UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo el áre somred de l figur siguiente, que es el áre limitd por l función f ( ) = entre = y = y el eje OX Lo que vmos hcer es trocer el intervlo en suintervlos, y esto lo llmmos un prtición del intervlo. Definición.- Ddo un intervlo cerrdo [, ], diremos que un conjunto ordendo y finito de números reles P = {,,,..., n, } es un PARTICIÖN del intervlo [, ] si se cumple que = < < <... < n < n =, con lo que los (n+) números reles dividen l intervlo [, ] en n suintervlos. Gráficmente quedrí sí: Aquí en el diujo hemos hecho los suintervlos de l mism mplitud pero no es necesrio, pueden tenerl diferente. Consideremos hor que queremos clculr el áre siguiente: el determindo por l función y = f() y el eje OX entre y UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
Vmos tomr un prtición del intervlo P = {,,,..., n, } cumpliendo que = < < <... < n < = Y en cd suintervlo de l form, ], tommos el mínimo soluto que lcnz l función en ese [ i i+ intervlo y lo llmmos m i y podemos construir medinte rectángulos un proimción por defecto del áre determinr, como podemos oservr en el diujo siguiente: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
El áre de cd rectángulo es se por ltur: ( i+ i ) mi+ con i n y si los summos tods ls áres de los rectángulos otenemos l proimción del áre que queremos clculr. A est sum l llmmos sums inferiores socid l prtición P y se represent por s(p). Así: s(p) = ( ) m + ( ) m + ( ) m +.+ ( n n ) mn + ( n n ) mn Que revindo con el signo sumtorio nos qued: s(p) = i i i+ i= Análogmente pr l mism prtición P podemos hor tomr los máimos solutos en cd intervlo [ i, i+ ] y los notmos por M i. Podemos otener un proimción por eceso del áre determinr, como podemos oservr en el diujo siguiente: n ( ) m + El áre de cd rectángulo es se por ltur: ( i+ i ) M i+ con i n y si summos tods ls áres de los rectángulos otenemos l proimción del áre que queremos clculr. A est sum l llmmos sums superiores socid l prtición P y se represent por S(P). Así: S(P) = ( ) M + ( ) M + ( ) M +.+ ( n n ) M n + ( n n ) M n Que revindo con el signo sumtorio nos qued: S(P) = i= n ( i ) M i+ Fácilmente se oserv que: s( P) Áre S( P). Esto es pr est prtición, supongmos que l prtición l vmos hciendo much más fin (umentmos n, el nº de puntos en que dividimos el intervlo), es más, i+ UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
hcemos lím s(p) n + y lím S(P). Estos límites drán como resultdo el áre pedid, y podemos concluir n + que: lím s( P) = Áre = lím S( P) n + n + El ejemplo de función que hemos usdo es continu, creciente y positiv en [, ] pero funcion igul pr funciones que sen continus en [, ], lo único que ps que si es negtiv, el resultdo puede tener signo positivo o negtivo Definición.- Dd un función f continu en un intervlo cerrdo [, ], se define l integrl definid de l función f en el intervlo [, ] que se represent como f ( ) d = lím s( P) = lím S( P) n + n + f ) d ( l siguiente vlor: Al nº se le llm límite superior de integrción y l nº se le llm límite inferior de integrción NOTAS: Pr clculr el áre tenemos que tener muy en cuent el signo de l función, como vemos continución ) Si l función es positiv en el intervlo [, ], entonces Áre = f ( ) d ) Si l función es definid negtiv en el intervlo [, ], entonces Áre = por l definición f ( ) d f ) d (, pues tenemos que UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
) Si l función cmi de signo en el intervlo [, ], entonces tenemos que trocer l integrl (vése el diujo) seprndo ls prtes positivs de ls negtivs: Áre = Áre- + Áre- + Áre- = c d f ( ) d + con el eje OX c f ( ) d d f ) d (. Por tnto será necesrio conocer los puntos de corte de l función Propieddes de l integrl indefinid:.- Si los límites de integrción son igules, l integrl definid es nul f ( ) d =.- Si y = f () es positiv en el intervlo [, ], entonces f ( ) d >, y coincide con el áre del recinto..- Si y = f () es negtiv en el intervlo [, ], entonces f ( ) d <, y coincide con el áre del recinto pero de signo opuesto. c.- Si c.es un punto interior del intervlo [, ], se cumple que: + c f ( ) d f ( ) d = f ( ) d 5.- Al intercmir los límites de integrción, l integrl cmi de signo: ( ) d = 6.- Linelidd de l integrl indefinid: f f ( ) d 5 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
[ ( ) ± g( ) ] d = f ( ) d f ± g( ) d k f ( ) d = k f ( ) d 7.- Si f ( ) g( ) en el intervlo [, ], entonces ( ) d f g( ) d Ejemplo.- Con los dtos del diujo, que represent un función y el áre de determinds regiones con el eje OX, vemos que:: ) f ( ) d = 7 ) d) f ( ) d = 7 e) 5 f ( ) d = 5 5 c) f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d = ( ) + 7 = 5 f ( ) d = + 7 = f) 5 5 5 f ( ) d = + 7 + = 6 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL. REGLA DE BARROW Teorem fundmentl del cálculo integrl: Dd un función y = f () continu en un intervlo cerrdo [, ] y considermos l función socid G ) = f ( t) dt ( con [, ], entonces se tiene que: - G es derivle en [, ] - G es un primitiv de f, es decir, G '( ) = f ( ) [, ] Regl de Brrow: L integrl definid de un función f continu en un intervlo cerrdo [, ] es igul l diferenci de los vlores que tom un primitiv culquier F de f de los etremos superior e inferior del intervlo [, ] Se denot por: [ F( ) ] = F( ) F( ) f ( ) d = Resumiendo, pr clculr integrles definids f ) d ( hcemos los siguientes psos:. Clculmos l integrl indefinid correspondiente I = f ( ) d. Tommos un primitiv culquier, normlmente se tom pr C =.. Aplicmos l Regl de Brrow es primitiv. Ejemplo.- Clculr ( + ) d Clculmos l integrl indefinid correspondiente: I = ( + ) d = + + C Tommos un de ls primitivs (por ejemplo pr C = ) Aplicmos l Regl de Brrow: F( ) = + = ( + ) d ( + ) d + 5 9 6 = + 6 - = = ( ) ( ) + - + ( ) 7 68 85 - = 6 6 6 7 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
8 Ejemplo.- Clculr d + Clculmos l integrl indefinid: I = d medinte sustitución o cmio de vrile. + = t Hcemos el cmio: t = + y sustituimos. d = t dt I = t dt = dt y nos result otr integrl que hemos de hcer por descomposición en ( t ) t ( t ) frcciones simples, como ovimente: t = ( t )( t + ), tenemos que poner: A B A( t + ) + B( t ) = + = = A ( t + ) + B( t ) ( t ) t t + ( t ) ( t )( t + ) Dmos vlores: Pr t = = A A = Pr t = = B ( ) B = t + I = ( + ) d = ln t + ln t + + C I = ln + C Por último, deshcemos el cmio, pues como t t + t t = + t = + : + + I = ln + C + + + Tommos l primitiv con C = F ( ) = ln + Por último plicmos l regl de Brrow: 8 + d = ln + + + 8 = ln 8 + + 8 + - ln + + + = ln ln= ln VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 7 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio, 5, 6, 7 y 8. 8 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
. ÁREA ENCERRADA BAJO UNA CURVA Vmos clculr en este punto el áre determind por un función y = f (), el eje OX y ls rects verticles = y = Pr poder relizr este cálculo deemos de: - Representr gráficmente l función y = f () (especilmente en el intervlo [, ]). - Delimitr el recinto cuy áre queremos clculr. - Tener en cuent el signo de l función. Si es negtiv, l integrl indefinid sldrá negtiv y le tendremos que cmir el signo pr dr el resultdo correcto del áre. - Además, si l función cmi de signo en el intervlo, hemos de dividir el cálculo del áre en prtes con signo constnte pr tener en cuent los signos de ls integrles. - Tener en cuent posiles simetrís del recinto pr no hcer cálculos innecesrios. NOTA: Ver págin 7 del liro de teto pr que nos quede clro ls preciciones nteriores Vemos ejemplos donde pliquemos lo dicho: Ejemplo.- Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y = y ls rects de ecuciones = - y = Lo primero que hemos de hcer es representr gráficmente l función, que en este cso por ser un práol es fácilmente representle como podéis oservr en el diujo. Lo que nos piden es el áre somred, y como l función es positiv, podemos poner que: Áre = d = = 8 = u 9 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
Ejemplo 5.- Clculr el áre del recinto limitdo por l curv = y = y ls rects de ecuciones = y Os dejo vosotros el estudio de l función pr su representción gráfic (dominio, puntos de corte, monotoní, etremos, curvtur, etc.). Os tiene que slir l siguiente gráfic: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
El áre que nos piden es: Como vemos l función entre y es negtiv, por tnto l integrl indefinid entre y sldrá negtiv. Así lo que tenemos es que: Áre = ( ) d cmimos el signo pr que nos de el áre. Vmos clculr l integrl indefinid y l resultdo le ( = + C Áre = -(-) u = u I = ) d = ( ) d = - + 6 + 8 Ejemplo 6.- Dd l función f ( ) = + 8 + limitd por l función y el eje OX si si si < <, se pide clculr el áre de l región Lo primero es hcer l representción gráfic de l función dd, que es definid trozos (cd uno es un porción de práol). Os lo dejo vosotros pero os tiene que slir esto: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
El áre pedid es l sum de ls áres, y : Áre- = ( ) f ( ) d = ( + 6 + 8) d = ( ) + + 8 ( ) ( ) + + 8 ( ) + + 8 ( ) = = = u Áre- = f ( ) d = ( + ) d = + = + ( ) + ( ) = u Áre- = 6 6 f ( ) d = ( 8 + ) d = + 6 = 6 6 + 6 + = u Por tnto, Áre = + + u 68 = u VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 75 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio 9,,,, 6, 7. UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
. ÁREA ENCERRADA POR DOS CURVAS Supongmos que tenemos dos funciones, y = f () e y = g(), y queremos clculr el áre del recinto limitdo por ls dos gráfics. Pr ello nos v hcer flt conocer los puntos de corte de ms funciones y diujrls pr ser cul de ells es myor que l otr. Si fuer como en el diujo siguiente, Tenemos que se cortn en = y en =, y el áre que tenemos que clculr (l somred) se otiene medinte l siguiente integrl indefinid: [ f ) g( ] Áre = ( ) d pues ( ) g ( ) f [, ] Aquí no import si un función es negtiv, lo que import es cul está por encim o por dejo. Ejemplo 7.- Clculr el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones f ( ) = y g( ) = Lo primero que hemos de hcer es l gráfic de cd un de ls funciones, que son fáciles y os l dejo vosotros (os tiene que slir sí) Vmos clculr los puntos de corte de ls dos funciones: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
y = = = (elevmos l cudrdo) = 6 + 9 y = = 6 + 9 = ( 6 + 9 ) = = = Est solución no es válid por qué? Así que, Áre = d = + d = 6 + = + 6 Áre = u Ejemplo 8.- (Selectividd ) Consider l función f ( ) = 5 y l función g( ) = pr ) Esoz el recinto limitdo por ls gráfics de ess dos funciones indicndo sus puntos de corte. ) Clcul el áre de dicho recinto ) Son funciones fáciles de diujr pues f es un rect y g es l hipérol y = multiplicd por Vmos clculr los puntos de corte: y = 5 5 = y = = 5 = = 5 5 + = y = Por tnto los puntos = y = de corte son P (, ) y Q (,). El recinto es l zon somred: f [,] ) Como vemos ( ) g( ), por tnto el áre del recinto es: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
5 d Áre = ( ) Áre = = (un primitiv es muy fácil de clculr pr plicr l regl de Brrow) 5 ln = [ ] 5 8 ln 5 Áre = ln u Ejemplo 9.- Consider ls funciones f : R R y g : R R definids por: f ( ) = e y g( ) = e ) Esoz ls gráfics de f y g y determin su punto de corte ) Clcul el áre del recinto limitdo por el eje OY y ls gráfics de f y g ) f es un función similr l eponencil y = e y g es similr y = e, que deemos conocer del ño psdo y demás estudimos sus crcterístics ásics (monotoní, etremos, dominio, etc.) El punto de corte y = e y = e e e = = y = e = P (, ) = Nos qued l siguiente gráfic y el recinto somredo es el áre que hy que clculr en el prtdo ) c) El áre pedid ddo que f es myor que g en el intervlo [,] es: Áre = [ ] e e Clculmos ls primitivs correspondientes: I = ( e e ) d = e e + C (hcedl vosotros, es fácil) Así: Áre = [ e e ] = ( e e ) ( e e ) e + e Áre = ( e ) u Áre = + e Ejemplo.- (Selectividd 6) El áre del recinto limitdo por ls curvs y = e y = con >, vle. Clcul el vlor de d 5 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
Ddo que ls curvs dds dependen de un prámetro, vmos intentr hcer uns gráfics proimds de ells. y = y = Se trt por tnto de un curv similr l práol cnónic y = multiplicd por un nº positivo luego tmién es U y ps por el punto (,) y = y =, es similr l curv y = multiplicd por un nº positivo Vemos dónde se cortn: y = = y = = y = = = y = Ls gráfics y el recinto nos quedrán sí. (elevndo l cudrdo) = = = Hy dos puntos de corte O (,) y P (, ). ( ) = Tenemos por tnto que el áre del recinto somredo es: Áre = d. Clculmos l integrl indefinid I = d d = ( ) Áre = d = = = ( ) = = VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 77 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio, 5, 6, 7, 8,,,,,, 5. + C. = Como Áre = = = No válid 6 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones