1. Teorem de l funcion invers Se A un ierto de R N, f : A R m un funcion de clse n (n 1), se A tl que det(jf()) 0. Entonces existe un entorno U de tl que U A tl que: (1). det(jf (x)) 0 pr todo x U (2). f U es inyectiv (3). f(u) es un ierto de R m (4). f 1 : f(u) U es de clse n y demás pr cd y f(u) se tiene que Jf 1 (y) = [ Jf(f 1 (y)) ] 1 2. Teorem de l funcion implicit Se A un ierto de R nm, f : A R m un funcion de clse k (k 1), se (, ) A tl que f(, ) = 0. Supongmos que ls ultims m columns de Jf(, ) son linelmente independientes. Entonces existe un ierto U de A tl que (, ) U tl que pr todo (x, y) U se tiene que Jf(x, y) tiene ls m ultims columns linelmente independientes, un ÚNICA plicción ϕ : V Rm, siendo V un ierto de R n que contiene l tl que ϕ(x) = y y tl que se verific: {(x, y) U f(x, y) = 0} = {(x, y) V R m ϕ(x) = y} 3. Definicion: convergenci puntul de un sucesión de funciones Se A R N, y se {f n f n : A R m } n N un sucesión de funciones. Decimos que l sucesión converge puntulmente si pr todo x A existe el limite de l sucesión de puntos {f n (x)}. En tl cso l función f : A R m definid por f(x) = lím n f n (x) se llm limite puntul. 4. Definición: Convergenci uniforme de un sucesión de funciones Se A R N y se {f n f n : A R m } n N un sucesión de funciones. Se f : A R m decimos que l sucesión {f n } converge uniformemente f si pr todo ε > 0 existe un n 0 tl que pr todo n n 0 se tiene que f n (x) f(x) ε pr todo x A. En tl cso l función f se llm límite uniforme. 1
5. Comportmiento frente l continuidd Se A R N y se {f n f n : A R m } n N un sucesión de funiones que converge uniformemente f : A R m. Se A y supongmos que tods ls f n son continus en. Entonces f es continu en. demostrción. Hy que ver que pr todo ε > 0 existe un δ > 0 tl que pr cd x A que verifique x < δ se tiene que f(x) f() < ε. Se pues ε > 0. Como {f n } converge uniformemente f tenemos que socido ε 3 existe un n 0 tl que si n > n 0 se tiene que f n (x) f(x) < ε 3 pr cd x A. Además ls f n son continus en. Tenemos entonces que socido ε 3 si x A que verifique x < δ se tiene que f n (x) f n () < ε 3. existe un delt > 0 tl que Vemos hor que efectivmente f es continu. Tomemos A con x < δ y vemos que f(x) f() < ε. f(x) f() = f(x) f()f n (x) f n (x)f n () f n () = (f(x) f n (x))(f n (x) f n ())(f() f n ()) f(x) f n (x) f n (x) f n () f() f n () < ε 3 ε 3 ε 3 = ε 6. Comportmiento frente l integrilidd Se {f n f n : [, ] R} n N un sucesión de funiones que converge uniformemente f : [, ] R. supongmos que tods ls f n son integrles en [, ], entonces f es integrle en [, ] demostrción. Pr ver que es integrle vemos primero que es cotd. Pero esto es inmedito porque f es limite uniforme de ls f n y ests son integrles (y por tnto cotds). Se pues M = sup x [,] { f n (x) } Semos que f es limite uniforme de {f n }. Se pues ε > 0 se tiene que existe un n 0 N tl que si n n 0 se tiene que f(x) f n (x) < ε pr todo x [, ]. Esto quiere decir que ε < f(x) f n (x) < ε f(x) < ε f n (x) ε M Por tnto f está cotd. Vemos hor que f es integrle. Como f es limite uniforme se tiene que l sucesión tiene limite cero. α n = sup { f n (x) f(x) } x [,] 2
por otro ldo, se tiene que pr todo n N y todo x [, ] f n (x) α n f(x) f n (x) α n estudiemos l desiguldd de l izquierd (f(x) f n (x) α n ) Por l monotoní de l integrl inferior tenemos que: Como f n α n es integrle se tiene que (f n α n ) (f n α n ) = Rzonndo igul en l otr desiguldd se tiene que f n α n ( ) f n α n ( ) De hí se deduce inmeditmente que 0 f 2α n ( ) f n α n ( ) tomndo limite se oteiene que f = f por tnto f es integrle. equivlentemente se tiene que 0 f α n ( ) y por el TDS se tiene que f n f = lím n f n 7. Comportmiento frente l diferenciilidd Se {f n f n : (, ) R} n N un sucesión de funciones de clse 1 que converge puntulmente f (, ) R. Supongmos que l sucesión {f n} converge uniformemente un ciert función g : (, ) R. Entonces f es de clse 1 y f = g demostrción. Como {f n} es un sucesión de funciones continus que converge uniformemente l función g, entonces se tiene que g es continu y, por tnto, integrle. Se (, ), si x (, ) por el comportmiento frente l integrilidd tenemos que g = lím f n Aplicndo el segundo el segundo teorem fundmentl del clculo tenemos que Por tnto, f n = f n (x) f n ( ) g = lím(f n (x) f n ( )) = f(x) f( ) Aplicndo el primer teorem fundmentl del clculo concluimos que Por tnto f es de clse uno puesto que g es continu. [ ] x g = g = f 3
8. Condición uniforme de Cuchy Se A R N y se {f n f n : A R m } n N Entonces {f n } converge uniformemente si y solo si pr todo ε > 0 existe un n 0 N tl que si m, n > n 0 se verific que f n (x) f m (x) < ε pr todo x A 9. Teorem de proximción de Weierstrss Si f : [, ] R es un función continu, existe un sucesión {P n } de funciones polinómics que converge uniformemente f en [, ]. demostrción. 10. Criterio de Weierstrss Se A un suconjunto de R N y se f n un serie de funciones definids en A y con vlores reles. Supongmos que pr todo n N existe un M n R tl que f n (x) M n pr todo x A y que l serie M n es convergente. Entonces f n converge solut y uniformemente en A. demostrción. Es inmedito que l serie converge solutmente pr todo x A. y que si x A se tiene que f n (x) M n pr todo n y ddo que l serie M n converge, plicndo el criterio de comprción l serie f n(x) converge. Podemos definir entonces f(x) = f n(x) y vemos que l convergenci es uniforme. definmos l sucesión α n como: y vemos que α n tiende cero. si x A α n = sup x A n f n (x) f(x) = i=n1 n f n (x) f(x) f i (x) i=n1 Como l serie M n es convergente entonces i=n1 M i convergente, por tnto f n(x) converge uniformemente f f i (x) i=n1 M i 0 por ser l col de un serie 4
11. Teorem de el Si I es el intervlo de convergenci de l serie n=0 n(x ) n entonces l serie converge uniformemente en todo intervlo cerrdo y cotdo contenido en I demostrción. Supongmos sin perdid de generlidd que l serie está centrd en 0 es decir que l serie es de l form nx n y vemos que si I entonces l serie converge en [0, ]. Como está en el intervlo de convergenci semos que n n es convergente. esto implic que R n = i=n i i tiende 0. Se ε > 0 como {R n } 0 existe un n 0 tl que si n n 0 entonces Se n > n 0 entonces si x [0, ] R n = i i < ε 3 i=n tomemos s > i 1 f(x) i n x n = n=0 n x n = Escriiendo n n = R n R n1 tenemos que: ( ) n x n n = Desrrollndo l expresion nos qued que n x n = lím s n n ( x ) n n x n ( ) n x (R n R n1 ) ( ) n x (R n R n1 ) = R n1 ( x ) n1 [( ) s 1 x... R s ( ) s ] ( ) s x x R s1 = Aplicndo l desiguldd tringulr y que cd R i < ε 3 tenemos que: ε 3 [( ) i1 x Tenemos pues que: ( ) i1 x ( ) i2 x 0 ( ) i2 x n n ( x ( ) s x ) n < 2ε 3 < ε ( ) s ] x = 2ε 3 ( ) i1 x 2ε 3 5