Geomeí CTSL Vecoes. Bses. Ddos los vecoes u (, ) v (, ): ) Compueb que u v fomn un bse del espcio vecoil de los vecoes del plno. b) Encuen ls componenes del veco w (, 5) en l bse {u, v }. ) Los vecoes son linelmene independienes pues: λ(, ) µ(, ) (, ) λ µ ; λ µ λ µ L únic solución del sisem λ µ λ µ es λ µ. Los vecoes u v fomn un sisem genedo, pues culquie veco (, ) puede ponese en función de ellos. En efeco: (, ) (,) b(,) b b ; 7 b 7 b) P w 5 5 (, 5), eso es,, 5, se iene:, b. 7 7 Luego w u v. L compobción es inmedi: u v (, ) (, ) (, ) (, ) (, 5) w José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CTS5. Conside los vecoes de R : v (,, ), v (,, ) v (, k, k ). ) Hll el único vlo de k p el cul esos vecoes no son un bse de R. b) P un vlo de k difeene del que hs hlldo en el pdo ), cuáles son ls componenes del veco w v v v en l bse { v, v, v }? ) Los vecoes no fomn bse cundo son linelmene dependienes; p ello, el deeminne socido debe se. k k 5 k 5 k, fomn un bse, pues son linelmene independienes. En consecuenci, ls componenes de w v v v en función de es bse, son (,, ). b) Si k, los vecoes { v, v v } José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) RMS5. ) Se considen los vecoes: u (,, ), u (,, ) v (,, ) v (,, ). Demos que p odo númeo el, el veco ),, ( es combinción linel de u u mbién de v v. b) Elegi es vecoes linelmene independienes ene u, u, v v escibi el oo como combinción linel de ellos. ) En mbos csos debe cumplise que el deeminne fomdo po los es vecoes vlg. ),, ( es combinción linel de u u si. ) ( ) ( ),, ( es combinción linel de v v si ) ( c) Como, los vecoes u, u v son linelmene independienes. H que escibi v en función de u, u v. Eso es, encon ls consnes,,, les que v u u v. O se: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Po Cme:
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) ; 5 ; Luego: 5 v u u v
Geomeí 5 ANJ Poduco escl, vecoil mio Sen los punos A(,, ), B(,, ), C(, 5, ) D(,, ). ) [ puno] Pueb que los cuo punos esán en el mismo plno. (Hll l ecución de dicho plno.) b) [.75 punos] Demues que el polígono de véices consecuivos ABCD es ecángulo. c) [,75 punos] Clcul el áe de dicho ecángulo. ) Los cuo punos peeneceán l mismo plno si los vecoes AB, AC AD son linelmene dependienes. Esos vecoes son: AB (,, ) (,, ) (,, ) AC (, 5, ) (,, ) (,, ) AD (,, ) (,, ) (,, ) Como, los vecoes, efecivmene, son linelmene dependienes. El plno que deeminn viene ddo, po ejemplo, po el puno A po los vecoes AB AC. Su ecución es: h h h Obsevción: Puede vese que los cuo punos ddos cumplen l ecución del plno. b) El cudiláeo seá ecángulo si los vecoes AB BC, AB AD son oogonles. Como: AB (,, ), BC (,, ) AD (,, ) se iene: AB BC AB AD (,, ) (,, ) Po no, se de un ecángulo. c) Al se de un ecángulo, su supeficie se hll muliplicndo su bse po su lu. L bse puede se el módulo de AB; l lu, el módulo de AD. Po no, AB ; AD S AB AD NOTA: L supeficie mbién podí hllse medine el poduco vecoil: S AB AD José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 6 EXS5 Si A, B C son los punos de coodends (,, ), (,, ) (,, ), especivmene ) Clcul el áe del iángulo que fomn los punos A, B C. b) Deemin el ángulo que fomn los vecoes AB AC. ) El áe del iángulo de véices A, B C viene dd po S AB AC Como AB (,, ) (,, ) (,, ) AC (,, ) (,, ) (,, ) se iene: AB Luego, S u u AC u (,,) b) Po el poduco escl: AB AC cos AB, AC AB AC el ángulo que fomn es de 6º. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 7 ASL Compuebe que los punos A (,, ), B (, 5, ), C (,, 5) D (,, 7) son coplnios. De odos los iángulos que se pueden consui eniendo como véices es de esos cuo punos, cuál es el de mo áe? Obeng el vlo de dich áe? Seán coplnios si los vecoes AB, AC AD son linelmene dependienes. Vemos: AB, (, 5, ) (,, ) (, 5, ) AC (,, 5) (,, ) (,, ) AD (,, 7) (,, ) (,, ) Como los vecoes AC AD son popocionles, AD AC, los es vecoes son linelmene dependienes. (Tmbién puede vese que el deeminne socido esos vecoes vle.) Si AD AC, los punos A, C D esá linedos como se indic en l figu. El iángulo de mo supeficie que puede consuise es el de véices A, B D. Su supeficie es: S AB AD (6,, ) Luego, S 6 El poduco vecoil ( ) 6 u u u AB AD 5 (6,, ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 ARS Recs plnos en el espcio L ec co los es plnos coodendos en es punos. Deemin ls coodends de esos punos (,5 punos), ls disncis eisenes ene cd p de ellos ( puno) e indic cuál es el que se encuen en medio de los oos dos ( puno). L ec (en pméics) Punos de coe con los plnos coodendos. Con el plno ( ): A (,, ) Con el plno ( /): B (/,, /) Con el plno ( ): C (,, ) Disncis: d(a, B) ( ) d(a, C) ( ) ( ) d(b, C) ( ) Ls disncis hllds son los módulos de los vecoes AB,, ; AC (,, ); BC,, Como los es vecoes ienen el mismo senido el más lgo es AC, l siución debe se sí: El puno inemedio es el B. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 9 CTJ Conside los punos del espcio A(,, ), B(,,) C(,, ). ) Encuen l ecución del plno ABC. b) Si D es el puno de coodends (k,, ), cuáno h de vle k p que los cuo punos A, B, C D sen coplnios? ) Como AB (,, ) AC (,, ), l ecución genel viene dd po: b) El puno D(k,, ) seá del plno cundo cumpl su ecución; eso es: k k Po no, D (,, ). José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí LRS5 Hll l ecución de l ec que ps po el puno (,, ) es plel l eje (un ecución: l que quies). H un esquem dibujndo los ejes, el puno l. ec. L ecución del eje es (coe de los plnos e ) L ecución de l plel pedid seá (coe de los plnos e ) Gáficmene: José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí LRJ5 Hll ls coodends del puno inesección de l ec del plno. Ls ecuciones pméics de l ec dd son: Susiuendo en l ecución del plno se iene: ( ) ( ) El puno de coe seá ( ) P(,, ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CBJ5 ) Clcul ls ecuciones implícis de l ec que ps po los punos A (,, ) B (,, ). b) Clcul l ecución genel del plno π que ps po los punos A, B C (,, ). c) Cuános plnos disinos pueden fomse con los punos A, B, C D (,, )? Jusific u espues. d) Pueb que los punos A, B, C D neioes fomn un cuddo clcul su áe. ) El veco de diección de l ec es: AB (,, ) (,, ) (,, ) Sus ecuciones pméics son: ; o bien: b) El veco BC (,, ) (,, ) (,, ) El plno π esá deemindo po el puno A po los vecoes AB BC; su ecución es: π: π: c) El puno D mbién cumple l ecución del plno π; po no, los cuo punos sólo definen un plno. d) Los punos A, B, C D fomán un cuddo cundo los vecoes AB, BC, CD DA sen coelivmene pependicules odos engn el mismo módulo. Como AB (,, ), BC (,, ), CD (,, ) DA (,, ) se compueb que: AB BC, BC CD, CD DA DA AB Tmbién es obvio que odos ienen módulo. Po no, su áe seá unidd cudd. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) PVS5 Se conside l ec de ecución pméic: Hll su ecución como inesección de dos plnos (ecuciones cesins). Eise lgún vlo de s l que el puno (, s, s) peenec l ec? Ron l espues no en cso fimivo como en cso negivo. P encon ls ecuciones cesins despejmos en ls ecuciones pméics e igulmos: P que el puno (, s, s) peenec mbos plnos es necesio que 8 6 s s s / 9 / s s Como se obienen dos vloes difeenes de s el puno (, s, s) no puede peenece mbos plnos.
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) NAS5 Hll l ecución coninu de l ec que ps po el puno P (,, ) co ls ecs L ec pedid seá l inesección de dos plnos: π, que ps po P coniene, π, que ps po P coniene Epesmos mbs ecs en pméics: con v (,, ) A, A (,, ) h h con v (,, ) B, B (,, ) El plno π viene ddo po A, v AP (,, ), su ecución es: π El plno π viene ddo po B, v BP (,, ), su ecución es: π Po no, l ec pedid es: ;
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) 5 CLJ Se l ec. ) Escíbse l ec en fom pméic. (,5 punos) b) P cd puno P de, deemínese l ecución de l ec que ps po P co pependiculmene l eje OZ. (,5 punos) ) Despejndo en función de se iene: Pmeindo obenemos: b) Los punos P de son de l fom P (,, ). Ls ecs pependicules l eje OZ deben es en un plno de ecución k (plelos l bse del iedo cesino). Po no, l pependicul que ps po P debe co l eje OZ en el puno Q (,, ); l odend de mbos punos es l mism, consne. En consecuenci, el veco de diección de ls ecs pedids seá QP (,, ) (,, ) (,, ). Ls ecs pedids quedn deeminds po el puno Q el veco QP. Su ecución, p cd vlo de, seá: ) ( ), ( Q P ec λ λ NOTA. El pámeo de ess ecs es λ, miens que deemin cd puno P de. Po ejemplo, p, el puno P (,, 5), el puno Q (,, 5), l ecución de l ec pependicul l eje OZ que ps po P seá 5 s λ λ
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) 6 PVS Encon l ecución pméic de l ec dd po Eise lgún vlo de s l que el puno (, s, s) peenec l ec? Ron l espues no en cso fimivo como negivo. P encon ls ecuciones pméics de esolvemos el sisem socido. (hciendo ) 5 Si el puno (, s, s) fuese de l ec debeá cumpli sus ecuciones; eso es: ) ( s s s s 9 / s s Como se obienen dos vloes difeenes p s, el puno (, s, s) no puede se de l ec, culquie que se el vlo de s.
Geomeí 7 PVJ5 P cd vlo de los punos P (,, ) A (,, ) son siméicos especo un plno. Hll, de fom ond, l ecución de dicho plno. En picul encuen el plno p. El plno buscdo es pependicul l veco AP (ese seá su veco cceísico) ps po el puno medio de mbos, M. AP (,, ) (,, ) (,, ) M,, Su ecución seá: ( ) Opendo, se iene: ( ) ( ) P el cso de, qued: 9 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 ARJ Sen los punos A(,, ) B(,, ). Deemin: ) Ecución del plno π medii del segmeno AB (,5 punos) b) El volumen del eedo fomdo po π los es plnos coodendos. ( puno). c) Ecución de l ec pependicul l plno π que ps po el oigen. ( puno) ) El plno pedido ps po el puno medio de A B iene como veco noml el veco AB. Puno medio: M,, (,, ). Veco AB: AB (,, ) (,, ) (,, ). L ecución del plno es: ( ) ( ) ( ) b) El plno co los ejes coodendos en los punos: P X (,, ); P Y (,, ); P Z (,, ) El volumen del eedo vendá ddo po: V 6 6 c) El veco de diección de l ec es el noml l plno; eso es: v (,, ). L ecución de l ec seá: : José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 9 ANJ5 6 Conside el puno P(,, ) l ec. ) [ puno] Hll l ecución del plno que coniene P. b) [,5 punos] Clcul el puno siméico de P especo de l ec. 6 ) En pméics su veco de diección., siendo R (6,, ) un puno de v (,, ) El plno pedido viene ddo po R, v PR (6,, ) (,, ) (,, ). Su ecución es: 6 h 6 π h b) Si P es el puno siméico de P especo de, enonces su puno medio M debe se de l ec ;, demás, los es punos deben es en el plno pependicul que ps po P. Dicho plno es π: ( ). El puno de inesección de con π es M: (6 ) 8/5 M (/5, 8/5, ) b c Si P (, b, c), el puno medio ene P P es: M,, Luego: 5 8/5; b 8 5 c b 6/5; c. El puno pedido es P (8/5, 6/5, ).. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CLS5 Clcúlese el siméico de P(,, ) especo del plno. Se P`(, b, c) el puno buscdo. Debe cumpli:. El veco PP debe se plelo l noml del plno v π (,, ). El puno medio (M) del segmeno PP debe se del plno. Po no: PP (, b, c ) k(,, ) k; b k; c k [] b c M,, π ( )/ (b )/ (c )/ b c [] Susiuendo [] en []: k k,; b ; c. El puno buscdo es P (,, ). José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí MAS5 Discui según los vloes del pámeo el λ l posición eliv de los plnos: π : λ π : (λ ) (λ ) λ π : (λ ) (λ 6) λ P deemin l posición eliv de esos es plnos h que esudi el sisem que deeminn: λ ( λ ) ( λ ) λ. ( λ ) ( λ 6) λ Cundo ese sisem se compible deemindo los plnos se con en un único puno; si es compible indeemindo los plnos ienen, l menos, un ec en común; si es incompible, los es plnos no ienen ningún puno en común. Vmos esudi su compibilidd. P ello considemos ls mices A M, siendo A l mi de coeficienes M l mi mplid. λ A λ λ λ M ( λ ) ( λ 6) λ El deeminne de A, A ( λ )( λ 6 λ ) ( λ )( λ 8) Con eso: Si λ 8/ el (A) (M). En ese cso el sisem es compible deemindo, los es plnos se coán en un único puno, cus coodends vendán dds po l solución del sisem. Si λ se iene: A M 6 8 En ngo de A es, pues A ; peo el ngo de M es, pues 6 8 6 8 56. Po no, si λ el sisem seá incompible los plnos no endán ningún puno en común. Obsevndo los vecoes nomles de π π se ve que mbos plnos son plelos. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 / Si λ 8/ se endá: A / / / M / / 8 / En ngo de A sigue siendo, pues A. El ngo de M es, pues el / meno / / / 8 / /. Po no, si λ 8/ el sisem sigue siendo 7 8/ incompible los plnos no endán ningún puno en común. En ese cso, como los vecoes nomles de π π son popocionles, dichos plnos son plelos. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CVJ Ddos los plnos π : 5, π : l ec :, se pide: ) Deemin ondmene l posición eliv de l ec l ec s inesección de los plnos π π. b) Obene ondmene l ecución del plno que coniene l ec s neio es plel. ) Ls ecuciones pméics de l ec s vienen dds po l solución del sisem: 5 5 Sumndo mbs ecuciones se iene: Resándols se iene: 8. Hciendo obenemos ls ecuciones: s : L posición eliv de ls ecs s se deemin esudindo l dependenci linel de los vecoes: v (,, ), v s (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) donde R es un puno de S un puno de s. Como, los vecoes son linelmene independienes. En consecuenci, ls ecs s se cun. b) El plno pedido vendá deemindo po l ec s po el veco v (,, ). Su ecución seá: h π : h h π: 8 6 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) CLS Se m un númeo el sen π l ec el plno ddos especivmene po m m m, π. ) Esúdiese l posición eliv de π en función del vlo de m. b) P el vlo m, hállese l ecución del plno que ps po el puno de coe de π es pependicul l ec. ) H que discui el sisem fomdo po ls dos ecuciones de l ec l del plno: m m m El deeminne de l mi de coeficienes es m m A. Po no: si m, su vlo es disino de el ngo de l mi de coeficienes es el sisem es compible deemindo el plno l ec se con en un único puno. si m, se iene un sisem homogéneo,, con infinis soluciones, pues el ngo de l mi de coeficienes es l ec esá conenid en el plno. b) Si m, se iene el sisem. Po l egl de Cme: A ; A ; 6 A Po no, el puno de coe es P (,, ) El plno pedido, po se pependicul l ec, iene como veco noml (,, ). Luego, po ps po P, endá como ecución: ( ) ( ) ( ).
Geomeí 5 MAS Se el plno π 6. ) ( puno) Hll el puno siméico del (,, ) especo de π. b) ( puno) Hll el plno pependicul π que coniene l eje OZ. c) ( puno) Hll el volumen del eedo cuos véices son el oigen los punos de inesección de π con los ejes coodendos. Se P (,, ) el puno siméico de O (,, ) especo de π. Ambos punos P O esán en l ec, pependicul π po O. Además, si M es el puno de coe de l ec el plno, M debe se el puno medio ene P O. Como el veco noml del plno es v π (,, ), se λ deduce que : λ λ Coe de ec plno: λ λ 9λ 6 λ /7. 6 9 Po no, M,, 7 7 7 Puno medio ene P O:,, 6 9 Como M,,,, 7 7 7 6 7, 7, 8 7 6 89 Luego, el puno siméico es P,, 7 7 7 b) El plno π, pependicul π, que coniene OZ viene deemindo po el puno O (,,,) po los vecoes v π (,, ) v OZ (,, ). Su ecución es: c) Los punos de inesección de π con los ejes coodendos son: A ( 6,, ), B (,, ) C (,, ). Po no, el volumen del eedo vendá ddo po: 6 V 6 6 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 6 LRJ Un ec ps po el puno (,, ) es plel los plnos Hll sus ecuciones.,. Si l ec es plel los plnos, debe se pependicul los vecoes diecoes de mbos plnos: v π (,, ) v π (,, ). Po no, su diección vendá dd po el poduco vecoil de esos vecoes: v π v π v π π u v (,, ) u u Como debe ps po el puno (,, ), ls ecuciones pméics de l ec pedid son: José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 7 ARS5 Se l ec inesección de los plnos ) Deemin el plno π que coniene l ec que ps po el oigen de coodends. b) Escibi l ecución de l ec pependicul π que ps po el puno (,, ). ) El h de plnos deemindo po es m( ) Si se quiee el plno que ps po el oigen: m m. Luego, el plno π seá: π: ( ) 5 5 b) El veco de diección de l ec s pependicul π es el noml del plno: v s vπ. Su ecución es: 5 s : 5 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 PAS5 Se el eedo de l figu fomdo po A(,, ), B(,, ), C(,, 6) D(α,, ). Clcul: ) El áe del iángulo limido po los punos A, B C. b) L ecución del plno π que ps po los punos A, B C. c) El vlo de α p que el veco AD se pependicul l plno π neio. d) P α 5, el puno D siméico de D especo l plno π. ) El áe del iángulo de véices A, B, C viene dd po S AB AC Como AB (,, ) (,, ) (,, ), AC (,, 6) (,, ) (,, 6), se u u u iene que AB AC (,8, 6) 6 Luego, S 8 6 5 b) El plno esá deemindo po el puno A los vecoes AB AC neioes. Su ecución es: 6 π: 6 c) El veco AD seá pependicul l plno cundo AD se plelo l veco noml del plno, v π (,, ); siendo AD (α,, ) (,, ) (α,, ). Po no: AD k v π (α,, ) k (,, ) α, (pues k ) α 5. d) Se D`(, b, c) el puno buscdo. Debe cumpli:. El veco DD debe se plelo l noml del plno v π (,, ). El puno medio (M) del segmeno DD debe peenece l plno. Po no: DD ( 5, b, c ) k(,, ) 5 k; b k; c k 5 k; b k; c k [] José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 9 5 b c 5 b c M,, π 6 b c 8 [] Susiuendo [] en []: k 8 k ; b ; c. El puno siméico buscdo es D (,, ). José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CNJ5 ) Compob que ls ecs: (,, ) (,, ) λ(,, ) s (,, ) (,, ) µ(,, ) se coen en un puno. b) hll l ecución genel del plno que coniene ls ecs dds en el pdo neio. ) Dos ecs se con en un puno cundo no son plels esán en el mismo plno. Como sus vecoes de diección son v (,, ) v s (,, ) esul evidene que no son plels. Esán en el mismo plno si los vecoes v, v s RS son coplnios, siendo R un puno de S oo puno de s: RS (,, ) (,, ) (,, ). Como, los vecoes son linelmene dependienes. Luego, efecivmene, los vecoes son coplnios. En consecuenci, ls ecs s se con. ) El plno que deeminn viene ddo po el puno R los vecoes v v s. Su ecución es: ( ) ( ) ( ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí IBJ5 Se considen los punos A (,, ), B (,, ) C (,, ). Se pide: ) Hll l ecución genel del plno π que los conienen. b) Hll l ecución de l ec pependicul π que ps po el oigen de coodends. Hll mbién el puno de inesección de l ec con el plno. ) El plno viene deemindo po culquie de los punos, po ejemplo A, po los vecoes AB (,, ) (,, ) (,, ) AC (,, ) (,, ) (,, ). Sus ecuciones seán: h h π: 6 6 b) El veco de diección de l ec es el noml del plno v π (,, 6). Sus ecuciones pméics son: λ λ 6λ El puno de coe de l ec el plno se obiene esolviendo el sisem que deeminn. P ello susiuimos los vloes de l ec en l ecución del plno. Así: (λ) (λ) 6 (6λ) 6 9λ 6 λ 6/9 L ec el plno se con si λ 6/9. Se obiene el puno P (/9, 8/9, 6/9). José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CMS5 Clcul l ecución de un ec que ps po el puno de inesección del plno π 6 con l ec s es plelo l ec. Ls ecuciones pméics de ec s son: s Susiuendo en π se obiene el puno P de coe: ( ) 6 P (9,, ) Ls ecuciones pméics de son: siendo v (,, ) Po no, l ec, plel que ps po P, es: 9 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí Ángulos, disncis CLJ5 Clcúlese l disnci del oigen l plno π que ps po A(,, ) coniene l ec ( ) / ( ) /. Ls ecuciones pméics de l ec son: : Un puno P de l ec es P(,, ) El plno π viene deemindo po l ec po el veco PA (,, ) (,, ) (,, ). Sus ecuciones son: h π : h π: 7 5 L disnci pedid, d(o, π), es: d(o, π) 5 ( ) 7 5 59 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CMJ5 ) Hll l ecución del plno que coniene l ec P(,, ). b) Clcul l disnci desde el plno obenido l puno Q(,, ). l puno ) El plno pedido viene deemindo po el puno P, los vecoes v (,, ) AP, siendo A (,, ) un puno de l ec; eso es, AP (,, ) (,, ) (,, ). El plno seá: h π h h b) d(q(,, ), π) 8 5 6 5 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 5 GAS5L A. Qué condición deben cumpli los coeficienes de ls ecuciones geneles de dos plnos p que sen pependicules? B. Hlle el ángulo que fomn los plnos π: 7 σ:. A. Dos plnos son pependicules cundo sus vecoes cceísicos (nomles) son pependicules. Po no, si esos vecoes son v π v σ su poduco escl debe se : v π v σ. B. Los vecoes cceísicos son: v π (,, ) v σ (,, ). El coseno del ángulo que fomn es vπ vσ cos( vπ, vσ ) v v π σ el ángulo 6º.. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 6 NAJ5 Encuen los dos punos de l ec que esán disnci del plno π 5. L disnci de un puno un plno viene dd po l epesión: d( P ( π,, ), : b c d ) b b c c d Como l ec iene po ecuciones: :, un puno genéico de es P (,, ). Se dese que d(p, π ). Eso es: ( ) ( ) ( ) 5 d( P, π ) ± de donde,. ± P : P (,, ) P : P (,, ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 7 MAJ5 Ddo el puno P(,, ), se pide: ) ( puno) Escibi l ecución que deben veific los punos X(,, ) cu disnci P se igul. b) ( punos) Clcul los punos de l ec: λ λ λ cu disnci P es igul. ) L disnci ene los punos P X viene dd po l epesión: d ( P, X ) ( ) ( ) ( ) Si es disnci vle se endá: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se de un esfe con ceno en P(,, ) dio. b) Un puno genéico de l ec es X(λ, λ, λ). Si se dese que d(x, P), se endá: ( λ ) ( λ ) ( λ ) 9λ 6λ λ λ 6λ 6λ 9 6λ 6λ λ, λ. Los punos seán: Q(,, ) R(,, ). José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 PAJ Se el pism ingul (iángulos igules plelos) de l figu, con A(,, ), B(,, ), C(,, ) A (,, α). Clcul: ) L ecución del plno π que ps po los punos A, B C. b) El vlo de α p que el plno π, que coniene los punos A, B C, dise un unidd del plno π. c) P α, el plno π el volumen del pism. ) El plno π esá deemindo po el puno A po los vecoes AB AC. AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Po no: π: π: b) Debe cumplise que d(a, π), luego: ( ) 6 α c) P α, el puno A (,, ) π : ( ) ( ) ( ) π : El volumen del pism es un medio del poduco mio de los es vecoes que lo deeminn. En ese cso, los vecoes: AB, AC AA : V José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 9 CBJ Conside l ec el plno siguienes. 5 : π: 5 5 ) Jusific po qué l ec el plno π son plelos. b) Clcul l disnci ene el plno π l ec. c) Clcul l ecución implíci del plno π que es pependicul π coniene. ) El veco de diección de l ec es: v (, 5, ); El veco cceísico del plno: v π (,, ). Ambos vecoes son pependicules, pues v v π (, 5, ) (,, ). Además, el puno P (, 5, ), de l ec, no peenece l plno, pues: (5) () 5. En consecuenci, l ec es plel l plno. b) L disnci de π es igul l disnci del puno P de l plno. 5 5 d( P, π). d( P (, 5, ), π : 5 ) 6 c) El plno pedido viene deemindo po el puno P los vecoes v Su ecución seá: v π. λ µ 5 5λ µ λ µ 5 5 5 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CVS ) Obene el plno que ps po el puno P(,, ) es pependicul l ec : (,. ) (,,) (,,) b) Clcul l disnci ene el puno P l ec. ) El veco cceísico del plno seá el de diección de l ec, (,, ). Po no, el plno pedido es: ( ) ( ) ( ) b) Clculmos el puno de coe de l ec dd el plno hlldo. Ls ecuciones pméics de son: Susiuendo en l ecución del plno: ( ) 6 5/. L ec co l plno cundo 5/, eso es en Q (/, 6/, 5/). L disnci ene el puno P del plno l ec es l mism que l disnci ene P Q, luego: d(p, ) d(p, Q) 6 5 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CMJ Se conside l ec el plno π. Se pide: 5 ) Compueb que π son plelos. b) Clcul l disnci ene π. c) Deemin dos ecs disins que esén conenids en π sen plels. ) despejndo e en función de, hciendo, se obienen ls 5 ecuciones pméics de : 5 P que l ec se plel l plno es necesio que los vecoes noml l plno el de diección de l ec sen pependicules, demás, culquie puno de l ec no peenec l plno. Como v π (,, ) v (, ), su poduco escl es: v π v (,, ) (, ) 6. Po no, los vecoes son pependicules. Como el puno (, 5, ) de no es del plno, pues 5, l ec el plno son plelos. b) d(, π) d(p (, 5, ), π) 5 ( ) 7 c) Tommos dos punos de π, po ejemplo A (,, ) B (,, ). P que sen plels, ls ecs pedids deben ene l mism diección. Po no son: José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí CMS Hll l disnci del plnoπ l plno π λ µ λ µ λ µ Vemos que los plnos son plelos. P ello sus vecoes cceísicos deben se popocionles. El veco cceísico de π es v π (,, ). El veco cceísico de π viene deemindo po el poduco vecoil de los vecoes v (,, ) w (,, ), que son los que deeminn π. u u u vπ v w (, 5, ) Como v π v π los plnos son plelos. Po no, l disnci ene ellos es igul l disnci de un puno culquie de π, po ejemplo P (,, ), l plno π : Eso es: d(π, π ) d(p(,, ), π ) ( ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí GAJ A. Ángulo que fomn dos ecs. Condición de pependiculidd. B. Deemine el ángulo que fom l ec que ps po los punos A (,, ) B (,, ) l ec de ecución: : A. El ángulo que fomn dos ecs es el deemindo po sus especivos vecoes de diección. Si los vecoes de diección de ls ecs s son v v s, especivmene, enonces el coseno del ángulo (, s) es: v v vs cos (, s) cos( v, s ) v v s Ls ecs seán pependicules cundo lo sen sus especivos vecoes de diección; en consecuenci, cundo v v s. B. El veco de diección de l ec que ps po los punos A B es: v (,, ) (,, ) (,, ) s miens v (,, ). Po no, (,, ) (,, ) cos(, s). 6 8 En consecuenci, el ángulo (, s) ccos 6,87º. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) NAJ Hll el ángulo que fom l ec inesección de los plnos π π con el plno π. El ángulo que fomn es el complemenio del ángulo deemindo po el veco de diección de l ec, v, el cceísico del plno, π v. Po no, el seno del ángulo (,π ), sen (, π) v v v v ), cos( π π π v v Epesmos l ecución de l ec en fom pméic: : π π : 9 : Como v (,, ) π v (,, ), se endá: sen (, π) El ángulo (, π) csen(/) 5º º.
Geomeí 5 RMS Encon l disnci del puno P(,, ) l plno que coniene l ec l : ps po el puno (,, ). El plno viene deemindo po el puno B (,, ) po los vecoes v (,, ) AB (,, ) (,, ) (,, ). Su ecución seá, ( ) ( ) L disnci de un puno un plno viene dd po l epesión: d( P ( π,, ), : b c d ) Luego, d((,,); π : ) b b c c d José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 6 RMJ ) Encon ls ecuciones pméics de l ec l dd po l inesección de los plnos: π : π : b) Encon l disnci del puno (,, ) dich ec. ) Resolvemos el sisem: Sumndo mbs ecuciones se iene: Susiuendo en l pime ecución: Llmndo, se ienen ls ecuciones pméics de l ec: b) L ecución de l disnci de un puno P un ec es: AP v d( P, ), siendo A. v En ese cso: A (/, /, ), P (,, ), AP (/, /, ), El poduco vecoil, AP v u u u / / ( 5 /, /, /) v (,, ) Luego, 5 / 9 / 9 / 9 d ( P, ) 8 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 7 MAJ Se considen l ec los plnos siguienes: λ λ ; λ π ; π. Se pide: ) Deemin l posición eliv de l ec con especo cd uno de los plnos. b) Deemin l posición eliv de los dos plnos. c) Clcul l disnci de π. ) El veco de diección de l ec los cceísicos de los plnos son, especivmene, v (,, ), v (,, ), v (,, ). π Como v v π, l ec es pependicul l plno π. P deemin el puno de coe, unque no se pide en el ejecicio, susiuimos ls ecuciones de l ec en l del plno; se obiene: ( λ) ( λ) ( λ) λ 6 λ /7. El puno de coe es: P (5/7, /7, 5/7) Como v v π (,, ) (,, ), l ec es plel l plno o esá conenid en él. P deemin l posición pecis susiuimos ls ecuciones de l ec en l del plno; se obiene: ( λ) ( λ) ( λ) λ que es bsudo (no h solución). Luego l ec el plno π son plelos. b) Como v π v π (,, ) (,, ), los plnos son pependicules. Se con en un ec, cus ecuciones vienen dds po l solución del sisem π π π c) Como es plel π, l disnci de π es l de culquie de los punos de, po ejemplo A (,, ), l plno. Po no: d(, π ) d( A (,, ), π ) 8 ( ) 6 José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 8 NAS Encuen l ecución coninu de l ec que es pependicul ls ecs: (,, ) (,,) (,, ) Tommos un puno genéico de cd un de ls ecs: P : P ( h, h, ); Q : Q (,, ) Esos punos definen el veco PQ ( h, h, ). Si PQ es el veco de diección de l ec buscd debe se pependicul los vecoes de diección de cd un de ls ecs, v (,, ) v (,, ). Po no: PQ v PQ v PQ v h h 5h PQ v h h h Ls igulddes neioes se cumplen cundo h /. Po no: P (,, ); Q (/, /, 5/); PQ (/, /, /) (,, ). Luego, l ec pedid seá: José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 9 PAJ5 Se el puno A(,, ) el plno π:. Hll: ) L ecución de l ec que ps po A es pependicul π. b) L ecución del plno π que ps po A no co π. c) L disnci ene los dos plnos. ) El veco de diección de l ec seá el noml l plno: vπ (,, ). Po no, su ecución es: : b) El veco noml del plno π es el mismo que el del plno π: v π v (,, ). Luego su ecución seá: π π : ( ) π : v c) L disnci ene mbos plnos, d(π, π ) d(a, π) ( ) 6 No: H que ene l pecución de epes π en l fom π:. José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 5 PAS Sen los punos A(,, ), B(,, ). Deemin: ) Ls ecuciones pméics de l ec que une los punos. b) L ecución del plno π que ps po A es pependicul l ec. c) L disnci del puno B l plno π. ) L ec viene deemind po el puno A po el veco AB. AB (,, ) (,, ) (,, ) Sus ecuciones pméics son: : b) El veco noml l plno π es el mismo AB, luego π : ( ()) ( ) ( ) π: c) L disnci de un puno P l plno π viene dd po: d( P ( π,, ), : b c d ) b b c c d En nueso cso: d(b (,, ), π: ) José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) 5 GAJ5 Clcule l disnci ene ls ecs de ecuciones: 7 : : s L disnci ene ls ecs s viene dd po: s s v v PQ v v s d,, ), (, siendo v s v los vecoes de diección especivos, PQ un veco que v de s, donde P Q s. En ese cso: v (,, 7), s v (,, ); P (,, ), Q (,, ), luego PQ (,, ). Con eso: 5 7,, PQ v v s ; ), 9, ( 7 u u u v v s 9 9) ( s v v Luego: 5 ), ( s d
Geomeí José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne) 5 RMJ5 Encon l disnci del puno P (,, ) l ec L L ecución de l disnci de un puno P un ec es: v v AP P d ), (, siendo A. En ese cso: A (,, ), P (,, ), AP (,, ), v (,, ) El poduco vecoil, v AP ),, ( u u u Luego ), ( P d
Geomeí 5 IBS Clcul los punos de l ec. que equidisen de los plnos L disnci de un puno un plno viene dd po l epesión: d( P ( π,, ), : b c d ) b b c c d Como l ec iene po ecuciones, :, el puno genéico P(,, ) de debe cumpli que d(p, π ) d(p, π ), siendo π : π :. Po no, ( ) ( ) ( ) () d( P, π ) d( P, π ) 9 6 ± 6 9 de donde, 8 5. 5 ± 5 6 P 5: 8 5 5/6 P,, 6 6 6 7 P 5: 8 5 / P,, José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)
Geomeí 5 IBS5 Encon l ecución de l ec que co pependiculmene ls ecs. Ls ecuciones cesins de ess ecs son: : p s : p p Tommos un puno genéico de cd un de ls ecs: R (,, ), S (p, p, p) De donde RS (p, p, p ). Si ese veco es de l ec buscd debe se pependicul los vecoes de diección de s, v (,, ) v s (,, ). P ello: RS v, RS v s. RS v (p, p, p ) (,, ) 5p RS v s (p, p, p ) (,, ) 9p 5 5p Eso es, : 9 p 5 5, p Con eso: 5 5 5 5 R,,, S,, PQ,, (,, ) L ec pependicul común es: 5/ 5/ 5/ h h José Mí Míne Medino (SM, www.pofes.ne)