Geometría es imagen. 2007
Comentario informal Esta propuesta, es un motivo de conversación, la lectura es una descripción de la realidad que se asoma a la formalización de la geometría. (Las imágenes son sacadas de Internet) Objetivo: Concepto de recta A través de las imágenes, el hombre descubre el universo El Volumen, es el espacio limitado por algunas superficies, su estudio se hace mas fácil para el aprendiz, tan solo haciendo una similitud entre los espacios reales, que le son familiares, cajas, cubos, pirámides, embases, camiones de carga, etc. Y simplificando estas formas y creando cuerpos ideales, que son luego motivo de investigación. http://images.google.cl/imgres?imgurl=http://www.proalebu.cl/proalebu79/camio nes.jpg&imgrefurl=http://www.proalebu.cl/proalebu79/cronica_local.htm&h=188 &w=250&sz=22&hl=es&start=119&tbnid=xrjibfavzmcf5m:&tbnh=83&tbnw=11 1&prev=/images%3Fq%3Dcamiones%26start%3D100%26ndsp%3D20%26svn um%3d10%26hl%3des%26lr%3d%26sa%3dn Si debe imaginar a un hombre corriendo, lo vera corriendo en línea recta, sin saber desde donde viene y a hacia donde va, y si debe asociar una imagen simple, esta imagen será una Recta. El recorrido del corredor, se determina fácilmente marcando dos marcas en la ruta, es decir.. Una recta esta determinada por dos puntos. Las rectas que se interceptan, son las que tienen distintas pendientes. Si se corta la recta en partes pequeñas y la cantidad de partes son infinitas entonces tenemos
Una recta divide un plano en dos partes, las que se llaman semiplano La recta trazada de negro, pertenece al plano, y la recta trazada de Azul! NO! Cuántos puntos tiene la recta negra con el plano? Cuántos puntos tiene la recta azul con el plano? Objetivo: Definición de segmento y circunferencia Segmento: es una porción de recta, es decir se puede medir. Si en la ruta al Norte, hay dos bencinera, es importante saber, cuantos kilómetros hay entre ellas. Simplificando la situación, lo que importa es la medida del segmento desde la primera parada a la segunda, es decir, la medida del segmento determinado por dos puntos en una recta. La medida de un segmento AB, es la misma que tiene el segmento BA. Si se sabe que la medida de un segmento es 46 metros y otro mide 92, se comenta que uno es el doble del otro. Matemáticamente, se afirma que la razón entre el primero y el segundo es 1:2, es decir el segundo (92) mide dos veces el primero (46). Según la figura, cual es la razón entre el segmento AB y BD?
A 10cm. B 30cm. C 50 cm. D La circunferencia, es el conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto dado, llamado centro. Nótese que la rueda, puede haber sido la generación de la circunferencia. Los rayos se pueden asociar con el radio de a circunferencia Un arco determinado por dos puntos de la circunferencia, se asocia al ángulo del centro. El ángulo formado por dos secantes,(rojo) se llama ángulo inscrito A 1) Cuál es el vértice el ángulo B del centro? O 2) Qué elementos de la circunferencia, forman el ángulo del centro 3) Que se entiende por secante? Evaluación-1-1. Cuántos triángulos tiene una pirámide de base cuadrada? 2. Cómo son las medidas de las caras de un cubo? 3. Qué figura tiene la base de un cilindro? 4. Qué se entiende por puntos colineales? 5. Si las medidas de los lados de una figura de 5 lados, tiende a cero (0) y la cantidad de lados tiende a infinito, que figura se forma?
6. Si los puntos A, B y C, pertenecen a una recta, en el mismo orden a que segmento corresponde AC BC? 7. Dos recta trazada en un plano, en cuantas parte divide al plano? 8. Si la medida de un segmento es 12, y la medida de otro es 48, cual es la razón entre el primero y el segundo? 9. Qué significa que la razón entre dos segmentos sea 1:1? 10. Cuántos radios tiene una circunferencia? 11. Cual es la cuerda más grande en la circunferencia? 12. Cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia, aproximadamente? 13. La medida del ángulo del centro, que relación tiene con la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco? Actividad: 1. Según la definición de ángulo recto, escriba las medidas, aproximadas, de los ángulos siguientes: Ángulo recto, asociado a 90 Ejes de simetría en un ángulo y en un segmento. La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide el ángulo en dos ángulos de igual medida.
. Cual es la medida del ángulo entre las dos bisectrices de ángulos contiguos? La simetral de un segmento es una recta en el punto medio en forma perpendicular Cómo es la medida de las distancia entre los puntos de las dos rectas paralelas anteriores? Cómo son las medidas de los ángulos opuestos? Como son los peldaños de la escalera?
Traslaciones y Simetrías a) Se traslado el primero b) se giro el primer dibujo C) el segundo dibujo es el simétrico del primero Qué afirmaría del dibujo anterior? Nótese que el cuadrado se traslado a la derecha y arriba Estas tres imágenes, son simetrías, determine los ejes de simetría.
Objetivo: Propiedades del triangulo Hay pares de triángulos que han sufrido, traslados rotaciones simetrías. Y ellos son congruentes (igual medida) Propiedad de los lados de un triangulo. 1.-Observe el ángulo y el lado opuesto Y notara que al desminuir el ángulo hace menor el lado opuesto. 2.-Con tres trazos, se podrá construir siempre Un triangulo? Por ejemplo, se puede construir un triangulo con trazos, a b y c? b c a Qué relación debe cumplirse entre los trazos para poder tener un triangulo? 3. La altura se mide, desde la parte más alta, hasta el piso en forma perpendicular 4,- dibuje las alturas de desde el punto C en cada triangulo. C C C
Los siguientes valores, pueden ser las medidas de los lados de algún triangulo? Completar: Si los ángulos de un triangulo son congruentes, entonces los lados son iguales. (Equilátero) Responda a) Cuántos ejes de simetría hay en un triangulo equilátero?
Si traza una altura del triangulo equilátero, en que parte del lado opuesto cae? La altura trazada, como divide el ángulo? Determine verdadero o falso: El triangulo verde es: Traslación del azul Giro del azul respecto de un punto Simétrico del primero Observe las isometrías de La ultima Cena Giro del azul respecto de un lado
Los rieles del tren se toparan en alguna parte? Reflexión o simetría?. Paralelas? Objetivo: ángulos entre paralelas Descubra los ángulos iguales, que se forman con la transversal y las paralelas. Agrandando los cuatro ángulos, puede ver los ángulos. 140 40 L1 143 L2
Las rectas L1 y L2, según las medidas de los ángulos son paralelas? Complete con las medidas de los ángulos que faltan Si se mide la sombra del árbol y la sombra de la vara, descubrimos la ángulos congruentes? (igual medida de los ángulos) Objetivo: ángulos interiores del triangulo
Este ejercicio es la demostración de un teorema. Complete las medidas de cada ángulo x, y, que se indica, si las rectas son paralelas a c b x y Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores del triangulo(c+x+y)? La relación entre los ángulos del triangulo, constituye el teorema de Pitágoras, redáctelo. 1. Qué elementos tienen en común los triángulos de la figura? 2. Cuántos triángulos hay en la figura? Dos triángulos son semejantes, b a si tienen los mismos ángulos y b a los lados son proporcionales. Es decir: c 1.-Los ángulos: α = α β= β δ= δ y c 2.-Los ) lados son proporcionales, es decir la razón entre los lados es igual: a/a =b/b =c/c Actividad: Doblar las figuras en papel y comparar los triángulos que se forman. Importante y poco pensado: Las figuras están en el plano
Rectángulo Cuadrado Romboide Rombo Diría que las diagonales se cortan por el punto medio? Indique los triángulos congruentes, en cada figura Precioso triangulo equilátero El triangulo equilátero.
Todos los lados son Todos los ángulos Bello, y perfecto Congruentes (igual medida) interiores, miden 60 Creativo. Sabia usted, que Napoleón descubrió unos teoremas sobre el triangulo equilátero? Supongamos un triángulo cualquiera, sobre sus lados construimos triángulos equiláteros, la unión de los centros de ellos, forman un triangulo equilátero.
Ahora trazamos las tres bisectrices De cualquier triangulo: La intersección se llama Incentro y es el centro de la Circunferencia inscrita en el Triangulo Trazar otro triangulo y determinar el incentro y dibujar la circunferencia inscrita al triangulo. Realice lo mismo con las simetrales de los lados de cualquier triangulo y encuentre otra circunferencia. Cual? La intersección de las Simetrales se llama circuncentro. Los números son el principio de todas las cosas
Pitágoras Nació en el año 569 a.c. en la isla de Samos en el mar Egeo y murió en el 475 a.c. Conocido como matemático y filósofo por su famoso teorema se le reconoce como principal figura de la secta de los pitagóricos que veneraban la magia de los números Pitagorismo: Movimiento filosófico, científico y religioso fundado en el siglo V a. C. por Pitágoras. Su tesis básica es la consideración del número como el constitutivo último de la realidad. Adoraban al 10, ya que era: la suma de los cuatro primeros números y los lados de un triangulo equilátero, los pitagóricos juraban en su nombre y se reconocían según, el respeto por este triangulo. El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para hallar longitudes en donde intervienen triángulos rectángulos La distancia entre los puntos A(3,2) y B(6,6)
Medir la distancia entre los puntos A (a,b) y B (c,d) Y 6 (6,6) 2 (3,2) 3 6 La distancia entre A (3,2) y B (6,6) Es: 2 2 [( 6 3) + ( 6 2) ] 9 + 16 = 25 = 5 = 3 2 X + 4 2 = Sean los puntos A= (a, b) y B= (c, d) Si formamos un triangulo rectángulo, los catetos, miden: c-a, y d-b, la hipotenusa es x (la distancia pedida). Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: (c- a) 2 + (d- b) 2 = x 2, entonces: X= 2 ( C A) + ( D B ) 2 Ejercicios: 1. Cual es la distancia entre los puntos A (2,6) y B (8, 14)? 2. Qué distancia hay entre el punto A y el punto A? 3. Como es la distancia entre el punto A y el B, en relación a la distancia entre B y el punto A? 4. Si se tiene un trazo, de 50 cm., a que distancia del extremo, esta un punto P, que lo divide en dos partes congruentes? 5. Si un punto P, divide al trazo AB de 40 cm. en la razón 1:3, a que distancia de B esta P? 6. Si una figura regular tiene los cuatro lados congruentes, como se llama la figura? 7. Cuántas caras tiene un cubo?
8. Si el área total de un cubo es 6 cm 2, cual es el área de cada cara? Y cuanto mide cada arista? 9. Si dos ángulos interiores de un triangulo suman 100, cuanto mide el tercer ángulo? 10. Cuánto mide el ángulo que se forma entre las bisectrices de un ángulo interior y el exterior adyacente a el? 11. Cuántas alturas tiene un triangulo? 12. Cuál es la unidad para medir áreas? 13. Cual es la medida del ángulo recto? 14. Si un ángulo recto se bisectra, cuanto mide cada ángulo menor? 15. Cuántos ángulos de 90 hay en la circunferenci a?, con vértice en el centro. 16. Cuánto mide el ángulo que se forma entre una tangente y un radio en el punto de contacto? 17. Cómo son los radios de una circunferencia? 18. Pueden ser los números, 12 10 y 2, las medidas de los lados de un triangulo? 19. Pueden los numero 100, 100, 100, loas medidas de los ángulos de los ángulos internos de un triangulo? 20. Determine los ángulos en las figuras que se indican: a) b) 100 c) 140 53 x y z X 21. Determine verdadero o falso: La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 Una pirámide de base cuadrada, tiene 4 triángulos Un cilindro tiene en la base in circulo. Los ángulos del centro de una circunferencia esta formado por dos radios En un triangulo de dos lados congruentes, tiene dos alturas que coinciden con dos bisectrices
Punta Arenas 2007