55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coordends de los vectores fijos de l figr djnt (pede hcerse en este cderno): c b d e f. ) Dibjr dos vectores de origen común, igl módlo, y qe formen n ánglo de 135º. Expresrlos nlíticmente. b) Dibjr dos vectores qe tengn el origen común y los sentidos opestos. Expresrlos nlíticmente. Qé ánglo formn dichos vectores? 3. Ddo el prlelogrmo de l figr 1 : B A C D ) Indicr, nlític y gráficmente, n vector eqipolente con CD ; ídem con AD (pede hcerse en este cderno) b) Indicr, nlític y gráficmente, n vector opesto CD ; ídem con AD (pede hcerse en este cderno) 1 Recordr qe, por convenio, los vértices de n polígono se designn con letrs myúscls, en orden lfbético (A, B, C, D...), y en sentido levógiro i.e. ntihorrio.
Operciones con vectores: 4. Ddos los vectores libres nlíticmente (en fnción de l bse ortonorml de V ): y b de l figr, clclr gráfic cd prtdo en ejes distintos y ) + b b) b c) d) 3 3 + b e) 3 b b 5. ) Determinr, nlíticmente, si los pntos A( 3,1), B(5,) y C( 1,0) están linedos. b) Ídem pr A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Not: n dibjo pede ser útil) c) Hllr k pr qe los pntos A( 1,7), B(-3,4) y C( k,5) estén linedos. (Solc: SÍ; NO; k=-5/3) 6. Considerr el segmento de extremos A(-,1) y B( 5,4). Hllr: ) El pnto medio M [Sol: M(3/,5/)] b) Los dos pntos P y Q qe lo dividen en tres prtes igles. [Solc: P(1/3,) y Q(8/3,3)] 7. Hllr ls coordends del pnto P qe divide l segmento de extremos A(3,4) y B(0,-) en dos prtes tles qe BP = PA [Solc: P(,)] 8. ) De los vectores y b conocemos =, b = 5 y el ánglo qe formn, α=60º. Hllr + b y b (Solc: 39 y 19, respectivmente ) b) De los vectores y b conocemos + b = 5, b = 19 y b = 30º. Hllr 9 (Solc: 57 ) 9. Dos ferzs F y 1 F de intensiddes 0 N y 30 N ctún sobre el mismo cerpo y formn entre ells n ánglo de 60º. Hcer n dibjo. Cántos N tiene l resltnte R? (Solc: 43,6 N) Combinción linel de vectores: 10. Expresr = (9,5 ) y b = ( 5,7 ) como combinción linel de x = (1,3 ) e y = (3, ), nlític y = 3 x + y ; b = x gráficmente. (Solc: ) 11. Ddos los vectores libres de l figr: ) Rzonr qe, b constitye n bse de V. b) Obtener c como combinción linel de y b c) Comprobr gráficmente l combinción linel nterior. 1 Solc : c = b b c
1. Ddos los vectores = (3, 4) y v = (,3), se pide: ) Rzonr qe peden ser bse de V. w = 3v b) Obtener nlíticmente ls coordends de w = ( 1,1) en l bse nterior. (Sol: + ) c) Explicr gráficmente l sitción. 13. Expresr los vectores y b de l figr como combinción linel de x e y : x y b 3 Solc : = x y ; 1 13 b = x y 5 10 14. Definir bse de V, combinción linel y coordends de n vector referids n bse. Explicr estos conceptos medinte l bse formd por, y el vector, nlític y gráficmente. = (,1); v = ( 1,3) w = (4,9 ) w = 3 + v (Solc: ) 15. ) Los vectores x e y de l figr peden ser bse de V? Rzonr l respest. y b) Expresr como combinción linel de x e y = 3 x y (Sol: ) x c) Comprobr gráficmente lo nterior. w 16. Expresr el vector w de l figr como combinción linel de y v, nlític y gráficmente (esto último en l propi w = + 3 v figr). (Solc: ) v Módlo de n vector: 16. ) Clclr el módlo de los sigientes vectores, y dibjrlos (los siete primeros en los mismos ejes): 3 1 (4, 3), b (3, 4), c (1,1), d (5,5), e ( 4, 3), f (6, 0), (0, 3) y v, = = = = = = = =
b) Clclr el vlor de m pr qe el vector = 1,m se nitrio. Rzonr gráficmente por qé se obtienen dos solciones. (Solc: 3 ) m = ± c) Ídem pr v =,m (Solc: m = ± ) = 17. ) Ddo (6,8), hllr los dos vectores nitrios qe tienen l dirección de. Rzonr gráficmente l sitción. b) Ídem pr = (4, 7) c) Ídem pr = (, ) 18. ) Pr cd no de los sigientes vectores, obtener no nitrio y con l mism dirección: = (3, 4) b = (1,1) c = (1,5) d = (6, 3) b) Hllr el vector v de módlo 5 qe se prlelo l = (36, 7) 19. Dibjr los sigientes pres de pntos y hllr s distnci: ) P(1,) y Q(5,-1) b) P(6,3) y Q(-,-3) c) P(,1) y Q(,5) d) A(-1,3) y B( 5,3) e) A(5,3) y el origen f) P(1,5) y Q(5,) (Solc: ) 5; b) 10; c) 4; d) 6; e) 34 ; f) 5) Prodcto esclr: 0. ) Ddos = (5,0) y v = (,) se pide: i) Dibjrlos ii) Clclr s prodcto esclr de dos forms posibles, y comprobr qe coincide el resltdo. b) Ídem con = (1,1) y v = (,0) c) Ídem con = (,1) y v = (,4) A 1. ) Dd l figr djnt, hllr OA OB plicndo l definición de prodcto esclr. (Solc: -) b) Hllr ls coordends de A y B (no vlen decimles). 0 60º 60º c) Hllr OA OB medinte l expresión nlític del prodcto esclr, y comprobr qe se obtiene lo mismo qe en el prtdo. B. ) Considerr el hexágono reglr de l figr derech, de ldo. Hllr v de dos forms. (Solc: ) b) Hllr b en l figr izqierd, nlíticmente. Hllr tmbién nlíticmente el ánglo qe formn los dos vectores. v 30º 4 b
3. Ddos = ( 3,1), b = (,3), c = (1,0) y d = (5, ), clclr: ) b b) b c) d d) b c e) b d f) c d g) h) d c i) c j) + b d dedos forms k) b d l) b d m) c d de dos forms n) + b dedos forms o) + b b de dos forms (Sol: ) -3; b) -3; c) -17; d) ; e) 4; f) 5; g) 10; h) 10; i) -3; j) -13; k) (-1,4); l) (-34, -51); m) 14; n) 17; o) -3) 4. TEORÍA: Indicr, rzondmente, si el resltdo de ls sigientes operciones es n esclr o n vector: ) b c d b) b+ c d c) b c d (Solc: esclr, en los tres csos) 5. Un triánglo ABC es tl qe AB = 5, BC = 7 y B = 10º. Clclr BA BC y s sperficie. 35 35 3 Solc : ; 4 6. Se n triánglo eqilátero ABC de ldo 6. Hllr: ) AB AC b) CA CB c) BA CB d) AB CB e) AC BA f) AA AC 7. (Aviso: Pr considerr el prodcto esclr gráficmente, previmente los dos vectores hn de tener origen común, pr lo cl en ciertos csos hbrá qe trsldr no de ellos). (Solc: ) 18; b) 18; c) -18; d) 18; e) -18; f) 0) En el prlelogrmo de l figr, hllr (Solc: 5 3; 16,34) AB AD y AB AC A D 5 150º B C 8. Hllr x de modo qe el prodcto esclr de los vectores = (3, 5) y b = (x,) se igl 8 (Solc: x=6) 9. Hllr ls componentes de n vector cyo módlo es 17 y qe es ortogonl l vector v = (4,1). Solc :, 8 y,8 ) Hcer n dibjo explictivo de l sitción. ( 1 = ( ) = ( ) * 30. Hllr ls componentes de n vector cyo prodcto esclr por sí mismo es 0 y cyo prodcto esclr por el vector (3,) es. (Solc: (38/13,-44/13) y (-,4)) 31. Resolver el problem 8 nlíticmente, y comprobr qe se obtiene el mismo resltdo. 3. Considerr los pntos A( 1,) y B(4,6). Hllr el pnto C(x,y) tl qe el segmento AB se l segmento AC y de l mism longitd. Hllr el áre del triánglo ABC.
Ánglo de dos vectores: 33. Clclr el ánglo formdo por los sigientes pres de vectores, y dibjrlos (cd prtdo en diferentes ejes): ) = (,1) y v = (1,3) b) = ( 3,1) y v = (1, 3 ) (Solc: 45º) (Solc: 30º) c) = (3, 6 ) y b = ( 3, 6 ) (Solc:10º) d) = (4,1) y v = (,8) (Solc: 90º) 34. Ddos los vectores = (3, 4) y v = ( 5, 6), clclr: ) El ánglo qe formn. (Solc: 103º19 ) e) x = ( 5,1) y y = (8, 6) (Sol: 149º 9 ) f) = (,1) y v = (-9,3) g) = (4,3) y v = (1,7) b) Un vector en l dirección y sentido de qe se nitrio. (Solc: (3/5,-4/5)) c) Un vector en l dirección y sentido de de módlo 15. (Solc: (9,-1)) d) Son y v ortogonles? En cso contrrio, bscr n vector clqier ortogonl (Solc: 135º) (Solc: 45º) 35. Qé ánglo formn los vectores nitrios ) b = 1 b) 3 b = c) (Solc: ) 0º; b) 30º; c) 10º; d) 45º) y b en los sigientes csos?: 1 b = d) b = 36. Comprobr qe los vectores = (8,15) y v = (30, 16) constityen n bse ortogonl. Comprobr qe los vectores / y v / v formn n bse ortonorml. Problems con prámetros: NOTA: En los ejercicios 37 51 se recomiend hcer n dibjo previo de l sitción 37. Clclr x e y en = ( x,4), b = ( 1,5) y c = (3,y ), si se sbe qe b y c b. Comprobr el resltdo gráficmente. (Solc: x=-0; y=3/5) 38. Obtener tres vectores clesqier perpendiclres (-1,-3), siendo l menos no de ellos nitrio. Explicr gráficmente el resltdo. 1 39. Hllr el vlor de m pr qe =, m y v, 1 sen ortogonles. Interpretr el resltdo gráficmente. = (Solc: 4 ) 40. Ddos x = (, 3) e y = (,4), clclr pr qe: ) x // y b) x y (Sol: ) =-8/3; b) =6) 41. Hllr n vector v qe teng módlo 3 y qe forme n ánglo de 90º con = (3,4) (Aviso: pede hber v 1 = 1 / 5, 9 / 5 y v = v 1 ) dos solciones). Explicr gráficmente l sitción. (Solc: ( ) 4. Ddos = (3,1), v = (, 1/ ) y w = ( 3,), se pide:
) Hllr pr qe v se nitrio. Comprobr gráficmente el resltdo. (Sol: = ± 3 ) b) Hllr pr qe y v sen //. Jstificr gráficmente l solción obtenid. (Sol: =-3/) c) Hllr pr qe v y w sen. Jstificr gráficmente l solción obtenid. (Sol: =-1/3) d) Hllr n vector y nitrio. e) Hllr el ánglo qe formn y w (Sol: 17º 5 30 ) 43. ) Clclr ls componentes de n vector de módlo y tl qe i = 30º solciones) Solc : 1 = 3,1 y = 3, 1 b) Ídem con = 3 y i = 45º 44. Clclr con l condición de qe = (,1) por lo qe se recomiend hcer n dibjo) forme 60º con v = (1,1) (Aviso: pede hber dos (Aviso: pede hber dos solciones, 45. Hllr el vlor de x pr qe el vector (x,1) forme 45º con el vector (1,) (Aviso: pede hber dos solciones) (Solc: x 1=3 y x =-1/3) 46. Ddos los vectores = (, 1) y v = (,3), clclr de modo qe: ) y v sen ortogonles (Solc: =3/) 4 + 15 3 b) y v formen 60º Solc : = 11 c) y v tengn l mism dirección (Solc: =-6) 47. Ddos los vectores = (1, 1) y b = (,m), hllr m de form qe: ) b) y b sen ortogonles. (Solc: m=) y b tengn l mism dirección. (Solc: m=-) c) b se nitrio. (Solc: / solc.) d) y b formen 45º (Solc: m=0) 48. Ddos = (3, 4) y b = (5, x), hllr x pr qe: ) mbos vectores sen perpendiclres (Solc: x=15/4) b) mbos vectores formen 30º (Solc: x 1 -,1; x -41,50) c) tengn l mism dirección (Solc: x=-0/3) 49. Ddos = (,1) y v = (, 3), se pide: ) Hllr pr qe sen //. Jstificr gráficmente l solción obtenid. (Solc: =-6) b) Hllr pr qe sen. Jstificr gráficmente l solción obtenid. (Solc: =3/) c) Hllr pr qe formen 45º. Jstificr gráficmente l solción obtenid. (Solc: =9) d) Hllr n vector de módlo 5 (Solc: ( 5, 5 ) 50. Ddos = (3, 4) y v = (,), se pide: ) Hllr tl qe v = 4 (Solc: =4) ( Sol : (- 1/ 10,3/ 10 ) o s opesto ) ( ) ( ) Solc : 1 = ( 3,3 ) y = ( 3, 3 ) o s opesto) ( Solc : 3 )
b) Qé ánglo formrán y v en el cso nterior? (Solc: 79º 41' 43'') c) Hllr tl qe // v. Explicr gráficmente l sitción. (Solc: =-3/) Mtemátics I VECTORES d) Hllr n vector y de módlo 10. Explicr gráficmente l sitción. (Solc: (8,6), o s opesto) 51. Considerr los vectores = ( b, 3 ) y 1 v =, ) Hllr y b pr qe v se nitrio y mbos vectores sen y estén en el semiplno inferior. (Solc: =- 3/; b=3) b) Comprobr gráficmente el resltdo: c) Si b=0, podrín ser // pr lgún vlor de? (Solc: NO) Áre de n triánglo: 5. Hllr los ánglos del triánglo de vértices A(-,), B(5,3) y C(,15). Hllr tmbién s áre. (Solc: A 64º 46'; B 84º 6'; C 31º 8'; S ABC=43,5 ) 53. Ddo el triánglo de vértices A(1,1), B(5,4) y C(-5,9), se pide: ) Dibjrlo. b) Demostrr qe es rectánglo en A Solc : AB AC = 0 c) Hllr s áre. (Solc: S ABC=5 ) 54. ) Dibjr el triánglo de vértices A(1,-), B(3,-1) y C(,1) y hllr s áre. (Solc: S ABC=,5 ) b) Ídem con A(3,8), B(-11,3) y C(-8,-) (Solc: S ABC=4,5 ) c) Ídem con A(4,-1), B(,1) y C(0,) (Solc: S ABC=1 ) 55. TEORÍA: ) Ddo el vector = (3, 4), hllr rzondmente otro vector con l mism dirección pero de módlo. Hcer n dibjo explictivo. 1 b) Ddos = ( 1,), v = (, 3) y w =,4, hllr c) Son ortonormles 3 3 =, y b =,? Y ortogonles? 3 3 d) Qé indic el signo del prodcto esclr? Indicr ejemplos. e) Demostrr qe el vector b c c b es perpendiclr l vector c f) Peden ser prlelos los vectores (, ) y ( 0,5 )? v w g) Pede ser n nitrio el vector (, )? (Rzonrlo no nlíticmente)