Lugares geométricos. Cónicas

ACTIVIDADES Si el plano es perpendicular a la generatriz del cilindro, la sección es una circunferencia. Si no es perpendicular, la sección es una elipse. Porque el plano solo corta a uno de los conos de la superficie cónica. c = 6 cm c = 3 cm a = 10 cm a = 5 cm Como a = b + c b = 4 cm Así, la medida del eje menor es de 8 cm. 319

a = d(p, F) + d(p, F') = 6 + = 13 cm El eje mayor mide 13 cm. a = 13 cm a = 6,5 cm b = 6,6 cm b = 3,3 cm Como a = b + c c = 5,6 cm Así, la distancia entre los focos mide c = 11, cm. a = 6 e = 0,6 = c a c = 3,6 Como a = b + c b = 3,04 B(0; 4,8) y B'(0; 4,8) c = 5 c = 1,5 a = 16 a = 8 Como c = a + b b = 9,6 B(0; 9,6) y B'(0; 9,6) 30

c = 5 Como c = a + b 5 = a + b b = 5 a Así, la ecuación de la hipérbola es de la forma: x a y x = b a 1 y 5 a = 1 3 5 Como el punto 36 45 6, pertenece a la hipérbola: 1 a 100 4a = 4a 4 89a + 3600 = 0 Tenemos dos soluciones para a : 5 4 y 16 Como b = 5 a > 0 a = 16 b = 9 La ecuación de la hipérbola es: x y = 1 16 9 x y = 1 64 5 a = 64 a = 8 A(8, 0) y A'( 8, 0) b = 5 b = 15 B(0, 15) y B'(0, 15) Como c = a + b c = 89 c = 1 F(1, 0) y F'( 1, 0) a) a = 56 a = 4 b = 49 b = Como c = a + b c = 5 e = c a = 5 4 = 1,04 31

A = 6 a = 3 B = b = 1 C = 11 = a + b r = 10 r r = 1 No tiene solución. Por tanto, esta ecuación no corresponde a una circunferencia. 3

SABER HACER Se toma P(x, y) un punto genérico del lugar geométrico d(p, r) = 5x y 5 + ( 1) = 5 x y 6 d(p, OY) = x 5x y Como d(p, r) = d(p, OY) = x x y = x ( ) ( ) 5 x y = 6x 5 + 6 x y = 0 6 5 6 5 6 x y = 0 El lugar geométrico son las dos ecuaciones obtenidas que, al ser de grado 1, equivalen a dos rectas que son las bisectrices de los ángulos que forman la recta dada y el eje Y. Se toma P(x, y) un punto genérico del lugar geométrico. d(p, r) = x 3y + 1 1 + ( 3) = x 3y + 1 10 d(p, OX) = y x 3y + 1 = 3 + 1 = 10 3 + 10 y + 1 = 0 10 Como d(p, r) = d(p, OX) y x y y x ( ) ( ) x 3y + 1 = 10 y x 3 10 y + 1= 0 El lugar geométrico son las dos ecuaciones obtenidas que, al ser de grado 1, equivalen a dos rectas que son las bisectrices de los ángulos que forman la recta dada y el eje X. c = 8 c = 4 Como a = b + c b = 9 c 4 e = = = 0,8 a = 5 a a La ecuación de la elipse es de la forma: x a y + = b 1 x y + = 1 5 9 Se traslada el centro C(4, 1) al origen de coordenadas: A'(1, 1) A''(1 4, 1 1) = ( 3, 0) a = 3 B'(4, 1) B''(4 4, 1 1) = (0, ) b = La ecuación de la elipse es de la forma: x a y + = ( ) ( ) x 4 y 1 + = 1 b 9 4 1 33

Se traslada el centro C( 1, ) al origen de coordenadas: F(3, ) F''(3 ( 1), ) = (4, 0) c = 4 e = c a = 4 a = 1,5 a = 8 3 c = a + b b = 80 9 La ecuación de la hipérbola es de la forma: x a y = b 1 9( x + 1) 9( y ) = 1 64 80 Se traslada el centro C(4, 0) al origen de coordenadas: F(1, 0) F''(1 4, 0) = ( 3, 0) c = 3 e = c a = 3 a = a = 3 La ecuación de la hipérbola es de la forma: c = a + b b = 4 x a y = b 1 ( ) 4 x 4 4y = 1 9 Se traslada el vértice V(, 1) al origen de coordenadas. y = 1 y' = 1 1 = = p p = 4 La ecuación de la parábola es de la forma: (x + ) = p(y 1) (x + ) = 8(y 1) x + 4x 8y + 1 = 0 Se traslada el vértice V(3, 5) al origen de coordenadas. y = 1 y' = 1 5 = 4 = p p = 8 La ecuación de la parábola es de la forma: (x 3) = p(y 5) (x 3) = 16(y 5) x 6x 16y + 89 = 0 Como x + y + Ax + By + C = 0: P( 1, 4) A + 4 B + C = 1 Q( 1, 0 ) A + C = 1 A = B = 4C = 1 x + y x 4y + 1= 0 R( 1, 4) 3A + B + C = 13 34

Como (x a) + (y b) = r : P( 4, 4 ) ( 4 a) + ( 4 b) = r 16 + a + 8a + 16 + b 8b = r a = 3 Q( 5, 1) ( 5 a) + ( 1 b) = r 5 + a + 10a + 1+ b b = r b = R( 1, 3) ( 1 a) ( 3 b) r 1 a + a 9 b 6b r + = + + + = r = 5 C(a, b) C ( 3, ) r = 5 Se calcula el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan de A y B: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y + ) = ( x + 3) + y x x + 1 + y + 4y + 4 = x + 6x + 9 + y 8x 4y = 4 x y = 1 El centro será la intersección de este lugar geométrico y la recta dada: x y = 1 x = 1 C(1, 3) x + y = 5 y = 3 d(c, A) = (1 1) + ( 3) = 5 r = 5 La ecuación de la circunferencia: (x 1) + (y 3) = 5 x + y x 6y 15 = 0 Se calcula el lugar geométrico de los puntos P(x, y)que equidistan de A y B: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y 1) = ( x ) + ( y 4) x x + 1 + y y + 1 = x 4x + 4 + y 8y + 16 x + 6y = 18 x + 3y = 9 El centro será la intersección de este lugar geométrico y la recta dada: x + 3y = 9 x = 3 C(3, ) 3x + y = 11 y = d C A (, ) = (1 3) + (1 ) = 5 r = 5 La ecuación de la circunferencia: (x 3) + (y ) = 5 x + y 6x 4y + 8 = 0 a) Aparecen las dos variables al cuadrado con coeficiente +1; por tanto, es una circunferencia: x + y + 8x 4y + 11 = 0 A = 8, B = 4 y C = 11 A = a a = 4 B = b b = C = a + b r r = 9 La cónica es una circunferencia de centro C( 4, ) y r = 3. 35

b) Aparecen las dos variables al cuadrado con mismo signo y distinto coeficiente, por tanto es una elipse: x y 1 143 143 + = 1 a = 4, b = c = c = 16 1 3 9 3 9 143 La cónica es una elipse de focosf, 0 3 y 143 F ', 0 3. c) Aparece una variable al cuadrado y la otra con grado 1; por tanto, es una parábola: x x + 1 = 10y + 19 + 1 (x 1) = 10(y + ) La cónica es una parábola de vértice V(1, ) y directriz paralela al eje Y. d) Aparece una variable al cuadrado y la otra con grado 1; por tanto, es una parábola: x = 4y La cónica es una parábola de vértice el origen de coordenadas y directriz paralela al eje Y. e) Aparecen las dos variables al cuadrado con distinto signo, por tanto es una hipérbola: x y = 1 a = 15, b = 9 15 9 Como a + b = c c = 306 = 3 54 La cónica es una hipérbola de focos F ( 3 54, 0) y '( 3 54, 0) F. f) Aparecen las dos variables al cuadrado con coeficiente + 1; por tanto, es una circunferencia: x + y + 6y = 0 A = 0, B = 6 y C = A = a a = 0 B = b b = 3 C = a + b r r = 16 La cónica es una circunferencia de centro C(0, 3) y r = 4. Centro y radio de la circunferencia: C(0, m) y r = 4. Posición de A(0, ) con respecto a la circunferencia dada: d(c, A) = (0 0) + ( m) = m 4m + 4 m 4m + 4 = 4 m 4m 1 = 0 m1 = 6 y m = m 4m + 4 > 4 m 4m 1 > 0 m < y m > 6 m 4m + 4 < 4 m 4m 1 < 0 < m < 6 Si m < o m > 6 El punto A es exterior. Si m = 6 o m = El punto A pertenece a la circunferencia. Si < m < 6 El punto A es interior. 36

Posición de B(4, 1) con respecto a la circunferencia dada: d(c, B) = (4 0) (1 ) + m = m m + 1 m m + 1 = 4 m m + 1 = 0 m = 1 m m + 1 > 4 m m + 1 > 0 m 1 m m + 1 < 4 m m + 1 < 0 No tiene solución. Si m = 1 El punto B pertenece a la circunferencia. Si m 1 El punto B es exterior. Centro y radio de la circunferencia: C(m, 1) y r = 3. Posición de A(0, ) con respecto a la circunferencia dada: d(c, A) = (0 ) ( 1) m + = m + 9 m + 9 = 3 m = 0 m = 0 m + 9 > 3 m > 0 m 0 m + 9 < 3 m < 0 No tiene solución. Si m = 0 El punto A pertenece a la circunferencia. Si m 0 El punto A es exterior. Posición de B( 5, 1)con respecto a la circunferencia dada: d(c, B) = ( 5 m) + (1 1) = m + 10m + 5 m + 10m + 5 = 3 m + 10m + 16 = 0 m1 = 8 y m = m + 10m + 5 > 3 m + 10m + 16 > 0 m < 8 y m > m + 10m + 5 < 3 m + 10m + 16 < 0 8 < m < Si m < 8 o m > El punto B es exterior. Si m = 8 o m = El punto B pertenece a la circunferencia. Si 8 < m < El punto B es interior. ACTIVIDADES FINALES a) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d A P x y x y x (, ) = ( ( 6)) + ( 0) = + + 1 + 36 x + y + 1x + 36 = x + y + x + 1 1x + 36 = x + 1 x = d B P x y x y x (, ) = ( ( 1)) + ( 0) = + + + 1 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmento AB, paralela al eje Y con ecuación x =. 3

b) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d A P x y x y x y (, ) = ( ( )) + ( ( 1)) = + + 4 + + 5 d B P x y x y x y (, ) = ( 4) + ( 1) = + 8 + 1 x y x y x y x y + + 4 + + 5 = + 8 + 1 4x + y + 5 = 8 x y + 1 3 x + y 3 = 0 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, con ecuación 3x + y 3 = 0. c) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d(a, P) = ( x 3) + ( y ( 5)) = x + y 6x + 10y + 34 d(b, P) = ( x ) + ( y 1) = x + y 14x y + 50 x y 6x 10y 34 x y 14 x y 6x 10y 34 14 x y 50 x 3y + + + = + + 50 + + = + + 4 = 0 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, con ecuación x + 3y 4 = 0. d) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P): d A P x y x y y (, ) = ( 0) + ( ( )) = + + 4 + 4 d B P x y x y y (, ) = ( 0) + ( ) = + 14 + 49 x + y + 4y + 4 = x + y 14y + 49 4y + 4 = 14y + 49 y = 5 5 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, paralela al eje X con ecuacióny =. Sea P(x, y) un punto de la mediatriz, entonces d(p, A) = d(p, B): d(a, P) = ( x 5) + ( y ( )) = x + y 10x + 4y + 9 d(b, P) = ( x 4) + ( y 3) = x + y 8x 6y + 5 d(a, P) = d(b, P) x + y 10x + 4y + 9 = x + y 8x 6y + 5 10x + 4y + 9 = 8x 6y + 5 x 5y = 0 La mediatriz es la recta x 5y = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) = d(b, P). d(a, P) = ( x ( 3)) + ( y 0) = x + y + 6x + 9 d(b, P) = ( x 1) + ( y 0) = x + y x + 1 x y x + + 6 + 9 = x + y x + 1 x + y + 6x + 9 = 4(x + y x + 1) 3x + 3y 14x 5 = 0 La figura resultante es la circunferencia de ecuación: 14 5 x + y x = 0 3 3 38

Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(r, P) =. x 3y + 1 x 3y + 1 10 = 0 = x 3y + 1 = 10 + + 3 1 = 1 ( 3) x y 10 0 c) x 3y + 3 = 3x + ( 3) 3 + 0 x 3y + 3 3x = 13 3 6 x 9y 9 3 13 x 13 ( 6 3 13 ) x 9y + 9 + 13 = 0 + = x 3y + 3 3x + 6 x 9y 9 3 13x 13 = + = + ( 6 + 3 13 ) x 9y + 9 13 = 0 13 3 El lugar geométrico está formado por las dos bisectrices de las rectas. 39

d) y 5 x 3y + 5 = + 0 + ( 3) y 5 x 3y + 5 = 13 13 5 13 4 6 10 4x ( 6 13 ) y 10 5 13 0 y = x y + + + = y 5 x + 3y 5 13 y 5 13 4x 6y110 = = + 4 x + ( 6 + 13) y + 10 5 13 = 0 13 El lugar geométrico está formado por las dos bisectrices de las rectas. 3x y 1 x + y 3 = 3x y 1 4x + y 6 13 5 = 3 + ( ) 4 + 3x y 1 x y + 3 = 13 5 ( ) x ( ) ( ) ( ) 3 5 x 5 y 5 13x 13 y 3 13 3 5 13 5 13 y 5 3 13 0 = + + + = 3 5 x 5 y 5 = 13x 13y 3 13 + 3 5 + 13 x 5 13 y 5 3 13 = 0 Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(ox, P) = d(a, P). d(ox, P) = y d(a, P) = ( x 3) + ( y ) x + y 6x 4y + 13 = y 6 4 + 13 = 0 x x y El lugar geométrico es una parábola cuya directriz es paralela al eje X. ABP es triángulo rectángulo en P(x, y) si sus lados AP y BP son perpendiculares: AP = (x + 3, y 1) BP = (x 4, y 3) Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0, así: AP BP = (x + 3)(x 4) + (y 1)(y 3) = 0 x + y x 4y 9 = 0 El lugar geométrico es una circunferencia con ecuación x + y x 4y 9 = 0 cuyo centro es el punto medio del segmento AB y su radio la mitad de su módulo. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) = d(o, P). d(a, P) = ( x ) + ( y ( 3)) = x + y 4x + 6y + 13 d(o, P) = x + y x y x y + 4 + 6 + 13 = x + y x + y 4x + 6y + 13 = x 4 + x y + y 4 x 4 + y 4 x y + x y + 4x 6y 13 = 0 330

x y 6 Sea Q(x, y) un punto del lugar geométrico. El punto medio de PQ es + +,. x Este punto pertenece a la recta + + 4 y 6 + 5 = 0 x + y + 9 = 0 El lugar geométrico es una recta paralela a la x + 4y 5 = 0 con ecuación x + y + 9 = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) + d(p, B) = 8. d(a, P) = ( x 3) + ( y 1) = x + y 6x y + 10 d(b, P) = ( x 5) + ( y 1) = x + y 10x y + 6 x + y 6x y + 10 + x + y 10x y + 6 = 8 x + y 8x y + 14 = 0 El lugar geométrico es una circunferencia con ecuación x + y 8x y + 14 = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) d(p, B) = 4. d(a, P) = ( x ( 1)) + y = x + y + x + 1 d(b, P) = ( x 3) + ( y ) = x + y 6x 4y + 13 x + y + x + 1 (x + y 6x 4y + 13) = 4 x + y 4 = 0 El lugar geométrico es una recta de ecuación x + y 4 = 0. Como a = b + c c = 3 F(0, 3) F'(0, 3) 3 La excentricidad es: e = = 0,6 5 331

x y x y x y b = 6 B( 6, 0 ), B' ( 6, 0) a) + = 6 + = 1 + = 1 6 54 36 34 6 18 a = 18 A( 0, 18 ), A' ( 0, 18) Como a = b + c c = 88 c = 1 F ( 0, 1 ), F' ( 0, 1) La excentricidad es: 1 e = = = 0,94 18 3 x b) + = 5 5y 45 a = 35 A(35, 0), A'( 35, 0) b = B(0, ), B'(0, ) Como a = b + c c = 116 c = 14 6 F ( 14 6, 0 ), F' ( 14 6, 0) 14 6 La excentricidad es: e = = 0,98 35 33

a) c = y b = 3 Como a = b + c a = 13 Ecuación de la elipse: b) c = 3 y a = 5 x y + = 1 13 9 Como a = b + c b = 16 Ecuación de la elipse: x y + = 1 5 16 c) c 3 a 3 e = = c = a Como a = b + c a x y b = 1 4 a + a = 4 x a 4y + = 1 a Como (8, 3) es un punto de la elipse: 8 4 3 + = 1 a = 100 a a a 4 b = = 5 Ecuación de la elipse: x y + = 1 100 5 d) Como ( 4, 1) es un punto de la elipse y b = 3: ( 4) 1 1 + = a = 18 a 3 Ecuación de la elipse: x y + = 1 18 9 333

a) Sea R(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(p, R) + d(q, R) = 10. d(p, R) = ( x ( 4)) + ( y 0) d(q, R) = ( x 4) + ( y 0) ( x 4) + + y + ( x 4) y + = 10 ( x + 4) + y = 10 ( x 4) + y (x + 4) + y = 100 + (x 4) + y 0 ( x 4) + y 0 ( x 4) + y = 100 16x 400(x + y 8x + 16) = 10000 300x + 56x 144x + 400y = 3600 x y La ecuación del lugar geométrico es una elipse de ecuación: + = 1 5 9 b) Sea R(x, y) punto del lugar geométrico, entonces, d(p, R) + d(q, R) = 1 d(p, R) = ( x ( 5)) + ( y 0) d(q, R) = ( x 5) + ( y 0) ( x 5) y ( x 5) y 1 + + + + = ( x + 5) + y = 1 ( x 5) + y (x + 5) + y = 1 + (x 5) + y 4 ( x 5) + y 4 ( x 5) y + = 441 0x 1 64(x + y 10x + 5) = 194 481 1 640x + 400x 1 364x + 1 64y = 150 381 La ecuación del lugar geométrico es una elipse de ecuación: 4x 4y + = 1 441 341 334

La ecuación de la elipse es de la forma x a y + =. b 1 Como 1, 3 es un punto de la elipse: 1 a 3 1 3 + = 1 1 b a + 4b = 4b + 3a = 4ab Como, es un punto de la elipse: + = 1 1 a b a + 4b = 8b + a = 4ab Igualamos las dos ecuaciones: 4b + 3a = 8b + a a = 4b 1 3 Sustituyendo en la primera ecuación: + = 1 a = 4, a a a 4 b = b = 1 Ecuación de la elipse: x y + = 1 4 1 1 5 c = 4 a b = 48 5 b = a Como a = b + c 1 5 a = + 16 a a4 16a 0 = 0 a = 36 Como b = 1 5 a b = 0 Ecuación de la elipse: x y + = 1 36 0 x + y 1 = 0 x = 1 y Sustituyendo en la ecuación de la elipse: x + y = 3 (1 y) + y = 3 3y y 1 = 0 = 16 > 0 La ecuación tiene dos soluciones; por tanto, la elipse y la recta son secantes 335

4(x x) + 9(y + 4y) + 4 = 0 4(x x + 1) + 9(y + 4y + 4) + 4 = 4 + 36 4(x 1) + 9(y + ) = 36 En forma general: ( x 1) ( y + ) + = 1 a = 3, b =, C = (1, ) 9 4 Como a = b + c c = 5 c = 5 c Excentricidad: e = = a Como C(1, ) y 5 5 3 c = F ( 1+ 5, ) y '( 1 5, ) F. (x 6x) + 400(y + y) + 309 = 0 (x 6x + 9) + 400(y + y + 1) + 309 = 9 + 400 (x 3) + 400(y + 1) = 100 Forma general: ( x 3) ( y + 1) 1 + = 1 a = 10, b = 100 1 4 Como a = b + c c = 399 4 c = 399 Excentricidad: c e = = a 399 0 Como C(3, 1) y c = 399 399 F 3, 1 + y 399 F' 3, 1 6 399 F +, 1 y 6 399 F', 1 336

Las asíntotas son 3 r: y x b = 5 y = ± x a 3 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 33

Las asíntotas son 3 r: y x b = 5 y = ± x a 3 r': y = x 5 Las asíntotas son r: y x b = y = ± x a r': y = x a) c = 6 Como c = a + b b = 36 a x a y 36 a = 1 Como P(8, 14) pertenece a la hipérbola: Como b > 0, a = 8 b = 8 8 14 = 1 a 4 96a + 304 = 0 a1 = 8 y a = 88 a 36 a Ecuación de la hipérbola: b) c = 1 a = 1 = 15 Como c = a + b b = 64 x y = 1 8 8 Ecuación de la hipérbola: x y = 1 5 64 c) 4 8 1 a b = 16 8 = 1 16b 8a = a b b = a b ( ) 3 1 4 = 1 = 1 a b a b 8a 16 a Se sustituye en la segunda ecuación: 1 4(16 a ) = 1 a = 8 b = 8 a 8a Ecuación de la hipérbola: x y = 1 8 8 338

a) C( 5, 4) a = 10 a = 10 Vértices: A( 5 + 10, 4), A'( 5 10, 4) b = 9 Como c = a + b c = 19 c = 19 Focos: F( 5 + 19, 4), F'( 5 19, 4) Excentricidad: c e = = a 19 10 b 3 10 a = Asíntotas: 3 10x 3 10x r : y =, r ': y = 10 10 10 b) C(0, 3) a = 5 a = 5 Vértices: A(0, 3 + 5), A'(0, 3 5) A(0, ), A'(0, 8) b = Como c = a + b c = 3 c = 4 Focos: F(0, 3 + 4 ), F'(0, 3 4 ) Excentricidad: c e = = a 4 5 a 5 b = Asíntotas: 5 r : y = x, 5 r ': y = x 339

c) C( 4, 0) a = 11 a = 11 Vértices: A( 4, 11), A'( 4, 11) b = 9 Como c = a + b c = 0 c = 5 Focos: F( 4, 5 ), F'( 4, 5) Excentricidad: c e = = a 55 11 a 11 b = Asíntotas: 11 r : y = x, 3 3 d) C(4, 1) r ': y = 11 x 3 a = 14 a = 14 Vértices: A(4 + 14, 1), A'(4 14, 1) b = 9 Como c = a + b c = 3 c = 3 Focos: F(4 + 3, 1), F'(4 3, 1) Excentricidad: c e = = a 3 14 b 3 14 a = Asíntotas: 3 14 r : y = x, 14 14 3 14 r ': y = x 14 a) c 4 e = = c = 4 a a 3 3 Como c = a + b b = a 9 La ecuación de la hipérbola es de la forma: ( x 1) a y = a 9 1 ( x 1) 9y 1 = a a Como P(4, 3) pertenece a la hipérbola: b) C(, 3) A( 3, 3) A( 5, 3) a = 5 F(9, 3) F( +, 3) c = Como c = a + b b = 4 (4 1) 9 3 = 1 a < 0 Imposible, no existe la hipérbola. a a ( x ) ( y 3) Ecuación de la hipérbola: = 1 5 4 c) C( 5, ) A(0, ) A(0 5, ) a = 5 e = c = e a c = 10 Como c = a + b b = 5 Ecuación de la hipérbola: ( x + 5) ( y ) = 1 5 5 340

c = 18 c = 9 c = a + b 81 a = b x y 5 16 a 81 a a 81 a = 1 = 1 a = 161 4 481 Por tanto, la ecuación de la hipérbola pedida es: x y = 1 161 4 481 4 481 80 Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) d(a', P) = 8. ( x 5) ( 1) + + y + ( x 5) ( y 11) ( x 5) ( y 1) + + + = 8 + + + = 8 + ( x + 5) + ( y + 11) ( x 5) ( 1) + + y + = 8 + (x + 5) + (y + 11) + 16 ( x + 5) + ( y + 11) 5y 46 = 4 ( x + 5) + ( y + 11) ( 5y 46) = 16(x + 5) + 16(y + 11) 5y + 460y + 116 = 16x + 160x + 400 + 16y + 35y + 1936 9(y + 1y) 16(x + 10x) 0 = 0 9(y + 1y + 36) 16(x + 10x + 5) 0 = 34 400 9(y + 6) 16(x + 5) = 144 9( y + 6) 16( x + 5) = 1 144 144 El lugar geométrico es una hipérbola con eje paralelo a OY y ecuación: ( y + 6) ( x + 5) = 1 16 19 341

La ecuación de la parábola con V(0, 0) y eje en el eje X es de la forma: y = px Como (3, 6) pertenece a la parábola: ( 6) = p3 p = 6 Ecuación de la parábola: y = 1x 34

a) P(x, y) punto de la parábola d(p, F) = d(p, s) ( x 5) + y = x + 5 x 10x + 5 + y = x + 10x + 5 y = 0x b) P(x, y) punto de la parábola d(p, F) = d(p, s) x + ( y ) = y + x + y 4y + 4 = y + 4y + 4 x = 8y La ecuación es de la forma: (x + 1) = p(y 3) Como (, ) está en la parábola: ( + 1) = p( 3) p = Ecuación de la parábola: (x + 1) = 9 10 9 ( 3) 5 y 5x + 10x + 9y = a) V(3, 0) p = p = 1 F, 0 Directriz: x = 5 343

b) V(4, 1) p = 4 p = F(5, 1) Directriz: x = 3 c) V(0, ) p = 6 p = 3 F 0, Directriz: y = 1 d) V(3, 1) p = 8 p = 4 F(3, 1) Directriz: y = 3 e) V(0, 1) p = 4 p = F(0, ) Directriz: y = 0 f) V(1, 3) p = 8 p = 4 F( 1, 3) Directriz: x = 3 a) V(5, 3) p = 14 p = Foco: 13 F 5, 3 F 5, + Directriz: y = 3 y = 1 b) V(1, 6) p = 4 p = 1 Foco: 1 F 1 +, 6 F(, 6) Directriz: x = 1 1 x = 5 c) V(6, 4) p = 8 p = 4 Foco: 4 F 6 +, 4 F(4, 4) Directriz: x = 6 4 x = 8 d) V( 4, ) p = 4 p = Foco: F 4, + F( 4, 8) Directriz: y = y = 6 e) V(0, ) p = 18 p = 9 Foco: 9 9 F 0, F, + Directriz: x = 0 9 9 x = f) V(0, 1) p = 9 p = 9 Foco: 9 13 F 0, 1 F 0, + = 4 4 Directriz: y = 1 9 5 y = 4 a) Ecuación de la forma: (x + 5) = p(y 8) p F 5, 8 + = 8 + p p = 1 Ecuación de la parábola: (x + 5) = ( 1)(y 8) (x + 5) = 4(y 8) x + 10x + 4y 16 = 0 b) Ecuación de la forma: (y ) = p(x 3) p F 3 +, 0 = 3 + p p = 6 Ecuación de la parábola: (y ) = ( 6)(x 3) y 14y + 1x + 13 = 0 c) Sea P(x, y) un punto de la parábola, entonces d(p, F) = d(p, s): ( x 3) ( 5) + y = x 10 x 6x + 9 + y 10y + 5 = x 0x + 100 Ecuación de la parábola: y 10y + 14x 66 = 0 344

d) s: x = 3 Ecuación de la forma: (y 3) = p(x ) y s: x = 3 = p p = 10 Ecuación de la parábola: 9 (y 3) = 10(x ) (y 3) = 0(x ) y 6y 0x + 49 = 0 La parábola es de la forma (x h) = p(y k), siendo V(h, k) Como A, B y C pertenecen a la parábola: ( h) = p( 4 k ) h 4h + 8p + pk + 4 = 0 ( h) = p( 4 k ) h + 4 h 8p + pk + 4 = 0 ( 3 h) = p( k ) h + 6 h 4p + pk + 9 = 0 Se resta la primera ecuación a las otras dos: 5 5 8 h 16p = 0 h = p 10 p 1p + 5 = 0 p = h = 8 4 10 h 1p + 5 = 0 Se sustituye p y h en la primera ecuación: 5 5 5 5 5 89 4 8 4 0 k 4 4 + 8 + 8 4 + = = 0 5 5 89 Ecuación de la parábola: x + = y 4 4 0 345

a) x + y 3 = 5 Ecuación de la circunferencia: 5x + 5y = 9 b) x + (y ) = 14 Ecuación de la circunferencia: x + y 14y 14 = 0 c) (x 5) + y = Ecuación de la circunferencia: x + y 10x 4 = 0 d) (x ) + (y + 1) = 5 Ecuación de la circunferencia: x + y 14x + y + 5 = 0 e) (x ) + (y + 1) = 3 Ecuación de la circunferencia: 9x + 9y 36x + 18y + 43 = 0 f) (x 6) + (y 8) = ( ) Ecuación de la circunferencia: x + y 1x 16y + 98 = 0 g) (x 1) + (y 4) 1 = Ecuación de la circunferencia: 4x + 4y 96x 3y + 639 = 0 h) (x + 4) + (y + 3) = 8 Ecuación de la circunferencia: x + y + 8x + 6y 39 = 0 a) La ecuación es de la forma: (x + ) + (y + 5) = r Como (6, 1) está en la circunferencia: (6 + ) + (1 + 5) = r r = 10 Ecuación de la circunferencia: (x + ) + (y + 5) = 10 x + y + 4x + 10y 1 = 0 b) La ecuación es de la forma: (x ) + (y ) = r Como (0, 0) está en la circunferencia: ( ) + ( ) = r r = 53 Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y ) = ( ) 53 x + y 14x 4y = 0 c) La ecuación es de la forma: (x 4) + (y + ) = r d(c, OY) = 4 = r Ecuación de la circunferencia: (x 4) + (y + ) = 4 x + y 8x + 4y + 4 = 0 d) La ecuación es de la forma: x + (y + 3) = r d(c, OX) = 3 = r Ecuación de la circunferencia: x + (y + 3) = 3 x + y + 6y = 0 346

e) Longitud del diámetro: d((5, 4),( 5, 1)) = ( 5 5) + (1+ 4) = 5 5 r = 5 5 5 ( 5) 4 1 + +, = 3 0, 3 C 0, Ecuación de la circunferencia: x 3 + y + = 5 5 4x + 4y + 1y 116 = 0 f) Longitud del diámetro: d((, 6), (1, 3)) = (1 ) + (3 + 6) = 3 13 r = 3 13 1 6 3 + +, = 3 4, 3 C 4, Ecuación de la circunferencia: (x 4) 3 + y + = 3 13 4x + 4y 3x + 1y 44 = 0 a) La distancia entre los dos puntos es mayor que 4, con lo que no pueden estar los dos en una circunferencia de diámetro 4. b) La ecuación es de la forma: (x a) + (y b) = 5 Pasa por ( 5, 4) ( 5 a) + ( 4 b) = 5 a + b 10 a 8b + 16 = 0 Pasa por (, 3 ) ( a) + ( 3 b) = 5 a + b + 4 a 6 b 1 = 0 Restamos la segunda ecuación a la primera: 14a b + 8 = 0 b = 14 a Sustituimos en la primera ecuación: a + (14 a) 10a 8(14 a) + 16 = 0 a 3a + = 0 a1 = 1 y a = Si a = 1 b = y la ecuación de la circunferencia es (x 1) + (y ) = 5 x + y x 14y + 5 = 0 Si a = b = 0 y la ecuación de la circunferencia es (x ) + y = 5 x + y 4x 1 = 0 34

a) 9 x + (y + 4 3) = No es una circunferencia. 4 b) (x + 4) + (y 5) = 38 Corresponde a una circunferencia con C( 4, 5) y r = 38. c) (x + 5) + (y + 6) = 8 Corresponde a una circunferencia con C( 5, 6) y r =. d) 1 x + (y + 19 6) = No es una circunferencia. 4 e) (x + 1) + (y + 3) = 0 No es una circunferencia. f) (x + 4) + (y + 5) = 0 No es una circunferencia. a) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: + 8 + D + E8 + F = 0 D + 8E + F + 68 = 0 + ( 5) + D + E( 5) + F = 0 D 5E + F + 9 = 0 F = 0 D + 8E + 68 = 0 D 5E + 9 = 0 Restamos la segunda ecuación a la primera: 13E + 39 = 0 E = 3 Sustituimos en la primera: D + 8 ( 3) + 68 = 0 D = Ecuación de la circunferencia: x + y x 3y = 0 b) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: 4 + 0 + 4D + 0 + F = 0 4D + F + 16 = 0 F = 4D 16 ( 1) + ( ) + D( 1) + E( ) + F = 0 D E + F + 5 = 0 1 + 4 + D + E4 + F = 0 D + 4E + F + 1 = 0 Sustituimos en las dos ecuaciones: D E 4D 16 + 5 = 0 5D E 11 = 0 D + 4E 4D 16 + 1 = 0 3D + 4E + 1 = 0 D = 1 F = 14 13 13 E = 19 13 Ecuación de la circunferencia: x + y 1 x 19y 14 13 13 13 = 0 13x + 13y 1x 19y 14 = 0 348

c) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: 0 + + 0 + E + F = 0 E + F + 4 = 0 F = E 4 1 + + D + E + F = 0 D + E + F + 50 = 0 ( 3) + ( 4) + D( 3) + E( 4) + F = 0 3D 4E + F + 5 = 0 Sustituimos en las dos ecuaciones: D + E E 4 + 50 = 0 D + 5E + 46 = 0 E = 3D 4E E 4 + 5 = 0 3D 6E + 1 = 0 D = 1 3 Ecuación de la circunferencia: 53 F = 94 3 3 1x 53y 94 x + y + + = 0 3x + 3y + 1x 53y + 94 = 0 3 3 3 La ecuación de la circunferencia es: ( x ) + ( y 8) = 5 x + y 4x 16y + 43 = 0 Las coordenadas del punto más próximo son: 6 15 13 104 10 13 M, 13 13 A = 4 a = B = b = 1 Centro = (, 1) C = 0 Como C = a + b r r = 5 La recta normal pasa por el punto (, ) y el centro (, 1) 3x 4y + = 0 La recta tangente pasa por el punto (, ) y es perpendicular a la normal 4x + 3y 14 = 0 349

La ecuación de la tangente es de la forma: y = Ax + B Como es tangente a la circunferencia, la intersección entre la recta y la circunferencia es un único punto: x + (Ax + B) = 1 (1 + A )x + ABx + B 1 = 0 Discriminante: (AB) 4(1 + A )(B 1) = 0 B + A + 1 = 0 Como P(5, 3) pertenece a la tangente: 3 = A5 + B B = 3 5A Sustituyendo B en la ecuación del discriminante se tiene 1A + 15A + 4 = 0, y resolviendo esta ecuación: 15 + 33 3 5 33 15 33 3 + 5 33 A = B = A = B = 4 4 4 4 15 + 33 3 5 33 Rectas tangentes: y = x + 4y = ( 15 + 33 ) x + ( 3 5 33 ) 4 4 15 33 3 + 5 33 Rectas tangentes: y = x + 4y = ( 15 33 ) x + ( 3 + 5 33 ) 4 4 3 3 10 r = dc (, t) = = = 3 + 1 10 5 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 1) + (y + 3) = 5 5x + 5y 10x + 30y + 48 = 0 r = d(c, t) = 9 16 18 3 + 4 = 5 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 3) + (y + 4) = 5 x + y 6x + 8y = 0 350

4 + 6 + 5 15 3 10 r = d( C, t) = = = 1 + 3 10 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 4) + (y + ) = 45 x + y 16x + 8y 5 = 0 C( 0, k ) r = d ( C, t) = 0 + k + 5 k + 5 k + 5 = = 1 + 1 La ecuación de la circunferencia es de la forma: x + (y k) = ( k + 5) 4 x + (y k) = ( k + 5 ) Como ( 3, ) está en la circunferencia: ( 3) + ( k) = ( k + 5 ) k = 1 Ecuación de la circunferencia: x + (y 1) = 18 x + y y 1 = 0 El centro equidista de los puntos A y B, entonces, se encuentra en la mediatriz del segmento AB. Sea P(x, y) un punto de esa mediatriz, entonces d(a, P) = d(b, P). ( x 3) ( 9) + y = ( x 8) ( y 4) + x 6x + y 18y + 90 = x 16x + y 8y + 80 x y + 1 = 0 El centro es la intersección de esa recta y la recta dada: x y + 1= 0 C(3, 4) r = (3 3) + (4 9) = 5 x 5y + 14 = 0 Ecuación de la circunferencia: (x 3) + (y 4) = 5 x + y 6x 8y = 0 El centro está en la recta x + y = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma C(h, h). C(h, h) r = d(c, t) = h + 5h + 1 + 5 = h + 1 9 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y + h) = ( h + 1 ) 9 Como (, 1) está en la circunferencia: ( h) + (1 + h) = ( h + 1 ) h 8h + 16 = 0 h = 4 9 Ecuación de la circunferencia: (x 4) + (y + 4) = 9 x + y 8x + 8y + 3 = 0 351

El centro está en la recta 3x 4y + = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma 3h C h, + 4. 3h + 3h C h, + h + + 4 4 r = d(c, t) = 4 1 + 1 = h + 18 4 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) 3h + + y 4 = ( h + 18 ) 3 Como ( 3, 1) está en la circunferencia: ( 3 h) 3 + h + 1 4 = ( h + 18 ) 3 h + 1h + 36 = 0 h = 6 Ecuación de la circunferencia: (x + 6) + (y + 4) = 18 x + y + 1x + 8y + 34 = 0 C(h, 0) r = d(c, t) = 3h + 4 3 + = 3 h + 4 13 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + y = ( 3h + 4 ) 13 Como (, 5) está en la circunferencia: ( h) + 5 = ( 3h + 4 ) 13 h = 19 19 Ecuación de la circunferencia: x + y = 45 5 5x + 5y 988x + 468 = 0 El centro está en la recta x + y = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma C(h, h ). C(h, h ) r = d(c, t) = 4h + 3( h ) 4 4 + 3 = h 5 5 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y h + ) = ( h 5 ) 5 Como (4, 4) está en la circunferencia: (4 h) + ( 4 h + ) = ( h 5 ) 5 Ecuación de la circunferencia: x + (y + ) = 5 h = 0 35

(x 3) + (mx + ) = 4 (1 + m )x 6x + 5 = 0 Discriminante: 36 4 (1 + m ) 5 = 16 + 0m 16 0m = 0 m = 4 5 m = 5 ± Tangente. 5 16 0m < 0 m < 16 0m > 0 5 y m > 5 5 5 5 < m < 5 5 5 Exterior. Secante. x + 4x + (mx + ) 6(mx + ) 1 = 0 (1 + m )x (4 m)x 0 = 0 Discriminante: (4 m) 4 ( 0) (1 + m ) = 84m 16m + 96 84m 16m + 96 = 0 No tiene solución. 84m 16m + 96 < 0 No tiene solución. 84m 16m + 96 > 0 Siempre La recta es secante para cualquier valor de m. y + k a) x = 3 y + k 3 + y + 6 y k + 3 + 8y 6 = 0 13y + (108 + 4k)y + k + 18k 54 = 0 Para que la recta sea tangente a la circunferencia, la solución debe ser única: Discriminante: (108 + 4k) 4 13 (k + 18k 54) = 0 k = 1± 403 y + k b) x = 4 y + k 4 + y y k + 6 + 4 + 10y 1 = 0 0y + (11 + 4k)y + k 4k 16 = 0 Para que la recta sea tangente a la circunferencia, la solución debe ser única: Discriminante: (11 + 4k) 4 0 (k 4k 16) = 0 k = ± 10 353

a) C1: (x 4) 5 + y + = 11 5 Centro 4, 4 y r1 = 11 C: (x 4) 5 + y + = 149 5 Centro 4, 4 y r = 149 El centro es el mismo y r > r1 Son concéntricas. b) C1: x C: x d(c1, C) = 11 + y = 18 11 Centro, 4 y r1 = 18 + (y 5) = 141 4 Centro, 5 y r = 141 11 0 + 5 = 1 < r1 r Son interiores. c) C1: (x + 4) + (y + ) = 31 Centro ( 4, ) y r1 = 31 C: (x 3) + (y 4) = 4 Centro (3, 4) y r = d(c1, C) = ( 4 3) + ( 4) = 85 > r1 + r Son exteriores. d) C1: (x + ) + (y + 1) = 1 Centro (, 1) y r1 = 1 C: (x 1) + (y 4) = 49 Centro (1, 4) y r = d(c1, C) = (1+ ) + (4 + 1) = 5,83 < r r1 Son interiores. e) C1: (x + ) + (y 1) = 0 Centro (, 1) y r1 = 5 C: (x 6) + (y 5) = 16 Centro (6, 5) y r = 4 d(c1, C) = (6 + ) + (5 1) = 4 5 > r + r1 Son exteriores. f) C1: (x + 4) + (y ) = Centro ( 4, ) y r1 = C: (x 1) + (y + 3) = 3 Centro (1, 3) y r = 3 d(c1, C) = (1+ 4) + ( 3 ) = 5 = r + r1 Son tangentes exteriores. 354

a) C1: (x 3) + (y 3) = 5 Centro (3, 3) y r1 = 5 C: (x 4) + y = 5 Centro (4, 0) y r1 = 5 d(c1, C) = (4 3) + (0 3) = 10 < r1 + r y 10 > r1 r Secantes (dos puntos de intersección). Se resuelve el sistema formado por C1 y C: Se resta C a C1: x 3y + 1 = 0 x = 3y 1 Se sustituye en C: (3y 1) + y 8(3y 1) + 11 = 0 y 3y + = 0 y1 = 1, y = x1 =, x = 5 Puntos de intersección: (, 1) y (5, ) b) C1: (x + 3) + (y ) = 5 Centro ( 3, ) y r1 = 5 C: (x + ) + (y 5) = 5 Centro (, 5) y r1 = 5 d(c1, C) = ( + 3) + (5 ) = 10 < r1 + r y 10 > r1 r Secantes (dos puntos de intersección). Se resuelve el sistema formado por C1 y C: Se resta C a C1: x + 3y 8 = 0 x = 3y + 8 Se sustituye en C1: (8 3y) + y + 6(8 3y) 4y + 8 = 0 y y + 1 = 0 y1 = 3, y = 4 x1 = 1, x = 4 Puntos de intersección: ( 1, 3) y ( 4, 4) C(1, 3) r = k d(p, C) = (1+ 3) + ( 3 ) = 41 Si k = 41 P pertenece a la circunferencia. Si k > 41 P es interior. Si 0 < k < 41 P es exterior. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces ( x 1) + ( y + ) x ( y 3) = 5 x 10y + 9 = 0 355

Calculamos la intersección de la recta y la circunferencia: x = 5 y (5 y) + y = 5 y 4y = 0 y1 = 0, y = 4 x1 = 5, x = 3 Los puntos de intersección de la recta y la circunferencia son A(5, 0) y B( 3, 4). Longitud de la cuerda: d(a, B) = (5 + 3) + (0 + 4) = 4 5 3 5 90 x + y + = 4 r = 45 45π Área = π r = C1: (x ) + (y + 3) = 1 r1 = 1 A = π r = π C: (x ) + (y + 3) = 4 r = 4 A = π r = π Área corona circular = A A = 4 π π = 3π 1 1 4 Como el centro equidista de los puntos, se encuentra en la mediatriz de AB: P(x, y) punto de la mediatriz: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y + ) = ( x 5) + ( y + 3) 8x y 9 = 0 El centro es el punto de intersección de la mediatriz y la recta dada: 8 x y 9 = 0 x = y 15 11 11 15 x y + = 0 8 ( y ) y 9 = 0 y = x C, = r = d(a, C) = 11 15 44 1 + + = 4 11 15 1 Ecuación de la circunferencia: x + y = 356

El centro de la circunferencia es la intersección de las bisectrices de las intersecciones de las rectas. Sea P(x, y) un punto de la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y t, entonces d(p, r) = d(p, t): x + y + + 1 = x + y 5 + 1 La solución son dos ecuaciones. Se elige la recta adecuada que pasa por la circunferencia: x + y + = x y + 5 x + y 1 = 0 Sea P(x, y) un punto de la bisectriz del ángulo formado por las rectas s y t, entonces d(p, s) = d(p, t): x y 10 + 1 = x + y 5 + 1 La solución son dos ecuaciones. Se elige la recta adecuada que pasa por la circunferencia: x y 10 = x + y 5 x 3y 5 = 0 Intersección de las dos rectas: x + y 1= 0 x =, y = 1 Centro de la circunferencia: C(, 1) x 3 y 5 = 0 Radio de la circunferencia: r = d(c, t) = 5 = 5 = + 1 5 5 Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y + 1) = 5 x + y 4x + y = 0 35

La ecuación es de la forma: x + y + Ax + By + C = 0 Como A(1, 0) pertenece a la circunferencia: 1 + 0 + A + C = 0 A + C + 1 = 0 Como B( 3, 1) pertenece a la circunferencia: 9 + 1 3A + B + C = 0 3A + B + C + 10 = 0 Como C(5, ) pertenece a la circunferencia: 5 + 4 + 5A + B + C = 0 5A + B + C + 9 = 0 Se resuelve el sistema: A = 5, B = 6 3, C = 3 Ecuación de la circunferencia: x + y 5 6 x 3 3 y 1 6 = 0 6x + 6y 5x 4y 1 = 0 1 6 El circuncentro del triángulo es el centro de la circunferencia: 5 3 1 5 3 x + y = 1 6 6 + 1 + 1 5 3 09 x y 5 3 1 + 6 = Circuncentro:, 1 6 358

Los centros de las se encuentran en la bisectriz del ángulo formado por los ejes: x y = 0 Los centros serán de la forma C(h, h). La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y h) = r La intersección de las circunferencias con los ejes es un único punto. Con el eje Y: x = 0 (0 h) + (y h) = r y hy + h r = 0 Como la solución es única 4h 4(h r ) = 0 h = r La ecuación queda de la forma: x + y hx hy + h = 0 P( 1, 3) pertenece a la circunferencia: ( 1) + ( 3) h( 1) h( 3) + h = 0 h = r = 4 ± 6 Ecuaciones de las circunferencias: C1: ( x + 4 + 6) + ( y + 4 + 6 ) = ( 4 6 ) C: ( x + 4 6) + ( y + 4 6 ) = ( 4 + 6 ) 359

360

( x 10) + ( y ) = 81 x + y 0x 4y 3 = 0 Consideramos el centro O(0, 0) en el centro de la elipse. 0 a 10 x y 100 36 b = 6 = = + = 1 es la ecuación de la elipse que forma el arco del puente. 361

Despejamos y en la ecuación de la recta: y = x 1 Calculamos los puntos de intersección de la recta y la elipse sustituyendo en la ecuación de la elipse: 9x + (x 1) 63 = 0 3x 8x 56 = 0 x = 14 ± 18 3, y = 9 ± 36 3 14 18 9 36 Los puntos son: + +, 3 3 y 14 18 9 36, 3 3 Longitud de la cuerda es la distancia entre los puntos: 14 18 14 18 9 36 9 36 + + + 3 3 3 3 = 36 + = 3 3 36 ( 1+ 4) 3 = 36 35 3 36

a = 41 48 000 a = 10 14 000 e = 0,016 = c a c = 0,016 10 14 000 = 1 931 44 La distancia máxima entre la Tierra y el Sol es cuando la Tierra se sitúa en el eje focal. Su distancia en ese punto es: a + c = 1 645 44 km Como a = b + c b = 14 568 139 39 334 Ecuación de la elipse: x y + = 1 14 51869 96 000 000 14 568 139 39 334 a) De la hipérbola se tiene: y = 58 6x Sustituyendo en la ecuación de la elipse: x 3(58 6x ) = 6 0x 180 = 0 x = 9 x = ±3 Los puntos de corte son: (3, ), ( 3, ), (3, ), ( 3, ) 363

Consideramos el centro O(0, 0) en el vértice de la parábola. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py Son puntos de la parábola: (10, 30) y ( 10, 30) 10 = p30 p = 40 Ecuación de la parábola: x = 480y Consideramos el centro O(0, 0) en el vértice de la parábola. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py 30 Los puntos, h = (160, h) y (18, (h 3)) = (18, 3 h) pertenecen a la parábola, por tanto: 5 600 1 800 160 = p( h) p = = h h 16 384 8 19 18 = p( 3 h) p = = (3 h) 3 h 1 800 h = 8 19 3 h 409 600 = 4 608h h 89 m 364

La ecuación de la parábola es de la forma: x = py F(0, 10) p = 0 Ecuación de la parábola: x = 40y Como el ángulo en el vértice O es recto, el área del triángulo es: OA OC 8 3 = = 8 u 365

a) y = (x + 1) Vértice: ( 1, 0) 1 1 p = 1 p = F 1, 4 Directriz: 1 y = 4 b) 4y 10 = (x 5 8x + 16) 4 y = (x 4) 5 Vértice: 4, 3 p = 4 p = F 4, Directriz: y = c) y 8 = 4(x 1 x + 1) ( y 8) = (x 1) 4 1 1 19 Vértice: (1, 8) p = p = F 1, 4 8 16 Directriz: 1 y = 16 d) 10 3 9 1 10 3 + = 8 + + + = + 16 6 8 4 y 6 x x y x 3 10 Vértice:, 4 8 1 1 3 40 p = p = F, 6 1 4 3 Directriz: 161 y = 1 366

e) x y 3 5 + 3x + 5y + 3 = 0 x y + = 5 3 y x + = 3 5 La cónica es una hipérbola de centro, con eje focal paralelo al eje Y: 3 5 a = b = A, + = 3 5 Y +,, 3 5 A', = 3 5, X c = a + b c = 14 3 5 14 F +,, 3 5 14 F ', 36

PARA PROFUNDIZAR Las circunferencias son tangentes a los ejes, con lo que sus distancias a ellos es su radio (r); como son también tangentes exteriores a la circunferencia, la distancia entre sus centros es r + 1 (la suma de sus radios). Se obtiene un triángulo rectángulo; aplicando Pitágoras: (r + 1) = (3 r) + r r 8r + 8 = 0 r = 4 ± Su suma es 8. Se resuelve el sistema que forma la intersección de las dos circunferencias: 4 + = 0 + + + 18 = 0 x x y y x x y y Si se resta la segunda ecuación a la primera se obtiene la recta: 3x + y = 9 Se trata de una circunferencia de centro C( 6, 10) y radio 4. Consideramos el punto simétrico de A respecto del eje X, A (, 5), y un punto B en la circunferencia. El camino más corto, partiendo del punto A(, 5), que pasa por el eje X y acaba en B tiene la misma longitud que el camino más corto partiendo de A (, 5), que pasa por el eje X y acaba en B. Este camino mide 4 unidades menos que el segmento A C, ya que B está en la circunferencia. A' C 4 = ( + 6) + ( 5 10) 4 = 13 Se resuelve sistema formado por las dos ecuaciones para hallar su intersección: De la segunda ecuación se obtiene y = k. Se sustituye en la primera: x x k + x = k x 4 k x + k = 0 x = k ± k 4k 4 No tiene solución si k 4 4k < 0 k < 4 Los valores enteros que cumplen esta condición son el 1 y el 1. El 0 no cuenta, pues en ambas ecuaciones resulta el origen. Por tanto, la respuesta sería. 368

Tenemos que Q(a, y1) cumple a + y = r y = r a. 1 1 Sabemos que y = ky1, con k 0. Sustituyendo, obtenemos: y a y x y y = k r a a + = r 1 1 k + = + = r kr r kr Por lo que el lugar geométrico pedido sería una elipse con un semieje de longitud el radio de la circunferencia el otro de longitud la constante k multiplicada por el radio. 369

a) Sea L(x, y) un punto de ese lugar geométrico: Como es el punto medio del segmento PQ P(x, 0) y Q(0, y) Se aplica Pitágoras al triángulo OPQ: d(o, Q) = 10 4x y = 10 4x 4y = 100 4x x + y = 5 El lugar geométrico es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5. b) Sea L(x, y) un punto de ese lugar geométrico: Como es el centro del rectángulo la distancia d(c, P) = d(c, Q) = Diagonal Aplicando Pitágoras al cuadrado se obtiene: Diagonal = 10 Diagonal = 5 Aplicando Pitágoras al triángulo CEP: d(e, P) = ( ) 5 y Se aplica lo mismo para el triángulo con base en el eje Y, con lo que: ( ) 5 y = ( ) 5 x ( ) 5 y = ( ) 5 x x = y Las coordenadas del centro del cuadrado son iguales moviéndose este en un segmento de las bisectrices de los cuadrantes: C(c1, c) = (±5α, ±5α) siendo α 1,. c) Vértice Q: su lugar geométrico es la recta: x = 0 en el intervalo [ 10, 10]. Vértice P: su lugar geométrico es la recta: y = 0 en el intervalo [ 10, 10]. Vértice R: Sea L(x, y) un punto del lugar geométrico. Se aplica Pitágoras a los triángulos rayados del dibujo para obtener los lados del triángulo sombreado. Se aplica en él Pitágoras de nuevo: 100 = ( y 100 x ) + ( x 00 y ) El lugar geométrico es la ecuación: x 00 y + y 100 x 300 = 0 Vértice S: Sea L(x, y) un punto del lugar geométrico. Se aplica Pitágoras a los triángulos rayados del dibujo para obtener los lados del triángulo sombreado. Se aplica en él Pitágoras de nuevo: 100 = ( y 00 x ) + ( x 100 y ) El lugar geométrico es la ecuación: y 00 x x 100 y + 300 = 0 30

MATEMÁTICAS EN TU VIDA Una antena parabólica es una superficie metálica con forma de paraboloide de revolución que sirve de reflector de las señales y un elemento radiante situado en el foco que recibe las señales reflectadas. Tiene múltiples usos, por ejemplo: televisión vía satélite. Se forma al girar una parábola alrededor de un eje. No es una figura plana, es tridimensional. Al ser parabólicas reflejan las señales transmitidas que inciden paralelas al eje y se concentran en el foco, donde son convertidas al formato adecuado por un receptor. Ventajas: inalámbrico; accesible para personas que no pueden optar a otra tecnología. Inconvenientes: la recepción puede alterarse según las condiciones meteorológicas; la velocidad puede ser más lenta si se envía o recibe señal a largas distancias; pueden ser algo más caras que otras tecnologías. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py F(0, 5) p = 50 x = 100y Como el diámetro es 1 m = 100 cm, uno de los extremos es x = 50 cm: 50 = 100y y = 5 cm La profundidad de la parábola es de 5 centímetros. x = 100y 31

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