Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 1 TEMA INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIO 1 : Los esos, e kilogramos, de u gruo de ersoas se distribuye segú ua N(70, 10). Calcula, e este gruo de ersoas, la robabilidad de: a) Pesar más de 85 kg. b) Pesar etre 65 y 75 kg. Solució: X es N(70, 10) 85 70 a) P 10 X 85 P Z PZ 1,5 1 PZ 1,5 1 0,9332 0, 0668 65 70 75 70 b) Z 10 10 65 X 75 P Z P 0,5 0, 5 P P[Z < 0,5] - P [Z -0,5] = P[Z < 0,5] P[Z 0,5] = P[Z < 0,5] [1 P[Z < 0,5]] = 0,6915 1 + 0,6915 = 0,383 EJERCICIO 2 : E ua distribució N(18, 4), halla la robabilidad de que X valga: a) Más de 25. b) Etre 15 y 30. Solució: X es N(18, 4) 25 18 a) P 4 X 25 P Z PZ 1,75 1 PZ 1,75 1 0,9599 0, 0401 15 18 30 18 b) P15 X 30 P Z P 0,75 X 3 P[Z < 3] - P [Z -0,75] = 4 4 P[Z < 3] P[Z 0,75] = P[Z < 3] [1 P[Z < 0,75]] = 0,9987 1 0,7734 0, 7721 INTERVALO CARACTERISTICO EJERCICIO 3 : Obté el itervalo característico ara el 95%, e ua distribució N(0, 25). Solució: El itervalo característico es de la forma: ( z /2, z /2 ) Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,05 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 Por tato, el itervalo será: (0 1,96 25; 0 1,96 25), es decir: (71; 169) Esto sigifica que el 95% de los idividuos está e este itervalo. EJERCICIO 4 : E ua distribució ormal co media 15 y desviació tíica 3,2, obté u itervalo cetrado e la media, ( k, k), de forma que el 90% de los idividuos esté e ese itervalo. Solució: Se trata de hallar el itervalo característico corresodiete al 90%. Este itervalo es de la forma:( z /2, z /2 ) Para el 90%, 1 - = 0,9 ; = 0,1 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,95 z /2 1,645 Por tato, el itervalo será: (15 1,645 3,2; 15 1,645 3,2), es decir: (9,736; 20,264)
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 2 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA EJERCICIO 5 : E ua determiada oblació, los esos se distribuye segú ua ormal de media 65 kg y variaza 49. Si extraemos muestras de tamaño 64: a) Cuál es la distribució de la variable aleatoria media muestral, x? b) Cuál es la robabilidad de que la media de los esos e ua de esas muestras sea mayor de 66,5 kg? Solució: = 85, = 49 7, = 64 7 a) X N(, ) = N(65,7) x N(, ) = N65;. 8 66,5 65 7 8 b) P x 66,5 P z Pz 1,71 1 Pz 1,71 1 0,9564 0, 0436 EJERCICIO 6 : La media de edad de los lectores de ua determiada revista es de 17,2 años, y la desviació tíica, 2,3 años. Si elegimos muestras de 100 lectores: a) Cuál es la robabilidad de que la media de la edad de la muestra está comredida etre 16,7 y 17,5 años? b) Cuál es la distribució de las medias muestrales? Solució: = 17,2; = 2,3 ; =100 a) X N(, ) = N(17,2;2,3) x N(, P 16,7 17,2 0,23 17,5 17,2 0,23 ) = N 17,2; 0,23. 16,7 x 17,5 P z P 2,17 z 1, 30 z 1,30 Pz 2,17 Pz 1,30 Pz 2,17 Pz 1,30 1 Pz 2, P 17 0,9032 (1 0,9850) 0,8882 b) Ya hemos hallado, e el aartado aterior, que las medias muestrales, x, se distribuye N (17,2; 0,23). INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA LA MEDIA EJERCICIO 7 : La duració de cierto tio de batería sigue ua distribució ormal de media 3 años y desviació tíica de 0,5 años. Si se toma muestras de tamaño 9, halla u itervalo e el que esté comredidos el 99% de las duracioes medias de las baterías de cada muestra. Solució: X N 3; 0,5., = 9 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 99%, 1 - = 0,99 ; = 0,01 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,995 z /2 2,575. 0,5 0,5 3 3 3 Por tato, el itervalo será: 2,575 ; 3 2,575 ; es decir :(2,57; 3,43) Por tato, las duracioes medias de las baterías e el 99% de las muestras estará comredidas etre 2,57 y 3,43 años.
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 3 EJERCICIO 8 : La edad de los alumos de 2 o de Bachillerato de cierto istituto sigue ua distribució N (17,6; 0,5). Los agruamos al azar de 10 e 10 ara ua cometició. Halla el itervalo característico del 95% corresodiete a las edades medias de los gruos. Solució: X N 17,6; 0,5., = 10 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,025 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 0,5 0,5 Por tato, el itervalo será: 17,6 1,96 ; 17,6 1,96 ; es decir : (17,29; 17,91) 10 10 Por tato, las edades medias e el 95% de los gruos está etre 17,29 y 17,91 años. INTERVALO DE CONFIANZA EJERCICIO 9 : La estatura de los habitates mayores de edad de ua determiada ciudad sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza 36 cm 2. E ua muestra aleatoria de 80 idividuos de esta ciudad, hemos obteido ua estatura media de 172 cm. Determia u itervalo de cofiaza del 95,44% ara la estatura media de los habitates mayores de edad de dicha ciudad. Solució: X N(,6), = 80, x = 172 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95,44%,1- = 0,9544 ; = 0,0455 P[ Z z /2 ] = 1-/2 P[ Z z /2 ] = 0,9772 z /2 2 6 6 Por tato, el itervalo será: 172 2 ; 172 2 ; es decir, 170,66; 173,34 80 80 Teemos ua cofiaza del 95,44% de que la estatura media de toda la oblació está etre 170,66 y 173,34 cm. EJERCICIO 10 : La media de las medidas de los diámetros de ua muestra aleatoria de bolas de rodamieto, fabricadas or cierta máquia, fue de 0,824 cm, y la desviació tíica fue de 0,042 cm. Halla los límites de cofiaza al 95% ara el diámetro medio de las bolas fabricadas or esa máquia. Solució: X N(;0,042), =, x = 0,824 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,025 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 0,042 0,042 Por tato, el itervalo será: 0,824 1,96 ; 0,824 1,96 ; es decir: (0,818; 0,830) Teemos la cofiaza del 95% de que la media de la oblació está comredida etre 0,818 y 0,830 cm.
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 4 ERRORES EJERCICIO 11 : El eso, e kilogramos, de u determiado colectivo se distribuye segú ua ormal de desviació tíica igual a 5 kg. Cuátos idividuos debemos seleccioar e la muestra si queremos que la media de la muestra o difiera e más de 1kg de la media de la oblació, co robabilidad 0,95? Solució: 5 kg y E 1 kg. El error máximo admisible es E z. Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,025 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 Sustituimos e la exresió aterior y desejamos : 5 1 1,96 1,96 5 9,8 96,04 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 97 idividuos. EJERCICIO : E ua muestra de 1 000 ersoas, mayores de 18 años, de ua ciudad, hemos obteido ua estatura media de 1,72 m y ua desviació tíica de 0,4 m. Co estos datos, hemos cocluido que, la estatura media de los habitates mayores de 18 años de esa ciudad está etre 170 cm y 174 cm. Co qué ivel de cofiaza hemos llegado a dicha coclusió? 174 170 Solució: Sabemos que E 2 cm 0,02 m 2 Como o coocemos, tomamos s 0,4 m. Y sabemos que 1 000. La exresió que os da el error máximo admisible es E z. Sustituyedo e la exresió aterior, teemos que: 0,4 0,02 z 2 z 1 000 0,02 1 000 0,4 / 1,58 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z 1,58] = 0,9429 1 0,9429 2 0,1142 1 0, 8858 El ivel de cofiaza es del 88,58%. REPASO EJERCICIO 13 : El eso de ua carga de arajas, e gramos, sigue ua distribució N(175, ). Calcula la robabilidad de que ua araja elegida al azar ese: a) Más de gramos. b) Etre 150 y 190 gramos. Solució: x 175 175 a) x z 2, 08 1 z 2,08 1 0,98 0, 0188 b) 150 175 x 175 190 175 150 x 190 2,08 z 1, 25 z 1, 25 z 2, z 1,25 z 2,08 z 1, 25 1 z 2, 0,8944 1 0, 98 0, 8756 08 08
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 5 EJERCICIO 14 : Las utuacioes obteidas e u test que se ha asado a 100000 ersoas se distribuye segú ua N (50, 5). Si tomamos muestras de 100 de esas ersoas: a) Cómo se distribuye las medias muestrales, x? b) Calcula la robabilidad de que la media de las utuacioes e ua de esas muestras esté comredida etre 49 y 51 utos. Solució: = 100 a) X N(50;5) x N(, ) = N 50; 0,5. b) Como sabemos que x es N50; 0,5 49 50 51 50 P 49 0,5 0,5 P [z < 2] (1 P [z 2]) 0,9772 1 + 0,9772 0,9544 x 51 P z P 2 z 2 Pz 2 Pz 2 Pz 2 Pz 2 EJERCICIO 15 : E ua aadería se ha esado 60 aecillos de u determiado tio, obteiedo ua media de 100 gramos y ua desviació tíica de 9. Halla el itervalo de cofiaza al 95% ara el eso medio de los aecillos de ese tio. Solució: X N(100;9) = 60 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,05 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 9 9 E este caso sería: 100 1,96 ; 100 1,96, es decir: (97,72; 102,28) 60 60 Teemos ua cofiaza del 95% de que el eso medio de ese tio de aecillos esté comredido etre 97,72 y 102,28 gramos. EJERCICIO 16 : E u test de iteligecia, las utuacioes se distribuye segú ua ormal co desviació tíica 15. Se desea estimar el valor de la utuació media oblacioal, co u error meor de 3 utos, y co u ivel de cofiaza del 95%. De qué tamaño, como míimo, debemos seleccioar la muestra? Solució: Sabemos que 15 y que E 3 utos. El error máximo admisible es E z. Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,05 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 Sustituimos e la exresió aterior y obteemos el valor de : 15 1,96 15 3 1,96 9,8 96,04 3 Habrá que tomar muestras de, al meos, 97 idividuos. EJERCICIO 17 : E ua muestra de 150 ersoas de u determiado colectivo, hemos obteido ua edad media de 38 años y ua variaza de 36. Co estos datos, hemos cocluido que la edad media de la oblació (de ese colectivo) está comredida etre 37,04 y 38,96 años. Cuál es el ivel de cofiaza co el que se ha llegado a dicha coclusió? Solució: Como o coocemos, tomamos s 36 6 años, y sabemos que 150 ersoas.
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 6 La exresió que os da el error máximo admisible es E z. 38,96 37,04 Sabemos que E 0,96 años. 2 Sustituyedo e la exresió aterior, obteemos el valor de z /2 : 6 0,96 150 0,96 z 2 z 1,96 z 150 6 / P[Z < z /2 ] = 1 - /2 P[Z < 1,96] = 1 - /2 P[Z < 1,96] = 0,975 1 - /2 = 0,975 = 0,05 1 - = 0,95 El ivel de cofiaza es del 95% EJERCICIO 18 : La duració de las bombillas de cierta marca sigue ua distribució ormal de media 780 horas, co desviació tíica. Si cosideramos muestras de 50 de esas bombillas, halla el itervalo característico del 95% corresodiete a las medias muestrales. Solució: X N(780;) El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 95%, 1 - = 0,95 ; = 0,05 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,975 z /2 1,96 Por tato, el itervalo será: 780 1,96 ; 780 1,96, es decir: (724,56, 835,44) 50 50 EJERCICIO 19 : Se sabe que la resió sistólica de los idividuos de ua determiada oblació sigue ua distribució N (7, 24). Si extraemos muestras de tamaño 25: a) Cuál es la distribució de la variable aleatoria media muestral, x? b) Calcula la robabilidad de que la media de las resioes sistólicas e ua de esas muestras esté comredida etre 6,5 y 8. Solució: = 25 a) X N(, ) = N(7;24) x N(, 6,5 7 4,8 1,96 ) = N 7; 4,8. 8 7 4,8 b) P 6,5 x 8 P z P 0,10 z 0, 21 z 0,21 Pz 0,10 Pz 0,21 Pz 0,10 Pz 0,21 1 Pz 0, P 10 0,5832 (1 0,5398) 0,3 EJERCICIO 20 : El ivel de colesterol e ua ersoa adulta saa sigue ua distribució ormal N(192, ). Calcula la robabilidad de que ua ersoa adulta saa tega u ivel de colesterol: a) Suerior a uidades. b) Etre 180 y 220 uidades. Solució: x 192 192 a) x z 0, 67 1 z 0, 67 1 0, 7486 0, 2514 b) 180 192 x 192 220 192 180 x 220 1 z 2,33 z 2,33 z z 2,33 z 1 z 2,33 1 z 1 1 0,9901 1 0,8413 0, 8314
Tema Iferecia estadística. Estimació de la media Mate CCSSII 2º Bach. 7 EJERCICIO 21 : Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, ). Calcula la robabilidad de que las vetas diarias e ese comercio: a) Suere los 00 euros. b) Esté etre 700 y 1000 euros. Solució: x 950 00 950 a) x 00 z 1, 25 1 z 1, 25 1 0,8944 0, 1056 b) 700 950 x 950 1000 950 700 x 1000 1 z 0, 25 z 0, 25 z z 0,25 z 1 z 0, 25 1 z 1 1 0,5987 1 0,8413 0, 44 EJERCICIO 22 : E u camameto de verao, hemos esado a 49 iñas y iños, obteiedo ua media de 60 kg y ua desviació tíica de 6 kg. Halla los límites de cofiaza al 99% ara el eso medio de las iñas y iños del camameto. Solució: = 49, x = 60, s = 6 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 99%, 1 - = 0,99 ; = 0,01 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,995 z /2 2,575 6 6 E este caso será: 60 2,575 ; 60 2,575 ; es decir : (57,79; 62,21) 49 49 Teemos la cofiaza del 99% de que el eso medio de las iñas y iños del camameto esté etre 57,79 kg y 62,21 kg. EJERCICIO 23 : El eso de los adultos de ua oblació umerosa se distribuye ormalmete co variaza 9. Cuátos idividuos debemos seleccioar e la muestra si queremos que la media muestral o difiera e más de 1 kg de la media de la oblació, co robabilidad 0,99? Solució: Sabemos que 9 3 y que E 1kg. El error máximo admisible es E z. Para el 99%, 1 - = 0,99 ; = 0,01 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,995 z /2 2,575 Sustituyedo e la exresió aterior, obteemos el valor de : 3 1 2,575 2,575 3 7,725 59,68 Habrá que tomar ua muestra de al meos, 60 idividuos. EJERCICIO 24 : Los sueldos de las emleadas y emleados de ua emresa se distribuye segú ua ormal de media 1 500 euros y de desviació tíica 300 euros. Si cosideramos muestras de tamaño 40, halla el itervalo característico del 99% ara los sueldos medios de las muestras. Solució: X N(1500,300) = 40 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 99%, 1 - = 0,99 ; = 0,01 P[ Z z /2 ] = 1 - /2 P[ Z z /2 ] = 0,995 z /2 2,575 300 300 Por tato, el itervalo será: 1 500 2,575 ; 1 500 2,575, es decir: (1 377,86; 1 622,14) 40 40