NOTAS PARA EL CURSO DE INTRODUCCION A LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS. 2o. SEMESTRE DE 2003.

NOTAS PARA EL CURSO DE INTRODUCCION A LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS. 2o. SEMESTRE DE 2003. Mario Wschebor E mail: wschebor@cmat.edu.uy February 27, 2004 1 MARTINGALAS CON TIEMPO DISCRETO. 1.1 Esperazas codicioales Defiició. Ω, A, P espacio de probabilidad X : Ω R variable aleatoria, X L 1. F sub-σ-algebra de A. Se defie, para cada A F, µa = E X.1 A µ es ua medida fiita sigada sobre F, absolutamete cotiua co respecto a P/F. Por la tato, existe la derivada de Rado-Nykodim de µ co respecto a P/F, que deotamos dµ dp. Se defie la esperaza codicioal de la variable aleatoria X dada la σ-álgebra F : E X/F = dµ dp. es decir que E X/F es la úica fució módulo la probabilidad P de Ω R tal que 1. E X/F es F-medible, 2. X dp = A A E X/F dp A F 1

Propiedades de las esperazas codicioales. 1. X E X/F es lieal y moótoa. 2. Si F = {φ, Ω}, etoces E X/F = EX c.s. [otar que E [E X/F] = EX]. 3. Más e geeral, si F G so sub σ-álgebras de A, se verifica que c.s. E X/F = E [E X/G /F] 4. X 0, X X c.s. = E X /F E X/F c.s. 5. Si X es F-medible y XY L 1, etoces E XY/F = XE Y/F c.s. Para probar esto, hacerlo primero cuado Y 0, X = 1 B, b F. Luego exteder. 6. X idepediete de F i.e. las variables aleatorias X y 1 A so idepedietes A F = 7. caso fiito E X/F = EX. Sea {A 1,..., A m } ua partició medible de Ω es decir que A 1,..., A m A, so 2 a 2 disjutos y j=m j=1 A j = Ω. Supoemos que P A j > 0, j = 1,..., m y deotamos F = σ A 1,..., A m = míima σ-álgebra de partes de Ω que cotiee a los cojutos A 1,..., A m = familia de todas las posibles uioes de los cojutos dados A 1,..., A m. Sea X : Ω R ua variable aleatoria que toma u úmero fiito de valores, {x 1,..., x }. Etoces, E X/F ω = x k.p X = x k /A j ω A j 1 k=1 dode si P F > 0, P E/F = P E F P F. 2

Es decir que sobre cada cojuto A j, E X/F es costate y asume el valor idicado; es claro que esa fució es.f-medible. De modo que para probar 1 hay que probar que A X dp = m 1 Aj x k.p X = x k /A j dp A F. A j=1 k=1 Basta hacerlo para A = A j. Es imediato. E particular, si Y es ua ueva variable aleatoria que toma u úmero fiito de valores 2 a 2 y 1,..., y m y A j = {Y = y j }, usaremos la otació EX/Y = y j = x k.p X = x k /Y = y j k=1 dode el primer miembro se debe iterpretar como E X/F ω co Y ω = y j. Observacioes. Si e lugar de ua partició fiita cosideramos ua partició umerable de Ω, todo lo aterior vale si cambios sigificativos. Heurísticamete, el sigificado de EX/Y = y j es el del valor esperado de la variable aleatoria X, cuado sabemos ocurrió el eveto de que la variable aleatoria Y toma el valor y j, es decir, el valor esperado de ua variable aleatoria que toma los mismos valores posibles que X, o sea x 1,..., x, pero o co las probabilidades origiales que so P X = x k, k = 1,..., sio co las probabilidades codicioales P X = x k /Y = y j. Claro que esto es posible si P Y = y j > 0, aplicado la defiició elemetal de probabilidad codicioal. E cambio, si la variable aleatoria Y o es discreta es decir, si la distribució de Y o es puramete atómica teemos dificultades, porque el eveto {Y = y j } que figura como codició, puede teer probabilidad ula. Podríamos tratar de aproximar ese eveto por evetos próximos co probabilidad pequeña, escribir la probabilidad codicioal como cociete y luego pasar al límite; ésta es la idea de derivar la probabilidad, auque la forma rigurosa de hacerlo e el caso geeral es mediate el teorema de Rado-Nykodim. Éste es el motivo de la defiició formal de esperaza codicioal que dimos al pricipio. 3

8. pareja de variables aleatorias co desidad cojuta Cosideremos como espacio de probabilidad el espacio producto E 1 E 2, dode E 1 R, E 2 R, y ua medida P sobre la σ-álgebra de Borel, absolutamete cotiua co respecto a la medida de Borel, co desidad fx, y. Deotamos mediate X, Y las variables aleatorias coordeadas es decir, Xx, y = x, Y x, y = y, que so variables aleatorias a valores reales, cuyas distribucioes de probabilidad tiee desidades respectivas p X x = las desidades margiales. fx, ydy, p Y y = fx, ydx Sea F la sub σ-álgebra de la σ-álgebra de Borel de E 1 E 2 egedrada por todos los cojutos de la forma E 1 B, dode B es u Boreliao e E 2. Observar que ua fució defiida e E 1 E 2, medible co respecto a F, es sólo fució de la seguda coordeada y. Eso ocurre, por lo tato co E X/F y teemos derecho a escribir ϕy = E X/F x, y. Etoces, para cada pareja de reales y 1, y 2, y 1 < y 2 : E X1 [y1,y 2 ]Y = E [ E X/F 1 [y1,y 2 ]Y ] 2 usado 2. y 4. ut supra observar que la variable aleatoria 1 [y1,y 2 ]Y es F-medible. Reemplazado e ambos miembros de 2, se tiee la igualdad: y2 dx x.fx, ydy = y 1 que implica Teorema de Fubii mediate: ϕy = 1 p Y y x.fx, ydx = y2 dx ϕy.fx, ydy y 1 x.fx/ydx co fx/y = dode la igualdad vale módulo P Y, la distribució de probabilidad de Y. fx/y es la desidad codicioal de X dado que Y = y. 4 fx, y p Y y

9. desigualdad de Jese para esperazas codicioales Sea Φ : R 1 R 1 covexa, X ua variable aleatoria e L 1 y tal que Y = Φ X L 1. Etoces Φ [E X/F] E Φ X /F c.s. 3 Para probar 3, como Φ es covexa, para cada x R podemos ecotrar λx coeficiete agular de ua recta de apoyo al gráfico de Φ e x, de modo que Φy Φx + λxy x y R 4 Más aú, podemos elegir la fució λ de modo que sea Borel-medible, ya que ua elecció posible es λx = y para cada, la fució Φx + 1 lim Φx + 1 x Φx + 1 Φx 1 es cotiua y, por lo tato, Borel medible. putual de fucioes medibles es medible. Recordar que el límite Reemplazado e 4 y por Xω y x por E X/F ω se obtiee: ΦX Φ E X/F + λ E X/F [X E X/F] dode, como es habitual, hemos suprimido ω e ambos miembros. Ahora tomamos esperaza codicioal dada F e ambos miembros y usamos que la variable aleatoria ω λ E X/F ω es F-medible composició de ua fució F-medible co ua fució Borel-medible, cojutamete co la propiedad 4. ut-supra. Esto prueba 3. 10. X X e L 1 = E X /F E X/F e L 1. Aplicado la desigualdad de Jese: E [ E X /F E X/F ] E [E X X /F] = E X X 0. 5

11. La esperaza codicioal como proyecció ortogoal e L 2 Sea S el subespacio de L 2 = L 2 Ω, A, P de las variables aleatorias a valores reales que so F-medibles. Es obvio que S es cerrado. Sea π S la proyecció ortogoal de L 2 sobre S. Etoces, si X L 2 se tiee π S X = E X/F 5 Observar que si X L 2, etoces tambié X L 1, de modo que la esperaza codicioal está bie defiida. Notar además que E X/F L 2 ya que: E [E X/F] 2 E E X 2 /F = E X 2 < 5 se sigue de que E [X E X/F Y ] = 0 para toda variable aleatoria Y S. 1.2 Filtracioes. Defiició de martigala discreta. Defiició. Ω, A, P espacio de probabilidad. E lo que sigue, ua filtració {F } T es ua sucesió de sub σ- álgebras de A, creciete, i.e. F F +1. Por u largo trecho, supodremos que el cojuto T es el de los aturales o el de los eteros; más adelate, tedremos que modificar ua serie de putos para ecarar los problemas cuado el parámetro varía e los reales, o e algú otro cojuto de ídices. Usamos las otacioes F = F y F = F para represetar, respectivamete, la σ-álgebra egedrada por la uió de las F s y la σ-álgebra itersecció de las F s. Defiicióes. U proceso estocástico defiido e el mismo espacio de probabilidad o lo que es lo mismo e uestro caso, ua sucesió de variables aleatorias 6

{X } T es adaptado a la filtració {F } T si X es F -medible para todo T. El proceso estocástico {X } T es previsible co respecto a la filtració {F } T si X es F 1 -medible para todo T. U proceso estocástico {X } T es ua submartigala respectivamete supermartigala, martigala co respecto a la filtració {F } T si cumple las siguietes codicioes: 1. {X } T es adaptado a {F } T. 2. X L 1 T. 3. casi seguramete EX +1 /F X respectivamete, = Observacioes. - E la defiició la codició 2. puede reemplazarse por X + L 1 respectivamete X L 1, X L 1 T. - U caso especial importate, es aquél e que el proceso estocástico {X } T está dado y se defie la filtració mediate G = σ X m : m, la míima σ-álgebra co respecto a la cual las variables aleatorias {X m : m } so medibles. Es decir que G cotiee la iformació geerada por el proceso hasta el istate. La filtració {G } T así defiida, se deomia la filtració egedrada por el proceso dado. 1.2.1 Propiedades iiciales y ejemplos. 1. Paseo al azar Sea ξ 1, ξ 2,... ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, ξ L 1, E ξ = 0. Defiimos X 0 = 0, X = ξ 1 +... + ξ para 1 F 0 = {φ, Ω}, F = σ ξ m : m para 1 Etoces, {X } es ua F -martigala. 2. Si e el ejemplo aterior se reemplaza E ξ = 0 por E ξ 0, se obtiee ua submartigala. 7

3. Si {X }, {Y } so F -martigalas y a,b úmeros reales, etoces {ax + by } es tambié F -martigala. Del mismo modo, si {X }, {Y } so F - submartigalas respectivamete supermartigalas y a,b úmeros reales o egativos, etoces {ax + by } es tambié F -submartigala resp. supermartigala. 4. Sea {X } ua F -martigala y Φ : R R ua fució covexa. Se defie Y = ΦX. Etoces, si Y L 1, resulta que {Y } es ua F -submartigala. E particular, si X L p, p 1, etoces { X p } es ua F - submartigala. 5. Sea {X } ua F -submartigala y Φ : R R ua fució covexa y creciete. Se defie Y = ΦX. Etoces, si Y L 1, resulta que {Y } es ua F -submartigala. E particular, {X + } es ua F -submartigala. 6. Sea Y L 1 y {F } T ua filtració. Defiimos X = EY/F T 6 Se prueba fácilmete que {X } T es ua {F } T -martigala. Más adelate cosideraremos la preguta iversa, a saber e qué codicioes, dada ua {F } T -martigala {X } T, se puede ecotrar ua variable aleatoria Y tal que 6 se cumpla para todo? Y más aú, cómo se puede describir Y? 7. Derivació e u espacio abstracto X, F, µ espacio de probabilidad. π = {A 1,..., A m } partició medible fiita de X, creciete co e el setido de que π +1 es u refiamieto de π. F = σπ F +1 Sea ν otra medida sigada fiita sobre X, F, µ, ν µ y µ, ν las restriccioes de µ, ν respectivamete a F. Es claro que L = dν dµ = 8 m j=1 νa j µa j 1 A j

co la coveció de que νa j µa j = 0 is µa j = 0. Veamos que {L } es ua {F }-martigala. Es claro que L es F -medible, ya que las fucioes F -medibles so justamete las que so costates sobre los cojutos de la partició que defie a F. Hay que ver que E L +1 /F = L c.s., es decir, que E L +1 1 A = E L 1 A A F 7 Basta verificar 7 para A = A j j = 1,..., m, ya que cada A F es ua uió fiita disjuta de esos A j. Pero si A j F, etoces, dado que F +1 es u refiamieto de F, se puede escribir co lo cual A j = k=ν j k=1 E k=ν j L +1 1 Aj = k=1 A k co A k F +1, 2 a 2 disjutos νa k=ν E k j µa k 1 A = νa k k = νa j = E L 1 Aj. k=1 Ua preguta atural es bajo qué codicioes L coverge cuado y e ese caso, si el límite es la derivada de Rado- Nydodim dν dµ, dado ua iterpretació de ésta similar a la derivació ordiaria e u espacio euclidiao. 1.3 Compesador de ua sucesió adaptada de variables aleatorias. Descomposició de Doob elemetal caso discreto. Sea Ω, A, P u espacio de probabilidad, {F } =0,1,2,... ua filtració defiida e él y {X } =0,1,2,... ua sucesió de variables aleatorias adaptada a {F } =0,1,2,..., X L 1. { } Proposició. ua úica sucesió de variables aleatorias X =0,1,2,... tal que: 1. X0 = 0. { } 2. X =0,1,2,... es previsible 9

3. {X X } es ua {F }-martigala. =0,1,2,... Demostració. Defiimos: X 0 = 0 X = E X j X j 1 /F j 1 1 j=1 1. y 2. so obvias. E cuato a 3., si 1: E [X +1 X +1 X X ] /F +1 = E [X +1 X /F ] E X j X j 1 /F j 1 + j=1 E X j X j 1 /F j 1 = 0 Si = 0, se verifica de maera igualmete trivial. { } { } E cuato a la uicidad, supogamos que X y tambié X verifica 1.,2.,3. Etoces, E X 1 X 1 /F 0 = X 0 X 0 = X 0 c.s. E X 1 X 1 /F 0 = X 0 X 0 = X 0 c.s. j=1 por lo que X 1 X 1 = E X1 X 1 /F 0 = 0 c.s. ya que X 1 X 1 es F 0 -medible. El mismo tipo de argumeto permite probar por iducció completa { } que X X = 0 c.s.. Defiició. X se deomia el compesador previsible de la sucesió {X } =0,1,2,.... =0,1,2,... Notas y ejemplo básico. X = 0 si y sólo si el proceso dado {X } es ua {F }-martigala. { } X es creciete e setido amplio si y sólo si el proceso dado {X } es ua {F }-submartigala. 10

Sea {X } =0,1,2,... ua {F } =0,1,2,... -martigala, y supogamos además que X L 2. Etoces Y = X 2 = 0, 1, 2,... es ua submartigala y el compesador es, para 1 : Ỹ = = De modo que E Y j Y j 1 /F j 1 = j=1 E j=1 E Xj 2 Xj 1/F 2 j 1 j=1 X j X j 1 2 /F j 1. { } X 2 Ỹ es ua martigala. U caso particular de lo aterior es el siguiete. Sea X 0 = 0, X = ξ 1 +... + ξ 1, dode ξ 1, ξ 2,... es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, Eξ = 0, V arξ = σ 2. Etoces, el compesador de X 2 es { j=1 σ2 j, es decir que X 2 es ua martigala co respecto a la filtració egedrada por {ξ }. Obsérvese que e este caso el compesador es determiístico. j=1 σ2 j } La situació es ligeramete distita si cosideramos u proceso idizado e Z e lugar de N. Vemos la modificació co respecto a la proposició aterior e la proposició siguiete: Proposició. Sea Ω, A, P u espacio de probabilidad, {F } Z ua filtració defiida e él y X = {X } Z ua submartigala adaptada a {F } Z. Supoemos además que sup E X <. <0 Etoces, ua martigala M = {M } Z y u proceso A = {A } Z previsible, itegrable y creciete, tales que X = M + A 8 Si además lim A = 0, etoces la descomposició 8 es úica. Si además es X 0 = EA EX. Demostració. Poemos Y j = E X j X j 1 /F j 1 0 11

Para < m: E <j m Y j Por lo tato Beppo-Levi, = E X m X E X m + sup E X m lim <j m Y j = A m L 1 y A = {A } Z es previsible, itegrable y creciete. Poiedo M = X A, se verifica que M es ua martigala. Si hubiera dos descomposicioes, X = M i + A i i = 1, 2 = A 2 A 1 = M 1 M 2 es a la vez ua martigala y es previsible = A 2 +1 A1 +1 = E A 2 +1 A1 +1 /F = A 2 A 1 dode la primera igualdad es por ser previsible y la seguda por ser martigala. Es decir que A 2 A 1 o depede de y como tiede a cero e, es idéticamete ula. Fialmete, si X 0 = X = 0 y lo idicado resulta de la acotació de E A m. 1.4 Tiempos de parada. Defiicioes. Como ates, sea {F } T ua filtració T = N ó T = Z. Ua variable aleatoria τ : Ω T { } es u tiempo de parada - o u {F }-tiempo de parada si {τ = } F esto icluye el caso = ; hay ua cierta imprecisió aquí e el caso T = Z, e el que se debe agregar + y tambié -, pero esto o será ua fuete de problemas. Tambié se defie la σ-álgebra de los sucesos ateriores a τ : F τ = {A F : < se cumple que A {τ = }} F Ejemplo básico tiempo que demora u proceso estocástico e llegar a u cojuto. 12

{X } =0,1,2,... sucesió de variables aleatorias a valores reales. F = σ {X m : m } filtració egedrada por la sucesió. a R Se defie el tiempo que demora el proceso e llegar al cojuto [a, + mediate τ a = if { : X a} si {} φ τ a = + si {} = φ 1.4.1 Propiedades de los tiempos de parada. a Ua variable aleatoria τ a valores e T { } es u tiempo de parada si y sólo si {τ } F. b F τ es ua σ-álgebra. c Geeralizació del ejemplo aterior. {X } =0,1,2,... sucesió de variables aleatorias a valores e u espacio medible E, E. A E τ A = if { : X A} si {} φ τ A = + si {} = φ d τ es tiempo de parada e Si τ 1, τ 2 so {F }-tiempos de parada, etoces τ 1 τ 2 y τ 1 τ 2 tambié so {F }-tiempos de parada. f Si τ 1, τ 2 so {F }-tiempos de parada, τ 1 τ 2, etoces F τ 1 F τ 2. E efecto, si A F τ 1 = A F, A {τ 1 = }. Por lo tato: A {τ 2 = } = m [A {τ 2 = } {τ 1 = m}] F ya que e la uió, A {τ 1 = m} F m F. g Proceso estocástico parado 13

Sea X = {X } T u proceso {F } T -adaptado y τ u tiempo de parada co respecto a esta filtració. Se defie el proceso estocástico parado e τ :X τ = {X} τ T mediate: X τ ω = X τω ω Proposició. Si {X } =0,1,2,.. es {F } =0,1,2,... -martigala resp. supermartigala, submartigala etoces X τ es {F } =0,1,2,... martigala resp. supermartigala, submartigala. Demostració. Probamos, lo que es más geeral, que si {ξ } =1,2,... es u proceso estocástico predecible, acotado y 0, la misma coclusió del euciado vale para el proceso {Y } =0,1,2,.. defiido mediate: Y 0 = X 0 Y = Y 1 + ξ X X 1 para 1 La proposició resultará de aplicar esto a ξ = 1 {τ }, porque e ese caso se verifica fácilmete que Y = X τ. Para el caso martigala, teemos que ver que para 1 : Para los otros casos, es similar. Pero: E Y /F 1 = Y 1 c.s. 9 E [ξ X X 1 /F 1 ] = ξ E [X X 1 /F 1 ] = 0 c.s. lo que prueba 9. 1.5 Desigualdades para martigalas, covergecia, leyes de grades úmeros. Teorema del muestreo opcioal de Doob. Sea X = {X } 0,1,2,... ua {F } 0,1,2,.. -martigala resp. supermartigala, submartigala. Cosideramos ua sucesió fiita creciete de tiempos de parada τ 1 τ 2... τ, que supoemos uiformemet acotados superiormete, e el setido de que existe ua costate C tal que τ k C k = 1,...,. Etoces, {X τ k } k=1,..., es ua {F τ k } k=1,..., -martigala resp. supermartigala, submartigala. 14

Demostració. Basta probar el euciado para = 2. Empecemos por probar que E X τ 2 = E X τ 1 resp., 10 Aplicamos lo visto e la demostració de la proposició aterior, co la misma otació, poiedo ξ = 1 {τ 1 < τ 2 } = 1 { τ 2 } 1 { τ 1 } que es predecible. Etoces, {Y } =0,1,2,... es ua {F } =0,1,2,... -martigala resp. supermartigala, submartigala, co verificar!: Y = Y 0 + X τ 2 X τ 1 Por lo tato, Poiedo C, resulta 10. Probemos ahora que E X τ 2 X τ 1 = 0 E X τ 2 /F τ 1 = E X τ 1 resp., c.s. Es decir, se trata de probar que B F τ 1 se verifica E X τ 2 1 B = E X τ 1 1 B resp., 11 Veamos el caso de la igualdad; los otros so similares. Defiimos, para i = 1, 2 : τ i,b = τ i 1 B + C1 B C τ 1,B es u tiempo de parada, ya que si C, {τ 1,B } = Ω, y si < C, etoces {τ 1,B } = {τ 1 } B F por ser B F τ 1. Aálogamete, como B F τ 1 F τ 2, si < C, etoces {τ 2,B } = {τ 2 } B F. Además es obvio que τ 1,B τ 2,B, de modo que se puede aplicar 10 a la pareja de tiempos de parada τ 1,B, τ 2,B y resulta EX τ 1,B = EX τ 2,B, es decir que lo que prueba 11. E X τ 2 1 B + E X C 1 B C = E X τ 1 1 B + E X C 1 B C 15

Teorema desigualdades de Doob. Sea {X } 0 N ua submartigala co respecto a la filtració {F } 0 N y λ > 0. Etoces: i λp λp max X λ 0 N mi X λ 0 N E X N 1 {max0 N X λ} E X N + E XN 12 EX 0 +E X N 1 {mi0 N X λ} E X0 13 ii Si {X } 0 N es martigala y E X p < = 0,..., N y para algú p 1, etoces P max X λ 0 N 1 λ p E X N p 14 iii Si además de las hipótesis de ii es p > 1, etoces: E max X p p p E X N p 15 0 N p 1 Demostració. i Probamos 12. 13 es similar. Sea τ = mi { : 0 N, X λ} si {} φ = N si {} = φ +E X + N E virtud del teorema del muestreo opcioal de Doob, {X τ, X N } es ua submartigala co respecto a la filtració {F τ, F N }. Por lo tato, E X N E X τ = E X τ 1 {max0 N X λ} + E X N 1 {max0 N X <λ} λp max X λ + E X N 1 0 N {max0 N X <λ} Pasado el último térmio al primer miembro resulta 12. ii Aplicar i a la submartigala { X p }. iii Sea M = max 0 N X. Etoces: E M p = p = 0 λ p 1 P M λ dλ p p p 1 E X N M p 1 16 0 λ p 2 E X N 1 {M λ} dλ

ya que p 1 0 λ p 2 1 {M λ} dλ = M p 1. Aplicado la desigualdad de Hölder: E M p p p 1 [E X N p ] 1 p [E M p ] p 1 p Pasado el último factor al primer miembro, resulta iii. 1.5.1 Teorema de covergecia de martigalas. 1. {X } =0,1,2,.. submartigala, sup E X + < = c.s. lim + X = X, X L 1. 2. Bajo las codicioes de 1., se puede exteder {X } =0,1,2,.. a ua submartigala defiida e {0, 1, 2...} {+ } agregado + X, si y sólo si, {X + } =0,1,2,.. es uiformemete itegrable. 3. Sea Y L 1 y {F } =0,1,2,... ua filtració. Etoces, X = E Y/F es ua martigala adaptada a {F } =0,1,2,..., uiformemete itegrable y existe lim + X = X, casi seguramete y e L 1. Además, X = E Y/F. 4. X = {X } =0, 1, 2,.. submartigala, if E X > = X es uiformemete itegrable y lim X = X, c.s. y e L 1. La demostració se basa e el lema siguiete, debido a Doob. Lema sobre cruces. Sea {X } =0,1,2,.. ua submartigala co respecto a la filtració {F } =0,1,2,.. y a, b dos úmeros reales, a < b. Etoces: E U X N a, b 1 b a E [ X N a + X 0 a +] 16 Aquí, UN X a, b = úmero de cruces hacia arriba de la bada [a, b] etre 0 y N, que se puede defiir formalmete de la maera siguiete: 17

Para cada trayectoria {X } =0,1,2,.., defiimos por recurrecia la sucesió τ 0 = 0 τ 1 = mi { : X a} τ 2 = mi { : τ 1, X b}... τ 2k+1 = mi { : τ 2k, X a} τ 2k+2 = mi { : τ 2k+1, X b} dode se usa la coveció de que miφ = +, y si u cierto τ es igual a +, desde allí e adelate los τ sucesivos tambié vale +. Etoces, U X N a, b = max {k : τ 2k N} Demostració del lema. Cosideramos el uevo proceso Y = {Y } defiido por Y = X a +, que tambié es ua submartigala, ya que la fució x x + es covexa y creciete e setido amplio. Es claro que U X N a, b = U Y N 0, b a Defiimos la sucesió τ 0, τ 1, τ 2,... como ates, pero para el proceso Y e lugar de X. Es imediato que es ua sucesió creciete de tiempos de parada. Sea τ = τ N. {τ } =0,1,2,... es tambié ua sucesió creciete de tiempos de parada, acotada por N. Elegimos además el atural K de tal modo que 2K > N. Dado que mietras que los τ so fiitos, forma ua sucesió estrictamete creciete, tiee que ser τ 2K > N y, por lo tato, τ 2K = N. Se tiee: Y N Y 0 = 2K =1 Y τ Y τ = 1 K =1 Y τ 2 Y τ 2 1 + K 1 =0 Y τ 2+1 Y τ 2 El primer térmio está miorado por b aun Y 0, b a. Tomado esperazas: EY N EY 0 b ae U Y N 0, b a + K 1 =0 [ ] EY τ 2+1 EY τ 2 18

Por el teorema del muestreo opcioal de Doob, { Y τ } es ua submartigala y cada térmio e la última suma es 0. Se deduce que E [ X N a + X 0 a +] = EY N EY 0 b ae U Y N 0, b a Esto prueba 16. Disgresió. Sobre itegrabilidad uiforme. A título de repaso, recordemos que la sucesió de variables aleatorias {Z } =0,1,2,.., defiidas e el espacio de probabilidad Ω, A, P, Z L 1, es uiformemete itegrable si sup E Z 1 { Z a} 0 cuado a +. El lector verificará que si la sucesió {Z } es acotada e L p para algú p > 1, etoces es uiformemete itegrable. Tambié que si, casi seguramete, Z Z cuado +, etoces Z Z e L 1 si y sólo si {Z } es uiformemete itegrable. Mostrar u ejemplo e el cual esto último se verifica, pero o se cumple las codicioes del teorema de covergecia domiada de Lebesgue. Demostració del teorema de covergecia. Para la parte 1. se trata de probar que P limx < limx = 0. Sea U a, Y b = lim N + UN Y a, b. Etoces: { } { limx < limx = U Y r, s = + } r,s Q, r<s Usado Beppo Levi y el lema sobre cruces para r, s fijos, r < s: E U Y r, s = lim E UN Y r, s 1 lim N + N + s r E [ X N r + X 0 r +] < La fiitud se deduce de la hipótesis. Por lo tato, U Y r, s < co probabilidad 1. Esto prueba que c.s. lim + X = X. Para ver que X L 1, i.e. E X <, otar que E X = 2EX + EX 2EX + EX 0 dode la desigualdad se sigue de que {X } es submartigala. Usar ahora la hipótesis y el lema de Fatou. 19

Para probar 2. supogamos que {X + } es uiformemete itegrable. Etoces, a > 0, c.s. X m a X a o sólo casi seguramete sio tambié e L. Por lo tato, para cada fijo, E X m a/f E X a/f e L 1 cuado m + y casi seguramete sobre ua subsucesió {m k }. Como {X a} es submartigala, E X a/f = Haciedo a +, resulta lim E X m k a/f X a k + c.s. E X /F X c.s. Recíprocamete, si E X /F X c.s., etoces desigualdad de Jese E X /F + [E X /F ] + X + c.s. y como {X + x} es F -medible, E X + 1 + {X x} E X 1 + + {X x} 17 Se trata de probar que {X + } es uiformemete itegrable, es decir que E X + 1 + {X x} 0 cuado x +, uiformemete e. E virtud de 17 y de que X + L 1, basta probar que P X + x 0 cuado x +, uiformemete e. Esto se deduce de x > 0: P X + x 1 x EX+ 1 x EX+. La demostració de 3. es aáloga. Para probar que X = EY/F basta ver que EX 1 B = EY 1 B B F. Para esto, observar que la familia {B : EX 1 B = EY 1 B } es u álgebra y tambié ua clase moótoa que cotiee a F, por lo que cotiee a F. La parte de covergecia casi segura e la demostració de 4. es igual a la aáloga de 1. La parte de la itegrabilidad uiforme se ve como sigue. EX decrece cuado decrece. La hipótesis dice que lim EX es fiito. Sea 0 tal que EX > EX 0 ε si 0. Etoces, si 0 y x > 0: E X 1 { X x} = E X 1 {X x} + E X 1 {X> x} E X E X 0 1 {X x} + E X0 1 {X> x} E X0 + ε = E X 0 1 {X x} E X0 1 {X x} + ε E X 0 1 { X x} + ε 20

Aálogamete a lo aterior, falta ver que P X x 0 cuado x +, uiformemete e. Esto se deduce de: P X x 1 x E X = 1 x [ 2EX + EX ] 1 [ 2EX + x 0 EX 0 + ε ]. 1.5.2 Aplicació. Teorema de Wald. Teorema Wald. Sea S 0 = 0, S = ξ 1 +... + ξ 1, dode ξ 1, ξ 2,... es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, Eξ = µ, E ξ = µ. Deotamos por {F } =0,1,2,.. la filtració egedrada por {ξ } = o 1,2,... F 0 = {φ, Ω}. Sea τ u tiempo de parada co respecto a {F } =0,1,2,.. y supogamos que E τ <. Etoces, a E S τ = µe τ b Si además V arξ = σ 2 <, etoces E [ S τ τµ 2] = σ 2 Eτ Demostració. {S µ} =0,1,... es ua {F } =0,1,2,.. -martigala = usado el teorema del muestreo opcioal que tambié {S τ τµ} =0,1,... es ua {F } =0,1,2,.. -martigala = o sea que E [S τ τµ] = 0 E S τ = µ E τ 18 Queremos hacer +. El segudo miembro tiede a Eτ. E cuado al primero, si las variables aleatorias ξ so todas 0, se pasa al límite e el primero aplicado el teorema de Beppo Levi y eso prueba a. E caso cotrario, se aplica el teorema a la sucesió { ξ } =1,2,... e lugar de {ξ } =1,2,... Si poemos S 0 = 0, S = ξ 1 +... + ξ 1, resulta etoces E Sτ = µe τ < 21

y como S τ S τ, podemos aplicar el teorema de covergecia domiada para pasar al límite e el primer miembro de 18. La demostració de b es similar, teiedo e cueta que { S µ 2 σ 2} es martigala. Ejemplo. Se cosidera u paseo al azar p, q. Esto sigifica que e el ejemplo aterior, las variables aleatorias idepedietes de la sucesió {ξ } tiee todas la misma distribució y es la siguiete: P ξ = 1 = p, P ξ = 1 = q, p + q = 1. Sea además a, b dos eteros positivos y τ a,b = mi { : S = a ó S = b}. τ a,b es u tiempo de parada co respecto a la filtració egedrada por el proceso. Etoces: 1. P τ a,b < = 1, lo que sigifica que la probabilidad de que el proceso quede eteramete compredido estrictamete etre las barreras a y b es igual a cero. 2. Deotamos π a = P S τ a,b = a, π b = P S τ a,b = b dode π a + π b = 1 π a resp. π b es la probabilidad de que el proceso llegue ates a la barrera a resp. b que a la barrera b resp. a. Etoces: ES τ a,b = aπ a + b1 π a = p qeτ a,b Esta igualdad resultará del teorema de Wald, ua vez que probemos que τ a,b L 1, lo cual implicará a su vez la validez de la afirmació hecha e 1. 3. Para el caso e que p = q = 1/2 se deduce que π a = b a+b. E el ejemplo aterior, podemos modificar las cosas de modo que los cálculos combiatorios que hace posible la obteció de las fórmulas si recurrir al teorema de Wald, resulte muy complicados o imposibles. Por 22

ejemplo, supogamos que e cada paso, el salto del paseo al azar pueda tomar 3 valores e lugar de 2, a saber 1, 0, 1 y que P ξ = 1 = p, P ξ = 1 = q, P ξ = 0 = r p + q + r = 1. Además, supoemos que ifp > 0, ifq > 0. Las fórmulas ateriores permaece válidas, icluyedo π a = b a+b cuado 1 p q 0. Tambié podemos modificar el teorema de Wald, permitiedo que las medias de los saltos o sea todas iguales, i.e. Eξ = µ, co las hipótesis { } µ 1 +... + µ µ1 +... + µ µ, acotada La fórmula a del teorema de Wald permaece válida. El úico puto que queda pediete es que τ a,b L 1. Esto es u caso particular de la proposició siguiete, que tiee iterés e si misma, por sus umerosas aplicacioes. Proposició. Sea {ξ } =1,2,.. ua sucesió de variables aleatorias reales, idepedietes co igual distribució F. Supoemos que F o se reduce a u átomo e el orige. Etoces, P lim + S = + = 1 Más aú, si P ξ 1 > 0 > 0 y P ξ 1 < 0 > 0, etoces P lim + S = +, lim S = = 1. Si P ξ 1 > 0 > 0 y P ξ 1 < 0 = 0, es imediato que casi seguramete {S } es moótoa creciete y tiede a +. Demostració. Basta demostrar que a, b reales, a < b, se tiee P τ a,b < = 1. Probamos u resultado más fuerte, que implica que [ E τ a,b k] < k = 1, 2,.. 19 Sea δ, ε > 0 tales que P ξ 1 δ ε y P ξ 1 δ ε y ν tal que δ.ν a + b. Se tiee: P τ a,b >.ν P S ν < a + b, S 2ν S ν < a + b,..., S ν S 1ν < a + b = [P S ν < a + b] = [1 P S ν a + b] 23

Por otra parte, P S ν a + b P ξ 1 δ,..., ξ ν δ = [P ξ 1 δ] ν ε ν P S ν a + b P ξ 1 δ,..., ξ ν δ = [P ξ 1 δ] ν ε ν Por lo tato, P τ a,b >.ν η dode 0 < η < 1 y η depede de la pareja a, b de partida. E coclusió, P τ a,b > m η m 1 20 para m m 0, dode η 1 es ua ueva costate, 0 < η 1 < 1. Es fácil ver que 20 implica 19. E efecto, para cada etero positivo k, [ E τ a,b k] [ ] = P τ a,b j 1 j k 1 k η 1 j=1 dode [] deota la parte etera. La última serie es covergete. 1.5.3 Leyes fuertes de los grades úmeros para sumas de variables aleatorias idepedietes. Teorema Kolmogorov. Sea {Y } =0,1,... ua sucesió de variables aleatorias reales, idepedietes, co los dos primeros mometos fiitos, EY = 0, V ary = σ 2. Si se cumple que σ 2 2 < 21 etoces se tiee P lim + =1 Y 1 +... + Y j=1 = 0 = 1 22 e otros térmios, casi seguramete, los promedios Y 1+...+Y +. Demostració. Se defie la sucesió de variables aletorias X 0 = 0, X = j=1 Y j j si 1 0 cuado 24

y se cosidera la filtració {F } egedrada por el proceso {Y }. Es imediato que {X } =0,1,... es ua {F } =0,1,... -martigala y que verifica la parte 1. del teorema de covergecia de martigalas, ya que y E X + E X [ E X 2 ] 1 2 E X 2 σ 2 = 2 < =1 por hipótesis. Por lo tato, casi seguramete la sucesió de variables aleatorias {X } =0,1,... coverge, i.e. para casi todo ω, existe el lim + X y es fiito. La coclusió del teorema se sigue del siguiete lema de Kroecker. Lema. Sea {y } =1,2,... ua sucesió de úmeros reales y {x } =0,1,... defiida mediate x 0 = 0, x = j=1 y j j si 1 Etoces, {x } covergete implica que y 1+...+y Demostració. Se tiee que 0 cuado +. y 1 +... + y = x 1 x 0 + 2x 2 x 1 +... + x x 1 = x x 1 +... + x 1 0 ya que la covergecia de la sucesió implica la de los promedios, al mismo límite. Observació. E el euciado del teorema aterior, si la esperaza de las variables aleatorias Y e lugar de ser ula es igual a µ, etoces la misma coclusió vale, sólo que casi seguramete, es Y 1+...+Y = µ. E efecto, e la demostració, basta cambiar Y por Y µ. A cotiuació, probamos ua ley fuerte de grades úmeros para sumas de variables idepedietes, e la que o se requiere - como e el teorema aterior - que los sumados sea de cuadrado itegrable. E cambio, les pediremos que tega todos la misma distribució. 25

Teorema. Sea {Y } =0,1,... ua sucesió de variables aleatorias reales, idepedietes, co igual distribució y esperaza fiita µ. Etoces, P lim + Y 1 +... + Y = µ = 1 23 Demostració. Basta cosiderar el caso µ = 0. Deotamos por F la fució de distribució comú de las Y s. Itroducimos la ueva sucesió de variables aleatorias idepedietes Ỹ = Y 1 { Y <}. Probamos: a para casi todo ω, 0 ω tal que si 0 ω etoces Y ω = Ỹω. b defiimos Z = Ỹ υ co υ = EỸ Etoces la sucesió {Z } cumple las hipótesis del teorema aterior, y por lo tato, casi seguramete Z 1+...+Z 0 cuado +. c υ 1+...+υ 0 cuado + y por lo tato, tambié casi seguramete Ỹ1+...+Ỹ 0 cuado +. d a y c implica la tesis. a es cosecuecia del lema de Borel-Catelli. Se trata de probar que la serie =1 P Ỹ Y <. Teemos P Ỹ Y = =1 P Y = =1 P Y 1 =1 Además: P Y 1 =1 0 P Y 1 x dx = EY + 1 < Del mismo modo resulta que =1 P Y 1 <. Esto prueba a. Para b teemos que verificar que =1 V arz 2 < 24 26

Es claro que V arz = EỸ 2 υ 2 EỸ 2. Por lo tato: V arz E Y 2 1 { Y <} 1 2 2 = 2 x 2 F dx, =1 Itegrado por partes: = 2 =1 =1 1 2 1 2 =1 1 2 0 =1 x 2 F dx [ x 2 [1 F x] 0 + 2 0 x1 F x dx 2 0 =1 ] x [1 F x] dx =1 1 2 j [1 F j 1] j=1 1 = 2 j [1 F j 1] 2 cost [1 F j 1] j=1 =j j=1 [ ] cost 1 F 0 + [1 F x] dx = cost [ 1 F 0 + EY + 1 ] < 0 Aálogamete resulta que =1 1 0 2 x2 F dx <. Esto prueba 24. Falta probar c, que se deduce de υ 0 cuado +. E efecto υ = EỸ = EỸ Y = E Y.1 { Y } = E Y1.1 { Y1 } que implica υ E Y 1.1 { Y1 } 0 e virtud del teorema de Lebesgue de covergecia domiada, ya que Y 1 L 1 y casi seguramete, Y 1.1 { Y1 } 0 cuado +, ya que Y 1 es fiita casi seguramete. Observació geeral. Recordemos que la covergecia fuerte implica la covergecia e probabilidad, es decir, que si {X } =0,1,2,.. es ua sucesió de variables aleatorias tal que casi seguramete lim + X = X, etoces ε > 0 se cumple que P X X ε 0 cuado +. Naturalmete, la covergecia e probabilidad es cierta bajo codicioes más débiles que aquéllas e las que podemos asegurar la covergecia casi segura. 27

No habremos de extederos sobre este puto, pero habrá de ocurrir que probemos covergecia e probabilidad directamete. Por ejemplo, es imediato que si X X e L p para algú p > 0, etoces X X e probabilidad, ya que P X X ε 1 ε p E X X p. 28

2 Covergecia débil de medidas de probabilidad e R. 2.1 Defiició y primeras propiedades. E lo que sigue, todas las medidas de probabilidad so medidas de Borel e R 1. Co frecuecia haremos el abuso de otació de llamar a las medidas y a sus fucioes de distribució, co la misma letra. E lo que sigue, para simplificar la exposició, deomiaremos medidas de probabilidad a las medidas de Borel F tales que la medida de todo el espacio F R es meor o igual que 1. Si F R = 1, diremos que F es ua medida de probabilidad propia y si F R < 1, diremos que es defectiva. Asimismo, si I es el itervalo a, b] e la recta, la otació F I es, como es habitual, la medida del itervalo semiabierto a, b] o tambié F b F a, dode ahora llamamos F a la fució de distribució. Defiició 1. Sea {F } =01,2,... y F respectivamete, ua sucesió de medidas y ua medida e la recta. Diremos que {F } coverge débilmete a F otació: F = F si F I F I para todo itervalo I e cuyos extremos la fució F es cotiua. Defiició 2. Sea {F } =01,2,... ua sucesió de medidas de probabilidad propias. Diremos que la covergecia débil de F a F es propia, si F es propia. Ejemplos. 1. Sea F = δ x = 1, 2,..., dode δ a deota la medida de Dirac e el puto a de la recta real, es decir que δ a {a} = 1 y δ a R \ {a} = 0. Etoces, x x implica que δ x δ x. 2. Sea ψ : R R + ua fució Borel-medible, ψxdx = 1. Se defie la sucesió de medidas de probabilidad F dx = 1 dode a 0. Etoces, F = δ 0. a ψ x a dx, 29

3. Sea F dx = f xdx, dode la sucesió {f } es de fucioes oegativas, f xdx = 1. Si f f, uiformemete e cada compacto de R, etoces F = F, dode F dx = fxdx. 4. Sea F dx = 1 {,+1} x dx. Etoces F = 0, dode 0 idica la medida idéticamete ula. Propiedades básicas. 1. F = F implica que F R 1. 2. F = F si y sólo si f C 0 R se cumple que R f df R f df. C 0 R deota el espacio de las fucioes de R e R, cotiuas y que tiee límite cero e + y e. 3. F = F propia, si y sólo si f C b R se cumple que R f df R f df. C b R deota el espacio de las fucioes de R e R, cotiuas y acotadas. 4. F = F propia, si y sólo si, F x F x para todo x de cotiuidad de F y F R = 1. 5. Sea {F } =01,2,... ua sucesió de medidas de probabilidad. Etoces, siempre existe ua subsucesió que coverge débilmete. Demostracioes. 1. imediato 2. Supogamos que F = F. La fució de distribució F es moótoa creciete e setido amplio; por lo tato el cojuto D = {x : F o es cotiua e x} es umerable. Sea f C 0 R. Dado ε > 0 se puede ecotrar ua fució e escalera: g ε x = m fa i 1 ai,b i ]x i=1 30

que verifica que los putos a i, b i i = 1,..., m so putos de cotiuidad de F, a 1 < b 1 = a 2 < b 2 =... = a m < b m y que además dode h = sup x R hx. f g ε < ε Por lo tato: f df f df R R f g ε df + f g ε df + g ε df. g ε df R R R R 2.ε + g ε df. g ε df R R m = 2.ε + fa i [F a i, b i ] F a i, b i ]] i=1 Haciedo +, cada térmio e la suma tiede a cero, de modo que lim + R f df R f df 2.ε. Como ε > 0 es arbitrario, eso prueba que lim + [R f df R f df ] = 0. Recíprocamete, supogamos que f C 0 R se cumple que R f df f df y sea I = a, b] co a, b putos de cotiuidad de F. R Para ε > 0 dado, elegimos δ > 0 de tal modo que F a + δ F a, F a F a δ, F b + δ F b, F b F b δ sea todos <ε. Cosideremos las dos fucioes cotiuas f y g co gráfico trapezoidal defiidas de la maera siguiete: f vale 1 e [a, b], vale 0 e [a δ, b + δ] C y su gráfico es u segmeto de recta e los itervalos [a δ, a] y [b, b + δ]. g vale 1 e [a + δ, b δ], vale 0 e [a, b] C y su gráfico es u segmeto de recta e los itervalos [a, a + δ] y [b δ, b]. Etoces, dado que gx 1 I x fx x R se sigue que R g df F I 31 R f df 25

Es obvio que f, g C 0 R y que, por lo tato, el primer miembro y el tercero de 25 tiede respectivamete a g df F I 2ε e R R f df F I + 2ε Esto prueba que lim + F I F I 2ε y termia la prueba de la propiedad 2. 3. Probemos previamete la propiedad siguiete, que tiee iterés e si misma: F = F propia, si y sólo si a F = F y b ε > 0 A tal que F {x : x > A} < ε. E efecto, supogamos que F = F propia. Se trata de probar b. Dado ε > 0, elegimos A 1 > 0, de modo que A 1 y A 1 sea ambos putos de cotiuidad de F y suficietemete grade como para que F A 1 F A 1 > 1 ε 2 lo cual es posible porque F es propia. Etoces, como hay covergecia débil, F A 1 F A 1 F A 1 F A 1 y 0 tal que F A 1 F A 1 > 1 ε 0. Para que F A F A > 1 ε se cumpla para todo, basta co elegir A > A 1 y además suficietemete grade para verificarla para = 1,..., 0 1. Fialmete, otar que F {x : x > A} 1 [F A F A]. Recíprocamete, supogamos que se cumple a y b. Si elegimos e b A > 0 de modo que A y A sea putos de cotiuidad de F, podemos pasar al límite e F {x : x A} > 1 ε, obteiedo F R F {x : x A} > 1 ε. Esto prueba que F R = 1. Probemos ahora la propiedad 3. Supogamos que se cumple que F = F propia y sea ε > 0. Sea A > 0 puto de cotiuidad de F tal que F A F A > 1 ε y costruimos ua fució cotiua cuyo gráfico es trapezoidal g A : R [0, 1], que vale 1 e el itervalo [ A, A], 0 fuera de algú itervalo de la forma [ B, B], co B > A, y tiee por gráfico u segmeto de recta e los itervalos [ B, A] y [A, B]. 32

Sea f C b R. Es claro que f.g A C 0 R y se tiee: f df f df R R f g A df fg A df + f 1 g A df + R R R f g A df fg A df + 2.ε. f R R R f 1 g A df Haciedo +, el primer térmio del último miembro tiede a cero, y resulta lim + R f df R f df 2.ε. f. Recíprocamete, si f C b R se cumple que R f df R f df, es claro que se cumple la defiició de covergecia débil y tomado f = 1, resulta que F es propia. 4. A cargo del lector. 5. El lector que coozca la dualidad e los espacios de Baach, recoocerá u caso particular del teorema de Baach-Alaoglou. Damos ua demostració directa más elemetal, basada e el proceso diagoal de Cator. Como para cada x, {F x} es ua sucesió acotada de úmeros reales, podemos costruir ua subsucesió {F k } co la propiedad de que F k x coverge cuado k + para todo racioal { x. Sea F x = } lim k + F k x x Q y defiamos F x = if F y : y > x, y Q. Se verifica que F es creciete e setido amplio y cotiua por la derecha y que F k = F. 2.2 Trasformada de Fourier fució característica de medidas de probabilidad e R 1. Sea µ ua medida de probabilidad boreliaa e R, posiblemete defectiva. Se defie su trasformada de Fourier o fució característica, ϕ : R R mediate ϕt = expitx µdx. R Si µ es la distribució de probabilidad de ua variable aleatoria real ξ diremos - por extesió - tambié que ϕ es la trasformada de Fourier o la fució característica de ξ y deotaremos ϕ = ϕ ξ. 33

2.2.1 Propiedades básicas y ejemplos. 1. ϕ0 = µr, ϕt µr 1 t R. 2. ϕ es uiformemete cotiua. 3. Si a, b so costates reales y ξ es ua variable aleatoria real, etoces ϕ aξ+b = expitb ϕ ξ at 4. Si ξ, η so variables aleatorias idepedietes, etoces ϕ ξ+η t = ϕ ξ t.ϕ η t 5. Ejemplos. ξ co distribució ormal 0, 1 = ϕ ξ t = exp t2 2. ξ co distribució uiforme e el itervalo 1, 1 = ϕ ξ t = se t t. 1 ξ co distribució de Cauchy i.e., co desidad π1+x 2 = ϕ ξ t = exp t. ξ co distribució de Poisso co parámetro λ > 0 = ϕ ξ t = exp [ λ1 e it ]. ξ co desidad 1 cos x πx 2 = ϕ ξ t = 1 t 0. 6. Uicidad, cotiuidad, iversió. La idetidad fudametal es la fórmula de Parseval pars. Sea F, G distribucioes de probabilidad e la recta y ϕ, ψ sus respectivas trasformadas de Fourier.Etoces t R : e iζt ϕζ Gdζ = ψx t F dx 26 La demostració es imediata, mediate aplicació del teorema de Fubii. Teorema uicidad.f = G si y sólo si ϕt = ψt t R. Demostració. Es fácil ver que basta cosiderar el caso e que ambas distribucioes so propias. Aplicamos 26 tomado para G la distribució ormal 0, σ 2, co lo cual ψt = exp σ2 t 2 2.Etoces 1 + e iζt ϕζ exp ζ2 σ 2π 2σ 2 dζ = exp σ2 x t 2 F dx 2π 2 27 34

Sea ξ, η σ dos variables aleatorias idepedietes, ξ co distribució F y η σ co distribució ormal 0, σ 2. El segudo miembro de 27 es la desidad de la variable aleatoria ξ + η 1/σ. Por lo tato, si a, b so putos de cotiuidad de F, se verifica que 1 b dt e iζt ϕζ exp ζ2 2π a 2σ 2 dζ b σ = dt exp σ2 x t 2 F dx = P ξ + η a 2π 2 1/σ [a, b] = P ξ [a, b]. cuado σ +, porque η 1/σ 0 e L 2. Es decir que ϕ determia los icremetos de F e todos los itervalos cuyos extremos so putos de cotiuidad de F, y por lo tato, e todos los itervalos. Esto prueba que ϕ determia a F completamete y, al mismo tiempo, da ua fórmula de iversió cálculo de F a partir de ϕ, que por el mometo o es muy cómoda y es la siguiete. F b F a = lim σ + 1 2π b a dt e iζt ϕζ exp ζ2 2σ 2 dζ 28 para a, b, a < b, putos de cotiuidad de F. E particular, si ϕ L 1, se deduce que F tiee desidad cotiua f y que ésta se calcula mediate la fórmula más agradable: fx = 1 2π e iζx ϕζ dζ 29 E efecto, verificar que si ϕ L 1, etoces se puede pasar al límite bajo el sigo itegral e 28 aplicado el teorema de covergecia domiada y resulta F b F a = 1 2π b a dt e iζt ϕζ dζ para a, b, a < b, putos de cotiuidad de F y, por lo tato, para toda pareja a, b. Esto prueba que F es absolutamete cotiua co respecto a la medida de Lebesgue y que la desidad está dada por 29. Teorema Lévy-Cramér. Sea {F } =1,2,... ua sucesió de distribucioes de probabilidad propias e R {ϕ } =1,2,... la sucesió de las trasformadas de Fourier respectivas. 35

Etoces, F = F propia si y sólo si {ϕ } =1,2,... coverge putualmete y la fució límite ϕ es cotiua e t = 0. E ese caso, ϕ es la trasformada de Fourier de F y {ϕ } coverge uiformemete e cada compacto. Demostració. Supogamos que F = F propia. Como la fució x exp itx = e t x es cotiua y acotada, se deduce que para cada t R: ϕ t = expitx F dx y tambié ϕ es la trasformada de Fourier de F. expitx F dx = ϕt 30 Como además, si I es u itervalo compacto de la recta, la familia de fucioes {e t.} t I es equicotiua, se deduce que la covergecia e 30 es uiforme e cada compacto y ϕ es cotiua probar cada ua de estas afirmacioes!. Probemos el recíproco, es decir, ahora supodremos que {ϕ } =1,2,... coverge putualmete y la fució límite ϕ es cotiua e t = 0. Segú hemos visto, toda sucesió de distribucioes cotiee ua subsucesió que coverge débilmete. Por lo tato, para probar que {F } coverge débilmete, alcazará co probar que todas las subsucesioes de ella que coverge débilmete, tiee el mismo límite, e cuyo caso, éste será el límite débil de la sucesió etera. Sea etoces {F k } ua subsucesió que coverge débilmete y F k = F obsérvese que, a priori, F podría ser defectiva. Veremos que F es idepediete de cuál es la subsucesió cosiderada y, más aú, que F es propia y que tiee a la fució límite ϕ por trasformada de Fourier. Aplicamos la igualdad 27, reemplazado F por F k y ϕ por ϕ k. Poiedo t = 0, se obtiee: 1 2π ϕ k ζ exp ζ2 σ 2σ 2 dζ = exp σ2 x 2 F k dx 2π 2 E el segudo miembro, el itegrado perteece a C 0 R por lo tato, podemos pasar al límite cuado k + reemplazado F k por F. E el primer miembro, podemos aplicar el teorema de covergecia domiada, ya que ϕ k ζ ϕζ para cada ζ y el valor absoluto del 36

itegrado está acotado por exp, ζ2 que esta e L 1 R. Por lo 2σ 2 tato, 1 + σ ϕζ exp ζ2 2π 2σ 2 dζ = exp σ2 x 2 F dx 2 31 Hacemos ahora σ 0. El segudo miembro tiede a F R, usado el teorema de Beppo Levi. Como ϕ es cotiua e ζ = 0, dado ε > 0 podemos elegir δ > 0, de modo que ζ < δ = ϕζ 1 < ε otar que ϕ0 = 1. Etoces: = 1 σ 2π 1 σ 2π ε + 2 σ 2π ϕζ exp ζ2 2σ 2 [ϕζ 1] exp ζ δ = ε + 2.P σξ δ exp ζ2 2σ 2 dζ 1 2σ 2 dζ ζ2 dode ξ es ua variable aleatoria ormal 0, 1. Se deduce que el primer miembro de 31 tiede a 1 cuado σ 0. Por lo tato F R = 1. Pero etoces, la covergecia F k = F es propia y podemos aplicarle el directo de este mismo teorema, es decir que { ϕ k } coverge putualmete a la trasformada de Fourier de F. Pero, por hipótesis, { ϕk } coverge putualmete a la fució ϕ, de modo que ϕ o es otra que la trasformada de Fourier de F y por la vista uicidad, F o depede de la subsucesió. Esto termia la demostració. 7. Propiedades complemetarias de las trasformadas de Fourier de medidas de probabilidad. x m F dx < para u cierto atural m = ϕ es de clase C m y ϕ m t = dζ ix m expitxf dx. Se deduce que si F es la distribució de probabilidad de ua variable aleatoria ξ, etoces ϕ m 0 = i m E ξ m 37

E particular, si E ξ 2 <, etoces ϕ 0 = i.eξ y ϕ 0 = Eξ 2. Para probar esto, proceder progresivamete para m = 1, 2,..., escribiedo el cociete icremetal y pasado al límite mediate aplicació del teorema de covergecia domiada. Utilizar la desigualdad cuya demostració tambié queda a cargo del lector, válida para m = 0, 1, 2,... y t real: eit 1 + it 1! + it2 +... + itm t m+1 2! m! m + 1! 32 Ua maera de probar esta desigualdad es observar que si g m t es la expresió cuyo módulo figura e el primer miembro, etoces: g m t = i t 0 g m 1 s ds si m 1, g 0 t = i U recíproco de la propiedad aterior para m = 2. Si ϕ 0, etoces x2 F dx <. Para probar esto, escribir ϕ = u + iv, u, v reales. Se tiee: 1 uh + h 2 = 1 coshx h 2 x 2 x 2 F dx t 0 e is ds Usado que u 0 = 0 y el teorema del valor medio 0 < θ < 1: 1 uh h 2 = u θh h u θh θh u 0 cuado h 0. Aplicado el lema de Fatou: 1 2 x 2 F dx lim h 0 Esto prueba la afirmació. Lema de Riema-Lebesgue. 1 coshx h 2 x 2 x 2 F dx u 0 f L 1, ϕt = R expitx fx dx = ϕt 0 cuado t +. 38

Fórmula de Placherel. Sea ϕ L 2 la trasformada de Fourier de la desidad f. Etoces + f 2 xdx = 1 2π ϕt 2 dt. Para probar esto, observar que ϕt 2 es la trasformada de Fourier de la desidad gx = fx yf ydy y aplicar la fórmula de iversió e x = 0: g0 = 1 2π ϕt 2 dt. Más aú, el lector verificará que si ϕ L 2 es la trasformada de Fourier de ua medida de probabilidad µ, etoces µ es absolutamete cotiua co respecto a la medida de Lebesgue y su desidad f verifica lo aterior. Para esto, sea Y ua variable aleatoria real, co distribució de probabilidad µ y ξ ua variable aleatoria co distribució ormal 0, 1, idepediete de Y. Escribir la desidad f σ de la variable aleatoria Y + σξ, dode σ > 0 y luego pasar al límite cuado σ 0. Propiedades aritméticas. Sea ϕ la trasformada de Fourier de ua distribució de probabilidad propia F. Etoces hay tres posibilidades mutuamete excluyetes: a ϕt < 1 t 0. b ϕt = 1 t R y e ese caso F = δ {b} para algú b R. c θ > 0 tal que ϕθ = 1 y ϕt < 1 t 0, θ y e ese caso, ϕ es periódica de período θ y u úmero real b tal que F x + b es la distribució de ua medida cocetrada e los putos de la forma { 2π θ m : m etero}.estas medidas se llama aritméticas, está cocetradas e los putos de ua progresió aritmética. Para probar esto, supogamos que ϕt 0 = 1 para algú t 0 > 0. Sea ϕt 0 = expib, a real. Etoces ϕt = exp ib.ϕt es tambié la trasformada de Fourier de ua distribució de probabilidad observar que si ϕ es la trasformada de Fourier de la variable aleatoria ξ, etoces ϕ lo es de ξ b. Etoces: 0 = 1 ϕt 0 = Re [1 ϕt 0 ] = [1 cost 0 x] F dx { lo cual sólo es posible } si F está cocetrada e los putos de la forma 2π t 0 m : m etero. Notar que F x = F x+b. Pero etoces ϕ es periódica de período t 0 y lo mismo vale para ϕ. 39

Si el cojuto C = {t : ϕt = 1, t > 0} o es vacío, sea θ = ifc. Si θ = 0, ϕ resulta periódica co períodos positivos arbitrariamete pequeños, y como es cotiua, es costate e igual a 1. Si θ > 0 estamos e el caso c. 2.3 Teorema del Límite Cetral 1. Teorema. Sea {ξ } =1,2,... ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co igual distribució F. Supoemos que Eξ = µ, V arξ = σ 2. Se defie: S 0 = 0, S = ξ 1 +... + ξ 1. Etoces, S µ σ = N0, 1 cuado + es decir que la distribució de las sumas parciales ormalizadas S µ σ coverge débilmete a la distribució ormal típica. Demostració. Sea F la distribució de probabilidad de S µ σ y ϕ resp. ϕ la trasformada de Fourier de η = ξ 1 µ σ resp. F. Notar que Eη = 0 y Eη 2 = 1 y, por lo tato, ϕζ = 1 1 2 ζ2 + oζ 2 cuado ζ 0. Aplicado el teorema de Lévy-Cramér bastará probar que ϕ t exp t2 2 cuado +, ya que exp t2 2 es la trasformada de Fourier de la distribució ormal típica. Usado las propiedades vistas de la trasformada de Fourier, se verifica que: [ ] t ] ϕ t = ϕ = [1 t2 t 2 2 + o exp t2 cuado + 2 2. 2.4 Teorema del Límite Cetral 2. Teorema de Lideberg. Sea {ξ k } k=1,2,... ua sucesió de variables aleatorias idepedietes. Deotamos por F k resp. ϕ k la fució de distribució resp. la trasformada de Fourier de ξ k. Supoemos que Eξ k = 0, V arξ k = σ 2 k <. 40

Se defie: S 0 = 0, S = ξ 1 +... + ξ 1 y deotamos V = ] 1 2. [V ars ] 1 [ 2 = k=1 σ2 k Etoces, si se cumple la codició llamada de Lideberg : δ > 0, θ δ = 1 V 2 etoces E ξ 2 k 1 { ξ k δv } 0 cuado + 33 k=1 S V = N0, 1 cuado + Demostració. La demostració cosiste e aplicar el teorema de Lévy Cramér, probado que la trasformada de Fourier de S V coverge putualmete a exp t2 2, que es la trasformada de Fourier de la distribució ormal típica. Fijemos etoces t R para el resto de la demostració. Usado las hipótesis sobre F k, se tiee, usado 32 y la defiició de θ δ t ϕ k 1 = V t2 2 [ itx exp 1 itx ] F k dx V V itx exp 1 itx V V F kdx 1 tx 2 F k dx = t2 σ 2 k 2 V 2V 2 δ 2 + θ δ Como δ > 0 se puede elegir de maera arbitraria, la codició de Lideberg implica que sup t ϕ k 1 0 cuado +. 34 1 k V Por lo tato, si[ es suficietemete ] grade, está bie defiida la rama pricipal de log ϕ t k V k = 1,..., y podemos escribir la trasformada de Fourier de S V mediate: ϕ S V t = ϕ S t V = k=1 [ ϕ k t = exp log ϕ V k t ] V k=1 41

E lo que sigue, probamos que el expoete tiede a t2 2 cuado +. Primero, de aquí e adelate, elegimos suficietemete grade de modo que sup t ϕ k 1 < 1 2 1 k V lo cual es posible e virtud de 34. Por lo tato, k = 1,..., podemos escribir el desarrollo de Taylor log ϕ k t [ = 1 ϕ V k t ] + Ak,, t V [ 1 ϕ k t ] 2 V dode Ak,, t está acotado por ua costate uiversal. Etoces log ϕ k t { [ = 1 ϕ V k t ] [ + Ak,, t 1 ϕ V k t ] } 2 V k=1 k=1 Usado las cotas ateriores, k=1 [ 1 ϕ k t ] 2 1 V 2 t2 [ sup 1 k σ 2 k V 2 ] 1 ϕ k t V Asimismo, desarrollado por Taylor y usado la hipótesis sobre la distribució F k : 1 ϕ k t = t2 σ 2 k V 2V 2 R k, y reemplazado: Si probamos que k=1 [ 1 ϕ k t ] = 1 V 2 t2 + 1 ϕ k t V 1 2 t2 + k=1 k=1 k=1 R k, R k, k=1 R k, 0 cuado + 35 k=1 42

resulta etoces la tesis co u cálculo elemetal de límites. Para esto, fijemos ε > 0. Teemos: [ + itx R k, = exp 1 itx 1 ] itx 2 F k dx S k, + T k, V 2 V dode S k, = x εv y T k, = x <εv. Para el primer térmio: [ itx S k, exp 1 itx x εv V V + 1 ] tx 2 F k dx 2 V t2 x 2 F k dx x εv V 2 aplicado la desigualdad 32 para m = 2. Para el segudo térmio, aplicamos la misma desigualdad para m = 3 : T k, 1 t 3 x 3 3! F kdx Resumiedo, k=1 R k, t2 V 2 k=1 x <εv V 3 x x <εv 2 1 3! t 3 ε V 2 V F k dx 1 3! t 3 ε σ2 k V 2 x εv x 2 F k dx + 1 3! t 3 ε = t 2 θ δ + 1 3! t 3 ε lo que implica, e razó de la codició de Lideberg: lim + R k, 1 3! t 3 ε k=1 Como t es fijo y ε > 0 es arbitrario, se sigue el resultado. 2.4.1 Recíproco parcial del Teorema de Lideberg. Teorema. Sea {ξ k } k=1,2,... ua sucesió de variables aleatorias idepedietes. Supoemos que Eξ k = 0, V arξ k = σ 2 k < y usamos la misma otació que e el teorema aterior. 43