MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij = A(i, j) y diremos que ij es el elemento (i, j) de A Denotremos por M n m (K) el conjunto de ls mtrices n m sobre K L form de representr l mtriz nterior es ordenndo ls imágenes por A en un cj que const de n fils y m columns de l siguiente form: 11 12 1m A = 21 22 2m n1 n2 nm Así, diremos que A tiene n fils y m columns Pr brevir escribiremos A =( ij ) pr referirnos l mtriz nterior 1

Alosn vectores ( 11, 12,, 1m ), ( 21, 22,, 2m ),,( n1, n2,, nm ) K m se les llm vectores fil de A ylosm vectores de K n ( 11, 21,, n1 ), ( 12, 22,, n2 ),,( 1m, 2m,, nm ) se les llm vectores column de A Un mtriz rel es un mtriz con elementos en R y un mtriz complej es un mtriz con elementos en C 12 Definición Dd l mtriz 11 12 1m A = 21 22 2m M n m(k) n1 n2 nm se define l mtriz trspuest de A : 11 21 n1 A T = 12 22 n2 M m n(k) 1m 2m nm µ 1 2 3 13 Ejemplo Si A = M 4 0 2 2 3 (R) entonces A T = 1 4 2 0 3 2 M 3 2 (R) Si B = 1 3 4 2 1 1 0 1 2 3 5 M 3 4 (R) entonces B T 3 2 1 = M 4 3 1 4 3 (R) 0 1 1 1 2 5 1 14 Definición Dd A M n m (K), diremos que A es cudrd si n = m Denotremos por M n (K) l conjunto M n n (K) 15 Definición Dd A =( ij ) M n m (K), lr-tupl ( 11, 22,, rr ),donde r =min{n, m}, se le llm digonl principl de A 16 Definición Dd A =( ij ) M n m (K) se define l mtriz opuest de A A =(b ij ) M n m (K) donde b ij = ij 1 i n, 1 j m 2

17 Definición Se define l mtriz 0 n m = (c ij ) M n m (K) donde c ij = 0, 1 i n, 1 j m 18 Definición Se A =( ij ) M n m (K) i) Diremos que A es un mtriz fil si n =1 ii) Diremos que A es un mtriz column si m =1 19 Definición Se A =( ij ) M n (K) i) Diremos que A es digonl si ij =0si i 6= j ii) Diremos que A es tringulr superior si ij =0si i>j iii) Diremos que A es tringulr inferior si ij =0si i<j iv) Diremos que A es simétric si A T = A v) Diremos que A es ntisimétric si A T = A Notr que si un mtriz cudrd es ntisimétric entonces l digonl principl es el vector nulo vii) Un mtriz esclr es un mtriz digonl cuyos elementos de l digonl principl son todos igules viii) Se define l mtriz unidd de orden n y se denot I n l mtriz esclr cuyos elementos de l digonl principl son 1 110 Definición Se A = ( ij ) M n m (K), i 1,i 2,,i r {1, 2,,n} y j 1,j 2,,j s {1, 2,m} con i 1 <i 2 <<i r y j 1 <j 2 < < j s Entonces l mtriz que result de eliminr ls fils distints de i 1,i 2,,i r y ls columns distints de j 1,j 2,,j s ose i1 j 1 i1 j 2 i1 j s i2 j 1 i2 j 2 i2 j s ir j 1 ir j 2 ir j s se dice que es un submtriz de orden r s de A 3

111 Ejemplo Se A = 1 3 4 5 2 2 3 3 M 3 4 (R) Ls submtrices de 1 1 1 1 orden 2 2deA son: µ µ µ µ µ µ 1 3 1 4 1 5 3 4 3 5 4 5,,,,,, 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 µ µ µ µ µ µ 1 3 1 4 1 5 3 4 3 5 4 5,,,,,, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 µ µ µ µ µ µ 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3,,,,, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 Definición Un bloque es un submtriz donde ls fils no eliminds son consecutivs y ls columns no eliminds son consecutivs 113 Ejemplo Los bloques de orden 2 2 de l mtriz nterior son: µ µ µ µ µ µ 1 3 3 4 4 5 2 2 2 3 3 3,,,,, 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 114 Definición Se A =( ij ) M n m (K) Se n 1,,n r N tles que n 1 + n 2 + + n r = n y m 1,m 2,,m s N tles que m 1 + m 2 + + m s = m Entonces si i {1, 2,,r} y j {1, 2,,s} se A ij l mtriz que result de excluir ls fils 1, 2,,n 1 ++n i 1,n 1 ++n i +1,,nylscolumns1, 2,,m 1 ++m j 1,m 1 + + m j +1,,m Entonces A n1,m 1 A n1,m 2 A n1,m s A n2,m A = 1 A n2,m 2 A n2,m s A nr,m 1 A nr,m 2 A nr,m s y diremos que hemos descompuesto A en bloques Operciones con mtrices Se K un cuerpo y n, m, r N 1 Sum Si A = ( ij ) M n m (K) y B = (b ij ) M n m (K) definimos A + B = (c ij ) M n m (K) donde c ij = ij + b ij, 1 i n, 1 j m 4

115 Proposición (M n m (K), +) es un grupo belino 2 Ley extern Si A =( ij ) M n m (K) y α K definimos αa =(c ij ) M n m (K) donde c ij = α ij, 1 i n, 1 j m 116 Proposición (M n m (K), +) es un K-espcio vectoril Producto de mtrices Si A =( ij ) M n m (K) y B =(b ij ) M m r (K) se define AB =(c ij ) M n r (K) donde c ij = P m k=1 ikb kj, 1 i n, 1 j r Notr que sólo hemos definido el producto de dos mtrices cundo el número de columns de l primer coincide con el número de fils de l segund 117 Ejemplos ( 5 4 3) 3 0 2 2 =( 10 17 ) 1 3 ( 1 2 3) 5 4 =(16) 1 µ 2 1 ( 1 5 4 3) = (2 1) 3 4 no se puede clculr 2 µ 2 10 8 6 1 5 4 3 118 Proposición Se n, m, r, s N i) Si A M n m (K), B M m r (K) y C M r s (K) entonces (AB)C = A(BC) ii) Si A M n m (K) y B,C M m r (K) entonces A(B + C) =AB + AC iii) Si A M n m (K) entonces AI m = A y I n A = A Rngo de un mtriz 119 Proposición Si A M n m (K) entonces el rngo del conjunto de los n vectores fil en K m coincide con el rngo del conjunto de los m vectores column en K n 5

120 Definición Si A M n m (K) se define el rngo de A y se denot rga l rngo del conjunto de los vectores fil (que coincide con el rngo del conjunto de los vectores column) Trnsformciones elementles Se A M n m (K) Ls trnsformciones elementles de A son: 1 Intercmbir dos fils (columns) de A 2 Si α K \{0}, sustituir un fil (column) por el producto de α por est fil (column) 3 Si α K, sustituir un fil (column) de A por l sum de ést más otr fil (column) multiplicd por α Como consecuenci de un resultdo del Cpítulo de Espcios Vectoriles se obtiene el siguiente Teorem: 121 Teorem El rngo de un mtriz no vrí l relizr un operción elementl sobre ést 122 Definición Dds A, B M n m (K) diremos que A y B son equivlentes si existen P M n (K) y Q M m (K) tles que B = PAQ 123 Proposición Sen A, B M n m (K) Entonces: i) A y B son equivlentes rga =rgb µ I ii) rga = r A es equivlente r 0 r (m r) 0 (n r) r 0 (n r) (m r) Mtrices Invertibles Se n N y K un cuerpo 124 Definición Dd A M n (K) diremos que A es invertible, regulr o no singulr si existe B M n (K) tl que AB = BA =I n Entonces diremos que B es un mtriz invers de A 125 Definición Denotremos por GL n (K) el conjunto de ls mtrices de M n (K) que son invertibles 6

126 Proposición Se verific que (GL n (K), ) tieneestructurdegrupo Como consecuenci de lo nterior se obtienen los dos siguientes resultdos: 127 Proposición Si A M n (K) es invertible entonces l mtriz invers de A es únic Denotremos por A 1 l mtriz invers de A 128 Proposición Sen A, B GL n (K) Entonces: i) (A 1 ) 1 = A ii) AB GL n (K) y (AB) 1 = B 1 A 1 129 Proposición Se A M n (K) Entonces A es invertible rga = n Método pr el cálculo de l mtriz invers de un mtriz invertible Se A M n (K) Considermos l mtriz descompuest en bloques (A I n ) Entonces relizmos operciones elementles ls fils de est mtriz pr intentr obtener en el primer bloque l mtriz I n Primer Cso Si es imposible obtenerl entonces A no es invertible Segundo Cso Si se obtiene, l mtriz del segundo bloque es l mtriz invers de A 2 Determinntes 21 Definición Se A =( ij ) M n (K) Definimos el determinnte de A yse 11 12 1n denot A o 21 22 2n de l siguiente form: n1 n2 nn Si n = 1 entonces A = 11 = 11 Si n = 2 entonces A = 11 12 21 22 = 11 22 12 21 Supongmos que tenemos definidos los determinntes de ls mtrices de orden n 1 7

11 12 1n 22 23 2n Entonces definimos A = 21 22 2n =( 1) 1+1 11 32 33 3n + n1 n2 nn n2 n3 nn 21 23 2n 21 22 2,n 1 ( 1) 1+2 12 31 33 3n 31 32 3,n 1 + +( 1) 1+n 1n n1 n3 nn n1 n2 n 1,n 1 Como cso prticulr, pr el cso de n = 3 se tiene l regl de Srrus: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = 11 22 33 + 13 21 32 + 31 12 23 31 22 13 11 32 23 33 21 12 22 Proposición Se A =( ij ) M n (K) i) Si B es l mtriz que se obtiene l permutr dos fils (columns) de A entonces B = A ii) Si un fil (column) de A es combinción linel de ls otrs o equivlentemente, si ls fils (columns) de A son linelmente dependientes, entonces A =0 iii) Si λ K y B es un mtriz con ls mism fils (columns) que A excepto un fil (column) que es l correspondiente l de A multiplicd por λ entonces B = λ A iv) Si B es l mtriz que result de sustituir un fil (column) de A por l sum de ést y un combinción linel de ls demás entonces A = B v) A = A T vi) Si B M n (K) entonces AB = A B 11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n 21 22 2n 21 22 2n 21 22 2n vii) = + i1 + b i1 i2 + b i2 in + b in i1 i2 in b i1 b i2 b in n1 n2 nn n1 n2 nn n1 n2 nn L propiedd nálog se d tmbién pr columns viii) Si A M n (K), A es regulr A 6= 0 ix) Si A GL n (K) entonces A 1 = A 1 8

x) El determinnte de un mtriz tringulr superior o tringulr inferior coincide con el producto de los elementos de su digonl 23 Definición Se A =( ij ) M n (K) e i, j {1,,n} i) Se define el menor complementrio del elemento (i, j) y se denot ij l determinntedelmtrizqueresultdeeliminrlfil i ylcolumnj de A ii) Se define el djunto del elemento (i, j) y se denot A ij A ij =( 1) i+j ij 24 Proposición Elvlordeundeterminntecoincideconlsumdelosproductos de cd uno de los elementos de un fil (column) por sus respectivos djuntos Cálculo de l mtriz invers usndo determinntes 25 Definición Dd A =( ij ) M n (K) se define l mtriz djunt de A A 11 A 12 A 1n A Adj(A) = 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn 26 Proposición Si A GL(n, K) entonces A 1 = Adj(A) T / A Cálculo del rngo de un mtriz usndo determinntes 27 Definición Se A M n m (K) y r N, r min(n, m) Un menor de orden r de A es el determinnte de un submtriz r r de A 28 Proposición Dd A M n m (K), rga coincide con el máximo de los ordenes de sus menores no nulos 9

3 Sistems de Ecuciones Lineles Se K un cuerpo y n, m N 31 Definición Un sistem de n ecuciones y m incognits es un conjunto de n ecuciones en l form: 11 x 1 + 12 x 2 + + 1m x m = b 1 21 x 1 + 22 x 2 + + 2m x m = b 2 n1 x 1 + n2 x 2 + + nm x m = b n donde ij K, 1 i n, 1 j m, éstos reciben el nombre de coeficientes del sistem y b i K, 1 i n, éstos reciben el nombre de términos independientes del sistem Los x 1,x 2,,x m reciben el nombre de incognits del sistem Ddo c =(c 1,c 2,,c m ) K m, diremos que c es un solución del sistem nterior si l sustituir en ls ecuciones nteriores cd x j por c j, 1 j m, ls igulddes son cierts Ddo el sistem nterior, 11 12 1m A = 21 22 2m n1 n2 nm b 1 b 2 se dice que es l mtriz del sistem, b = independientes y x = x 1 x 2 x m b n se dice que es l mtriz de los términos es l mtriz de ls incognits L mtriz descompuest por bloques A =(A b) recibe el nombre de mtriz mplid del sistem 10

Clrmente el sistem nterior se puede expresr por l siguiente iguldd mtricil: Ax = b Est recibe el nombre de form mtricil del sistem 32 Definición Diremos que un sistem de ecuciones lineles es homogéneo si el vector de los términos independientes es el vector nulo 33 Definición Diremos que un sistem es comptible (SC) si tiene soluciones 1 Diremos que un sistem es comptible determindo (SCD) si es comptible y sólotieneunsolución 2 Diremos que un sistem es comptible indetermindo (SCI) siescomptibley no tiene un únic solución b Diremos que un sistem es incomptible si no tiene solución Notr que un sistem homogéneo es siempre comptible 34 Definición Ddos dos sistems lineles de n ecuciones con m incognits con coeficientes en K, diremos que son equivlentes si sus conjuntos de soluciones coinciden 35 Proposición Consideremos un sistem de n ecuciones con m incognits con coeficientes en K i) Si sustituimos un ecución del sistem por el resultdo de multiplicr dich ecución por un elemento de K no nulo, el sistem obtenido es equivlente l primero ii) Si sustituimos un ecución del sistem por el resultdo de sumr est ecución otr ecución multiplicd por un esclr, el sistem obtenido es equivlente l primero 36 Teorem (Rouché-Fröbenius) Se Ax = b un sistem de n ecuciones con m incognits y se A =(A b) M n (m+1) (K) Entonces el sistem es comptible rga =rga 11

i) Si rga =rga = m entonces el sistem es comptible determindo ii) Si rga =rga <mentonces el sistem es comptible indetermindo (Notr que m es el número de incognits del sistem) 37 Proposición Supongmos que Ax = b es un sistem comptible y se z un solución de este sistem Entonces el conjunto de ls soluciones del sistem es {z + t At =0} 38 Teorem (Regl de Crmer) Consideremos el sistem de n ecuciones con n incognits Ax = b, supongmos que A =( ij ) y A 6= 0Entonces: b 1 12 1n 11 b 1 1n 11 1,n 1 b 1 b 2 22 2n 21 b 2 2n 21 2,n 1 b 2 b x 1 = n n2 nn ; x 2 = n1 b n nn ; ; x n = n1 n,n 1 b n A A A 12