la circunferencia es, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio. En las figuras, los ángulos se representan en una circunferencia de radio 1, ello no significa que el radio mida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián. Su símbolo es rad. Grados sexagesimales Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en: gradosº minutos segundos 1
De grados a radianes y de radianes a grados Dijimos que en una circunferencia tenemos, y también que la misma circunferencia podríamos dividirla en 360 grados. Por lo tanto allí tenemos una relación para convertir los ángulos medidos en radianes a ángulos en grados, y viceversa: Ejercicios 1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 120º, -50º y 315º. a) Para el ángulo de 120º 2. Dibuja en la circunferencia goniométrica el ángulo de,, y rad. a) Para el ángulo de 3. Pasa a radianes: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d) 60º 2
4. Pasa a grados: a) rad, b), c), d) Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes. Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con y. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales. Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades: Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64). A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe. Definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. 3
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo. 4
Cuadrantes Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes. Tenemos así, el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del reloj. A partir de asignar a los catetos los signos de acuerdo a los valores de los ejes de las ordenadas y las abscisas, obtenemos los signos de las ecuaciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo bajo estudio. Usando la calculadora Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. 5
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