UNIDAD 11.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Estudiando el signo de la derivada primera podemos saber cuándo una función es creciente o decreciente. Esto se llama también el estudio de la monotonía de la función. Propiedad: - Si f '( ), entonces la función f es estrictamente creciente en - Si f '( ), entonces la función f es estrictamente decreciente en Ejemplo: Estudiar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) de la función f ( ) 5 1 Lo primero es fijarnos que su dominio es todo, Dom( f ) Calculamos su función derivada, que resulta f '( ) 5. Que como vemos también tiene sentido en todo, o lo que es lo mismo, su dominio de derivabilidad es todo Vamos a estudiar ahora el signo de f '. Primero veamos dónde se anula. f '( ) 5 5. Con este punto construimos una tabla de signos para f ' 5 5 (, ) (, ) f '( ) 5 + - Los signos los obtenemos de igual forma a como hacíamos en los dominios (sustituyendo por un valor del intervalo) De la tabla de signos podemos concluir que: 5 f es estrictamente creciente en (, ) 5 f es estrictamente decreciente en (, ) Ejemplo: Estudiar la monotonía de f ( ) 1 Tenemos que Dom( f ) 1 Calculamos la función derivada, (tiene por dominio de derivabilidad) en ( 1) f '( ) 1 = 1 1 1. Como vemos, la función es derivable Vemos ahora dónde se anulan el numerador y el denominador, para poder construir la tabla de signos de la derivada. Del numerador: ( ) Del denominador: 1 1 1 Ya pasamos a construir la tabla de signos: 1
(,) (,1) ( 1,) (, ) + - - + NOTA: Como podéis observar en la tabla no hemos puesto el factor del numerador pues al ser ( 1), éste siempre será positivo demos el valor que le demos y por tanto no influye en el signo de f '. Si el eponente hubiese sido impar, entonces si teníamos que haberlo puesto. Podemos concluir que: f es creciente en (,) (, ) f es decreciente en (,1) (1, ). EXTREMOS RELATIVOS Una función y f () tiene un máimo relativo en un punto de abscisa (o en el punto f ( ) es el mayor valor que alcanza f en un entorno de. Una función y f () tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa (o en el punto f ( ) es el menor valor que alcanza f en un entorno de. Ejemplo: Tenemos la función y f () cuya gráfica es la siguiente:, f ( ) ) si, f ( ) ) si Podemos observar que en el punto de abscisa 1, la función tiene un máimo relativo, que como vemos no es absoluto. También se suele decir que la función tiene un máimo relativo en (-1,). Podemos observar que en el punto de abscisa 1, la función tiene un mínimo relativo, que como vemos no es absoluto. También se suele decir que la función tiene un mínimo relativo en (1,-1).
Cómo calcular los etremos relativos de una función dada por su criterio o fórmula? Si observamos la gráfica del ejemplo anterior nos damos cuenta que las rectas tangentes tanto en el máimo como en el mínimo relativo son horizontales. Esto quiere decir que su pendiente es, o sea, f '( 1) y f '(1) Efectivamente, en los etremos relativos, si una función es derivable, su derivada tiene que valer. Lo vemos gráficamente de nuevo, con otra función diferente: Como se ve la recta tangente en el mínimo tiene por pendiente (es una recta horizontal), y como sabemos la pendiente de la recta tangente en el punto coincide con el valor de la derivada. Por tanto, f '( 1) Propiedad: Si una función y f () tiene un etremo relativo en un punto de abscisa y es derivable en, entonces f '( ) Vamos a tener dos maneras de hacerlo: 1ª forma: Usando el estudio del crecimiento y decrecimiento. Si vemos que a la izquierda de un punto (que sea del dominio de la función y derivable en él) la función es creciente y a la derecha es decreciente, podemos concluir que la función presenta un máimo relativo en el punto de abscisa. Si vemos que a la izquierda de un punto (que sea del dominio de la función y derivable en él) la función es decreciente y a la derecha es creciente, podemos concluir que la función presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa. Este método es cómodo de usar pues normalmente nos van a pedir en el problema que estudiemos la monotonía, y de paso podemos calcular los etremos relativos. Ejemplo: Dada la función f ( ) 1, calcular sus etremos relativos Como vemos se trata de una función polinómica, y por tanto, su dominio es todo. y es derivable en todo
Calculamos la función derivada f '( ), y vemos dónde se anula (estos puntos serán los posibles etremos y además nos determinan los intervalos de monotonía) 1 f '( ) 1 Ahora hacemos nuestra tabla de signos de la derivada (, 1) ( 1,1 ) ( 1, ) + - + En 1, la función pasa de ser creciente a decreciente, luego presenta un máimo relativo (también se dice que la función presenta un máimo relativo en (-1,) ) En 1, la función pasa de ser decreciente a creciente, luego presenta un mínimo relativo (también se dice que la función presenta un mínimo relativo en (1,-1) ) NOTA: Esta función es la correspondiente a la gráfica del ejemplo. Podéis comprobar como el estudio analítico corresponde con el gráfico. ª forma: Usando el criterio de la derivada segunda. Aquí se utiliza la siguiente propiedad: Propiedad: Dada una función y f () tal que f '( ), entonces si eiste la derivada ª en (si f ( ) ) " a) Si f "( ), entonces f tiene un mínimo relativo en b) Si f "( ), entonces f tiene un máimo relativo en c) Si f "( ), entonces no podemos afirmar nada. Ejemplo: Dada la función f ( ) 1, calcular sus etremos relativos. (es igual al ejemplo anterior) 1 Vemos donde se anula su derivada 1ª: f '( ) 1 Calculamos la derivada ª: f "( ) 6 Y por último vemos el valor de la derivada ª en los puntos donde se anula la derivada 1ª f "( 1) 6 ( 1) 6 En 1, la función tiene un máimo relativo f "(1) 61 6 En 1, la función tiene un mínimo relativo Como observamos este método es mucho más corto que el anterior en este caso, pero si nos piden también estudiar la monotonía, entonces es más conveniente usar la 1ª forma. Muchas veces la derivada ª es compleja de calcular, por eso quizás sea más conveniente la 1ª forma, pero se deja a gusto del alumno su uso. Ejemplo: Estudiar los etremos relativos de f ( ). (es la misma función de un ejemplo anterior) 1 Vamos a hacerlo de las dos formas. 1ª forma: Usando el estudio del crecimiento y decrecimiento.
Por el estudio realizado anteriormente en otro ejemplo, ya tenemos el estudio de la monotonía. Ponemos aquí sólo la tabla de signos de la derivada 1ª (,) (,1) ( 1,) (, ) + - - + De aquí deducimos que: En, la función tiene un máimo relativo En, la función tiene un mínimo relativo OJO! En 1, la función no puede tener etremos pues no es del dominio ª forma: Usando el criterio de la derivada segunda. Por el ejemplo del principio tenemos ya calculada la derivada: los puntos. Derivamos otra vez para la derivada ª: 1 1 1 f '( ) y dónde se anula que es en 1 f "( ) =(sacamos facto común 1) = 1 1 1 =(simplificamos y operamos)= 1 Vemos ahora los valores que toma la segunda derivada en f "() En, la función tiene un máimo relativo 1 1 f "() En, la función tiene un mínimo relativo 1 1. CURVATURA O CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN No vamos a entrar en profundidad en el significado de cóncavo o conveo en una función, sólo mediante unas gráficas veremos su significado. Una función es cónvea en un intervalo si su gráfica en ese intervalo es similar al siguiente dibujo 5
Una función es cóncava en un intervalo si su gráfica en ese intervalo es similar al siguiente dibujo Estudiar la curvatura de una función es ver dónde es cóncava o convea. La caracterización de dónde una función es cóncava o convea viene dada por el signo de la derivada segunda. Propiedad: Si f ", entonces la función es cóncava Si f ", entonces la función es convea Ejemplo: Estudiar la curvatura de f ( ) 6 Como es una función polinómica, su dominio es todo, y es derivable infinitamente en todo. Derivamos hasta la ª derivada: f '( ) 1 f "( ) 6 1 Vamos a estudiar el signo de f ". La igualamos a : 6 1 Construimos la tabla de signos: (,) (, ) 6 1 - + Cóncava Convea En (,), la función es cóncava. En (, ), la función es convea. La gráfica de esta función es como sigue, para que veáis que coincide con el estudio realizado 6
En =, se produce el cambio de concavidad o curvatura NOTA: Como siempre, se puede decir que en (, -16) es donde se produce el cambio de curvatura, en lugar de decir =.. PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición: Diremos que una función y = f() tiene un punto de infleión en, cuando la función cambia de curvatura en ese punto. Si pasa de convea a cóncava, se llama punto de infleión conveo-cóncavo. Si pasa de cóncava a convea, se llama punto de infleión cóncavo-conveo. Para calcularlos hay también dos formas, aunque la más fácil es estudiando la curvatura como hemos hecho en el punto anterior. La otra forma se basa en la siguiente propiedad: Propiedad: Si la función y = f() tiene derivada segunda nula en un punto, y su derivada tercera es distinta de, entonces es un punto de infleión. NOTA IMPORTANTE: Si f "( ) es un punto de infleión y y f () es derivable dos veces en, entonces Ejemplo: Calcular los puntos de infleión de f ( ) 6 Esta función es la de un ejemplo de la curvatura, aprovechamos lo ya hecho: (,) (, ) 6 1 - + Convea Cóncava Como vemos, en, la función tiene un punto de infleión conveo-cóncavo. Vamos a hacerlo de la otra forma. Hacemos la ª derivada e igualamos a, resultando los posibles puntos de infleión. f "( ) 6 1 6 1 Hacemos la ª derivada y vemos el valor en f "'( ) 6 f "'() 6 En, hay un punto de infleión. De esta forma se obtiene menos información de la curva (no sabemos si es conveo-cóncavo o viceversa), pero puede resultar a veces más rápido. Ejemplo: Estudiar la curvatura y los puntos de infleión de la función y Siempre primero tengamos en cuenta el dominio: Dom y. En su dominio esta función es derivable pues es racional y no se anula el denominador Calculamos la ª derivada: y' y " puntos de infleión y nos permite hacer la tabla de signos: 7 ( ). Veamos dónde se anula que serán los posibles y" = No hay solución.
Hacemos la tabla de signos y OJO!!! hay que tener en cuenta también los que anulan al denominador que no son del dominio. (,) (, ) - + Convea Cóncava Podemos concluir que: En (,), la función es convea. En (, ), la función es cóncava. Y no tiene puntos de infleión, pues en = no tiene sentido pues no es del dominio. 5. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: Definición: Si un punto (,y) se desplaza continuamente por una función y = f() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Veamos una gráfica: Como vemos en esta gráfica la recta r se aproima todo lo que queramos a la función (aunque no llega a cortarla o tocarla). A r se le llama asíntota vertical de f en =. Vemos que lím f ( ) De manera análoga, vemos que tiene una asíntota horizontal en +, que es la recta s: y =. Se observa que lím f ( ) Las asíntotas se clasifican en tipos: a. Asíntotas verticales Son paralelas al eje OY. Son de la forma lím f ( r a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún tipo de infinito: También vale cuando tendemos a a por la izquierda o por la derecha. Estos números a suelen ser los puntos etremos de los intervalos del dominio. a 8
Ejemplo: Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) 1 Dom f. Las posibles asíntotas verticales son = 1 ó = -1 Primero el dominio de la función: ( ) 1, 1 Veamos que pasa con la función alrededor de esos puntos, calculando los límites: En = 1, hacemos los laterales pues aparece en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a. lím 1 = 1 1 = Al acercarnos por la derecha al 1, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = 1 lím 1 = 1 1 = Al acercarnos por la izquierda al 1, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en = 1. De manera general, decimos que la recta r: = 1 es una asíntota vertical. En = -1, hacemos los laterales pues aparece en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a. lím 1 = 1 1 = Al acercarnos por la derecha al -1, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = -1 lím 1 = 1 1 = Al acercarnos por la izquierda al 1, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en = -1. De manera general, decimos que la recta r: = -1 es una asíntota vertical. Veamos gráficamente la información que nos ha aportado este estudio. Nos da una buena idea de la gráfica de la función En = 1 En = -1 Las dos a la vez 9
Ejemplo: Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) 1 En este caso, el dominio de la función Dom( f ), con lo cual no tiene A.V. y no hay que hacer nada más Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de f ( ) ln Como sabemos, Dom (ln) (, ). Por tanto puede presentar una A.V. en =. Veamos los límites laterales: lím ln, como sabemos, luego r: = es una A.V. por la derecha El límite lateral izquierdo en no se puede calcular pues por ahí la función ln no está definida Gráficamente tenemos algo así: 1 si Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de f ( ) 1 sis 1 si En este caso, también tenemos que Dom( f ), pero al ser definidas por partes, puede que tenga A.V. en los puntos que cambia de definición o en los puntos donde la función no este definida. Aquí sólo se plantea en =, y vamos a calcular los límites laterales. 1 1 lím lím 1. Por la derecha hay A.V., que es r : = NO hay A.V. por la izquierda Gráficamente esta función es así: 1
b. Asíntotas horizontales Son rectas paralelas al eje OX, o sea, de la forma r y a. Ese nº a se calcula mediante los límites en el y en el. Es decir, calcular lím f () y lím f () Como máimo una función sólo puede tener dos A.H. Veamos ejemplos: 1 Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función f ( ) 1 En esta función su dominio es Dom( f ),, que no influye para nada pues vamos a hacer límites en el infinito lím 1 horizontal en Como el límite eiste, tenemos que la recta r y es una asíntota 1 lím Como el límite eiste, tenemos que la recta r y es una asíntota horizontal en. Como es la misma, podemos decir que la recta r y es la asíntota horizontal Gráficamente, Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función El dominio es todo R. Vamos calcular los límites en infinito: 5 lím e La recta r y es A.H. en lím e 5 No tiene A.H. en Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función f ( ) e 5 Observamos que tiene por un lado y por otro no Os dejo a vosotros comprobar que no tiene asíntotas horizontales. 1 f ( ) 5 c. Asíntotas oblicuas Son aquellas que son inclinadas (pendiente distinta de ). Serán rectas de la forma r y m n Hay que hacer límites también en y en para calcular los valores de my ny son los siguientes: 11
En En f ( ) m lím n lím f ) m f ( ) m lím n lím f ( ) m ( Propiedad: Si una función y = f() tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas en el correspondiente infinito. Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de la función Tenemos que ( ),5 m lím 1 f ( ) 5 Dom f, que no nos influye en el cálculo de las A. Oblicuas. 1 5 En 1 lím lím ( 5) 1 n lím lím 5 1 ( 5 5 Su gráfica es así: 5 lím 1 5 5 La A.O. en es: r : y 5 1 1 5 ) En (todo es análogo a + ) n f ( ) m lím =1 Hacedlo vosotros lím f ( ) m =5 Hacedlo vosotros La A.O. en es: r : y 5 1
1 si Ejemplo: Sea la función f ( ). Calcular sus A. Oblicuas 1 si El dominio de esta función es: Dom( f ),, En los reales que no son del dominio es donde puede presentar asíntotas verticales. Podéis comprobar que r y s son sus asíntotas verticales. Pasamos a estudiar las oblicuas. En m 1 lím 1 lím lím ( ) 1 La pendiente es, luego no puede ser 1 una asíntota oblicua, en todo caso será horizontal. Veamos si tiene horizontal: lím r y es asíntota horizontal en (esto no era necesario, pues no lo pedía el problema) En m 1 lím 1 lím lím ( ) 1 n lím ( ) lím 1 1 1 1 lím La recta s y es A. Oblicua en Para que veáis gráficamente lo calculado, la gráfica de la función con sus asíntotas es: 1
6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Vamos a intentar con los conocimientos que tenemos representar de forma aproimada de funciones y básicamente nos vamos a apoyar en el estudio de: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, etremos locales, intervalos de concavidad (f''()>) y de conveidad (f''()<), puntos de infleión y una tabla de valores para afinar. Vamos a hacerlo mediante ejemplos: Ejemplo: Representa gráficamente la función f ( ) 9 Dominio Como vemos se trata de una función polinómica de grado, por tanto, su dominio son todos los números reales, Dom( f ) Cortes con los ejes - Cortes eje OX y 9 Resolvemos el sistema y 9 9 9 6 Los puntos de corte son: 6, - Corte eje OY, y Resolvemos el sistema y y 9 nos sale, como era de esperar el punto, Asíntotas - A. Verticales No tiene puesto que su dominio es Dom( f ) - A. Horizontales Veamos los límites en y en lím ( 9 ) lím ( ) No tiene en lím ( 9 ) lím ( ) No tiene en - A. Oblicuas Veamos en, 9 m lím lím lím No tiene oblicuas en Análogamente en 1
Monotonía y etremos relativos Derivamos la función f ( ) 6 9. Igualamos a y hacemos la tabla de signos de la derivada. 6 6 7 6 6 f ( ) 6 9 6, 6, f,6 ( ) 6 9 + - + f creciente f decreciente f creciente A partir de la tabla también obtenemos los etremos relativos, que son: es un máimo relativo. Calculamos () 8 6 es un máimo relativo. Calculamos (6) f, y por tanto el punto f, y por tanto el punto,8 es máimo relativo 6, es máimo relativo Curvatura y puntos de infleión 6 Calculamos la derivada segunda, f ( ) 6 f ( ) 6La igualamos a y hacemos el estudio de su signo mediante una tabla f ( ) 6,, f( ) 6 - + f cóncava f convea Como podemos observar en el punto presenta un punto de infleión cóncavo-conveo. Calculamos (), f, y se trata del punto Tabla de valores: No es necesario realizar tabla de valores, pues con los datos ya podemos dibujar la función. Podéis hacer algunos valores si queréis. La gráfica queda como sigue: 15
Ejemplo: Representa gráficamente la función y 1 Operamos efectuando la sustracción y, que nos queda de manera más simple. Dominio Como vemos se trata de una función raciona, por tanto, su dominio son todos los números reales que no Dom( f ) anulen el denominador. En este caso, es obvio que Cortes con los ejes - Cortes eje OX y Resolvemos el sistema y Solo hay un punto de corte:, - Corte eje OY Obviamente es el punto, Asíntotas - A. Verticales En puede presentar asíntotas verticales. Veamos los límites laterales: lím lím Luego es asíntota vertical - A. Horizontales Veamos los límites en y en lím 1 La recta y 1es asíntota horizontal en lím 1 La recta y 1es asíntota horizontal en - A. Oblicuas No tiene puesto que tiene oblicuas Monotonía y etremos relativos 1 ( ) 1 Derivamos la función y y. Igualamos a ( ) ( ) ( ), que como vemos no se anula nunca. Hacemos la tabla de signos de la derivada sólo con el punto que no es del dominio,, y ( ) + + f creciente f creciente 16
Como podemos observar no tiene etremos relativos. Curvatura y puntos de infleión ( ) ( ) ( ) Calculamos la derivada segunda, y y y ( ) ( ) ( ) La igualamos a y es obvio que tampoco se anula.. Hacemos la tabla de signos de la derivada segunda sólo con el punto que no es del dominio y ( ),, + - f convea f cóncava No tiene ningún punto de infleión, pues donde cambia de curvatura, no es del dominio de definición Tabla de valores Hacemos una pequeña tabla de valores para la función y -1-1 y -1 1/ 1/ Ya podemos dibujarla, NOTA: Esta función la podíamos haber representado con los conocimientos adquiridos el año pasado para representar hipérbolas, y hubiese sido más rápido 17