Contenido 1 Ejercicios de Números Reales: Números naturales, enteros, racionales e irracionales. 1) Dados los siguientes conjuntos: a) N = {0,1,2,...} b) N* = {1,2,3,...} c) Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...} d) Z* = {...-3,-2,-1,1,2,3,...} e) = 0,1,2,...} f) = {...-3,-2,-1,0} Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificándolas: a) Z* = N b) Z* {0} = Z c) Z* = Z* d) Z* = Z e) Z* = N* C N = C Z Rpta: a) F, b) V, c)v, d)v, e)f. 2) Siendo el conjunto de los números racionales: Q = {x/x = p/q; p ϵ Z; q ϵ Z; q 0} escribir los siguientes números racionales en la forma p/q: a) 5 b) -3 c) 0 d) 1,5 e) 0,35 f) 7,43 g) 0,444... h) 0,23777... Posibles Rpta: a) 10/2, b)-6/2, c)0/4, d)3/2, e)7/20, f)743/100, g)4/9, h)107/450. 3) Siendo a ϵ Z*; b ϵ Z* decir cuáles de los siguientes números son enteros y justificar: a) a + b b) a - b c) b - a d) a.b e) a/b f) b/a g) a ² h) b³ Rpta: son enteros: a), b), c), d), g), h). 4) Construir un diagrama representando los conjuntos N, Z, Q y R, representando las relaciones existentes entre ellos e indicando dónde están los números enteros negativos, los racionales fraccionarios y los irracionales. 5) Demostrar que 5 1/2 no es un número racional. Contenido 2 Ejercicios de Números Reales: Desigualdades. Conjuntos numéricos. Valor numérico. Signos de agrupación. 1) Escribir usando los signos de desigualdad: a) a es un número positivo. b) a no es un número positivo. c) a es mayor que b. d) b es menor que c. e) a está comprendido entre b y c, siendo b menor que c. f) a es un número no negativo. g) b no es un número no positivo. h) c no es menor que a. Rpta: a) a>0, b) a 0, c) a>b, d) b<c, e) b<a<c, f) a 0, g) b 0, h) c a. 2) Completar las siguientes implicaciones: Rpta: a) x - 5 > 0 x >... a)5 b) x < -3 x + 3 <... b)0 c) -5.x > -10 x <... c)2 d) 2.x - 3 > 5 x >... d)4 e) x > 7 x - 2 >... e)5 f) 3.x < 9 x <... f)3 Prof. Esther Morales Página 1
g) -3.x < 12 x >... g) -4 3) Escribir como intervalo y como conjunto los siguientes subconjuntos de la recta real: a) El intervalo cerrado de extremos 3 y 7. b) El intervalo abierto de extremos -5 y 0. c) El intervalo cerrado a izquierda y abierto a derecha de extremos 5 y 6. d) El conjunto de los números enteros pertenecientes al intervalo del ítem c). Rpta: a)[3,7] {xϵr/3 x 7}, b)(-5,0) {xϵr/-5<x<0}, c)[5,6) {xϵr/5 x<6}, d) {5} {xϵr/x=5}. 4) Representar en la recta de los reales los siguientes subconjuntos de números reales: a) [-10,11] b) (0,3) c) (2 1/2,5) d) 3 1/2 x 5 1/2 e) -(7 1/2 ) < x < 7 1/2 f) 0 x < 2 g) [a,+ ) = {x/x a} h) (-,0) 5) Resolver y representar gráficamente en la recta de lo reales: a) [-5,3] [3,7] b) [-,7] [8,10] c) (-,0) (0,+ ) d) (-3,0) [3,8] e) (-,0) (0,+ ) f) (3,5) [4,7] Rpta: a)3, b), c), d) (-3,0) [3,8], e) 0, f) (3,7]. 6) Calcular el valor numérico de la expresión x = a + b - 2. a. b + a - b, sabiendo que a = 2 y b = -5. Rpta: x= -10 7) Sabiendo que a = 10; b = -10, calcular el valor de la expresión: Rpta: x=0 8) Calcular x sabiendo que a =-10, b=20 y Rpta: x=±2 9) Hallar los valores de x que satisfagan las siguientes expresiones, aplicando definición y propiedades del módulo (valor absoluto): Rpta:a) 5 5, b), 2 ( 2, ), c) 3, 1) (1, 3, d)-5, e)18; 10/3, g) 9, h) (-4,10), i)(, ) j) 1, k) 5 ó 5 l)(-3,-1) (-1, ). 10) Resolver: a) 10 - {8 + 4 - [5-3 + 2 - (-9 + 7-4) + 4 + 2-5 - (1-2) - 21] - 1} = b) 5 + {-2 + [-2 + (3-1) + 2] + 8} - {-3 + [-1 + (-9)]} = c) 3 - {3 - [3 - (3)]} + 2 - {2 - [2 - (2)]} = d) 1 - {2 - [3 - (4 + 5)]} - 6+ {-7 + [-8 + (-9)]} = Rpta: a)-10, b)26, c)0, d)-37. Contenido 3 Prof. Esther Morales Página 2
Resolver los siguientes problemas: 1) Resolver los siguientes problemas: 1) 2) 2) 3) Contenido 5 Resolver los siguientes problemas: Contenido 4 Prof. Esther Morales Página 3
1) 1) a 4 + a 4 + a 4 = Resultado: 3.a 4 3) 2) a 4.a 4.a 4 = Resultado: a 12 3) a 4 :a = Resultado: a³ 4) a:a 4 = Resultado: a - ³ 5) a ²:a -2 = Resultado: a 4 6) 3.a³.2.a ².a³ = Resultado: 6.a 8 7) 2-1 + 3 - ³ + 2-4 = Resultado: 11/16 8) 2-1.3 - ³.2-4 = Resultado: 1/256 2) Contenido 6 1) Calcular las siguientes potencias y raíces: a) 3 b) 2 c) 8 d) 125 e) f) (a+b) g) 2 h) i) Prof. Esther Morales Página 4
2) Poner bajo un solo signo radical las siguientes expresiones: Contenido 7 a) 3 b) c) 27 d) e 5 f g h i j 2) Extraer fuera del radical todos los factores: Rpta: a)4 8, b)4 8, c)18 6, d) 1, e), f)100 25, g). Contenido 8 1) Introducir dentro del radical: 1) Simplificar los siguientes radicales: Rpta: a) 48, 243, c), d), e), f)1,g), h). Rpta: a), b), c)3, d)3, e), f), g)5, h)3, i), j). Prof. Esther Morales Página 5
2) Efectuar las siguientes operaciones: Contenido 9 1) Efectuar las siguientes operaciones: Rpta: a)4 2 b)(a-b) c)-8 +7 d)4 3, e)7 3 f)-2 2 g)16 2 h)6a +(3+7a) g) 2 j) 2 k)6 5 l) m) -6(a+2b) n) o) 2 Rpta: a) 4, b), c),)30, ) 2.3.5, f), g), h), j) 12 k).. o)., l)., m). n).,, p) ().(), q).., r) Prof. Esther Morales Página 6
2) Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones: v)2 3.2+ 3, w).,. x), Contenido 10 1) Resolver: Rpta: a)2, b)15 12 5,)4 2, d) 2, e) f)2, g)2 2, h)3. 2) Hallar los valores de x que satisfaga las siguientes expresiones:, Rpta: a)=±1,± 3, b) 2 2, c) 1 ;1+, d)-2, e)1., c), d),,), l) Rpta: a) 2, b) e),) i), j), k) n),h),, m)1,, o), p)2+ 3 q) 5+2, r) 3 2, s), t),) 2, 3) Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones: Rpta: a), b) 16, c), d) 3+ 2, e)1+ 2, f). Prof. Esther Morales Página 7
4) Calcular: Rpta: a)2, b)1/3, c)5, d)5 5, e), f), g)10. Contenido 11 Rpta: a)3 9 e)x, b)5 5, c) 2/2, d) /a,, f), g)1, h), i) l), m), n)x-y., j) 4) Hallar el valor de las siguientes potencias:, 1) Escribir las siguientes expresiones utilizando sólo exponentes e índices enteros y positivos: Rpta: a)6, b)1/2, c) 8/4, d)64, e)11/12, f)1/64, g)5/6, h)27/8, i)8000. Rpta: a) f), g), b), c) (), h), d), e),, i), j), k). 2) Escribir las siguientes expresiones utilizando sólo exponentes fraccionarios: Rpta: a), b), c)5, d).b, e), f), g)., h)., i)4.2, j), k)7. 5) Hallar x sabiendo que: Rpta: a)9, b)1/9, c)±8, d) ±4, e)1/4, f)±, g)1/2. Contenido 12 1) Realizar las siguientes operaciones: 3) Efectuar las siguientes operaciones: Prof. Esther Morales Página 8
Contenido 13 1) Efectúa y simplifica (desde el a hasta la s) y racionaliza el denominador (desde la f hasta la z): Rptas: e) 3, f) -1, g), h), i), j)-, k) 17, l), m) 0, n) -21, o) 20 2, p) -2 5+12 25 3, q) 19-4 6 r)0, s), t) 5 5, x)-3-6, y), u) 2+1, v), w)13- Prof. Esther Morales Página 9