Unidad 12: LA INTEGRAL DEFINIDA. II. Consumo de energía eléctrica (gráfica potencia-tiempo)

Transcripción

1 Unidd : LA INTEGRAL DEFINIDA..- ÁREA BAJO UNA CURVA Significdo de lguns áres Hy infinidd de funciones etríds del mundo rel (científico, económico, ) pr ls cules tiene especil relevnci el áre jo su gráfic. Vemos lguns de ells. II. Consumo de energí eléctric (gráfic potenci-tiempo) L gráfic djunt nos d l potenci eléctric que hy en funcionmiento en un viviend, cd instnte, entre ls 7 de l mñn y ls de l noche. POTENCIA (en wtios) I. Espcio recorrido por un móvil (gráfic velocidd-tiempo) L gráfic djunt descrie un movimiento que comienz un velocidd de 5 m/s, sigue m/s y termin m/s, con velociddes constntes en cd uno de los intervlos. En cd trmo, el espcio recorrido es el áre del rectángulo correspondiente. v (m/s) El áre jo l curv es l energí consumid: potenci tiempo = energí Un cudrdito equivle 00 Wh TIEMPO (en hors) = 0, kwh. Pr verigur l energí consumid en ess 7 hors, contrímos cuántos cudrditos hy (áre) jo l curv. El resultdo será proimdo. III. Curvs de ntlidd y mortlidd t (s) TASA DE NATALIDAD/MORTALIDAD El espcio recorrido, e, finlmente, por el móvil, es l sum de ls tres áres: e = = = 95 m t

2 El áre jo l curv verde (ts de ntlidd) es el umento de l polción deido los ncimientos. El áre jo l curv roj (índice de mortlidd) es l disminución de l polción cus de los fllecimientos. El áre entre ls dos curvs es el incremento de l polción: positivo, en verde, o negtivo, en rojo (es decir, si se quisier clculr el incremento en todo el periodo representdo, se deerín sumr ls áres verdes y restr ls rojs). El pr de curvs ingresos y gstos, en un empres, tendrá un specto y un interpretción similres. Estos son solo lgunos ejemplos pr los cules el áre jo l curv es un mgnitud relevnte, que dee ser medid. Vmos esmerrnos en prender medirl. Integrl definid de un función El áre entre l gráfic de l función y el intervlo,, se design por: f o ien f() d = f() y el eje X, en y se lee integrl definid de l función f en el intervlo,. Si l curv está encim del eje X (f() > 0 ) l integrl es positiv, y si está dejo del eje X (f() < 0) l integrl es negtiv. Por qué utilizmos, pr designr un áre, el mismo símolo,, que se utilizó pr otener l primitiv de un función? A lo lrgo de est unidd lo justificremos, de modo que verás con clridd que mos conceptos están estrechmente relciondos. Funciones integrles Diremos que un función f es integrle en, si eiste l integrl f, es decir, si podemos signr un áre l reciento formdo por l gráfic de l función, el eje X y ls rects = y =. Bien, pero cuáles son ls funciones integrles? Prece clro que cd un de ests funciones sí encierr un áre entre su gráfic y el eje X. No hy dud de que deen ser integrles. Y est otr? Bueno, si considermos que el áre no se sle por los oquetitos podrímos dmitirl como integrle. 4

3 Y est? Pues si cd uno de los tres trozos es integrle, por qué no dmitir que lo se l función formd por ellos, unque no emplmen unos con otros? En ls próims págins vmos elorr un criterio por el cul se pued dilucidr cuándo un ciert función es o no integrle. Y, lo que es mucho mejor, demostrremos que tods ls funciones que mnejmos hitulmente lo son si se mntienen cotds en el intervlo...- UNA CONDICIÓN PARA QUE UNA FUNCIÓN SEA INTEGRABLE EN, Aproimción l áre por defecto Un ide útil consiste en dividir, en trmos y proimr el áre medinte rectángulos con se en el eje X y ltur el mínimo vlor que tom l función en cd trmo. Si el intervlo, necesrimente igules: se h prtido en n trozos, no = < < < <... < = 0 n y llmmos m i l menor vlor que tom l función en el trmo, i i, el áre ryd verde es: n ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) m m... m m 0 n n n i i i i= Vmos prtir de un función, y = f(), cotd en, (es decir, que no se hg infinit en ese intervlo). Pr simplificr el proceso, empezremos suponiendo que tom vlores no negtivos, es decir, que está tod ell por encim del eje X o, lo sumo, sore él. APROXIMACIÓN POR DEFECTO Est áre es menor (o, lo sumo, igul) que el áre uscd (en gris). Nos hemos proimdo por defecto l áre uscd. Aproimción l áre por eceso Nos disponemos elorr un criterio que nos permit decidir si es integrle. Tmién podímos hernos proimdo por eceso sin más que tomr como ltur de cd rectángulo el myor vlor, M i, que tom l función en el intervlo correspondiente: 5 6

4 n ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) M M... M M 0 n n n i i i i= n n i ( i i ) S = Mi ( i i ) s = m i= i= Si tenemos un sucesión de prticiones P, P, P,, P k,, est le corresponderán dos sucesiones de áres: s, s, s,, s k, (áres por defecto) S, S, S,, S k, (áres por eceso) APROXIMACIÓN POR EXCESO Cómo conseguir mejores proimciones Evidentemente, si tommos unos rectángulos más finos, es decir, si los puntos i los tommos cd uno más cerc del siguiente, tnto el áre por defecto como el áre por eceso se proimn más que ntes l áre del recinto. Hcemos que el diámetro de l prtición tiend cero (es decir, que ls ses de los rectángulos se hgn tn pequeñs como se quier). Si l sucesión de diferencis: S s, S s, S s,..., S s,... k k tiende cero, signific que s y S tienen un límite común k k que es el áre jo l curv. Entonces l función es integrle. Áres negtivs Sistemtizción del proceso A cd colección de puntos = < < < <... < = l 0 n llmremos prtición de,. A l myor de ls distncis l llmremos diámetro de l prtición. i i A cd prtición P de, le socimos, como hemos visto ntes, un áre por defecto s y un áre por eceso S: Si considermos que los recintos situdos dejo del eje X tienen áre negtiv (ls integrles correspondientes lo son), entonces el proceso nterior es válido pr funciones culesquier, sin imponerles l condición de que f() 0. Pr funciones negtivs, tmién el áre por defecto qued dejo de l curv, y el áre por eceso, encim de l curv, como podemos precir en ls siguientes gráfics: 7 8

5 Un fmili de funciones integrles Si un función f es continu y creciente en entonces es integrle.,, ÁREA POR DEFECTO ÁREA POR EXCESO Demostrción: L ide de integrl de un función pr funciones culesquier es como l que se h visto pr funciones positivs. El proceso nos llev otener el áre comprendid entre l curv y el eje X de modo que se vloren decudmente los recintos de áre positiv y los de áre negtiv. El resultdo es l sum lgeric de l superficie de los recintos que intervienen: con signo positivo los que están encim del eje X, y con signo negtivo, los que están dejo. Hemos de plicr el criterio elordo nteriormente. P, P, P,, P k, es un sucesión de prticiones. Un de ells, P k, es: =,,,..., = 0 n CONCLUSIÓN Un función cotd es integrle en, si, pr culquier sucesión de prticiones, P, P, P,, P k,, cuyo diámetro tiend cero, ls correspondientes sucesiones de áres por defecto, s k, y áres por eceso, S k. cumplen que S s 0. n n Est form de crcterizr ls funciones integrles result summente incómod de plicr. No ostnte, sándonos en ell, podemos llegr un nuev conclusión que nos permitirá firmr que ls funciones que usmos hitulmente son, tods ells, integrles. n ( ) S s = M m diámetro de P f() f() Si Ls diferencis de ls rrs rojs y verdes, M m i i i i, se pueden pilr. k k i i i i k i= diámetro de P 0, entonces S s 0. k k k Por tnto, f es integrle. Análogmente se demostrrí que: 9 0

6 Si un función f es continu y decreciente en entonces es integrle. En generl:,, Rzonndo nálogmente, llegremos l siguiente conclusión: Tods ls funciones hitules son integrles en culquier intervlo en el que se mntengn cotds. Culquier función monóton (creciente o decreciente) es integrle. Un propiedd útil y sencill Si un función está formd por dos trozos, mos integrles, entonces es integrle. Digámoslo con más precisión: Si f es integrle en integrle en, c Un conclusión muy vlios L función y, y en y se cumple que: c c f = f + f =, es integrle en,, c, entonces f es? Lo es en, 0 por ser continu decreciente, y en 0, por ser continu decreciente. Por tnto, es integrle en,...- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Tods ls propieddes que se ven continución son muy rzonles. Se justificn prtir del concepto de integrl que cmos de ver:. f()d = 0 culquier que se f.. Si f() 0 e integrle en,, entonces f()d 0, y si f() 0 en todo,, entonces f()d 0.. Si < < c y f es integrle en, c, entonces: c c f() d + f() d = f() d Recuerd que si f cmi de signo en,, l f nos d l sum lgeric de ls áres que están por encim y por dejo del eje X, cd un con su signo. Si quisiérmos clculr el áre que qued entre l gráfic de f y el eje X, tendrímos que considerr ls negtivs en vlor soluto.

7 Por ejemplo, si clculmos función: f, donde f es l siguiente En delnte, cundo hlemos de f() d supondremos que f es continu en, o que, lo sumo, tiene lgunos puntos de discontinuidd en los cules hy límites lterles finitos. otendrímos = 4 uniddes de áre. Pr clculr el áre propimente dich, tendrímos que otener: c d f + f f = + + = c. d Este es el vlor del áre en su sentido usul. 4. Si f es continu en (, ) y eisten y son finitos los límites lterles, lim f() = α, + lim f() = β, entonces formmos l siguiente función continu en, : α si = f() = f() si, β si = y definimos f() d = f() d f() d + g() d = (f + g)() d k f() d = k f() d culquier que se el número k 7. Si pr cd, es f() f() d g() d g(), entonces 8. Si f es continu en,, entonces eiste un número c, tl que: f() d = f c Est propiedd se llm teorem del vlor medio del cálculo integrl. Demostrción: Ls dos últims propieddes permiten mplir l definición de integrl ls funciones continus trozos, con l condición de que no tengn rms infinits. Por ser f continu en,, lcnz su vlor mínimo, m, y su vlor máimo, M (teorem de Weierstrss). Es decir, culquier que se, : m f() M. 4

8 . Por l propiedd 7 nterior: md f() d M d Puesto que = ( ) y = ( ) md m desiguldd nterior d lugr : m( ) f()d M ( ) Dividimos por ( ) : m f() d M M d M, l Estos signific (teorem de Drou) que eiste lgún punto c, tl que: f c = f()d Por tnto: f() d = f( c)( ) pr lgún c (, )..4.- LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA Como hemos dicho l inicio de l unidd, eiste un estrell relción entre l integrción (cálculo del áre jo l curv) y l derivción (medid de l vrición de l función). Vmos recorrer, con cierto rigor, el cmino que nos llev estlecer es relción. L función áre Dd un función f, continu en el intervlo,, podemos clculr c f pr todo número c,. Consideremos l nuev función F() = f,, el áre jo f entre y un punto vrile., que es El áre del rectángulo de se - y ltur f( c ) es igul l áre jo l curv. Cunto myor se l ordend de f, más rápidmente crece el áre jo ell, F, y por tnto, myor es F'. 9. f() d = f() d Cundo f es negtiv, lo es el áre. Por tnto, F decrece y su derivd es negtiv. Vmos precisr est relción entre f y F' que quí hemos visto intuitivmente. 5 6

9 Teorem fundmentl del cálculo integrl Si f es un función continu en,, entonces l función F() Demostrción: Pr hllr F'() hemos de clculr: El numerdor es: + h + h F( + h) F() = f f = f F( + h) F() lim h 0 h Por el teorem del vlor medio del cálculo integrl, l ser f continu en, + h c, + h tl que: Por tnto: = f,,, eiste + h f = f c + h = f c h F( + h) F() + h F'() = lim = lim f lim f c h lim f c h 0 h h 0 h = = h 0 h h 0 Como c (, + h), lim f( c) Por tnto, F'(), es derivle, y se verific que h 0 F'() = f() = f(), pues f es continu. = f(), que es lo que querímos demostrr. L relción nterior, que lig el cálculo de áres (integrles) con l derivción, re un grn cntidd de posiiliddes teórics y práctics. L función áre jo l gráfic de f, primitiv de f(), según cmos de ver. F() = f, es un Por eso l cálculo de primitivs se le llm integrción o cálculo de integrles y se utiliz l epresión f() d pr designr un primitiv de l función f()..5.- REGLA DE BARROW L siguiente regl, que se poy en el teorem fundmentl del cálculo integrl, relcion l integrl definid con ls integrles indefinids y nos permite, por tnto, clculr ls integrles definids. L integrl definid de un función continu en, es igul l diferenci de los vlores que tom un primitiv F culquier en los etremos superior e inferior del intervlo,. Se denot por: Demostrción: Se F() un primitiv de f(). Por el teorem fundmentl del cálculo integrl semos que: G() f()d = F() = F() F() = f(t) dt es un primitiv de f(). 7 8

10 Y como semos que dos primitivs culesquier de un mism función se diferencin en un constnte, tenemos: Pr Pr =, podemos escriir: G() = F() + C G() = f(t) dt G() = F() + C 0 = F() + C C = F() =, tenemos: G() = F() + C f(t)dt = G() = F() + C = F() F() Y llmndo t, tenemos el resultdo uscdo: Regl práctic: f()d = F() F() Pr clculr integrles definids psos: f() d, seguimos los Clculmos l integrl indefinid correspondiente: f() d = F() + C Tommos un primitiv culquier, en prticulr podemos hcer C = 0 y tomr F(). Clculmos l integrl definid plicndo l regl de Brrow. Ejemplo: ( + ) 7 d L integrl indefinid correspondiente es + 7 d = C Tommos l primitiv que result de hcer C = 0 y plicmos l regl de Brrow: 7 d 7 + = + = = = 9 6 = 65 Ejercicio Clcul: 6 ) ( 4 ) 4 4 d ) 4 d d) 0 c) CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES Vemos un método sistemático pr clculr el áre comprendid entre un curv y = f() y ls sciss =, =. Al clculr estos csos: d d f() d, nos podemos encontrr en lguno de 9 0

11 4) Clculr F ( ), F ( ), F ( ), F ( ), F. f() d = F() F F F ( ) F Aquí, el resultdo de l integrl no represent el áre uscd. Ello es deido ls compensciones que se producen de ls prtes positivs con ls negtivs. L form correct de proceder será clculr, por seprdo, ls integrles de los diversos recintos y, posteriormente, sumr sus vlores solutos. Pr clculr el áre comprendid entre l curv, el eje X y ls sciss = y =, conviene dr los siguientes psos: ) Resolver l ecución f() = 0 pr verigur los puntos de corte de l curv con el eje X. ) Seleccionr, de entre ls ríces de l ecución nterior, quells que estén comprendids entre y. Imginemos que ests ríces, ordends de menor myor son, y. Es decir, < < < <. 5) F ( ) F, F ( ) F ( ), F ( ) F ( ), F F son ls integrles de los cutro recintos en los que qued dividid el áre uscd. Sus áres son los vlores solutos de ests cntiddes. El áre uscd es l sum de tods ells. Oservemos que, con estos psos, no es necesrio diujr l curv. Ejercicio resuelto : F ( ) F Hllr el áre comprendid entre l curv el eje X y ls rects = y = 4. F F ( ) f() =, Como y semos, prolemente l integrl 4 ( ) d no nos drá l solución correct. Deemos proceder sí: Clculmos ls ríces de l ecución f() = 0 : ) Buscr un primitiv de f(). Llmémosl F(). = 0 =, =

12 Solo se tom =, que está en el intervlo, 4 Áre comprendid entre dos funciones Si tenemos que clculr el áre comprendid entre ls funciones f y g, los psos seguir serán los siguientes: A A Buscmos un primitiv de f(): F() = d = F() =, F() = 9, 0 F(4) = 6 A = d F() F() 9 u = = + = A = d F(4) F() 9 u = = + = 6 7 El áre es A = A + A = + = u (L gráfic l hemos incluido pr entender el proceso, pero es innecesri pr otener el áre). ) Se clculn ls sciss de los puntos de corte de ls dos funciones resolviendo l ecución f() = g(). ) Se hll l función diferenci de ls dos funciones: f() g() ) Dd l función f() g(), se hll l primitiv F() sin constnte. 4) Se clcul F(), F(), F(c),, siendo,, c,, ls sciss de los puntos de corte de ls funciones f() y g(). 5) Se clcul cd un de ls áres, A, A,, plicndo l regl de Brrow y tomndo el vlor soluto. Not: Es lo mismo tomr f() g() que g() f(), y que: Si se tom como primer función l que está rri, el vlor de l regl de Brrow es positivo; si no, es negtivo. Como se tom el vlor soluto, no import el orden. 4

13 Ejercicio resuelto : Hllr el áre comprendid entre ls siguientes funciones: f() = 4 g() = + Se clculn ls sciss de los puntos de corte resolviendo l ecución f() = g() : Integrles impropis El concepto de integrl como áre jo un curv puede etenderse recintos infinitos del siguiente modo: Si eiste (y es finito) el siguiente límite, lim f(t) dt, + entonces se le d el nomre de integrl impropi y se design sí: + + lim f(t) dt = f(t) dt Por ejemplo: 4 = + + = 0 =, = Función diferenci: f() g() = 4 + = + F() = + d = + F( ) = 9, 5 F() = 5 A = + d = F() F( ) = + 9 = u dt = si t t = + = + EL ÁREA DE ESTE RECINTO INFINITO ES + Por tnto, dt = es un integrl impropi. t 5 6

14 Sin emrgo: dt ln t ln ln ln si t = = = + + Otrs integrles impropis Si f no está cotd en,, no eiste l integrl f. Sin emrgo, en lgunos csos se puede proceder de form nálog l nterior. Por ejemplo: dt = lim dt = lim t = lim = t t EL ÁREA DE ESTE RECINTO INFINITO ES INFINITA + Por tnto: dt no eiste. t Ejercicio Hll el áre comprendid entre l función el eje X. Ejercicio y = 6 y Hll el áre de l región limitd por l curv y = + y ls rects y = 0, =, =. Ejercicio 4 Hll el áre comprendid entre ls funciones 4 y = Ejercicio 5 4 y = + e Clculr el áre del recinto coloredo, donde l ecución de l práol es y = y l de l rect es y = 5. dt = lim dt = lim = lim + = + t t t ÁREA = Ejercicio 6 Dos hermns heredn un prcel que hn de reprtirse en prtes igules. L prcel es l región pln encerrd entre l práol y = y l rect y =. Deciden dividirl medinte un rect y =. Hll el vlor de. ÁREA INFINITA 7 8

15 .7.- VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Un trozo de curv y = f(),,, se hce girr lrededor del eje X engendrndo un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos clculr. Ejercicio resuelto : Clculr el volumen engendrdo l girr l práol y = lrededor del eje X entre 0 y 4. L rodj señld en el diujo es un cilindro, el rdio de. Por tnto, su cuy se es i volumen es: f c, y su ltur, π ( ) f c i i i i i El volumen de todo el cuerpo es, proimdmente, n i= π ( ) f c i i i Psndo l límite, otenemos el vlor ecto medinte un integrl. Ejercicio 7: V = π d = π d = = 8 u 0 π 0 Clcul el volumen de un esfer de rdio 5 cm hciendo girr l semicircunferenci Qué límite de integrción dees tomr? Ejercicio 8: 0 y = 5 lrededor del eje X. Utilizndo integrción, deducir l fórmul pr el volumen de un cono. Volumen del cuerpo de revolución que gener y, l girr lrededor del eje X: π π f() d = f() d = f(), 9 0

16 B. (Emen de l PAEG en UCLM de septiemre de 06) Dds ls funciones f() = y g() =, se pide: ) Esozr l región encerrd entre ls gráfics de f() y g(). ) Clculr el áre de l región nterior. A. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 06) Clcul l integrl definid π 4 0 cos d. Not: Puede yudrte hcer el cmio de vrile t = continución plicr integrción por prtes. B. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 06) y ) Clcul el áre de l región cotd por ls gráfics de ls práols f() = 4 + y g() = + +. ) Clcul c R pr que ls rects tngentes ls gráfics de f() y g() en el punto de scis = c tengn l mism pendiente. A. (Emen de l PAEG en UCLM de septiemre de 05) ) Clcul l ecución de l rect tngente l gráfic de f() = en el punto de scis =. ) Esoz l región encerrd entre ls gráfics de f(), l rect clculd en el prtdo ) y el eje de ordends. c) Clcul el áre de l región nterior. A. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 05) Dd l función + 4 si < 0 g() = ( ) si 0 ) Esoz l región encerrd entre l gráfic de g() y el eje de sciss. ) Clcul el áre de l región nterior. A. (Emen de l PAEG en UCLM de septiemre de 04) ) Esoz l región encerrd entre ls gráfics de ls π funciones f() = sen, g() = sen, y ls rects = y = π. ) Clcul el áre de l región nterior. A. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 04) + + e d. 0 Clcul l integrl definid B. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 04) Pr cd c definimos A(c) como el áre de l región + encerrd entre l gráfic de f() =, el eje de 4 sciss, y ls rects = y = c. ) Clcul A(c). ) Clcul lim A(c). c +

17 B. (Emen de l PAEG en UCLM. Reserv. 0) El áre del recinto encerrdo entre l gráfic de l práol f() =, R, > 0, y el eje de sciss, es de uniddes de superficie. Clcul el vlor de. A. (Emen de l PAEG en UCLM. Reserv. 0) Clcul el vlor del prámetro R, > 0, pr que el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls práols f() = + y superficie. g() = se uniddes de B. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 0) ) Represent gráficmente l región del primer cudrnte limitd por ls gráfics de ls funciones f() = y g() =, y l rect =. ) Clcul el áre de dich región. B. (Emen de l PAEG en UCLM de septiemre de 0) ) Esoz l región encerrd entre ls gráfics de ls funciones f() = y g() = +. ) Clcul el áre de l región nterior. A. (Emen de l PAEG en UCLM de junio de 0) Clcul el vlor del prámetro R, > 0, pr que el vlor (en uniddes de superficie) del áre de l región determind por l práol f() = + y el eje de sciss, coincid con l pendiente de l rect tngente l gráfic de f() en el punto de scis =. B. (Emen de l PAEG en UCLM de septiemre de 0) Clcul el áre encerrd entre ls gráfics de ls funciones f() = + + y g() =. 4