S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Dí: 7 - IV - 5 CURSO 4-5 ) Durción: HORA y 3 MINUTOS. b) Debes elegir entre relizr únicente los cutro ejercicios de l Opción A o bien únicente los cutro ejercicios de l Opción B c) Contest de for rzond, escribe ordendente y con letr clr. d) Puedes usr clculdor (puede ser progrble o tener pntll gráfic). Opción A.- Sen F, F, F 3, ls fils prier, segund y tercer, respectivente, de un triz B de orden 3, cuyo deterinnte vle -. Clcul, indicndo ls propieddes que utilices: ) [,5 puntos] El deterinnte de B -. b) [,5 puntos] El deterinnte de (B t ) 4 (B t es l triz trspuest de B). c) [,5 puntos] El deterinnte de B. d) [ punto] El deterinnte de un triz cudrd cuys fils prier, segund y tercer son, respectivente, 5F - F 3, 3F 3, F..- Consider l triz A ) [ punto] Hll los vlores del práetro pr los que el rngo de A es enor que 3 x b) [,5 puntos] Estudi si el siste A. y tiene solución pr cd uno de los vlores de obtenidos en z el prtdo nterior. x 3.- [,5 puntos] Se consider l rect r definid por y μ y l rect s definid por y μ -. Hll l z λ - z - ecución de l rect perpendiculr coún r y s. x - y + z - 4.- Dd l rect r definid por 3 ) [,75 puntos] Hll l ecución del plno que ps por el origen y contiene r. b) [,75 puntos] Hll l ecución del plno que ps por el origen y es perpendiculr r. c) [ punto] Ddos los puntos A (,, ) y B (,, ), hll los puntos C en el eje OX tles que el áre del triángulo de vértices A, B y C es.
S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Dí: 7 - IV - 5 CURSO 4-5 ) Durción: HORA y 3 MINUTOS. b) Debes elegir entre relizr únicente los cutro ejercicios de l Opción A o bien únicente los cutro ejercicios de l Opción B c) Contest de for rzond, escribe ordendente y con letr clr. d) Puedes usr clculdor (puede ser progrble o tener pntll gráfic). Opción B.- Se sbe que el deterinnte de l tiz A utilices, los siguientes deterinntes: ) [ punto] det(-a) y det(a - ). + b) [,5 puntos] 7 3 7 3 7 3 3 y 3 3 3 + + 3 3 3 5 5 5 3 3 3 3. es - 3. Clcul, indicndo ls propieddes que.- Consider el siguiente siste de ecuciones + y + z - x + y + z x + y + z ) [,5 puntos] Discútelo según los vlores del práetro. b) [ punto] Resuelve el cso. 3.- Se l rect s dd por z y z 3 ) [,5 puntos] Hll l ecución del plno π que es prlelo l rect s y contiene l rect r, dd por x - - y + z - 3 b) [,5 puntos] Estudi l posición reltiv de l rect s y el plno π, de ecución x + y 3, y deduce l distnci entre bos. 4.- Sen los vectores u (,-,3), v (,,-) y w (λ,,). ) [,75 puntos] Clcul los vlores λ que hcen que u y w sen ortogonles. b) [,75 puntos] Clcul los vlores λ que hcen que u, v y w sen linelente independientes. c) [ punto] Pr λ escribe el vector r (3,, ) coo cobinción linel de u, v y w.
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A.- Sen F, F, F 3, ls fils prier, segund y tercer, respectivente, de un triz B de orden 3, cuyo deterinnte vle -. Clcul, indicndo ls propieddes que utilices: ) [,5 puntos] El deterinnte de B -. b) [,5 puntos] El deterinnte de (B t ) 4 (B t es l triz trspuest de B). c) [,5 puntos] El deterinnte de B. d) [ punto] El deterinnte de un triz cudrd cuys fils prier, segund y tercer son, respectivente, 5F - F 3, 3F 3, F. ) Pr clculr el deterinnte de B - utilizos l propiedd de que el deterinnte de l triz identidd vle : B.B - I 3 B.B - I 3. Por otro ldo sbeos que el deterinnte de un producto de trices cudrds es igul l producto del los deterinntes de dichs trices: B. B - -.IB - B - -. b) Pr clculr el deterinnte de (B t ) 4 utilizos l propiedd de que el deterinnte de un producto de trices cudrds es igul l producto del los deterinntes de dichs trices: (B t ) 4 B t 4 (-) 4 6. c) Pr clculr el deterinnte de B utilizos l propiedd de que si un fil está ultiplicd por un núero dicho núero es fctor coún del deterinnte. B (F, F, F3).. (F, F, F3) 3 (-) -6. d) Pr clculr el deterinnte de l triz cudrd cuys fils prier, segund y tercer son, respectivente, 5F - F3, 3F3, F utilizos ls propieddes de que si: un fil está ultiplicd por un núero dicho núero puede slir fuer del deterinnte fctor coún ultiplicndo l deterinnte si un fil de un deterinnte es su de dos sundos dicho deterinnte es igul l su de dos deterinntes colocndo en dich fil el prier y segundo sundo respectivente, si un deterinnte tiene dos fils igules o proporcionles el deterinnte es cero, si un fil está ultiplicd por un núero dicho núero puede slir fuer del deterinnte coo fctor coún, ultiplicndo l deterinnte. (5F - F3, 3F3, F) (5F, 3F3, F) + ( - F3, 3F3, F) 5.3. (F, F3, F) + -5. (F, F, F3) (-5).(-) 3. Ejercicio. Consider l triz A ) [ punto] Hll los vlores del práetro pr los que el rngo de A es enor que 3. x b) [,5 puntos] Estudi si el siste A. y tiene solución pr cd uno de los vlores de obtenidos z en el prtdo nterior. Si A, el rngo de l triz A es 3. Vos clculrlo: 3
A Desrrollos el deterinnte scndo fctor coún en l ª y 3ª fils: A.. Restos l ª y 3ª fils l ª fil. Desrrollndo finlente por l prier colun: A - - -...(-) Si A (-), con soluciones dobles y. El rngo de A es enor de 3 si y. b) L triz de coeficientes es A y l plid es Si l triz de los coeficientes A y l plid es siendo rg(a) y rg(a*) y que -. El Teore de Rouché-Frobenius nos dice que el siste es incoptible y no tiene solución. Si l triz de los coeficientes A y l plid es siendo rg(a) rg(a*). El Teore de Rouché-Frobenius nos dice que el siste es coptible indeterindo con infinits soluciones. Coo el rngo es uno hy un únic ecución: x + y + z. Pretrizos tondo y λ, z μ, y obteneos coo soluciones: (-λ-μ, λ, μ) con λ, μ R. 3.- [,5 puntos] Se consider l rect r definid por λ z y x y l rect s definid por z μ y μ x. Hll l ecución de l rect perpendiculr coún r y s. Vos resolverlo clculndo los puntos de intersección P y Q de l rect t con ls rects r y s. L rect r ps por el punto A (,, -) y tiene coo vector director u (,, ), luego un punto genérico de r es P (,, λ-). L rect s ps por el punto B (, -, -) y tiene coo vector director v (,, ), luego un punto genérico de s es Q (μ, μ -,-). 4
Foros el vector PQ (μ -, μ -,- λ+) y le obligos que se perpendiculr los vectores u y v, es decir que su producto esclr con bos se nulo: PQ. u (μ -, μ -,- λ+).(,,) - λ+ λ y el punto es P (,, -) PQ. v 3 3 3 (μ -, μ -,- λ+).(,,) μ - + μ - μ 3 μ y el punto es Q,, - - L rect pedid es l que ps por P (,, -) y tiene coo vector director PQ,,, uno proporcionl es (, -, ). L ecución de l rect t perpendiculr bs pedid en prétrics es x + α y - α con α R z x- y+ z- Ejercicio 4. Dd l rect r definid por 3 ) [,75 puntos] Hll l ecución del plno que ps por el origen y contiene r. b) [,75 puntos] Hll l ecución del plno que ps por el origen y es perpendiculr r. c) [ punto] Ddos los puntos A (,, ) y B (,, ), hll los puntos C en el eje OX tles que el áre del triángulo de vértices A, B y C es. ) A prtir de l ecución de l rect observos que ps por el punto A (, -, ) y tiene coo vector director u (, 3, ). Pr hllr l ecución del plno que ps por el origen y contiene r, consideros el punto O (,, ) y los vectores directores OA (, -, ) y u (, 3, ). El plno pedido es: x y z - - 7x-3y+(-5)z 7x-3y-5z 3 b) Pr hllr l ecución del plno que ps por el origen y es perpendiculr r consideros su vector crcterístico n que coincide con el vector director de l rect u (, 3, ). Su ecución será: x + 3y + z + K Obligos que pse por el origen O(,,) y teneos que: +++K K El plno pedido es: π x + 3y + z c) Coo el punto C está en el eje OX, es de l for C (,, ). Sbeos que el áre de un triángulo es ½ del ódulo del producto vectoril de dos vectores con origen coún, es decir: AB (-, -, ) AC (-, -, -) S AB x AC i - - j - k + + (-) 5 + u Según el enuncido del proble: 5 + 5 + 4 5+ 6 ± Los posibles puntos solución son: C (,, ) y C (,, ) 5
Opción B.- Se sbe que el deterinnte de l tiz A que utilices, los siguientes deterinntes: ) [ punto] det(-a) y det(a - ). + b) [,5 puntos] 7 3 7 3 7 ) Coo k A k n. A teneos que: -A (-) 3. A -8.3-4 3 3 y 3 3 + + 3 3 3 3 5 5 5 3 3. 3 3 es - 3. Clcul, indicndo ls propieddes Coo el producto de un triz por su invers es l identidd A - A I y el deterinnte de un producto es el producto de deterinntes A.B A. B teneos que: I A - A A - A A - - A - 3 3 b) Utilizndo ls propieddes: Si un fil (colun) de un deterinnte est ultiplicd por un núero, dicho núero sle fuer ultiplicndo todo el deterinnte Si intercbios entre si dos fils (coluns) de un deterinnte el deterinnte cbi de signo. Obteneos: 7 3 7 3 7 3 3 7.. 3 3 3 3-4. 3 3 3 3-4-3-4 Utilizndo ls propieddes: Si un fil (colun) un deterinnte es su de dos sundos, dicho deterinnte se puede descoponer en su de dos deterinntes colocndo en dich fil (colun) el prier y segundo sundo respectivente. Si un fil (colun) de un deterinnte est ultiplicd por un núero, dicho núero sle fuer ultiplicndo todo el deterinnte Si un deterinnte tiene dos fils proporcionles, dicho deterinnte vle. El deterinnte de un triz es igul l deterinnte de su triz trspuest. Obteneos: + 5 5 5 3 3 + + 3 3 5 5 3 3 3 3 5 5 3 3 + 5 5. 3 3 3 5 3 3 3 3 3 3 + 5.(-3) -5.- Consider el siguiente siste de ecuciones + y + z - x + y + z x + y + z ) [,5 puntos] Discútelo según los vlores del práetro. b) [ punto] Resuelve el cso. 6
) L triz del siste es A y l triz plid A* -. Si A, rngo(a) rngo(a * ) 3. El siste es coptible y deterindo y tiene solución únic. -(-)(-) Resolveos A, es decir ( - )( - ), de donde y Si y, teneos A con lo cul rngo(a) rngo(a * ) 3, y por el teore de Rouché el siste es coptible y deterindo y tiene solución únic. Si, A y A* En A coo -, teneos rngo(a) En A * coo -, teneos rngo(a * ) 3 Coo rngo(a) rngo(a * ) 3, por el teore de Rouche el siste es incoptible y no tiene solución. Si, A y A* En A coo -, teneos rngo(a) En A * coo, porque dos coluns son igules, teneos rngo(a * ) Coo rngo(a) rngo(a * ), por el teore de Rouché el siste es coptible e indeterindo. b) Coo vios en el prtdo nterior es un siste coptible indeterindo. Teneos dos ecuciones (ls dos priers, con ls que heos clculdo el rngo de A) y dos incógnits principles. x + y + z x + y + z. Toos z λ R x + y - λ x + y - λ Restos bs ecuciones y teneos x - λ Sustituyendo en x + y + z, nos result: y. L solución del siste es: (x, y, z) (-λ,, λ) con λ R 7
x- z - 3.- Se l rect s dd por y- z 3 ) [,5 puntos] Hll l ecución del plno π que es prlelo l rect s y contiene l rect r, dd por x - - y + z 3 b) [,5 puntos] Estudi l posición reltiv de l rect s y el plno π, de ecución x + y 3, y deduce l distnci entre bos. z ) L rect s de ecución, viene dd coo intersección de dos plnos. Vos obtener y z 3 un punto y un vector directo suyos. Pr el punto toos y, de donde z 3 y x. Punto A(,,3) El vector director lo vos dr coo el producto vectoril de los vectores norles de cd plno. i j d k s - i -.j +. k (, -, ) L rect r, dd por x - - y + z 3 l poneos en for continu (Observ que l y v x y z 3 ultiplicd por -). Su ecución en for continu es, por tnto un punto suyo es B (,, 3) y un vector director es d r (, -,). Coo e piden un plno p que se prlelo l rect s y que conteng l rect r, toos pr el plno el punto B de l rect r y los vectores d r y d s Ls ecuciones prétrics del plno serín + λ + μ π y λ μ con λ, μ R z 3 + λ + μ El plno en for generl serí x - y - z - 3 π - (x )() (y )() + (z 3)() - x + z b) Pr estudir l posición reltiv de l rect s y el plno π x + y 3, poneos l rect en prétrics l sustituios en el plno y resolveos l ecución que nos slg. Con el punto A(,,3) y el vector directo s + λ y λ z 3 + λ Sustituyendo en el plno π nos qued ( + λ ) + ( - λ) 3, de donde λ d s (, -, ) ls ecuciones prétrics de l rect s son: Por lo tnto l rect s cort l plno π en el punto C( + (), -(), 3 + () ) C(4, -, 5). Coo l rect cort l plno l distnci de l rect l plno es nul. 4.- Sen los vectores u (,-,3), v (,,-) y w (λ,,). ) [,75 puntos] Clcul los vlores λ que hcen que hcen que u y w sen ortogonles. b) [,75 puntos] Clcul los vlores λ que hcen que hcen que u, v y w sen linelente independientes. c) [ punto] Pr λ escribe el vector r (3,, ) coo cobinción linel de u, v y w. ) Si los vectores u y v son ortogonles su producto esclr es nulo: u. v λ-+ λ. 8
b) Los vectores son linelente independientes si el rngo de l triz ford por sus coordends es 3, es decir si u, v, w - 3 - λ λ(-) - (--3) + λ + 4 λ -4 Luego si λ -4, los vectores son linelente independientes. c) Si nos fijos no hy que efectur ningún desrrollo porque l sur los tres vectores u, v y w, obteneos el vector r. Sbeos que el vector r es cobinción linel de los vectores u, v y w si existen núeros reles, b y c, no todos nulos tles que r u + b v + c w, es decir: (3,,) (,-,3) + b (,,-) + c (,,) (,-,3) + (b,,-b) + (c,c,) (+b+c,-+c,3-b). Igulndo iebro iebro teneos el siste + b + c 3 - + c 3-b Despejndo b y c en función de en l ª y 3ª ecuciones obteneos: c b 3 - Que sustituios en l ª ecución +3-+ 3 5 5 Sustituyendo vlores en l expresión de b y c: c b 3- Luego qued que: r u + v + w 9