Capílo 5 Forma diferencial de las lees básicas Conenido 5. Inrodcción... 90 5. Conseración de la masa... 90 5.3 Canidad de moimieno... 9 5.3. Ecación de Eler... 96 5.3. Ecación de Bernolli... 00 5.3.. resiones esáica, dinámica de esancamieno... 0 5.3.. Limiaciones en el so de la ecación de Bernolli... 04 5.3..3 Línea de gradiene hidrálico LGH línea de energía LE. 04 5.4 Relación enre la primera le de la ermodinámica la ecación de Bernolli... 05
Capílo 5 5. Inrodcción En el capílo anerior se desarrollaron las ecaciones básicas en forma inegral para n olmen de conrol. Las ecaciones inegrales son pariclarmene úiles cando se iene inerés únicamene en el comporamieno global del campo de fljo s efeco sobre diersos disposiios. Sin embargo, ese méodo no proporciona n conocimieno deallado, pno por pno, del campo de fljo. ara obener ese conocimieno en dealle, se deben aplicar las ecaciones del moimieno del flido en forma diferencial. En ese capílo se desarrollarán las ecaciones diferenciales para la conseración de la masa para la segnda Le de Neon. Ya qe el inerés principal de ese capílo es la formlación de ecaciones diferenciales, el análisis será en érminos de sisemas olúmenes de conrol infiniesimales. 5. Conseración de la masa La consideración de medio conino; eso es, la sposición de qe el flido se pede raar como na disribción conina de maeria, condce direcamene a na represenación de campo de las propiedades del flido. Las propiedades de campo se definen mediane fnciones coninas de las coordenadas espaciales del iempo. ara obener la ecación diferencial de la conseración de la masa en coordenadas recanglares, se realia n balance de masa en el olmen de conrol diferencial d, d, d qe se mesra en la Figra 5.. En esa figra se emplea por simplicidad n olmen de conrol bidimensional, los reslados en dos dimensiones peden eenderse para n olmen de conrol ridimensional. De esa forma, a parir de la le de conseración de la masa para n olmen de conrol la cal esablece qe: La asa de acmlación de maeria denro del olmen de conrol debe ser igal a la asa a la cal la maeria fle denro del olmen de conrol menos la asa a la qe ésa deja el olmen de conrol. m m m d m m d m m d donde m ddd m dd; m dd; m dd empleando na epansión en series de Talor alrededor de,,, despreciando los érminos de segndo orden speriores, se pede deerminar qe: 90
Forma diferencial de las lees básicas 9 dd d m dd d m dd d m d d d Figra 5. olmen de conrol infiniesimal. Al ssiir esas epresiones en la ecación de conseración de la masa se iene qe dd d dd dd d dd dd d dd ddd Redciendo érminos en esa epresión se iene finalmene qe la ecación de coninidad en coordenadas caresianas es 5. 0. d d m +d. m +d. m. m. m
Capílo 5 Al desarrollar esa epresión, se iene qe 0 la cal pede epresarse en noación ecorial como donde D D 0 5. D D ; iˆ ˆ j kˆ En el caso pariclar en donde se iene n fljo incompresible, la ecación de coninidad se epresa simplemene como Coordenadas cilíndricas: 0 o 0 rr r r r 5.3 Canidad de moimieno 0 5.3 ara obener la ecación de canidad de moimieno momenm en forma diferencial, es necesario recordar qe la le de conseración de canidad de moimieno para n olmen de conrol, esablece qe la smaoria de las feras ejercidas sobre el olmen de conrol es igal a la asa a la cal se acmla canidad de moimieno denro del olmen de conrol más la asa a la cal sale canidad de moimieno del olmen de conrol menos la asa a la cal enra canidad de moimieno al olmen de conrol, así Fera nea sobre el olmen de conrol C en la dirección considerada. Tasa de incremeno en la canidad de moimieno del flido en la dirección considerada denro del C. = + 9 Tasa de canidad de moimieno saliendo del C en la dirección considerada. Tasa de canidad de moimieno enrando en el C en la dirección considerada.
Forma diferencial de las lees básicas Empleando n olmen de conrol infiniesimal Figra 5. para mosrar las feras de sperficie qe acúan sobre el olmen de conrol, se deria na epresión para el lado iqierdo de la epresión anerior. En ese caso se hace la smaoria de feras en la dirección, eso es F d dd dd dd dd d dd d dd Al redcir érminos, la ecación anerior se pede presenar como F ddd [ + / ]dd [ + / ]dd dd dd d d dd dd [ + / ]dd [ + / ]dd Figra 5. Feras de sperficie acando en olmen de conrol infiniesimal. or ora pare, la asa de canidad de moimieno acmlado denro del olmen de conrol infiniesimal qeda epresada por ddd 93
Capílo 5 94 Mienras qe en la Figra 5.3 se mesra qe la canidad de moimieno en la dirección enrando saliendo al olmen de conrol, por cada na de las caras del elemeno diferencial es, respeciamene dd dd dd dd d dd d dd d De esa forma, la ecación de canidad de moimieno para la dirección es g Finalmene, al considerar n flido neoniano, es posible obener na relación enre los esferos coranes el campo de elocidades, figra 5.4 3 ; 3 ; 3 ; ; dd d dd d dd dd dd dd d Figra 5.3 Canidad de moimieno en enrando saliendo del olmen de conrol a raés de las sperficies del sisema. d d d
Forma diferencial de las lees básicas 95 Figra 5.4 Esferos normales coranes, en la dirección. Al ssiir esas epresiones en la ecación de canidad de moimieno redcir érminos, considerando propiedades del flido consanes se iene qe la ecación de canidad de moimieno en es: g υ Al segir n procedimieno similar se peden obener las ecaciones de canidad de moimieno para las direcciones, respeciamene como g υ g υ Esas epresiones en conjno con la ecación de coninidad forman las ecaciones de Naier Sokes: 0
Capílo 5 96 g g g υ υ υ 5.3 Ese conjno de ecaciones se pede epresar en forma ecorial como 0 g donde el operador Laplaciano en coordenadas cilíndricas se epresa como: ara aplicar las ecaciones de Naier Sokes obener na solción analíica, se peden segir los sigienes pasos.
Forma diferencial de las lees básicas 5.3. Ecación de Eler Todos los flidos reales poseen iscosidad; sin embargo, con frecencia s comporamieno es como si no la ieran. or lo ano, es de ilidad inesigar la dinámica de n flido ideal; eso es, n flido incompresible con iscosidad igal a cero. El análisis del moimieno de flidos ideales es más simple qe el de fljos iscosos debido a qe no eisen esferos coranes únicamene se ienen qe considerar los esferos normales. ara n flido no iscoso en moimieno, el esfero normal en n pno es el mismo en odas direcciones es igal al negaio de la presión ermodinámica. Las ecaciones de moimieno para n fljo sin fricción, conocidas como las ecaciones de Eler, se obienen de la forma general de las ecaciones de moimieno, Ecs.5.3. Ya qe en n fljo sin fricción no ha esferos coranes el esfero normal es igal al negaio de la presión ermodinámica, las ecaciones de moimieno para n fljo sin fricción son: g g g 5.4 Ecación de Eler para na línea de corriene Como la elocidad la aceleración de n flido en coordenadas de línea de corriene se epresan de na manera m simple, las ecaciones de moimieno ienen na forma correspondiene ambién simple. ara desarrollar esas ecaciones, considérese la Figra 5.4, la cal mesra na parícla recanglar de flido en n pno pariclar sobre na línea de corriene. Las ecaciones de moimieno se escribirán ahora en érminos de la coordenada s, disancia a lo largo de na línea de corriene la coordenada n, normal a la línea de corriene. Ya qe el ecor elocidad deberá ser angene a la línea de corriene, enonces el campo de elocidad esá dado por = s,. La presión en el cenro del elemeno de flido es. Si se aplica la segnda le de Neon en la dirección s a lo largo de la línea de corriene al elemeno de flido de olmen dsdnd, despreciando las feras iscosas, se iene: ds ds dnd dnd gsendndds dsdnda s s s donde es el ánglo enre la angene a la línea de corriene la horional a s es la aceleración de la parícla de flido a lo largo de la línea de corriene. 97
Capílo 5 Simplificando la ecación anerior se obiene, a qe sen β= / s, se iene qe, gsen s a s g s s a s g n s β p dn dsd n p ds dnd dn s ds p ds dnd s β R p dn dsd n Figra 5.4 arícla de flido moiéndose a lo largo de na línea de corriene. A lo largo de calqier línea de corriene s = s s, la aceleración oal de na parícla de flido en la dirección de la línea de corriene esá dada por; a s D D s s s s s Ya qe la elocidad es angene a la línea de corriene, el sbíndice s se pede omiir. La ecación de Eler en la dirección de la corriene, con el eje dirigido ericalmene, es enonces g s s s 98
Forma diferencial de las lees básicas ara fljo permanene despreciando las feras de cerpo, la ecación de Eler en la dirección de la corriene se redce a s s lo cal indica qe na disminción en la elocidad esá acompañada por n incremeno en la presión iceersa. ara obener la ecación de Eler en la dirección de la normal a las líneas de corriene, se aplica la segnda le de Neon al elemeno de flido en la dirección de n. Neamene, despreciando las feras iscosas, se obiene, dn dn dsd dsd g cos dndds a n n n dndds donde es el ánglo enre la dirección n la erical, a n es la aceleración de la parícla de flido en la dirección de n. Simplificando la ecación se obiene, Ya qe cos β = / n, se iene g cos n a n g n n a n La aceleración normal del elemeno de flido esá dirigida hacia el cenro de crara de la línea de corriene, en la dirección negaia de n; por lo ano, en el sisema coordenado de la Figra 5.4, la aceleración cenrípea se escribe como, R a n para fljo permanene, donde R es el radio de crara de la línea de corriene. Enonces, la ecación de Eler normal a la línea de corriene para n fljo permanene es, g n n R 99
Capílo 5 Si el fljo no fera permanene, el parón de la línea de corriene ariaría con el iempo en al caso s n an R Finalmene, para fljo permanene en n plano horional, la ecación de Eler normal a la línea de corriene se redce a, n R lo cal indica qe la presión se incremena en na dirección hacia fera del cenro de crara de las líneas de corriene. En regiones donde las líneas de corriene son recas, el radio de crara, R, de las líneas de corriene es infinio no ha ariación de la presión en la dirección normal de las líneas de corriene. 5.3. Ecación de Bernolli La ecación de Eler para fljo permanene a lo largo de na línea de corriene esá dada por g s s s Si na parícla de flido se mee na disancia ds a lo largo de na línea de corriene, enonces ds dp s ds d s ds d s Así, al mliplicar la ecación de Eler por ds se obiene, el cambio en la presión a lo largo de s el cambio en la alra a lo largo de s el cambio en la elocidad a lo largo de s d gd d a lo largo de s o 00 d gd d 0 a lo largo de s
Forma diferencial de las lees básicas La inegración de esa ecación resla en, d g consane a lo largo de s Anes de sar la ecación anerior se debe conocer la relación enre la presión,, la densidad,. ara el caso especial de fljo incompresible, = consane, la ecación anerior se coniere en la ecación de Bernolli, g consane ara emplear la ecación anerior se deberán obserar las sigienes resricciones: Fljo permanene, Fljo incompresible, 3 Fljo sin fricción 4 Fljo a lo largo de na línea de corriene. La ecación de Bernolli es na ecación poderosa úil a qe relaciona los cambios de presión con los cambios de elocidad eleación a lo largo de na línea de corriene. Sin embargo, ésa da reslados correcos únicamene cando se aplica a n fljo donde son raonables las caro resricciones aneriores. La ecación de Bernolli se pede aplicar enre calqier par de pnos sobre na línea de corriene, siempre qe las oras res resricciones se saisfagan. El reslado es, g g 5.5 donde los sbíndices represenan dos pnos calesqiera sobre na línea de corriene. En algnos problemas, el fljo es ransiorio con respeco a n marco de referencia, pero permanene respeco a oro qe se mee en el fljo. Ya qe la ecación de Bernolli se derió mediane la inegración de la segnda le de Neon para na parícla de flido, ésa se pede aplicar en calqier marco de referencia inercial. La ecación de Bernolli fe ennciada por primera e en palabras por el maemáico sio Daniel Bernolli 700-78, en n eo escrio en 738. Despés fe dedcida en forma de ecación por s asociado Leonhard Eler, en 775. El érmino / se conoce como la energía cinéica, g como la energía poencial / como la energía de fljo, odo por nidad de masa. or lo ano, la ecación de Bernolli se pede escribir como na epresión del balance de energía mecánica se pede ennciar del modo sigiene: La sma de las energías cinéica, poencial de fljo de na parícla de flido es consane a lo largo de na línea de corriene en el ranscrso del fljo permanene, cando los efecos de la compresibilidad de la fricción son despreciables. 0
Capílo 5 Las energías cinéica, poencial de fljo son las formas mecánicas de la energía la ecación de Bernolli pede concebirse como el principio de conseración de la energía mecánica. Eso eqiale al principio general de conseración de la energía para los sisemas qe no se relacionan con la conersión de la energía mecánica érmica enre sí, en consecencia, la energía mecánica la érmica se conseran por separado. La ecación de Bernolli epresa qe, en el ranscrso del fljo permanene e incompresible, con fricción despreciable, las diersas formas de la energía mecánica se ransforman enre sí, pero s sma permanece consane. En oras palabras, no se iene disipación de energía mecánica en el crso de ese ipo de fljos, peso qe no eise fricción qe coniera esa energía mecánica en energía érmica sensible inerna. Debe recordarse qe la energía se ransfiere a n sisema como rabajo cando se aplica na fera a ese sisema a lo largo de na disancia. Si se oma en cana la segnda le de Neon del moimieno, la ecación de Bernolli ambién pede concebirse como: el rabajo realiado por las feras de presión de graedad sobre la parícla de flido es igal al ameno en la energía cinéica de esa parícla. ese a las aproimaciones inensamene resricias qe se saron en s dedcción, la ecación de Bernolli es de so común en la prácica, a qe diersos problemas prácicos de fljo de flidos peden analiarse con ella, con eacid raonable. Eso se debe a qe nmerosos fljos de inerés prácico en la ingeniería son permanenes o, por lo menos, permanenes en ss alores medios, los efecos de la compresibilidad son relaiamene peqeños las feras neas de fricción son despreciables en las regiones de inerés en el fljo. 5.3.. resiones esáica, dinámica de esancamieno La ecación de Bernolli deermina qe la sma de las energías de fljo, cinéica poencial de na parícla de flido a lo largo de na línea de corriene es consane. or lo ano, la energía cinéica la poencial del flido peden conerirse a energía de fljo iceersa en el crso del fljo, lo cal hace qe cambie la presión. Ese fenómeno pede hacerse más isible cando se mliplica la ecación de Bernolli por la densidad : g consane a lo largo de na línea de corriene 5.6 Cada érmino de esa ecación iene nidades de presión, por ano, cada no represena algna clase de presión: es la presión esáica no incorpora efecos dinámicos; represena la presión ermodinámica real del flido. Ésa es la misma qe la presión sada en la ermodinámica las ablas de propiedades. / es la presión dinámica, represena el ameno en la presión cando el flido en moimieno se deiene de manera isenrópica. 0
Forma diferencial de las lees básicas g es la presión hidrosáica, la cal no es presión en n senido real, porqe s alor depende del niel de referencia seleccionado; eplica los efecos del ameno, es decir, del peso del flido sobre la presión. La sma de la presión esáica, la dinámica la hidrosáica se llama presión oal. or lo ano, la ecación de Bernolli epresa qe la presión oal a lo largo de na línea de corriene es consane. La sma de la presión esáica la dinámica se llama presión de esancamieno se epresa como: o 5.7 La presión de esancamieno represena la presión en n pno en donde el flido se deiene oalmene de manera isenrópica. En la Figra 5.5 se mesran las presiones esáica, dinámica de esancamieno. Cando la presión esáica de esancamieno se miden en n lgar especificado, la elocidad del flido se pede calclar en ese lgar a parir de la Ec.5.7; eso es, o 5.8 Figra 5.5 resiones esáica, dinámica de esancamieno. La Ec.5.8 es úil en la medición de la elocidad del fljo cando se sa na combinación de na oma de presión esáica n bo de io, figra 5.6. 03
Capílo 5 Figra 5.6 Tbo de pio. 5.3.. Limiaciones en el so de la ecación de Bernolli Aún cando la ecación de Bernolli iene na amplia aplicación denro de la mecánica de flidos, es necesario esablecer ss limianes qe son:. Se aplica únicamene en condiciones de fljo permanene.. No se considera la fricción del fljo. 3. No eise rabajo de flecha. 4. Se aplica para fljo incompresible. 5. No eise ransferencia de calor. 6. Se considera el fljo a lo largo de jna línea de corriene. 5.3..3 Línea de gradiene hidrálico LGH línea de energía LE Frecenemene es recomendable represenar el niel de energía mecánica en n fljo gráficamene, sando alras, con la finalidad de faciliar la isaliación de los diersos érminos de la ecación de Bernolli. Eso se logra cando se diide cada érmino de la Ec.5.5 enre g, obeniendo, p g g h consane a lo largo de na línea de corriene 5.9 Cada érmino en la Ec.5.9 iene dimensiones de longid represena algún ipo de carga del flido qe fle. Los érminos indiidales son: / g es la carga de presión: represena la alra de na colmna de flido qe prodce la presión esáica. 04
Forma diferencial de las lees básicas /g es la carga de elocidad: represena la eleación necesaria para qe n flido alcance la elocidad drane na caída libre sin fricción. es la carga de eleación: represena la energía poencial del flido. Así mismo, h es la carga oal para el fljo. or lo ano, la ecación de Bernolli se pede epresar en érminos de carga como: la sma de las cargas de presión, de elocidad de eleación a lo largo de na línea de corriene qe es consane en el ranscrso del fljo permanene, cando los efecos de la compresibilidad de la fricción son despreciables. 5.4 Relación enre la primera le de la ermodinámica la ecación de Bernolli Considere n olmen de conrol en n campo de fljo limiado por líneas de corriene a lo largo de s periferia. Dicho olmen de conrol, mosrado en la Figra 5.7, se conoce comúnmene como bo de corriene. Fljo C Líneas de corriene La primera le de la ermodinámica esablecida para ese olmen de conrol, sjea a las sigienes resricciones: W 0, W 0, W 0, fljo permanene propiedades niformes. e c Figra 5.7 Fljo a raés de n bo de corriene. o Se redce a, Q g A g A mienras qe la ecación de coninidad, condce a, or oro lado, m A A 05
Capílo 5 Q Q d Q dm dm d Q m dm Con eso de la ecación de la energía, 0 g g m Q m dm o g g Q dm Si se aplican las resricciones adicionales,. Fljo incompresible, = = / ρ = consane. - Q / dm = 0 Enonces la ecación de la energía se redce a, o g g g consane 5.8 La Ec.5.8 es idénica en forma a la ecación de Bernolli. Ambas ecaciones se obieron por caminos diferenes, la ecación de Bernolli se derió de la segnda le de Neon es álida para n fljo permanene incompresible sin fricción a lo largo de na línea de corriene, mienras qe la Ec.5.8 se obo aplicando la primera le de la ermodinámica a n olmen de conrol en n bo de corriene sjea a las resricciones mencionadas aneriormene. Es imporane obserar qe la resricción Q / dm = 0 fe necesaria para obener la ecación de Bernolli a parir de la primera le de la ermodinámica. Esa resricción se pede saisfacer si Q / dm = 0 no ha ransferencia de calor hacia el flido = 0 no ha cambios en la energía inerna del flido. La resricción se saisface ambién si los alores de Q / dm son igales diferenes de cero. Eso se cmple para n fljo incompresible sin fricción, como se demesra a coninación. En general la energía inerna, se pede epresar como = T. De esa manera el esado ermodinámico del flido se deermina únicamene para la propiedad 06
Forma diferencial de las lees básicas ermodinámica T. El cambio en la energía inerna para calqier proceso,, depende únicamene de la emperara en los esados finales. De la ecación de Gibbs, Tds = d + pd, álida para na ssancia pra sfriendo calqier proceso, se obiene, Tds d para n fljo incompresible, a qe d = 0. Debido a qe el cambio en la energía inerna, d, enre esados eremos especificados, es independiene del proceso, si se considera n proceso reersible para el cal Tds = dq / dm d, se iene, Q dm ara el caso considerado en esa sección es ciero qe la primera le de la ermodinámica se redce a la ecación de Bernolli. Sin embargo, en general, la primera le de la ermodinámica la segnda le de Neon son ecaciones independienes qe se deberán saisfacer por separado. 07