Desigualdades. José H. Nieto

Transcripción

1 Desigualdades José H. Nieto Itroducció Las desigualdades juega u rol fudametal e matemática. Existe libros completos dedicados a su estudio, y e las competecias iteracioales de problemas aparece co frecuecia. Todo solucioista experto debe estar familiarizado co varias de ellas y co las técicas geerales para su maejo. E lo que sigue se supoe que el lector domia las propiedades básicas de las desigualdades etre úmeros reales. La desigualdad fudametal satisfecha por cualquier úmero real, y de la cual e cierto setido se deriva todas las demás, es secillamete x 0, co igualdad si y sólo si x = 0. Más e geeral x + x + + x + 0, co igualdad si y sólo si x = x = = x.. Alguos ejemplos secillos Si x e y so reales o egativos etoces x y) 0, de dode se deduce que x xy + y 0 o bie x + y xy, co igualdad si y sólo si x = y. La desigualdad aterior establece que la media aritmética A = x + y)/ de dos reales o egativos x, y es mayor o igual que su media geométrica G = xy. Otras medias importates so la media armóica H = xy/x+y) y la media cuadrática C = x + y )/. Es fácil ver que C A G H

2 y que ua cualquiera de las igualdades y por lo tato todas) se da si y sólo si x = y. Como segudo ejemplo cosideremos la desigualdad x y) + y z) + z x) 0, la cual obviamete se cumple para reales cualesquiera x, y, z co igualdad si y sólo si x = y = z. De esta desigualdad se deduce que x + y + z xy + yz + zx, co igualdad si y sólo si x = y = z. Veamos ua aplicació. Ejemplo. Si se sabe que la ecuació x 3 + mx + x + = 0 tiee raíces reales positivas cuyos cuadrados suma, ¾cuáto vale m, y las raíces? Solució. Si las raíces so α, β y γ, etoces α +β +γ = y αβ+βγ+γα = Vieta), etoces por la desigualdad aterior α = β = γ. Etoces 3α = de dode α = 3/3, m = 3α = 3 y = α 3 = 3/9. Y ahora u ejemplo olímpico: Ejemplo IMO 96). Sea a, b y c los lados de u triágulo y su área. Probar que a + b + c 4 3. Solució. Para este problema hay umerosas solucioes, pero veamos que se puede resolver co los recursos más elemetales. Si el triágulo fuese equilátero etoces su altura sería a 3/ y su área a 3/4, por lo tato se cumpliría la igualdad. Para u triágulo cualquiera supogamos que a sea el lado mayor y sea P el pie de la altura trazada desde el vértice A. Sea x = BP a/ por lo tato BP = a/ + x y P C = a/ x). Sea y = h a a 3/ de dode h a = y +a 3/). La idea para itroducir x e y es que estas catidades represeta la desviació del triágulo respecto a uo equilátero. Etoces, por el Teorema de Pitágoras aplicado a los triágulos ABP y AP C se tiee a + b + c 4 3 = a + a + x) + a x) + h a a 3h a = 3 a + x + h a h a a 3) = 3 a + x + a 3/ + y) a 3/ + y) = 3 a + x + y 3 a = x + y ) 0. Esto prueba la desigualdad y de paso muestra que hay igualdad si y sólo si x = y = 0, lo que equivale a que el triágulo sea equilátero.

3 3. Alguas desigualdades importates Ua desigualdad muy básica cuado se trabaja co úmeros positivos y egativos es la llamada desigualdad triagular: x + x + + x x + x + + x. La igualdad se da si y sólo si todos los x i o ulos so del mismo sigo. La desigualdad etre las medias aritmética, geométrica, armóica y cuadrática se puede geeralizar para térmios. Comecemos por las dos primeras. 3.. Desigualdad Aritmético-Geométrica AG) Si x, x,..., x so úmeros reales o egativos etoces x + x + + x x x x y la igualdad se da solamete si x = x = = x. Existe muchas demostracioes de esta importate desigualdad. Ua de las más elegates es la siguiete: Sea A la media aritmética y G la media geométrica de x, x,..., x. Es claro que si x = x = = x etoces A = G. De lo cotrario debe existir x i, x j tales que x i < A < x j. Si sustituímos x j por A y x i por x i + x j A es claro que la media aritmética o cambia. E cambio la media geométrica aumeta estrictamete ya que Ax i + x j A) x i x j = A x i )x j A) > 0. Repitiedo este proceso sucietes veces llegaremos a u cojuto de úmeros iguales, cuya media aritmética A será igual a su media geométrica. y ésta estrictamete mayor que G. Las siguietes desigualdades, e las cuales x, x,...,x so reales positivos, so equivaletes a AG: x + x + + x x x x, x x + x x x x + x x, x + x + + x x x x. Observe que la última es la desigualdad H G etre las medias armóica y aritmética. 3

4 Ejemplo 3 IMO 964). Sea a, b y c los lados de u triágulo. Pruebe que Solució. Puesto que a a + b + c) + b a b + c) + c a + b c) 3abc. ) a + b + c)a b + c)a + b c) = a + b + c)a b c) ) = a a + b + c) + ab c) b c )b c)) = a a + b + c) + b a b + c) + c a + b c) abc la desigualdad propuesta es equivalete a a + b + c)a b + c)a + b c) abc. ) Pero como los tres factores del miembro izquierdo so positivos por la desigualdad triagular), aplicado AG se tiee: y aálogamete ) a + b + c + a b + c a + b + c)a b + c) = c, a b + c)a + b c) a, a + b c)a + b c) b. Multiplicado estas tres desigualdades y extrayedo la raíz cuadrada queda probada. La igualdad se da si y sólo si a + b + c = a b + c = a + b c, lo que equivale a a = b = c. Es iteresate señalar que e realidad y vale para reales o egativos cualesquiera. E efecto, si dos de los factores del miembro izquierdo de fuese egativos, sumádolos se llega a que a, b o c es egativo, lo cual es absurdo. por lo tato a lo sumo uo de los tres factores puede ser egativo. Acabamos de probar que si iguo de los tres factores es egativo, la desigualdad es cierta. Pero si uo es egativo y los otros dos o egativos, el miembro izquierdo es o positivo y el derecho o egativo, por lo cual tambié se cumple la desigualdad. Ejemplo 4. Probar que e cualquier triágulo R r. 4

5 Solució. Si es el área del triágulo etoces = 6 a+b+c) a+b+c)a b+c)a+b c) = pr) = 4 a+b+c) r. Esta desigualdad es tambié u corolario del Teorema de Euler segú el cual OI = R Rr. Otra desigualdad importate es la siguiete: 3.. Desigualdad de Cauchy-Schwarz CS) Si a, a,..., a y b, b,..., b so úmeros reales cualesquiera etoces a b + a b + + a b ) a + a + + a )b + b + + b ) y la igualdad se da si y sólo si los a i y los b i so proporcioales. Esta desigualdad puede probarse partiedo de de dode a tb ) + a tb ) + + a tb ) 0 a + a + + a ) + t b + b + + b ) ta b + a b + + a b ) Si los b i so todos ulos es claro que se cumple la igualdad. E caso cotrario tomamos t = a b + a b + + a b b + b + + b y se llega fácilmete a la desigualdad deseada. Obviamete la igualdad se dará solamete si a i = tb i para i =,,...,. Ua cosecuecia imediata de la desigualdad CS es la siguiete: tomemos b i = para i =,...,. Etoces por CS se tiee a + a + + a ) a + a + + a ) Dividiedo etre y extrayedo la raíz cuadrada resulta a + a + + a a + a + + a Esta desigualdad os dice que la media aritmética es meor o igual que la media cuadrática. La igualdad se da si y sólo si los a i so todos iguales y o egativos. 5

6 Ejemplo 5 IMO 995). Sea a, b, c reales positivos co abc =. Probar que: a 3 b + c) + b 3 c + a) + c 3 a + b) 3 Solució. No se desaime si sus primeros itetos resulta ifructuosos. A decir verdad este problema es capaz de resistir durate varias horas los asaltos de u matemático experimetado. La aplicació directa de la desigualdad AG o coduce a ada, por ejemplo a 3 b + c) + b 3 c + a) + c 3 a + b) 3 3 a + b)b + c)c + a) 9 a + b + c) y ahora parece que estamos cerca, ya que a + b + c 3 3 abc = 3. Pero o, de esto solamete se sigue que 9 a + b + c) 3 y o podemos cotiuar la cadea de desigualdades que habíamos iiciado. Luego de varios itetos fallidos similares os covecemos de que AG por sí sola o os coducirá a la solució. Por otra parte la seguda desigualdad importate que hemos visto, la CS, o parece que se pueda aplicar e este problema. Si iterpretamos el miembro izquierdo como ua suma de productos obtedríamos us desigualdad de tipo cotrario al deseado además de uas ideseables raíces cuadradas). Iterpretarlo como ua suma de cuadrados tampoco parece factible, e particular por los molestos cubos. Si embargo hay ua codició que o hemos utilizado, a saber que abc =. Por ejemplo: a 3 b + c) = a ab + ac) = a b + c esto os da la idea de trasformar la desigualdad origial mediate el cambio de variables x = /a, y = /b, z = /c, para obteer x y + z) + y z + x + z x + y 3. Ahora podemos iterpretar el miembro izquierdo como ua suma de cuadrados, y si lo multiplicamos por y + z) + z + x) + x + y) se puede aplicar la DCS: x y + z) + y z + x + ) z y + z) + z + x) + x + y)) x + y + z), x + y 6

7 y almete x y + z) + y z + x + z x + y x + y + z 3 3 xyz = 3, Bueo, ½almete aplicamos tambié la desigualdad AG después de todo! 3.3. Desigualdad del reordeamieto Dados úmeros reales positivos a a a y b b b sea σ ua permutació de {,,..., }. Etoces a b +a b + +a b a b σ) +a b σ) + +a b σ) a b +a b + +a b. Esta desigualdad tiee ua iterpretació física: si se tiee ua barra OP y se coloca u peso a i a distacia b σi) del extremo O, etoces a b σ) + a b σ) + + a b σ) es el mometo resultate respecto al puto O. La desigualdad dice que el mometo es máximo cuado los pesos mayores se coloca más lejos y los meores más cerca de O, y es míimo cuado se procede a la iversa. Esta desigualdad es fácil de probar, para ello pogamos c k = b σk) para k =,,...,, sea i < j y cosideremos las sumas S = a c + + a i c i + + a j c j + + a c S = a c + + a i c j + + a j c i + + a c, que diere solamete e que se ha traspuesto c i co c j. Etoces S S = a i c j + a j c i a i c i a j c j = a j a i )c i c j ) y se ve que si c i > c j etoces S S, mietras que si c i < c j etoces S S. De aquí se sigue que el valor máximo de la suma se obtiee cuado c c c y el míimo cuado c c c. De esta desigualdad se puede deducir fácilmete muchas otras, e particular AG y CS. Veamos como ejemplo la siguiete: 3.4. Desigualdad de Chebyshev Sea a a a y b b b dos sucesioes de úmeros reales, etoces a + a + + a b + b + + b 7 a b + a b + + a b.

8 Demostració. Por la desigualdad del reordeamieto se tiee a b + a b + + a b = a b + a b + + a b a b + a b a b a b + a b + + a b a b 3 + a b a b a b + a b + + a b a b + a b + + a b a b + a b + + a b y sumado resulta a + a + + a )b + b + + b ) a b + a b + + a b ), de dode dividiedo etre resulta la desigualdad de Chebyshev. El mismo argumeto sirve para probar la siguiete variate de la desigualdad!de Chebyshev: Si a a a y b b b so dos sucesioes de úmeros reales, etoces a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b. 4. Fucioes covexas y Desigualdad de Jese Ua fució f : D R dode D es R o u itervalo de úmeros reales) se dice que es covexa si para cualquier par de putos x, y [a, b] y cualquier real t tal que 0 < t < se cumple f t)x + ty) t)fx) + tfy). Si la desigualdad es estricta se dice que la fució es estrictamete covexa. Geométricamete la covexidad sigica que e cada itervalo [x, y] D la gráca de f queda por debajo del segmeto que va de x, fx)) a y, fy)). Alguas fucioes covexas importates so: fx) = x co atural par, para todo x R. fx) = x a dode a > es ua costate, para todo x R. fx) = e kx dode k es ua costate real, para todo x R. fx) = x a dode a >, para x > 0. 8

9 u, t)fx) + tfy)) y, fy)) x, fx)) u, fu)) x u = t)x + ty Figura : Fució covexa y fx) = log a x co base 0 < a <, para x > 0. fx) = x log a x co base a >, para x > 0. fx) = ta x, para 0 x < π/. Alguas fucioes cócavas importates so: fx) = x a co 0 < a <, para x > 0. fx) = log a x co base a >, para x > 0. fx) = arcta x, para x > 0. Para los que coozca el cálculo diferecial, si f es ua fució derivable etoces f es covexa e D si y sólo si su derivada f es creciete e D. Si f es derivable dos veces etoces f es covexa e D si y sólo si su derivada seguda f es o egativa e D. Ua fució f es cócava si f es covexa. La desigualdad de Jese arma lo siguiete: Si f es ua fució covexa e D, x, x,...,x D, r,r,...,r so reales positivos y r + r + + r =, etoces f r i x i ) r i fx i ). Si f es estrictamete covexa etoces la desigualdad aterior es estricta. Para fucioes cócavas se ivierte el setido de la desigualdad. 9

10 La desigualdad de Jese se prueba fácilmete por iducció e. Para = es la propia deició de covexidad. Si > y supoemos que es cierta para, etoces f r i r i x i ) = f r ) x i + r x ) r r i r )f x i ) + r fx ) r r i r ) fx i ) + r fx ) = r r i fx i ). La desigualdad etre la media aritmética y la media cuadrática, probada más arriba, se obtiee de imediato aplicado la desigualdad de Jese co r i = / y fx) = x. Más e geeral si b > a > 0, usado la covexidad de fx) = x b/a resulta que o sea x a i ) b/a ) /a x a i x a i ) b/a /b xi) b. Esta desigualdad puede iterpretarse así: si a < b etoces la media de orde a de reales positivos es meor o igual que la media de orde b. Si a, a,...,a so úmeros reales o egativos tales que a + a + + a = y x, x,...,x so úmeros reales positivos, se dee la media aritmética pesada de los x i co pesos a i como A = a x + a x + + a x. Aálogamete se dee la media geométrica pesada como G = x a xa xa y la media armóica pesada como H = a x + a x + + a x. Etoces la desigualdad aritmético-geométrica-armóica co pesos arma que A G H. La parte A G se puede probar aplicado la desigualdad de Jese a la fució cócava fx) = logx): loga x + a x + + a x ) a logx ) + a logx ) + + a logx ), 0

11 y tomado la expoecial de ambos miembros queda x a xa xa a x + a x + + a x. La parte G H se obtiee aplicado la desigualdad A G a los recíprocos de los x i. Si a, b, p, q > 0 y p q = etoces la desigualdad de Youg arma que ab ap p La prueba cosiste e aplicar la desigualdad de Jese a la fució cócava fx) = log x: logab) = logap ) p b q q. + logbq ) q log ap p b q q ), y aplicado la expoecial se completa la demostració. A partir de esta desigualdad es fácil establecer las desigualdades de Hölder y Mikowski ver Problemas). 5. Problemas propuestos Problema. [Desigualdad de Hölder] Si x, x,..., x, y, y,..., y so reales cualesquiera y p, q > 0 so tales que /p + /q =, etoces ) ) p q x i y i x i p y i q. Problema. [Desigualdad de Mikowski] Si x, x,..., x, y, y,..., y so reales cualesquiera y p etoces x i + y i p ) p Problema 3. Sea a, b, c reales positivos. Pruebe que + a ) + b b c ) + c ) a ) p ) p x i p + y i p. + a + 3 b + c ) abc

12 Problema 4. [OIM 985] Halle las raíces r, r, r 3 y r 4 de la ecuació: 4x 4 ax 3 + bx cx + 5 = 0 sabiedo que so reales, positivas y que r + r 4 + r r 4 8 =. Problema 5 OMCC 003). Sea a, b eteros positivos, co a > y b >. Demostrar que a b + ba+) y determiar cuádo se tiee la igualdad. Problema 6. [Olimpiada Asia Pacíco APMO) 996] Sea a, b y c los lados de u triágulo. Pruebe que a + b c + b + c a + c + a b a + b + c y determie cuádo se da la igualdad. Problema 7. [Olimpiada Matemática del Caada 995] Sea a, b y c reales positivos. Pruebe que a a b b c c abc) a+b+c 3 Problema 8. [IMO 005] Sea x, y, z úmeros reales positivos tales que xyz. Pruebe que 6. Solucioes Problema Sea etoces k x ky k x p y q k x 5 x x 5 + y + z + y5 y y 5 + z + x + z5 z y 5 + z + x 0. x p = xk p) p, x k y k x k p x p y q p x p + y k q p q y q q k k = p + q =.

13 Problema Para p = se reduce a la desigualdad triagular. Si p > sea q = p/p ). Etoces por la desigualdad de Hölder se tiee y ) ) p q a k a k + b k p a k p a k + b k p )q ) ) p q b k a k + b k p b k p a k + b k p )q. Sumado miembro a miembro, dividiedo por el factor comú de ambos miembros derechos y observado que p )q = p resulta ) q a k + b k p ) p ) p a k p + b k p Problema 3 Desarrollado el miembro izquierdo y simplicado la desigualdad se reduce a a + b c + b + c a + a + c b a + b + c) 3 abc Escribiedo a + b)/c como a + b + c)/c, y procediedo aálogamete co los otros dos térmios del miembro izquierdo, esta desigualdad se puede escribir como Pero aplñicado AG se tiee a + b + c) a + b + c) a + b + ) a + b + c) 3 c 3. abc a + b + ) c Problema 4 Como r r r 3 r 4 = 5/4 se sigue que 3a + b + c) a + b + c) 3 = abc 3 + a + b + c abc 3 abc a + b + c) 3 abc + 3. r r r 3 r = 56 3

14 y etoces r + r 4 + r r = 4 = r r 4 r 3 r y por darse la igualdad e la desigualdad aritmético-geoétrica debe ser r = r 4 = r 3 5 = r 4 8 = 4, de dode r = 7, r = r 3 = 5/4, r 4 =. Problema 5 Se procederá por iducció sobre b. Para b = 3, se tiee que a 3 + = a + )a a + ). Para mostrar que esta expresió es mayor que 3a + ) es suciete demostrar que a a + ) 3, lo cual es cierto pues a a + > aa ). Ahora supógase que la expresió es cierta para algú valor de b, es decir, se cumple que a b + ba + ). Se demostrará ahora para b +. Nótese que a b+ + = aa b + ) a + ) + aba + ) a + ) +, dode la última desigualdad se tiee por la hipótesis de iducció. La última expresió se puede reescribir como aba + ) a + ) + = a + )ab ) + > ab )a + ). Fialmete, ab b = b + ) + b ) > b +, lo cual es cierto. Por tato, la desigualdad se vuelve estricta después de b = 3. Retomado el caso b = 3, se observa que aa ) = úicamete cuado a =. Por tato, se ha demostrado por iducció que la desigualdad siempre se tiee, y que la igualdad se da úicamete e el caso a =, b = 3. Problema 6 Sea p = a + b + c)/, x = p a, y = p b, z = p c ote que x, y, z > 0 por la desigualdad triagular). Etoces a = y + z, b = z + x y c = x + y y la desigualdad propuesta se covierte e x + y + z y + z + z + x + x + y. Pero x + y y + z z + x x + y + z = + + x + y y + z z + x + = x + y + y + z + z + x. 4 por AC)

15 Problema 7 Supogamos si pérdida de geeralidad que a b c. Etoces y por la desigualdad de Chebyshev de dode y por lo tato a + b + c 3 log a log b log c log a + log b + log c 3 a log a + b log b + c log c 3 a log a + b log b + c log c a + b + c log a + log b + log c), 3 a a b b c c abc) a+b+c 3. Problema 8 La siguiete solució, dada por u estudiate de Moldavia, mereció u premio especial por su secillez y belleza: x 5 x x 5 + y + z x 5 x x 3 x + y + z ) = x y + z )x 3 ) x 3 x 5 + y + z )x + y + z ) 0, por lo tato, cíclica x 5 x x 5 + y + z x 5 x x 3 x + y + z ) = x + y + z cíclica x + y + z x yz) 0. cíclica cíclica x ) x Nota: la palabra cíclica e las sumatorias sigica que las variables x, y, z debe permutarse cíclicamete. Así, por ejemplo, x yz) = x yz) + y zx) + z xy) 0, cíclica ya que x + y + z xy + yz + zx. 5