INTEGRALES DOBLES. Daniel Restrepo Jiménez. Estudiante Ingeniería Industrial. Universidad Tecnológica de Pereira.

INTEGALES DOBLES Daniel estrepo Jiménez Estudiante Ingeniería Industrial Universidad Tecnológica de Pereira danielrestrepo@utp.edu.co El presente documento va dirigido a estudiantes de matemáticas III que no tienen mu buenas bases para este tema, a que este puede ser complicado, más si se desconocen algunas técnicas, así que con este trabajo se espera dar a entender el concepto de integral doble, así como su tratamiento fácil manejo. El documento estará conformado por un repaso de integral simple definida, el concepto de integral doble, ejemplos algunos consejos. Los únicos requerimientos serán el repaso de las técnicas de integración una buena disposición para trabajar el tema. No se tratarán integrales dobles en coordenadas polares.

Integrales Dobles Para el tratamiento del concepto geométrico de integral doble, primero se debe hacer un breve repaso acerca de integral simple definida o área bajo la curva. Entonces, supongamos que tenemos una función ( ), la cual es continua en el intervalo [a, b]. La integral definida de la función ( ) en el intervalo [a, b] se da de esta manera:

Donde: i. Se divide [a, b] en n partes iguales. ii. El rectángulo con base ó, altura ( ), tendrá el nombre de rectángulo típico. iii. El área del rectángulo típico estará definida por: ( ) ( ) ( ) ( ) iv. Una buena aproimación del área limitada por las rectas la curva ( ), es: Que por sumas de iemann sería: ( )( ) Con esto a tenemos lista la integral definida: ( ) La cual es equivalente a la suma de iemann.

Ejemplo: Hallar el área encerrada por ( ) el eje, entre La integral queda así: ( ) ( ) ( ) [ ( )] El área encerrada es igual a unidades cuadradas Ahora, si etendemos el concepto de integral definida a una dimensión adicional, obtenemos una integral doble, la cual a no hallará áreas, sino volúmenes, a no usaremos rectángulos típicos sino paralelepípedos. Para la integral simple, se requería que la función estuviera definida en un intervalo cerrado del conjunto de los números reales, para la integral doble, la función de dos variables estará definida en una región cerrada en.

Tenemos a ( ) continua en el rectángulo [a, b] [c, d], el rectángulo se divide en subrectángulos, los cuales tienen por área ( )( ). La altura cada paralelepípedo es ( ( )( )( ) ), por lo cual su volumen es La suma de iemann correspondiente sería ( )( )( ) equivalente a la suma de los volúmenes de los paralelepípedos, obteniendo así la integral doble de ( ) en el rectángulo : ( ) Cuando proectamos una función ( rectángulo de esta manera: ) en el plano obtenemos un d c a b

Podemos hallar los límites de integración directamente: ( ) ( ) Este es el teorema de Fubini, aplicado para el cambio en el orden de integración de funciones de varias variables, pero se debe tener una cosa en cuenta: este teorema únicamente es aplicable en regiones rectangulares, en las cuales los límites de integración son valores constantes, luego se trabajarán regiones mas generales limites que incluen variables. El proceso para resolver integrales de mas variables, es el mismo proceso usado para resolver derivadas parciales, dejar una variable como constante trabajar con la otra, es decir, si vo a integrar respecto a, debo tomar a como constante. Ejemplo: Evaluar la integral doble:, [, ] [-, ] Entonces, los límites de integración los podemos tratar de dos maneras: Primero vamos a utilizar el orden, utilizando primero a como constante, luego a :

[ ] [ ] Ahora utilizaremos la segunda forma, entonces manejaremos primero a como constante luego a : [ ] unidades cúbicas es el resultado de la integral anterior, como se acaba de mostrar, en regiones rectangulares, el orden de integración se puede acomodar como se desee, buscando siempre resolver una integral posiblemente más sencilla.

Ahora, trataremos integrales dobles sobre regiones no rectangulares, es decir, mas generales, con curvas otra clase de comportamiento. Aquí, algunos de los límites de integración se presentaran como funciones de alguna de las variables, mientras que los otros se mantendrán como constantes. Eisten dos tipos de integración en regiones generales: TIPO I Aquí la integral se trata de esta manera: ( ) ( ) ( ) ( )

TIPO II La integral doble es: ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplos: Evaluar la integral doble: Epresar como una integral doble, la medida del volumen del sólido que se encuentra por arriba del plano delimitado por el paraboloide elíptico el cilindro.

El sólido requerido se puede dividir en partes iguales, entonces hallaremos el volumen de una, la multiplicaremos por. La región que se integrará esta limitada por los ejes la elipse: La región se puede tratar de dos maneras: ( )

Trabajemos la primera epresión: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El procedimiento de esta integral es etenso, así que se irá directamente al resultado: ( ) El volumen del sólido es de unidades cúbicas esolver la integral doble: La anterior integral no tiene una función F() primitiva, es decir, que no se puede integrar directamente a menos que se utilicen métodos complejos, pero vamos a ver, que si cambiamos el orden de integración la función quedará más fácil de manejar.

Tenemos que: Y esta segunda epresión se puede integrar fácilmente. Como se acaba de ver, si se cambia el orden de integración puede llegar a ser mas fácil resolver una integrar, es mejor buscar unos límites de integración más cómodos también. Así termina pues, el tema de las integrales dobles de una manera corta sencilla, posteriormente se dejarán algunos ejercicios resueltos otros para trabajar, éito.

No se tratará el tema de integrales dobles en coordenadas polares, pues este eige que el documento se etienda mas, pueden quedar algunas dudas, puesto que para trabajar las integrales dobles en dichas coordenadas, ha que repasar también el tema completo de las coordenadas polares, así que este tema quedará de consulta, o pueden buscarme directamente, aquí están mis datos: Daniel estrepo Jiménez Estudiante Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira Teléfono: 5669 Correo: danielrestrepo@utp.edu.co albert_masi7@hotmail.com

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 5. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales: siendo,,, Observando el dibujo, lo más cómodo es parametrizar el recinto de la siguiente forma Así nuestra integral resulta 8 8

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas de cálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto está formado por un triángulo un rectángulo); pero esto a lo sabíamos, porque una el área de un recinto es precisamente siendo, /,, Como el recinto es el mismo, parametrizamos de igual forma la integral (sólo cambia el integrando) ealizamos primero la integral indefinida respecto de la variable calculando una primitiva Así nuestra integral resulta 8 8 5 5 8 5

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso siendo, / 6,, 6,,

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija la variable, quedando la variable acotada entre dos funciones de. Así resultan integrales que se pueden resolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la entre valores fijos la variable acotada entre funciones de, necesitamos recintos diferentes las integrales resultantes tienen un poco más de dificultad, pero también salen) Así los recintos parametrizados son: 6 Así nuestra integral queda: 6 6 6 6 ln 56 56 7 6ln 6 6 58ln

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso siendo, /,, La parametrización del recinto puede ser Por tanto esta integral se puede resolver

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso Donde la primitiva de la última integral se ha calculado por partes haciendo (puede comprobarlo el alumno) siendo, /,,

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso Observando de nuevo el dibujo tenemos una parametrización fácil del recinto Así nuestra integral quedaría

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso siendo, /,,

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso los recintos parametrizados son: (Termine el alumno las operaciones así practica)

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones. INTEGALES DOBLES En este trabajo se etiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f:d. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.. INTODUCCIÓN: LA INTEGAL DEFINIDA El nombre de Suma de iemann se debe al matemático alemán: Georg Friedrich Bernhard iemann (86-866). Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [ a, b] sea P una partición del intervalo cerrado [ a, b], donde P {,,,,,,, }., i i n Una suma de iemann de la función f para la partición P, denotada por P es un número real obtenido como: n Sus contribuciones destacaron en las áreas de análisis geometría diferencial, la fisicomatemática la teoría de funciones de variables complejas. Su nombre también está relacionado con la función zeta. La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera: i i i n * ( ) f (I.) P i i i donde: n es el número de subintervalos de la partición P, [ ], i es la longitud del subintervalo genérico * i i i (también llamado subintervalo i-ésimo). En la figura se aprecia el significado geométrico de la Suma de iemann para el caso de una función f positiva en el intervalo cerrado [ a, b]. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Significado geométrico de la suma de iemann Si la función f es positiva [ a, b], entonces la suma de iemann corresponde a un valor aproimado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función f, sobre el eje, entre las rectas a b. Figura. Significado geométrico de la Suma de iemann para una función f positiva en el intervalo cerrado[ a, b]. En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f, sobre el eje, entre las rectas a b. En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de iemann para la función f en el intervalo cerrado [ a, b]. Decir que la norma de la partición P tiende a cero, P, es equivalente a decir que el número de subintervalos de la partición P tiende a infinito, n. El símbolo lo introdujo el matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz (66, 76). Si la norma de una partición P, denotada como P, se define como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es P, la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición de la Integral Definida. DEFINICIÓN: integral definida de f en [ a,b] Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [ a, b]. La integral definida de f desde a hasta b, denotada por b a f ( ) d, esta dada por: si el límite eiste. a b n * ( ) ( i ) f d Lím f (I.) p i UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros La Integral Definida b f ( ) d es un número a real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función f, sobre el eje entre las rectas a b, si la función es positiva. 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Donde: es el signo de integración, a b son los límites de integración inferior superior, respectivamente; f ( ) es el integrando o función integrando la diferencial de, denotada por d, indica que la variable de integración es.. INTEGAL DOBLE SOBE ECTÁNGULOS Sea f : una función definida sobre la región rectangular cerrada D, dada por: [ ] [ ] ( ) { } D a,b c,d, a b c d (I.) Una partición P del intervalo [ a, b] es un conjunto finito de elementos, donde se cumple: a < < < i < i < < n b Sea P una partición de la región D, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones P P de los intervalos [ a, b] [ d] c,, respectivamente, como se muestra a continuación: {,,,,,, }, i i n P, (I.) n {,,,,,, } P, (I.5), j j m m entonces Si la partición P tiene + UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. P P P (I.6) n elementos n subintervalos [, ] i i de longitud i i i, la partición P tiene m + elementos m subintervalos [, ] de longitud j j j, entonces la j j región rectangular D queda dividida por la partición P en rectángulos denominados.. n m D ij, tal como se muestra en la figura

Geraldine Cisneros 6 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones En la figura., se aprecia que: * i i i j * j j Figura. Partición P de una región rectangular D. Figura. Subrectángulo D El punto * * (, ) i j Dij por lo tanto eisten diferentes alternativas para su selección las más comunes son: Esquina inferior izquierda *, *, ( i j ) ( i j ) Esquina inferior derecha *, * i j i, j ij ( ) ( ) Esquina superior izquierda *, *, ( i j ) ( i j) Esquina superior derecha * *,, ( ) ( ) i j Punto medio * * j i + i + j i, j, ( ) i j El subrectángulo denotado cua área, denotada D ij, es un elemento de la partición P, Aij se calcula como: Al tomar un punto arbitrario ( ) *, * j A (I.7) ij i i j en el subrectángulo D ij, se puede establecer la doble suma de iemann para la función f en la partición P, denotada como S D : S D n m i j f * * ( i, j ) Aij (I.8) Esta doble suma de iemann es un valor numérico que se obtiene al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en cada punto arbitrario ( ) *, * j epandir la epresión (I.8) se obtiene: el área de cada rectángulo D ij. Al i UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros S D f f 7 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones * * * * * * f (, ) A + f (, ) A + + f (, m ) * * * * * * (, ) A + f (, ) A + + f (, ) m * * * * * * ( n, ) An + f ( n, ) An + + f ( n, m ) Anm m A A m + + (I.9) Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos D ij se hace que P, entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora la región queda dividida en muchos más rectángulos, se puede plantear: Lim S P D n m Lim f P i j * * ( i, j ) Aij (I.) Todo esto permite establecer la definición de la integral doble... INTEGAL DOBLE DE f SOBE D Así como la suma de iemann es una aproimación de la integral definida, la doble suma de iemann es una aproimación de la integral doble. DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D Sea f : una función real definida sobre un rectángulo D del plano. La integral doble de f sobre D, denotada por D f (,) da, se define como: Otras notaciones para la integral doble son: D D f f (, ) (, ) dd dd n m f D P i j (, * * ) da Lim f ( i, j ) Aij si el límite eiste. Decir que el límite eiste significa que: (I.) donde L UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. (,) da L f (I.) D

Geraldine Cisneros Definición del límite de una función: El límite Lim f ( ) L eiste si ε > δ > tal que f ( ) L < ε siempre que < < δ Observe que la condición < P no se coloca a que la norma de la partición P es una longitud por lo tanto a es positiva. 8 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Si el límite de la epresión (I.) eiste se dice que f integrable sobre D, recordando la definición del límite, esto significa que para todo ε > eiste un número δ >, tal que: Siempre que: n m i j f * * (, ) A L < ε i j ij es (I.) P < δ (I.) Para cualquier partición P del rectángulo D, para cualquier ( ) *, * j en el subrectángulo D ij. i.. INTEGABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA TEOEMA: Integrabilidad de una función continua Sea f : una función real definida sobre un rectángulo D del plano acotada, continua, ecepto quizás en un número finito de curvas suaves en D, entonces la función f es integrable en D. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 9 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones. INTEPETACIÓN DE LA INTEGAL DOBLE COMO VOLUMEN Sea f : [ a,b] [ c,d] una función real definida sobre un rectángulo D, la cual es continua positiva en D. Entonces la gráfica de f es una superficie definida por la ecuación: (,) z f (I.5) En la figura. se aprecia la gráfica de una función definida sobre un rectángulo D. f : ( ) z f, D Gráfica de una función f : Figura. definida sobre un rectángulo D Sea S el sólido que está definido sobre la región D bajo la superficie definida por la gráfica de f. En la figura.5 se aprecia el sólido S. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Figura.5 Sólido S definido sobre la región D bajo la gráfica de f El volumen V del sólido S puede aproimarse como la suma del volumen de los paralelepípedos base como indica la epresión (I.6). * * D ij altura es f ( i, j ), tal V n m V (I.6) i j ij donde V ij es el volumen del paralelepípedo de base D ij, también * * llamado paralelepípedo aproimante, cua altura es f ( i, j ) * punto ( ) *, i j. El pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por: V ij * * ( i, j ) Aij f (I.7) Al sustituir (I.7) en (I.6) se obtiene la doble suma de iemann n m * * f i j planteada en (I.8) como ( i, j ) Aij por lo tanto esta doble suma es una aproimación del volumen del sólido S, es decir: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones V n m i j f * * ( i, j ) Aij (I.8) La figura.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproimante del volumen del sólido S sobre la región D. ( *, *,f ( *, * )) i j i j ( ) z f, j j i D i Paralelepípedo de base Figura.6 * * D ij altura ( i j ) f,, empleado para aproimar el volumen del sólido S definido sobre la región D La figura.7 muestra los paralelepípedos empleados en la aproimación del volumen del sólido S, el cual se encuentra limitado por la gráfica de la función f por el rectángulo D. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Figura.7 Paralelepípedos empleados para aproimar el volumen del sólido S definido sobre la región D Cuando P, la partición P se hace más fina por lo tanto la región queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual n m el límite ( *, * ) S, es decir: Lim f A representa el volumen del sólido i j ij P i j n m ( *, * i j ) ij (, ) (I.9) V Lim f A f da P i j D En la figura.8 se observan los paralelepípedos empleados en la aproimación del volumen del sólido S, pero ahora con una partición más refinada sobre el rectángulo D. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Figura.8 Paralelepípedos empleados en la aproimación del volumen del sólido S con una partición refinada sobre D. EJEMPLO. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie z + arriba del rectángulo {(, ) } D. Utilice una suma de iemann con n m considerando el punto de muestra como: a) La esquina superior derecha de cada subrectángulo. Figura.9 Sólido del ejemplo. b) El punto medio de cada subrectángulo Solución: a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z + arriba del rectángulo D. Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: * * ( ) ( ) V + da f, A D i j i j ij UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones * * donde ( i j ), es el punto perteneciente a D ij donde será evaluada la función. El enunciado de este ejercicio eige que el punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada * * subrectángulo, por lo cual (, ) (, ). i La región D su partición se muestran en la siguiente figura. j i j Si m n, entonces b a n d c m * * Como (, ) (, ), i j i j entonces se debe epresar en función de i j: i( ) i j( ) j i + i + j + j + Y además: ()() A ij Figura. Partición empleada para el ejemplo. Luego, la aproimación del volumen es: * * ( i, j ) ij (, )( ) V f A f i j i j i j ecuerde: n i n i n i k kn si k ( + ) n n i i n n ( + )( n+ ) 6 Para evaluar esta doble suma de iemman se pueden emplear las fórmulas propiedades de la notación sigma: ( )( ) ( ) ( ) V f i, j i + j i + 5 + 8 6 i j i j i ( ) V + da 6 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Cuando se selecciona * * (, ) (, ), en el i j i cálculo de la doble suma de iemann del ejemplo. parte a, la aproimación del volumen obtenida es por eceso a que el volumen j del sólido S es inferior al volumen de las cajas rectangulares. Figura. Paralelepípedos empleados para aproimar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo. parte a En la figura., se aprecia la superficie definida por la función f los paralelepípedos aproimantes de volumen. b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la superficie * * arriba del rectángulo D en donde ( i, j ) z + es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene: ( ) ( ) i + i i j + j j * * + + j i + i j + j,,, i, j i i j ( i j ) Luego: V f A f i j i j i j * * ( i, j ) ij, () A continuación esta doble suma de iemann se resolverá * * calculando la imagen de cada ( i, j ) posteriormente se efectuará la suma. en la función f UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 6 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones i j ( i j ) * *, i, j f, + * * * * i j i j ( ) ( ),, 5,,, 5, * * Valores de ( i, j ) Cuadro. 9 5 7 9 f empleados en el ejemplo. (b) En el ejemplo. parte b, cuando se selecciona * * ( i, j ) como el punto medio de cada subrectángulo se puede apreciar en la figura. que la gráfica de la función f atraviesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar si la aproimación del 9 5 7 9 V + + + + +,5 Por lo tanto ( ) V + da, 5 D volumen del sólido S es por eceso o por defecto. Figura. Paralelepípedos empleados para aproimar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo. parte b En la figura., se observa la superficie definida por la función f los paralelepípedos aproimantes de volumen. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros EJEMPLO. Sea 7 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado D [, ] [, ] abajo del paraboloide elíptico z 6. Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la esquina superior derecha de cada subcuadrado dividiendo a la región D en: a) Cuatro cuadrados iguales. Figura. Sólido del ejemplo. b) Diez mil cuadrados iguales. Solución: a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z 6 arriba del rectángulo D. Entonces se desea Como D [, ] [, ] se divide en subcuadrados, entonces n m b a n d c m estimar a V de la siguiente manera: ( 6 ) ( *, * ) V da f A * * donde (, ) (, ) i j D i j i j i j ij La región su partición se muestran en la siguiente figura. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. Figura. Partición empleada para el ejemplo.

Geraldine Cisneros 8 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones ( )( ) A ij * * Como (, ) (, ) entonces, i j i j ( ) ( ) i + i + i i j + j + j j Luego, la aproimación del volumen es: * * ( i, j ) ij (, )( ) 6 ( ) ( ) V f A f i j i j i j i j i j esolviendo de manera análoga al ejemplo anterior: ( ) V 6 da 56 D En el ejemplo. parte a, la aproimación del volumen obtenida es por defecto a que las cajas rectangulares empleadas se encuentran dentro del sólido S. Figura.5 Volumen aproimado en el ejemplo. parte a En la figura.5, se observa la superficie definida por la función f los paralelepípedos aproimantes empleados. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 9 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones b) Ahora la región D, está dividida en diez mil subcuadrados iguales; es decir, n m. Por lo tanto, la estimación del volumen del sólido viene dada por: ( 6 ) ( *, * ) V da f A D i j i j ij ealizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos. la parte a de éste, es mu largo pues el número de subcuadrados es elevado. Entonces para resolver la doble suma de iemann planteada es necesario emplear un software matemático. A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un software matemático, para el ejemplo. parte b. También se inclue otra aproimación empleando una partición aún más refinada. Número de subcuadrados n m n m ( *, * ) i j f A i j ij Diez mil,768 Un millón.. 5,778 Cuadro. Aproimaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo. En el ejemplo. parte b, se aprecia que la aproimación del volumen del sólido S aumenta a medida que se incrementa el número de subcuadrados. Con la auda del software se obtuvo las siguientes aproimaciones: ( ) V 6 da, 768 D ( ) V 6 da 5, 778 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros EJEMPLO. Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado [, ] [, ] D bajo el plano de ecuación z. Estime el volumen del sólido considerando: a) n, m el punto de muestra como el punto medio de cada subrectángulo. Figura.6 Sólido del ejemplo. b) n 6, m 8 el punto de muestra como el punto medio de cada subrectángulo. Solución: a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z arriba del rectángulo D. La región D su partición se muestran en la siguiente figura Figura.7 Partición empleada para el ejemplo. parte a UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Si m n, entonces b a n ( ) d c m A ij ( )( ) Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: * * * * ( ) ( i j ) ij, donde ( i, j ) V da f, A D i j medio de cada subrectángulo, entonces se tiene: f * * * j 5 (, ) j i j j es el punto ( j ) j j + j + j + j Luego, la aproimación del volumen es: V 5 j () 6 i j i V ( ) da 6 D En la figura.8, se observa la superficie definida por la función f la aproimación del volumen. En el ejemplo. parte a, en la aproimación del volumen, se observa que la gráfica de la función f atraviesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar si la aproimación es por eceso o por defecto. Figura.8 Aproimación del volumen para el ejemplo. parte a UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición refinada, donde n 6 m 8. En la figura.9 se aprecia esta partición. Figura.9 Partición empleada para el ejemplo. parte b Si n 6 m 8 entonces b a n d c m A ij 8 j j j 5 + ( j ) j + j * * * * ( ) ( i j ) ij, donde ( i, j ) V da f, A D i j sigue siendo el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es más fina, entonces: f * * (, ) i j * j Entonces el volumen aproimado es: V 6 8 j 9 7 j 8 8 7 j 6 8 8 8 i j i 8 6 V ( ) da 6 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones En la figura. se aprecia la aproimación del volumen del sólido S empleando la partición más refinada. Figura. Aproimación del volumen para el ejemplo. parte b UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones. INTEGALES ITEADAS Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a,b] si F es una antiderivada de f, entonces: b b f d F a b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f d F b F a a Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas propiedades de la notación sigma además, la resolución de un límite; la otra opción para resolver una integral definida de una función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada evaluarla en los etremos del intervalo de integración. El primer método, la definición como el límite de una suma suele ser un procedimiento más riguroso en comparación con el segundo. Análogamente, la resolución de una integral doble por definición es un cálculo mu complejo, a que es el resultado del límite de una doble suma de iemann. A continuación se epone un método que consiste en epresar una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la evaluación sucesiva de dos integrales simples. DEFINICIÓN: La Integral Iterada Sea f: una función real continua de dos variables, definida en la región rectangular D [ a, b] [ c, d ]. La integral iterada de la función f sobre D, denotada por d b ó c a f (,)dd a b c d f (,)dd, se define como: f (,) dd f (,) d d d b d b (I.) c a c a O también f (,) dd f (,) d d b d b d (I.) a c a c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros ecuerde que en la f, d, la b integral ( ) a d indica que la variable de integración es, por lo tanto la variable se considera constante en esta integral. Esto se conoce como integración parcial con respecto a 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos integrales simples. En la ecuación (I.), la integral que debe resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es b decir, ( ) a f, d. El resultado de esta integral es una función de, a que se considera constante. Tal como se ilustra: Entonces para resolver d f (,) d se integra c parcialmente respecto a la variable ; es decir es considerada constante. Finalmente: b a ( ) ( ) f, d A (I.) f (,) dd f (,) d d A( ) d d b d b d (I.) c a c a c En forma análoga, en la epresión (I.), la integral b d d f (,) dd se resuelve primero f ( ) a c función de, como sigue: c d c ( ) ( ), d, resultando una f, d A (I.) para luego integrar respecto a : f (,) dd f (,) d d A( ) d b d b d b (I.5) a c a c a EJEMPLO. Evalúe las siguientes integrales iteradas: a) ( + ) dd b) ( + ) UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. dd c) ( 6 ) dd d) ( ) e) ( ) 6 dd dd f) ( ) dd

Geraldine Cisneros 6 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Solución: ecuerde que en el ejemplo. se aproimó la integral doble de dos maneras diferentes: ( ) V + da 6 D ( ) V + da, 5 D a) Para resolver la integral ( + ) parcialmente respecto a, ( ) 8 d + + + 8 Luego se evalúa la segunda integral dd, primero se integra Al comparar estas aproimaciones con el valor de la integral, en efecto se puede comprobar que la primera estimación es por eceso, mientras que la segunda es una mejor aproimación. Por lo tanto: 8 d 8 6 8 8 + + + ( ) + dd b) Se desea resolver ( + ) dd: ( ) + d + + 8 ( ) + 8 d 8 8 6 + + ( ) + dd c) Para resolver la integral ( ) integra parcialmente respecto a : ( ) 6 dd, primero se 6 68 6 d 6 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros ecuerde que en el ejemplo. parte a se obtuvo una aproimación por defecto de: ( ) D V 6 da 56 Mientras que en la parte b, se obtuvo: V, 768 7 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Luego se resuelve la segunda integral, cua variable es d 5, 68 68 7 56 6 Por lo tanto: ( ) 6 dd 5, V 5, 778 Al observar el valor real de la integral doble, 6 dd 5 ( ) se puede concluir que las aproimaciones de la parte b son mejores que la estimación de la parte a. d) esolviendo ( ) ( ) 6 dd 6 68 6 d 6 d 5, 68 68 7 56 ( ) 6 dd 5, En el ejemplo., se aproimó la integral doble mediante una doble suma de iemann con dos particiones diferentes, donde en ambos casos se obtuvo: ( ) V da 6 D e) Para resolver la integral ( ) respecto a como sigue: ( ) d ( ) ( ) Seguidamente se resuelve la integral: ( ) d [ ] 6 dd, primero se integra Es decir: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 8 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones ( ) dd 6 f) Ahora se resuelve ( ) dd en el orden de integración inverso, primero respecto a la variable : ( ) d Ahora respecto a la variable : d 6 ( ) dd 6 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 9 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones.5 TEOEMA DE FUBINI El nombre de Teorema de Fubini se debe al matemático italiano: Guido Fubini (879, 9). El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar una integral doble epresándola como una integral iterada TEOEMA de Fubini para Integrales Dobles Sea f: [ a, b] [ c d] D,, entonces: una función real continua en el rectángulo También resaltó por sus contribuciones en los campos de geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones analíticas funciones de varias variables. El principio de Cavalieri se debe al matemático italiano Bonaventura FrancescoCavalieri (598, 67). Demostración intuitiva: d b b d ( ) ( ) ( ) f, da f, dd f, dd (I.5) D c a a c Considere que la función f es positiva, es decir, f (, ) cual la integral doble ( ) D f, por lo, da representa el volumen del sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D por debajo de la superficie definida por z f (, ). El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones transversales conocidas se calcula mediante una integral simple. Célebre por introducir en Italia el cálculo logarítmico por su teoría de indivisibles, la cual es el principio del cálculo de una integral definida pero sin la rigurosidad moderna del límite. b a ( ) V A d (I.6) En la figura. se ilustra una sección transversal del sólido S. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones z f(,) A() D a b Figura. Interpretación geométrica del Teorema de Fubini donde A ( ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje al plano, entonces A ( ) se puede obtener como: d ( ) ( ) A f, d (I.7) c Sustituendo la ecuación (I.7) en (I.6), se obtiene: b d ( ) ( ) (I.8) V f, dd f, dd D a c En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener como: V c d ( ) A d (I.9) UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones donde A ( ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje al plano, como se ilustra en la figura.; es decir: Figura. A( ) Interpretación geométrica del teorema de Fubini A( ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje al plano. b ( ) ( ) A f, d (I.) Al sustituir la epresión de A ( ) en la ecuación (I.9) se tiene: a d b ( ) ( ) (I.) V f, dd f, dd D c a Finalmente, se conclue que la integral doble de f sobre D es igual a la integral iterada de la función f ; es decir: b d d b ( ) ( ) ( ) f, da f, dd f, dd (I.) D a c c a UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones.6 INTEGALES DOBLES SOBE EGIONES MÁS GENEALES En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una función f, sobre regiones más generales que rectángulos, para posteriormente eplicar cómo se resuelven este tipo de integrales. En la figura. se presenta una región D de una forma más general. Figura. egión D con una forma más general Entre las regiones más generales se tienen las de tipo las de tipo. DEFINICIÓN: egiones de Tipo Como las funciones f g son continuas en [,b] a, entonces son acotadas, por lo cual la región D del tipo es una región acotada del plano. Sean gh, :[, ] continuas en [ a,b], de modo que g ( ) h( ), [ a,b] ab, dos funciones reales de variable real,. Una región de tipo, es una región definida como: { (, ) ( ) ( )} D a b g h (I.) En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la recta a, por la derecha por la recta b, inferiormente por la UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones gráfica de la función g superiormente por la gráfica de la función h. En la figura. se observan algunas regiones de tipo. En una región de tipo ó de tipo, las curvas segmentos de rectas que limitan a la región D, constituen la frontera de D se denota como D. Figura. egiones de tipo DEFINICIÓN: egiones de Tipo Sean gh, :[, ] continuas en [ cd, ], de modo que g ( ) h( ), [ c, d] cd, dos funciones reales de variable real,. Una región de tipo, es una región definida como: { (, ) ( ) ( ) c } D g h d (I.) Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la gráfica de la función g, por la derecha por la gráfica de la función h, superior e inferiormente por las rectas respectivamente. En la figura.5 se aprecian algunas regiones de tipo. d c, UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Algunas regiones pueden ser del tipo del tipo simultáneamente, a estas regiones se les clasifica como de tipo. Ejemplo: Figura.5 egiones de tipo Figura.6 El círculo unitario como una región tipo Una vez eplicadas las regiones de tipo de tipo, se presenta la siguiente definición: DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales Sea f: una función real continua de dos variables, definida en una región general D. Figura.7 El círculo unitario como una región tipo Sea un rectángulo que contiene a la región D. Sea F una función definida en el rectángulo como: ( ) F, (,) si (,) f D si (, ) D (,) (I.5) La integral doble de f sobre D, denotada ( ) dada por: D ( ) ( ) D f, da, está f, da F, da (I.6) Ahora bien, para resolver la integral ( ) identificar si la región D es de tipo o de tipo. D f, da, se debe UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Si la región D es de tipo, se debe seleccionar un rectángulo [ a,b] [ c,d] que contenga a D, tal como se ilustra en la siguiente figura. Figura.8 ectángulo que contiene a la región D de tipo f, da F, da, por el teorema de Fubini Luego, como ( ) ( ) resulta: D b d ( ) ( ) F, da F, dd (I.7) a c Y según la definición de la función F, se tiene que F(, ) si < g( ) > h( ), entonces: ( ) ( ) ( ) d h h ( ) c g g ( ) ( ) ( ) F, d F, d f, d (I.8) Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de tipo de la siguiente manera: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 6 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo Sea f una función real continua de dos variables, definida en una región D del tipo, tal que { (, ) ( ) ( )} D a b g h (I.9) La integral doble de f sobre una región D de tipo, denotada D f ( ), da, está dada por: ( ) b h ( ) ( ) f, da f, dd (I.) ( ) D a g Si por el contrario, la región D es de tipo, se debe seleccionar un rectángulo [ a,b] [ c,d] que contenga a D, tal como se muestra en la figura.9. d h() D c a g() b Figura.9 ectángulo que contiene a la región D de tipo Como ( ) ( ) tiene: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. f, da F, da, por el teorema de Fubini se D d b ( ) ( ) F, da F, dd (I.) c a

Geraldine Cisneros 7 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones donde F(, ) si g( ) h( ) < >, entonces: ( ) ( ) ( ) b h h ( ) a g g ( ) ( ) ( ) F, d F, d f, d (I.) La integral doble sobre una región del tipo se puede definir como: DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo Sea f una función real continua de dos variables, definida en una región D del tipo, tal que { (, ) ( ) ( ) } D g h c d (I.) La integral doble de f sobre una región D de tipo, denotada D f ( ), da, está dada por: ( ) d h ( ) ( ) f, da D f, dd c (I.) g ( ) COMENTAIO De ahora en adelante, para indicar el orden de integración para una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán unas flechas, sobre la gráfica de la región D, que indicarán el valor inicial final de la variable de acuerdo a la entrada salida de la flecha, respectivamente. En una región de tipo, la integral doble de la función f se ( ) b h obtiene como f ( ) a ( ) g, dd, de acuerdo a la ecuación (I.), esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a la variable, por lo cual se indicará sobre la región D como se ilustra en la siguiente figura: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 8 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones : Indica cual es el valor de la variable a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable a la entrada de la región D (límite inferior). Figura. Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo Por otra parte, la ecuación (I.) señala que en una región de tipo, la integral doble de la función f se obtiene como c d ( ) h ( ) g f ( ), dd, lo que indica que la primera integración se realiza respecto a la variable, por lo cual se señalará sobre la región D como se muestra a continuación: : Indica cual es el valor de la variable a la salida de la región D (límite superior). d h() D : Indica cual es el valor de la variable a la entrada de la región D (límite inferior). c a g() b Figura. Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros EJEMPLO.5 9 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo, del tipo o de ambos. a) dd b) + dd c) dd d) Solución: e dd a) Para resolver la integral dd, se evalúa primero la integral interna, pero a diferencia del ejemplo. de aquí en adelante se mantendrá la integral eterna, como sigue: Figura. Sólido del ejemplo.5 parte a dd d d d d dd Figura. Función f definida en la región D del ejemplo.5 parte a La región D de este ejercicio es de tipo de tipo, a que se puede definir como: egión tipo : ( ) {, } D egión tipo : ( ) {, } D La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se muestra en la siguiente figura: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Valor de a la salida de D En el ejemplo.5 a la integral dd, lo cual quiere decir que el sólido definido sobre D bajo la gráfica de f, tiene como volumen (UL), donde UL son unidades de longitud. D Figura. Valor de a la entrada de D egión D del ejemplo.5 a b) Se desea resolver la integral + dd dd d d d ( + ) d + + + Figura.5 Sólido del ejemplo.5 parte b ( ) ( + ) 5 + d + dd 5 Figura.6 Función f definida en la región D del ejemplo.5 parte b La región D es una región de tipo, definida como: {(, ) } D + La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Valor de a la salida de D + D Valor de a la entrada de D Figura.7 egión D del ejemplo.5 b c) esolviendo la integral doble dd, se tiene: Figura.8 Sólido del ejemplo.5 parte c dd d d d d Esta integral se resuelve empleando una sustitución trigonométrica: dd d d Figura.9 Función f definida en la región D del ejemplo.5 parte c Al sustituir el cambio de variable se tiene: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros CV: Cambio de Variable senθ d cosθdθ CLI: Cambio de los límites de integración LI: θ arcsen LS: π θ arcsen π Integrales Múltiples Sus Aplicaciones ( ) cos 8 cos dd senθ θdθ θdθ dd ( ) sen( ) π + cos θ θ 8 dθ θ + π dd π π π La región D del ejemplo.5 c es de tipo de tipo, a que se puede definir como: De radio altura por lo tanto se puede calcular su volumen como: ( ) ( ) V π π lo que coincide con la integral: dd π egión tipo : ( ) egión tipo : ( ) {, } D {, } D La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: Valor de a la entrada de D D Valor de a la salida de D Figura. egión D del ejemplo.5 c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones d) La integral e dd es diferente a las tres partes anteriores, a que la función integrando es diferente a la unidad. Figura. Sólido del ejemplo.5 parte d dd d d d e d e e e e 5 dd e 5 e e 5 9 5 e dd e 9 5 Figura. Función f definida en la región D del ejemplo.5 parte d La región D es una región de tipo, definida como: {(, ) } D e La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: D Valor de a la entrada de D Valor de a la salida de D e Figura. egión D del ejemplo.5 d UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples Sus Aplicaciones.7 POPIEDADES DE LA INTEGAL DOBLE A continuación se presentan las propiedades de la integral doble de una función f: real de dos variables sobre una región general D..7. Propiedad de linealidad Sean f: g: dos funciones reales continuas definidas en una región D, sean α β dos números reales cualesquiera, entonces: (, ) + (, ) (, ) + (, ) α f βg da α f da βg da D D D (I.5).7. Propiedad de orden Sean f: g: dos funciones reales continuas definidas en una región D, tales que f (,) g(,) (,) entonces: D (, ) (, ) D D, f da g da (I.6).7. Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f: una función real continua definida en una región general D. Si la región D está dividida en dos subregiones D D (es decir D D D ), entonces: (, ) (, ) + (, ) f da f da f da (I.7) D D D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros EJEMPLO.6 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble dibuje la región D. ( + + ), ( ) D da { 6} D, + + Solución: El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región D es tipo o tipo. En la siguiente figura se muestra la región D. Figura. Función f definida en la región D del ejemplo.6 Nótese como en este ejemplo la función f no es estrictamente positiva. +6 + Figura.5 egión D del ejemplo.6 La región D de este ejemplo no es de tipo, ni de tipo, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la propiedad señalada en la ecuación (I.7). Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D en dos subregiones tipo o dividirla en dos subregiones tipo. A continuación se analizan ambas situaciones. i) Cuando la región D es dividida por la recta, se obtienen dos subregiones de tipo ; es decir, D D D, donde: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. {( ) } D, + + 6 {( ) } D, +

Geraldine Cisneros 6 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones En la figura.6 se aprecia la región D dividida en dos regiones tipo. Valor de a la salida de D Valor de a la salida de D + 6 D D Valor de a la entrada de D + Figura.6 Valor de a la entrada de D + egión D del ejemplo.6 dividida en dos regiones tipo Por lo tanto: + 6 ( ) ( ) ( ) I + + da + + dd + + + dd D + + 5 5 I + + 5 d+ 5 d + + 9 7 I + 6 5 9 I ( + + ) da D ii) Cuando se traza la recta, la región D se divide en dos subregiones de tipo ; es decir, D DA DB, donde: A {(, ) } D + + + 6 DB (, ) + + UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 7 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones La figura.7 muestra la región D dividida en dos regiones tipo. Valor de a la entrada de D B 6 D B Valor de a la salida de D B + + Valor de a la entrada de D A + D A Valor de a la salida de D A + + Figura.7 egión D del ejemplo.6 dividida en dos regiones tipo Entonces, siendo ( + + ) I da, se tiene que: D ( ) 6 ( ) + + + + I + + dd + + + dd + esolviendo se obtiene 8 79 I +, luego: 5 6 9 I ( + + ) da D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros EJEMPLO.7 8 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble dibuje la región D. ( + ) da, D { (,) + } D Solución: Figura.8 Función f definida en la región D del ejemplo.7 Tal como se eplicó en los ejemplos anteriores, el primer paso para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la región D en una región de tipo o tipo. Para ello se deben estudiar las inecuaciones que definen a la región D. La solución de la inecuación es la intersección de las inecuaciones: i) (si ) ii) (si < ) Según la definición del valor absoluto: si si < La solución de la inecuación + es el conjunto de pares ordenados (, ) que se encuentran dentro sobre la circunferencia de radio con centro en el origen del sistema de coordenadas. La región D del ejemplo.7 se muestra en la figura.9 + + D Figura.9 egión D del ejemplo.7 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 9 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo, ni de tipo, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración, señalada en.7.. Por lo que la región D se divide en dos regiones tipo, esto es: D D D, las cuales se detallan en la figura.5. Valor de a la salida de D + Valor de a la salida de D D D Valor de a la entrada de D Valor de a la entrada de D Figura.5 egión D del ejemplo.7 dividida en dos regiones tipo Donde: ( ) Por lo tanto: { } {( ) }, D, + D ( ) ( ) ( ) I + da + da+ + da D D D + ( ) ( ) I + dd + + dd ( 8 7 ) ( 9 ) I + + + + + d+ + + + + + d UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones 8 I π + + π + D ( ) ( ) 5 + da 8π + EJEMPLO.8 Evalúe la siguiente integral doble dibuje la región D. + da, D (,) + 9 D { } Solución: La región D es una región tipo tal como se muestra en la siguiente figura. Figura.5 Función f definida en la región D del ejemplo.8 9 D Figura.5 egión D del ejemplo.8 Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto, también llamado módulo, se tiene que: + si + f (,) + ( + ) si + < A continuación se debe verificar si eiste intersección entre la región las inecuaciones + + <. Este resultado se muestra en la figura siguiente. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones - D D + < Figura.5 + 9 Intersección de la región D con las inecuaciones + + < Entonces se tiene: Donde: ( ) f (,) ( ) + si, D ( + ) si (,) D { } D, + 9 + { ( ) } D, + 9 + < Por lo tanto la integral doble se resuelve como: ( ) ( ) I + da + da+ + da D D D En las figuras.5.55, se muestra el orden de integración para resolver las integrales dobles anteriores. En la figura.5, se tiene que: D D D.A.B, Valor de a la salida de D.A 9 D.A D.B Valor de a la salida de D.B 9 Valor de a la entrada de D.A Figura.5 Valor de a la entrada de D.B UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. egión D del ejemplo.8

Geraldine Cisneros 5 Integrales Múltiples Sus Aplicaciones Entonces: D D ( + ) 9 9 ( + ) + ( + ) ( ) da dd dd 9 9 + da 9 d 9 d + + + Ahora para la región D : ( ) ( ) + da 9 9 + 8 D, Valor de a la entrada de D 9 D Valor de a la salida de D Figura.5 egión D del ejemplo.8 Así: D 9 ( + ) ( + ) da dd 9 d 9 Por lo tanto D ( ) + da 9 9 I + da 8 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Tema Integrales dobles triples Hasta ahora se han calculado el área de figuras geométricas planas elementales: el rectángulo, el círculo, el trapecio, etc. Pero, cómo calcular el área de figuras no regulares? Una buena aproimación puede ser la de dividir la zona en pequeños rectángulos sumar las áreas de cada uno de ellos: Figura.: Mallado para la aproimación del área Esta idea era la que subacía en la construcción de la integral que vimos en el tema anterior que nos permitió calcular longitudes de curvas, áreas limitadas por curvas volúmenes de cuerpos de revolución. En este tema, se generalizaelconceptodeintegraldefinidaafunciones dedosotres variables, obteniendo las llamadas integrales de área o de volumen, respectivamente. Estonospermitirácalcularelvolumendecuerpos limitados porsuperficies, nonecesariamente derevolución. Tambiénpermitirácalcularáreas mediante integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo más complicadas. Se empezará definiendo la integral sobre un rectángulo. 6

.. Integrales dobles sobre rectángulos Sea f(,) una función acotada sobre un rectángulo [a,b] [c,d]. Una partición del rectángulo son dos conjuntos de puntos { j } n j e { j} m j, satisfaciendo a < < <... < n b c < < <... < m d es decir, P P P, donde P P son particiones de [a,b] [c,d], respectivamente. Se llama área de a v() (d c)(b a). Toda partición divide al rectángulo en n m subrectángulos jk [ j, j ] [ k, k ], j,...,n, k,...,m como se observa en la Figura.. Se llama norma de la partición P a P má{v( jk ) : j,...,n; k,...,m} Figura.: Una partición del rectángulo [a,b] [c,d] Considérese cualquier punto c jk del rectángulo jk fórmese la suma n S(f,P) m j k 7 f(c jk )v( jk )

llamada suma de iemann para f En la siguiente gráfica hemos representado las sumas de iemann para la función f(,) + tomando como punto c jk el punto medio del rectángulo el punto inferior del rectángulo..5.5.5.5.5.75.5.5.75.5.5.5.75.75.5.5 (a) c jk como punto inferior (b) c jk como punto medio Figura.: Sumas de iemann Definición. Si la sucesión {S(f,P)} converge a un límite S, cuando la norma de la partición tiende a, que es el mismo para cualquier elección de c jk, entonces se dice que f es integrable sobre se escribe f(,)dd lím n m P j k f(c jk )v( jk ) A continuación se resumen las propiedades más importantes de las funciones integrables. Teorema. Sean f g dos funciones integrables sobre un rectángulo. Entonces 8

. (Linealidad) f + g es integrable sobre (f(,) + g(,))dd f(,)dd + g(,)dd. (Homogeneidad) αf es integrable sobre, para todo α, αf(,)dd α f(,)dd. (Monotonía) Si f(,) g(,), para todo (,), entonces f(,)dd g(,)dd. (Aditividad) Si P QconP Qdosrectángulos cuaintersección es una línea recta o un punto o vacía, entonces f(,)dd f(,)dd + f(,)dd 5. (Valor absoluto) f también es integrable se verifica f(,)dd f(,) dd P Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema Teorema. Toda función continua sobre un rectángulo cerrado es integrable Q Aunque la clase de las funciones integrables es mucho más amplia, el teorema anterior será suficiente en muchos casos prácticos. En general, las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en conjuntos mu pequeños. Definición. (Medida nula) Un subconjunto de n tiene contenido nulo si, dado ǫ >, eiste un número finito de rectángulos que lo recubren la suma de sus volúmenes es menor que ǫ. 9

Un subconjunto de n tiene medida nula si, dado ǫ >, eiste una sucesión (finita o infinita) de rectángulos, n, que lo recubren cumpliendo. V ( n ) < ǫ n El criterio general para saber qué funciones son integrables lo proporciona el siguiente teorema Teorema.5 (Criterio de Lebesgue) Una función definida en un rectánguloes integrableiemannsi, sólosi, elconjuntodepuntos de discontinuidad de la función tiene medida nula.... Cálculo de integrales dobles El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema.6 (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo [a,b] [c,d].. Si para cada [a,b], la sección transversal f () : f(,), [c,d], es integrable sobre [c,d], entonces la función F() : d es integrable sobre [a,b] se verifica b f(,)dd F()d a c f ()d b a ( d c ) f(,)d d. Si para cada [c,d], la sección transversal f () : f(,), [a,b], es integrable sobre [a,b], entonces la función G() : b es integrable sobre [c,d] se verifica d f(,)dd G()d c a f ()d d c ( b a ) f(,)d d

f(,) f(, ) a c d F( ) a b d G( ) b c Figura.: El teorema de Fubini Corolario.7 Si f es continua sobre un rectángulo [a,b] [c,d], entonces b ( d ) d ( b ) f(,)dd f(,)d d f(,)d d a c c a Ejemplo. Se desea calcular la integral doble dd siendo [,] [,]. Solución: Dado que la función es continua en basta aplicar el Teorema de Fubini para obtener dd ( d ) d d [ 6 ] ] [ d 8 6 6 7 6 Ejercicio. Cálculese la integral anterior cambiando el orden de integración.

... Integrales dobles sobre recintos acotados Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica {, si A A (), si / A donde A. Si el conjunto A es acotado verifica que su frontera tiene medida nula, entonces lafuncióncaracterística es integrable sobre cualquierrectángulo que contiene a A, en este caso, eiste a(a) : A (,)dd que se llama la medida o área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo A, se define f(,)dd : A (,)f(,)dd A En la figura siguiente puede verse gráficamente este proceso, donde F(,) A (,)f(,):.5 -.5 -.5 Gráfica de f(,) -.5 Gráfica de F(,).5 - -.5.5 D.5 - D Figura.5: ecinto acotado función característica

Esta definición permite etender la integración a recintos más generales: aquellos que son medibles. Por tanto, ha que reconocer los conjuntos que son medibles. Para los objetivos de nuestro curso basta aplicar, en general el siguiente resultado: Teorema.8 La gráfica de una función continua tiene medida nula; es decir, si Φ() es una función continua definida en un intervalo I, el conjunto tiene medida nula. A {(,) : Φ(); I} En definitiva, los conjuntos cua frontera está formada por gráficas de funciones continuas son medibles. En particular, pueden distinguirse dos tipos de recintos: ecintos de tipo I A {(,) : a b; g () g ()} siendo g (),g () funciones continuas en [a,b]. En este caso, ( b ) g () f(,)dd f(,)d d A a g () g () D g () D D g () g () g () g () a b a b a b Figura.6: Algunos dominios de tipo I Ejemplo. Se quiere calcular la integral ( + )d d D

donde D es la región acotada por la parábolas e +. Solución: En primer lugar, tras representar gáficamente el dominio de integración, trazamos una recta vertical, L, que pase por el dominio D marcamos los valores de la variables pordondeentrasale la recta L, comopuedeverse en la siguiente figura..5.5 +.5 L - -.5.5 Figura.7: Integración sobre una región de tipo I La región de integración es, por tanto, el dominio de tipo I: D {(,)/ ; + )} Luego: D ( + )d d + ( + )d d Ejercicio. Calcula la integral doble T dd siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,), B(,) C(,); epresando T como un recinto de tipo I. (Sol.: ) Ejercicio. Calcula la integral doble T dd siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,), B(,) i C(,); epresando T como un recinto de tipo I.

(Sol.: ) ecintos de tipo II A {(,) : c d; h () h ()} siendo h (),h () funciones continuas en [c,d]. En este caso, A f(,)dd d ( ) h () f(,)d d c h () d h () D h () d h () D h () d h () D c c c h () Figura.8: Algunos dominios de tipo II Ejemplo. Calculemos la integral d d donde D es la región acotada por + 6. D Solución: Después de representar gráficamente el dominio de integración, trazamos una recta horizontal, L, que pase por el dominio D marcamos los valores de la variables por donde entra sale la recta L, como puede verse en la siguiente figura. 5

/ - L + - 6 - - Figura.9: Integración sobre una región de tipo II Luego el dominio de integración es el dominio de tipo II: { D + ( 6) Por tanto: D d d ( 6) + dd Ejercicio. Calcula la integral doble T dd siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,), B(,) C(,); epresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio.. (Sol.: ) Ejercicio.5 Calcula la integral doble T ( )dd siendo T el recinto limitado por el triángulo de vértices A(,), B(,) i C(,); epresando T como un recinto de tipo II. Compara el resultado con el obtenido en el Ejercicio.. (Sol.: ) Algunas regiones pueden escribirse indistintamente como de tipo I o de tipo II. En estos casos, se elige aquella que resulte más fácil o más corta. En el siguiente ejemplo, se hancalculadoambas paraquese puedancompararlos procedimientos. 6

Ejemplo. Se desea calcular la integral doble T dd siendo T el triángulo de vértices A(,), B(,) C(,). Solución: El recinto puede verse en la figura epresado como de tipo I o de tipo II C C.5 -.5.5.5 - A...6.8 B A...6.8 B (a) ecinto de tipo I (b) ecinto de tipo II Figura.: Un triángulo como región de tipo I II Para ello, si se epresa T como una región de tipo I: T, entonces T dd ( ) d d ) ( ) ( d ] [ + 7 + 5 6 ] [ d ( + ) d

Si se epresa T como un recinto de tipo II: T, entonces T dd ( d ) d... 5 6 Ejercicio.6 Calcula la integral de la función f(,) sobre la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas equiláteras, las rectas,. (Sol.: 7 6 ln6 ) Ejercicio.7 Calcularel áreadela regióndel primercuadrante limitada por las curvas,,,. (Sol.: ln u (unidades al cuadrado) )... Cálculo de áreas Si se considera una función continua no negativa f(,) definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble f(,) dd A tieneunsignificadogeométrico claro: representael volumendelsólidoformadopor el recinto A comobase, paredes laterales verticales como superficie superior la gráfica de f(,). Este resultado permite que, en el caso de integrar la función constante sobre unrecintomediblea, se obtengaeláreade dichorecinto (enrealidad, se obtiene el volumen de un prisma recto de base el recinto A altura que equivale numéricamente al área de A). Es decir; a(a) : dd A 8

Ejemplo.5 Vamos a utilizar esta propiedad para calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones sen() + e cos() + en el intervalo [ π, 5π ]. Solución: Primer paso: Un croquis Para representar gráficamente el área que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de interseción de las dos funciones que se encuentran en ese intervalo, es decir, igualamos las dos funciones obtenemos que: Luego los puntos de intersección son P ( π, + ), P ( π, sen() + cos() + sen() cos() π, π, 5π + ), P ( 5π, + ) Comopodemos ver enlagráfica, Fig..se obtienendosdominios simétricos que tienen el mismo área. Es por ello que calcularemos el área que nos piden multiplicando por dos el área de uno de los dos dominios coloreados en la gráfica..5.5 - cos() + sen() + Figura.: Área entre dos gráficas Segundo Paso: Los límites de integración en Trazamos una recta vertical, L, quepase poreldominiod marcamos los valores delavariables por donde entra sale la recta L. Como puede verse en la Fig.., 9

esos valores son justamente los valores de las funciones sen() + e cos() +. Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo : D {(,)/ π 5π ; cos() + sen() + )} Tercer Paso: Cálculo de la integral Aplicando la fórmula de integración sobre dominios de tipo I a la fórmula de cálculo de áreas, tendremos que: Área(D) da D 5π π 5π π sen()+ cos()+ 5π d d π sen() cos()d cos() sen()] 5π π ] sen()+ cos()+ d Ejemplo.6 Calcularel áreacomprendidaporla gráficade las funciones e ( ). Solución: Primer paso: Un croquis Para representar gráficamente el área que queremos calcular, hallaremos en primer lugar, los puntos de interseción de las funciones que delimitan el dominio a integrar. Igualando las funciones se tiene que: ( ) 5 + Luego los puntos que delimitan el dominio son P (,), P (,), P (,)

...8.6.. -.5.5 Figura.: Área entre dos gráficas Segundo Paso: Los límites de integración en Trazamos una recta horizontal que pase por el dominio D marcamos los valores de la variable por donde entra sale la recta. Como puede verse en la Fig.. esos valores son. Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es el dominio de tipo II: D {(,)/ ; } Tercer Paso: Cálculo de la integral Aplicando la fórmula de integración sobre dominios de tipo II a la fórmula de cálculo de áreas, tendremos que: Área(D) da D ( ) d d ( d [ [] ] / ) 5 6 d Ejemplo.7. Cálculese el área del círculo unidad. Solución: Según lo dicho a(c) C dd

siendo C +. Si se considera como un recinto de tipo I, debemos hallar las ecuaciones de las dos curvas que delimitan el recinto por su parte inferior superior, tal como se ve en la Fig.. Figura.: Disco unidad por lo que los límites de integración serán C Por tanto, dd C ( d, haciendo el cambio de variable ) d d sint d cos t dt t π t π, resulta π π cos t dt [ t + sin(t) ] t π t π π

Más adelante se verá que este tipo de integrales puede resolverse de forma más sencilla, aplicando el cambio de variables a la integral doble. Ejercicio.8 Considera un triángulo isósceles con un vértice en el punto (,) los lados iguales sobre las rectas determinadas por. Halla qué altura, h, debe tener el triángulo sobre el eje OY para que la circunferencia unidad lo divida en dos partes de igual área. (Sol.: h π ).. Integrales triples Las integrales triples no tienen a maor dificultad salvo la añadida por una dimensión más. Los rectángulos anteriores se substituen ahora por rectángulos tridimensionales, o sea, cajas [a,b] [c,d] [p, q]. Una partición P de es ahora P P P P siendo P, P P particiones de los intervalos [a,b], [c,d] [p, q], con respectivamente. Si P tiene n + puntos, P tiene m + puntos P tiene r + puntos, la partición P P P P divide al rectángulo en n m r subrectángulos ijk [ i, i ] [ j, j ] [z k,z k ]; cada uno de los cuales tiene volumen v( ijk ( i i )( j j )(z k z k ) Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una función real acotadaf definidaen, se define lasumade iemanncorrespondiente ala partición de P de como con ijk ijk. S(f,P) n m i j k r f( ijk )v( ijk ) Definición.9 Dadalafunciónacotadaf : se define laintegral triple como el límite de las sumas de iemann cuando P tiende a : f(,, z)dddz lím P j n f( jkl )v( jkl )

siempre que dicho límite eista sea independiente de la elección del punto ijk. Como antes toda funcióncontinuaes integrable todafunciónacotada cuas discontinuidades tienen medida nula es integrable. Asimismo se cumplenlas propiedades del Teorema.. Finalmente, el cálculo de una integral triple puede reducirse al cálculo de tres integrales iteradas: Teorema. Sea f una función integrable sobre un rectángulo [a,b] [c,d] [p, q]. Sieiste cualquierintegraliterada, es igualalaintegral triple f(,, z)dddz b a d c q p... ( d ( q c p ( q ( b p a ( b ( d a c ) f(,, z)dz ) f(,, z)d ) f(,, z)d ) d d ) dz d ) d dz así sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles. Ejemplo.8 Calcular la integral sobre [,] [,] [,] de la función f(,, z) z Solución: Se tiene que z dddz ( ( ) z dz ( [ ] z z d z [ ] d ) d ) d d d ( ) d d

Ejercicio.9 Averigua cómo plantear la integral anterior para obtener el resultado más rápidamente.... Integración sobre recintos acotados Al igual que sucedía en el caso de integrales dobles, la integral triple sobre recintos acotados se hace etendiendo la integral a unrectánguloutilizando la función característica: f(,, z) dddz : f(,, z) χ Ω (,, z) dddz Ω siendo un rectángulo que contiene a Ω. Paraelcálculodelaintegral, elprocedimientoahoraconsiste enepresarel recinto en alguna de las formas siguientes: Ω {(,, z) : (,) D,ϕ (,) z ϕ (,)} siendo D pro XOY (Ω) ϕ, ϕ funciones continuas. Ω {(,, z) : (,z) D,ϕ (,z) ϕ (,z)} siendo D pro XOZ (Ω) ϕ, ϕ funciones continuas. Ω {(,, z) : (, z) D,ϕ (, z) ϕ (, z)} siendo D pro Y OZ (Ω) ϕ, ϕ funciones continuas. A continuación el recinto D se epresa como de tipo I o de tipo II, dando lugar a la integral iterada correspondiente. Por ejemplo, en el primer caso, si D es de tipo II en el plano XOY, se tendrá: α β Ω g () g () ϕ (,) z ϕ (,), por tanto, Ω f(,, z) dddz β α ( ( g () ) ) ϕ (,)f(,, z) dz d d ϕ (,) g () 5

Ejemplo.9 Se desea calcular el volumen del tetraedro limitado por los planoscoordenados el plano+ +z. Paraelloseránecesariocalcular Ω dddz, siendo Ω el tetraedro. Para calcular los límites de integración se proecta el recinto sobre el plano XOY obteniendo el triángulo señalado enlafigurafig... Las variables (,) varíanendichotriángulo, mientras que z recorre el recinto desde la superficie inferior z hasta la superficie superior z. Figura.: Volumen de un tetraedro Por todo ello resulta: Ω z 6

, entonces Ω dddz ( ( ( [ + ) dz ) ( ) d d ) d d ] [ d ) ( ) ( ( ) d ] ( ) + 6 6 6 Ejercicio. Calcular el volumen del cuerpo limitado por z, +, +. (Sol.: 7π u ).. Cambio de variable Una transformación en el plano es una aplicación T : con T(u, v) (,). Se llama determinante jacobiano de T a (,) (u, v) u v u v Teorema. (Dos variables) Sean D D dos regiones elementales del plano sea T : D D una biección de clase C, cuo determinante jacobiano no se anula en D. Entonces, para cualquier función integrable f : D se tiene f(,) dd (f T)(u, v) (,) D (u, v) dudv D 7

Cambio a coordenadas polares Es el dado por la transformación T : D [,] [,π[ dada por (,) T(r, θ) (r cos θ, r sinθ) Puede probarse fácilmente que T cumple las condiciones del teorema de cambio de variable, además, con jacobiano: (,) (r, θ) r θ cos θ r sinθ sinθ r cos θ r r θ Supongamos que queremos calcular una integral doble f(,)da cuando es un dominio como en la figura Fig..5. La descripción de un dominio de este tipo en coordenadas rectangulares parece bastante complicada, sin embargo describir en coordenadas polares nos simplificará bastante las cosas..5.5 - - Figura.5: Un anillo circular En general, las coordenadas polares son adecuadas cuando el recinto de integraciónes uncírculodecentroel origen (ounsectorcircular) o, almenos, un círculo tangente al origen. En los siguientes ejemplos vamos a aplicar dicho cambio ha que tener mucho cuidado de no olvidar multiplicar por r al hacer el cambio a coordenadas polares en la integral. Ejemplo. Calculemos la integral doble (+ )da donde es la región circular que se encuentra en el semiplano superior está limitada por las circunferencias + +, como puede verse en la siguiente figura: 8

+.5.5 + - - Figura.6: Integración en coordenadas polares Solución: La región se describe como: Por tanto: {(r, θ)/ r ; θ π} ( + )da π π π π (r cos(θ) + (r sen(θ)) )r drdθ [ r cos(θ) + r sen (θ) ] r r dθ 7 cos(θ) + 5 sen (θ)dθ 7 cos(θ) + 5 ( cos(θ)) dθ 7 sen(θ) + 5θ 5 sen(θ) ] π 5π Ejemplo. Veamos como calcularel volumen delsólido que estálimitado por los planos z, z el cilindro +. Solución: Este sólido está encima del disco que tiene como círculo frontera a la circunferencia + + + ( + ) 9

es decir, tiene como frontera la circunferencia de centro el punto (,/) radio (ver figura Fig..7). Si consideramos coordenadas polares, se tiene que este circulo se epresa como: + r cos (θ)+r sen (θ) r sen(θ) r r sen(θ) r sen(θ) Por lo tanto, el disco sobre el que se encuentra el sólido está dado por: D {(r, θ)/ r sen(θ) ; θ π} r sen(θ).75.5.5.8.6.... -.5 -.5 (a) Sólido.5.5 -. -... (b) Proección en el plano XOY Figura.7: Volumen de un cilindro circular Aplicando la fórmula de integración en coordenadas polares: Vol D π da π sen(θ) π rdrdθ r ] sen(θ) 6 cos(θ) dθ θ sen(θ) dθ ] π π π sen (θ) dθ 6 Ejemplo. Calcularel áreaporlas hojas de unarosadecuatropétalos, con ecuación es r cos(θ).

Solución: ecordar que área(d) D dd. Como se observa en la gráfica, Fig..8, paracalculareláreaencerradaporlas hojasde unarosa decuatropétalos, nos bastaráconcalcularel áreaencerradaenlamitadde un sólo pétalo; es decir, el conjunto sobre el que vamos a integrar es D {(r, θ)/ r cos(θ) ; θ π } π/.5 - -.5.5 -.5 - π/ Figura.8: Una rosa de cuatro pétalos Luego, el área que buscamos es: Área P π da 8 π cos (θ) ( θ + sen(θ) )] π 8 cos(θ) π π r dr dθ 8 ( ) cos(θ) + dθ π r ] cos(θ) dθ Ejemplo. Calcula la integral S {(,) / + } S dd donde S es el recinto Solución: La ecuación + representa una circuferencia centrada en (,) de radio. Así, la inequación + < corresponde a los puntos

interiores a la circunferencia, por tanto, el recinto S es el disco unidad representadoenlafigura.9. Estaintegralse resolveráutilizandoelcambio a coordenadas polares. Así, el recinto S se transforma en D {(r, θ) : r ; θ π} Figura.9: Disco unidad dd (r cos θ)(r sinθ)r drdθ S D π ( ) r cos θ sinθ dr dθ π π [ r cos θ sinθ cos θ sinθ [ sin ] θπ θ θ ] r r dθ

Ejercicio. Calcula A dd siendo A el recinto comprendido entre el rectángulo [,] [,] la circunferencia C +. (Sol.: 6 π ) Ejercicio. Calcula A e + dd siendo A la parte del círculo unidad, +, situada en el semiplano positivo de las,. (Sol.: π (e ) ) En ocasiones, resulta conveniente dividir el recinto en partes calcular la integral sobre cada parte por separado Ejemplo. Calcula la integral dd donde T {(,) / + ( + ), } T Solución: Para resolver la integral se utilizarán las integrales sobre C S, siendo C círculo S la parte interior del círculo que no está en T. De esta forma, T dd C dd dd S Sobre el círculo se emplea el cambio a coordenadas polares: } r cos θ r sinθ + ( + ) + + r + r sinθ r sinθ por lo que los límites de integración son { π θ π T r sinθ

, entonces dd C π ( sin θ π π π π π π π cos θ sinθ cos θ sinθ 5 ) r cos θ r sinθ r dr ( sin θ [ r 5 5 ] r sin θ r 5 cos θ sin 6 θ dθ, aplicando las fórmulas de reducción, ( [cos 5 θ sin 7 θ 5 8 5 π π sin 6 θ dθ ] π π + 8 ) r dr π π dθ dθ dθ sin 6 θ dθ, de nuevo, aplicando ahora la fórmula de reducción ( [sin dd 5 ] π θ cos θ + 5 ) π sin θ dθ C 5 6 6 π e, integrando, π sin θ dθ π ( [sin θ cos θ π π sin θ dθ π ] π π + π π sin θ dθ ) ) [ ] π (θ sinθ cos θ) π π Para la integral sobre S se tendrá en cuenta que las rectas e corresponden a las ecuaciones polares θ 5π θ 7π, respectivamente.

Por tanto,, por tanto, S dd S { 5π θ 7π r sinθ 7π 5π 7π 5π ( sin θ 5 ) r cos θ r sinθ r dr 5 cos θ sin 6 θ dθ dθ, aplicando la fórmula de reducción, S dd 5 5 5 ( [cos θ sin 7 θ 7π 5π 8 ]7π sin 6 θ dθ 5π + 8 7π 5π sin 6 θ dθ ), aplicando ahora la fórmula de reducción S dd 5 e, integrando, ( [ sin5 θ cos θ 7π 6 ]7π 5π + 5 6 sin θ dθ 5π ( [ sin θ cos θ 7π 5π ]7π 5π sin θ dθ 7π 5π + sin θ dθ 7π 5π ) sin θ dθ ) [ (θ sinθ cos θ) π 8 8 π 8 ]7π 5π 5

Y, finalmente, dd T C dd dd π S 8 π 8 5 π 8 Ejercicio. Calcula la integral T e dd donde T {(,) /,, +, } (Sol.: e e ) Laetensióndelresultadodecambiodevariable afunciones de tres variables es inmediato. Teorema. (Tres variables) Sean D D dos regiones elementales del espacio tridimensional sea T : D D una biección de clase C, cuo determinante jacobiano no se anula en D. Entonces, para cualquier función integrable f : D se tiene f(,, z) dddz (f T)(u, v, w) (,, z) D D (u, v,w) dudvdw Cambio a coordenadas cilíndricas En la figura Fig.. puede apreciarse el significado de la coordenadas cilíndricas. OZ r z OX O θ OY Figura.: Coordenadas cilíndricas 6

Las ecuaciones del cambiode coordenadas los nuevos límites de integración vienen dados por r cos θ r r sinθ θ [,π] z z z siendo el determinante jacobiano: (,, z) (r, θ,z) cos θ r sinθ sinθ r cos θ r Ejemplo.5 (Coordenadas cilíndricas) Un sólido Ω está limitado, en el primer octante, por la gráfica del semicono z + los planos z,,. Se desea calcular la integral Ω ( + ) dddz. Solución: Para ello se emplea el cambio a coordenadas cilíndricas. Como se ve enlafigura Fig.., está claro que z varíade la superficie delsemicono (de ecuación z r) al plano z..5.5.75 z.75.5 z +.5.5.5.75 Figura.: Integración sobre un semicono La proección en el plano z del sólido produce el sector circular +,,. Por tanto, la coordenada r varía de a la coordenada θ de 7

a π. En definitiva, θ π r r z, entonces Ω ( + ) dddz π π π ( ( r ) r r dz ) dr ( ( r ( r) ) ) dr dθ [ r r5 5 ( ) π 5 ] r r dθ dθ π dθ Ejercicio. Calcular la integral triple de la función f(,, z) z sobre la región Ω que se encuentra en el primer octante ( >, >,z > ) limitada por los paraboloides z +, z +, por los cilindros,, por los planos, 5. (Sol.: 765 8 ( ) ln5 + 56 5 ) Cambio a coordenadas esféricas Enlafigurasiguiente, Fig..,puedeapreciarse el significadogeométrico de las coordenadas esféricas. 8

OZ u z O OY OX Figura.: Coordenadas esféricas Las ecuaciones del cambio de coordenadas vienen dadas por r cos θ sinφ r r sinθ sinφ θ [,π] z r cos φ φ [,π] siendo el determinante jacobiano: (,, z) (r, θ,φ) cos θ sinφ r sinθ sinφ r cos θ cos φ sinθ sinφ r cos θ sinφ r sinθ sinφ cos φ r sinφ r sinφ Ejemplo.6 (Coordenadas esféricas) Se desea calcular el volumen de una esfera de radio. La integral correspondiente es v(s) dddz Solución: Para ello, se introduce el cambio a coordenadas esféricas: al aplicar el cambio de coordenadas a la ecuación de la superficie esférica, + + z, resulta r. Como no depende de θ ni φ estas dos variables no tienen restricciones, por tanto, θ π r φ π S 9

, entonces dddz S π π ( ( π ( π ) r sinφ dφ r [ cos φ] φπ φ dr ) [ r ] r r dθ ) dr dθ π ( ) dθ r dr π dθ π u.v. dθ Ejercicio.5 Calcular Ω ( + z) d d dz, donde Ω {(,, z) : + + z 9,z }. (Sol.: π ) En ocasiones resulta imposible dibujar el recinto de integración. en el caso en que la superficie que encierra el sólido esté formada por una única ecuación aún resulta posible, mediante un cambio adecuado de coordenadas, calcularlos límites de integración, lo cualresultaríaimposible de realizaren coordenadas cartesianas. Ejemplo.7 Calculael volumendelsólidoω encerradoporla superficie de ecuación ( + + z ) z( + ). Solución: Se aplica el cambio a coordenadas esféricas ( + + z ) z( + ) r r cos φ(r cos θ sin φ + r sin θ sin φ) r r cos φsin φ(cos θ + sin θ) r r cos φsin φ r cos φsin φ Como debe ser cos φ entonces φ [, π ]. La ecuación anterior no depende de θ luego θ [,π] por lo que los límites de integración son θ π φ π r cos φsin φ

con lo cual v(ω) Ω dv π π ( π ( ) ) cos φsin φ r sinφ dr dφ π ( π [ ] r rcos φsin ) φ sinφ dφ dθ r ( π ) cos φsin 7 φ dφ dθ dθ Ahora π [ cos cos φsin 7 φsin 8 φ φ dφ [ sin 8 φ 8 ] φ π φ ] φ π φ volviendo a la integral de volumen: v(ω)... ( π π ) cos φsin 7 φ dφ dθ + π cos φsin 7 φ dφ π dθ π 6 Ejercicio.6 Calculaelvolumenencerradoporlasuperficie de ecuación ( + + z ) + z (Sol.: π u ).. Problemas adicionales Ejercicio.7 Calcula S ( + )dd siendo S {(,) / +, }

Ejercicio.8 Calcula vértices (,), (π,) (π,π). S (Sol.: π 8 ) cos( + )dd siendo S el triángulo de (Sol.: π ) Ejercicio.9 Calcula la integral de la función f(,) sobre la región del primer cuadrante limitada por las hipérbolas equiláteras, las rectas,. (Sol.: 7 6 ln6 ) Ejercicio. Calcula el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas,,,. (Sol.: ln u ) Ejercicio. Calcula el área encerrada por la lemniscata de Bernoulli ( + ) a ( ). (Sol.: a u ) Ejercicio. Calculael volumendelcuerpolimitadoporel paraboloide hiperbólico z, el cilindro los planos +, z. (Sol.: 6 u ) Ejercicio. Calcula el volumen del cuerpo limitado por la semiesfera z el cono z +. (Sol.: π ( ) u ) Ejercicio. Calcula el volumen del cuerpo limitado por la superficie z los planos + +. (Sol.: 7π u ) Ejercicio.5 Calcula Ω ( + + z ) dddz, donde Ω es la región limitada por el cilindro + 6, z. (Sol.: 976π ) Ejercicio.6 Calcula Ω ( + z) dddz, donde Ω es la región definida por {(,, z) : + + z 9,z }. (Sol.: π )

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5 5. INTEGALES DOBLES 5.. DEFINICIÓN. 5.. TEOEMA DE INTEGABILIDAD 5.. TEOEMA FUBINI 5.. INTEGALES DOBLES SOBE EGIONES GENEALES 5..5 POPIEDADES 5..6 CÁLCULO DE INTEGALES DOBLES INVITIENDO LOS LÍMITES DE INTEGACIÓN 5..7 VALO MEDIO PAA UNA FUNCIÓN DE DOS VAIABLES 5..8 VOLÚMENES CON INTEGALES DOBLES 5..9 INTEGALES DOBLES EN COODENADAS CILÍNDICAS. 5.. CAMBIO DE VAIABLES PAA INTEGALES DOBLES (TANSFOMACIONES) 5.. ÁEA DE UNA SUPEFICIE 5. INTEGALES TIPLES OBJETIVOS: Calcular Integrales Dobles. Invertir el orden de integración. Calcular Volúmenes. Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. Calcular áreas de una Superficie. 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5. INTEGALES DOBLES 5.. DEFINICIÓN La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera: b a n f ( ) d lím f ( i ) i n Δ i La cual se llama Integral (Suma) de iemann, que significa el área bajo la en un intervalo [, ] curva f( ) ab. Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración ab, cd,, es decir un rectángulo de, la cual la sería de la forma [ ] [ ] denotamos como. d c a b Haciendo particiones de la región, de dimensiones no necesariamente iguales: m d Δ m m Δ i j Δ i Δ c Δ Δ Δ Δn a i n b n 5

MOISES VILLENA Integración Múltiple ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al La ij área de esta partición, que estaría dada por: Δ A ΔΔ ij i j Podemos definir una función de dos variables z f (, ), que para la ij ésima partición sería: (, j ) f ΔΔ i i j en la región Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica siguiente: z z f (, ) (, ) i j z f i a c d b Δ i Δ j ( i, j ) El punto ( i, j ), representa cualquier punto del ij ésimo rectángulo. Δ V El volumen del ij ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ij, estaría dado por: (, ) i j Δ V f ΔΔ. ij i j Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir: m n n m j i ( j ) V lim f, ΔΔ i i j 5

MOISES VILLENA Integración Múltiple De aquí surge la definición de Integral doble Sea f una función de dos variables definida en la región plana [ ab, ] [ cd, ] {(, ) / a b c d} m n Al lim (, j ) f i i j n Δ Δ se le m j i denomina la Integral Doble de f en se la denota de la siguiente manera: d c b a f ( dd, ) Además, si eiste este límite decimos que f es integrable en. Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades la manera de cómo evaluarla. En la definición se dice que si el límite eiste la función es integrable, pero surge la interrogante cuándo será que el límite eista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema. 5.. TEOEMA DE INTEGABILIDAD Sea f una función de dos variable definida en la región plana [ ab, ] [ cd, ] {(, ) / a b c d} Si f está acotada en si f es continua en a ecepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en. Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la función es continua será integrable. 5

MOISES VILLENA Integración Múltiple Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble. 5.. TEOEMA FUBINI Sea f una función de dos variable definida en la región plana [ ab, ] [ cd, ] {(, ) / a b c d}. Si f es continua en, entonces: d b f ( da, ) f( dd, ) c a b a d c f d d (, ) Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas. Ejemplo dd Calcular SOLUCIÓN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir: ( ) d d d d 8 + d d Aquí pudimos haber integrado con respecto a, luego con respecto a, sin maor trabajo. No deje de hacerlo. 5

MOISES VILLENA Integración Múltiple Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integración rectangulares, pero en las maorías de las ocasiones se presentarán otros tipos de regiones. 5.. INTEGALES DOBLES SOBE EGIONES GENEALES El teorema de Fubini puede ser etendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera: Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cua área, denotada como da, está dada por: da dd dd Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana tiene la forma: f (, ) da Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras: PIMEO haciendo un barrido vertical 5

MOISES VILLENA Integración Múltiple b a f ( g ( ) f (, ) d d ) SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal d c f ( g ( ) f (, ) d d ) Si f (, ), la integral doble representa el área de la región, es decir: A da La región anterior es llamada una región simple-, sin embargo pueden eistir regiones simple-, sólo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical. f ( ) d d a ( ) g b 55

MOISES VILLENA Integración Múltiple Como también pueden eistir regiones simple-, sólo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal. d ( ) g d d f ( ) c Ejemplo Calcular 6 dd SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 6 d d 6 d ( ) ( ) d [ ] 9 d 6 Ejemplo Calcular e dd SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 56

MOISES VILLENA Integración Múltiple e e d d d e d [ ( ) e e ] d e d e e e e d Ejemplo Calcular e dd SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: e d d e d d e La última integral, se la realiza PO PATES: u v v du e d e e d u dv [ e ] d ( ( ) ) d e d ( e e ) ( e e) ( ) En los dos ejemplos anteriores a estaban dados los límites de integración, por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la región de integración porque los límites no están definidos. Ejemplo Calcular da donde es la región limitada por SOLUCIÓN: Primero identificamos la región : 57

MOISES VILLENA Integración Múltiple Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas. PIME MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical. La integral doble con límites será: Calculando la integral, resulta: d d dd [ ] d [ ( ) ( )] ( ) d 6 d SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal. La integral doble con límites será: Calculando la integral doble, resulta: dd 58

MOISES VILLENA Integración Múltiple 59 ( ) 8 8 d d d d d Ejemplo Calcular da donde : SOLUCIÓN: La región es: Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: + dd dd Calculando las integrales dobles, tenemos: ln ln + + + + + d d d d d d d d

MOISES VILLENA Integración Múltiple 6 Ejemplo Calcular da e donde : en el primer cuadrante. SOLUCIÓN: La región es: Aquí es mejor primero un barrido horizontal Por qué? Observe qué ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con límites calculándola, tenemos: ( ) d e d e d e d e dd e Haciendo cambio de variable t. De aquí tenemos: d dt eemplazando resolviendo: [ ] ( ) [ ] e e e te e dt te dt e dt e dt e d e d e t t t t t t t

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Calcular ( )da + donde es el triángulo que tiene por vértices los puntos (,),,) SOLUCIÓN: La región es: ( (,) No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las rectas se las puede obtener empleando la formula ( ). Aquí también es mejor primero un barrido horizontal: ( + ) dd ( + ) ( + ) dd [( ) + ( ) ] [( ) + ( ) ] [( ) + ( ) + ] [ ] ( ) d d d d 6

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.. 5 POPIEDADES Sean f g funciones de dos variables continuas en una región, entonces:. kda k da ; k. ( ). f ± g da fda ± gda da da + da donde 5..6 CÁLCULO DE INTEGALES DOBLES INVITIENDO LOS LÍMITES DE INTEGACIÓN Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales. Ejemplo e ln Calcular dd SOLUCIÓN: Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dd, entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera: e ln ln Por tanto, la región es :, es decir: e dd 6

MOISES VILLENA Integración Múltiple 6 Invirtiendo los límites de integración ha que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir: ( ) 8 8 8 8 + e e e e e e e d e d e d e e d dd e e e e Ejemplo Invierta el orden de integración para ), ( d d f SOLUCIÓN: Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ), ( dd f. Se ha hecho primero un barrido vertical Entonces la región de integración es : Ahora ha que hacer un barrido horizontal primero, es decir: ), ( d d f

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Invierta el orden de integración para + f (, ) dd + SOLUCIÓN: Interpretando los límites de integración dados, tenemos: hecho primero un barrido vertical Entonces la región de integración es : Ahora ha que hacer un barrido horizontal primero, es decir: f (, ) dd + + f (, ) dd. Se ha Ejemplo Invierta el orden de integración para f (, ) dd SOLUCIÓN: 6 6 Interpretando los límites de integración dados, tenemos: f (, ) dd Se ha hecho un barrido vertical primero 6 Entonces la región de integración es : Ahora ha que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 6

MOISES VILLENA Integración Múltiple f, ) dd + 6 ( f (, ) dd Ejercicios propuestos 5.. Calcular + e dd + 9. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por + 9. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por: 5. Calcular: 5. Calcular 6. Calcular da donde es la región limitada por da donde es la región limitada por cos dd 7. Calcular e dd + 8. Invierta el orden de integración: f (, ) dd + f (, ) dd + + 9. INVETI el orden de integración EVALUA. dd + dd 65

MOISES VILLENA Integración Múltiple. Calcular: e da, donde es la región del primer cuadrante limitada por +. epresentar la región de integración para: (, ) dd f (, ) orden de integración. 8 8 f dd e invertir el 5..7 VALO MEDIO PAA UNA FUNCIÓN DE DOS VAIABLES Sea f una función continua en las variables. El valor Medio de f en una región plana está dado por: Valor Medio f (, ) da da Ejemplo Encuentre el valor medio de la función f (, ) + sobre la región limitada por SOLUCIÓN: La región de integración es: Empleando la fórmula, tenemos: 66

MOISES VILLENA Integración Múltiple Valor Medio f(, ) da da + + ( ) ( + ) dd d + d 7 6 6 dd d d ( ) Ejercicios Propuestos 5.. Calcule el valor medio de la función f (, ) e en la región del primer cuadrante limitada por,6,. Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f (, ). Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 5 el de unidades de capital entre 5.. Hallar el valor medio de f (, ) + + sobre la región limitada por las rectas,,. Encuentre el valor medio de la función f (, ) e sobre la región 5. Encuentre el valor medio de la función f (, ) ( + ), sobre la región < 6. Hallar el valor medio de f ( ), en la región limitada por 67

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5..8 VOLÚMENES CON INTEGALES DOBLES Ya definimos el volumen bajo una superficie. Ejemplo z Hallar el volumen del sólido limitado por el plano + + el plano en a b c el primer octante. SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z c z c a b h b da a El volumen del elemento diferencial sería dv hda zda Por tanto el volumen total está dado por : V c da a b Donde la región sería: b b a a Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría: 68

MOISES VILLENA Integración Múltiple Evaluando: b a a V c dd a b b a a a a a b b a a V c dd c d a b a b b c b d a b a b c d a bc a a a abc 6 a abc [ ] 6 abc V 6 a Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo: z z f (, ) (, ) z g 69

MOISES VILLENA Integración Múltiple En el gráfico, el volumen del sólido limitado por las superficies está dado por: (, ) (, ) V f g da, es la región plana que tiene por proección la superficie en el plano. Ejemplo Hallar el volumen del sólido limitado por SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z el plano z z z h da En este caso ( ) ( ) V hda da z Para ponerle los límites de integración identificamos la región, en este caso sería la curva de z intersección de proectada en el plano. z Igualando simplificando: + + Entonces la región sería: 7

MOISES VILLENA Integración Múltiple Entonces 8 ( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) dd ( ) d ( ) d ( ) d d d La última integral se la realiza por sustitución trigonométrica. t Haciendo sent entonces d cost dt los límites serían π t π 8 8 V ( ) d ( sen t) cost dt π 8 8 ( ) π π π ( ) ( ) cos costdt cos tdt 8 + cost dt ( + cos t+ cos t) 6 π π π sent cost + t + + dt π + + t π π + π V π π sent + 8 π dt 7

MOISES VILLENA Integración Múltiple La evaluación de la integral doble puede resultar un asunto tedioso, sin embargo si la región de integración es simple-θ, podemos hacer uso de coordenadas cilíndricas. 5..9 INTEGALES DOBLES EN COODENADAS CILÍNDICAS. Suponga que la región de integración es simple-θ, la integral doble f ( da, ) puede ser epresada de la forma: ( cos θ, θ) f r rsen da Definamos el da en coordenadas cilíndricas. Observe la figura: r ( ) f θ ds dr θ θ En este caso da dsdr pero ds rdθ entonces da rdrdθ Finalmente la integral doble en coordenadas polares quedará de la forma: (, θ ) f r rdrdθ Ejemplo Hallar el volumen del sólido limitado por SOLUCIÓN: z + el plano z 9. 7

MOISES VILLENA Integración Múltiple Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido z z 9 9 h z + + 9 La región de integración sería: r Por tanto el volumen estará dado por 9 ( + ) Cambiando a cilíndricas Evaluando π V da ( 9 ) V r rdrdθ π π ( 9 ) θ ( 9 ) V r rdrd r r drdθ π r r 9 dθ π 8 8 dθ 8 θ 8 V π u π 7

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Encuentre el volumen de la región limitada por las superficies ( ) +. SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido z + + z + + z ( ) + Calcularemos el volumen de la porción superior, a que el sólido es simétrico lo multiplicaremos por dos. La región de integración es: V da ( ) + r senθ 7

MOISES VILLENA Integración Múltiple Cambiando a coordenadas cilíndricas. senθ V da r rdrd π π π ( r ) 8 π senθ ( sen θ) ( 8 8cos θ) dθ dθ dθ π π 8 cos cos dθ θ θdθ π π 8 θ ( sen θ) cos θdθ π π 8 cos π θdθ + sen θ cos θdθ π π sen θ 8 π senθ + [ 8 π + ] 6 V π θ Ejercicios Propuestos 5.. Usando integrales dobles determine el volumen del sólido limitado por : a) z 5 ; z ; ; el plano z. esp. 8 π b) z + ; z + esp. 6 π c) + z ; + z ;, z esp. d) z + + ; z ; + esp. π. Encontrar el volumen de la porción de la esfera + + z situada entre los planos π z ±. esp. 5 6. Calcular el volumen del sólido que está en el interior de la esfera + + z z ; arriba del paraboloide + 7 z. esp. 6 π 75

MOISES VILLENA Integración Múltiple. Hallar el volumen del sólido que está en el interior a + z ; eterior a z 5. Calcule el volumen del sólido intersección de los cilindros + + z Parece ser que la evaluación de las integrales dobles pueden resultar difíciles de realizar, el hecho utilizar coordenadas cilíndricas nos permite pensar que en ocasiones será posible emplear diversas transformaciones que hará nuestro trabajo más plausible. 5.. CAMBIO DE VAIABLES PAA INTEGALES DOBLES (TANSFOMACIONES) Supongamos que se tiene la siguiente transformación (, ) (, ) uv u v Aplicándola a la integral doble f (, ) ( (, ), (, )) f uv uv da Donde el daserá el correspondiente. da, quedaría de la forma será una nueva región de integración en el plano uv por tanto Determinemos en nuevo da. Observe la figura: v ( ( uv, +Δ v) ; ( uv, +Δv) ) ( uv, + Δv) Q P (, ) ( ( u +Δ u, v) ; ( u +Δu, v) ) ( uv, ) ( u+δu, v) ( ( uv, ); ( uv, )) u 76

MOISES VILLENA Integración Múltiple Haciendo un análisis vectorial: P ( ( u+δ uv, ) ( uv, ); ( u+δuv, ) ( uv, )) Q ( uv, +Δ v) ( uv, ); ( uv, +Δv) ( uv, ) ( ) Dividiendo multiplicando al vector P para Δ u tomando límite: ( u+δ uv, ) ( uv, ) ( u+δuv, ) ( uv, ) P lim ; lim Δ u ; du Δu u Δu Δ Δu u u Dividiendo multiplicando al vector Q para Δ v tomando límite: ( uv, +Δ v) ( uv, ) ( uv, +Δv) ( uv, ) Q lim ; lim Δ v ; dv Δ v v Δ v Δ Δv v v El área de la región está dada por: da P Q El producto cruz será: i j k u u P Q du du dudv kˆ u u v v dv dv v v Al determinante menor resultante se lo denomina JACOBIANO se lo denota por: Por tanto: Finalmente (, ) u u ( uv, ) v v (, ) ( uv, ) P Q dudv kˆ da (, ) ( uv, ) dudv 77

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5... TEOEMA. Sean regiones de los planos uv. Suponga que se tiene una transformación biectiva tal que ( uv, ) ( uv, ) mediante la cual la región es imagen de. Si f es continua en e tienen derivadas parciales (, ) continuas en en no nula en, ( uv, ) entonces: (, ) f (, ) da f ( ( uv, ), ( uv, )) dudv uv, ( ) El cambio a coordenadas cilíndricas es un ejemplo de una transformación, aquí tenemos que: rcosθ rsenθ Entonces: (, ) ( r, θ ) f (, ) da f ( r cos θ, rsenθ) drdθ Calculemos el Jacobiano (, ) r r cosθ senθ rcos θ + rsen θ r ( r, θ ) rsenθ rcosθ θ θ Por tanto se demuestra lo que antes habíamos presentado como un resultado geométrico: (, ) ( cos, ) f da f r θ rsenθ rdrdθ 78

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Calcular SOLUCIÓN: Primero identificamos la región. En la integral dada, se tiene: ( ) u v dd empleando el siguiente cambio de variable uv d d, por tanto Cambiando de variable, la integral tomaría la forma: (, ) dd dudv ( uv, ) Donde para el Jacobiano tenemos: ( ) ( uv, ) v v, u u v v u uv+ uv u u u Y para la región, tenemos:. En, reemplazando se tiene: uv u ( v) uv u uv u uv u( v) u v. En, reemplazando se tiene: ( ) uv u v uv u uv u uv u( v) u v 79

MOISES VILLENA Integración Múltiple. En, reemplazando se tiene: u( v) u uv uv u v u Por lo tanto, sería: u v v v u Obteniendo la nueva integral evaluándola: v (, ) ( uv, ) dd dudv ududv v u ( v) + ( v) ( + )( ) ( v) ( ) ( ) dv dv [ ] 8

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Empleando transformaciones adecuadas, hallar el área de la región limitada por: + + SOLUCIÓN: La región de integración sería: -7-6 -5 - - - - 5 6 7 - + + - - u Podemos utilizar la siguiente transformación: v + u u Las traectorias se transforman a: v v La nueva región de integración sería: v u u v Entonces: Hallemos el Jacobiano (, ) ( uv, ) A da dudv 8

MOISES VILLENA Integración Múltiple Note que como u u(, ) v v(, ) (, ) Podemos decir que: ( uv, ) ( uv, ) (, ) ( ) Entonces: ( uv) ( uv) u v ( ) u v Finalmente:,,,, ( ) ( uv), ( ) A dudv dudv v u, Ejemplo Calcular + e da donde es el paralelogramo con vértices ( ),, (, ), ( ), (, ). SOLUCIÓN: Primero identificamos la región, ubicando los puntos en el plano encontrando las ecuaciones de las rectas que definen al paralelogramo (,) + (,) (, ) + (,) u Escogemos la transformación: por qué? v + Para obtener la región, aplicamos la transformación a cada recta que limita la región, Vamos a necesitar la transformación inversa: Sumando la primera ecuación a la segunda: 8

MOISES VILLENA Integración Múltiple u v + ( u+ v) u+ v Multiplicando por (-) a la primera ecuación luego sumando: u + u ( ) v + ( v u) v + v u La ecuación +, es obvio que se transforma en v. porqué? La ecuación +, se transforma en v Para la ecuación, tenemos: Para la ecuación, tenemos: Por tanto la región, estaría limitada por ( u v) + v u v u v u ( ) v v v u v u v v u v u v Escogemos primero un barrido horizontal, por tanto: El Jacobiano sería: u + v (, ) ( uv, ) e da e dudv ( ) ( uv) ( ) ( ) eemplazando, poniendo límites calculando:,, uv, u v, u v 8

MOISES VILLENA Integración Múltiple v u ( ) v ( uv) v, u v e dudv e dudv, v u e v v v ve ( e ) dv ( ) ( e e ) ( ) ( e e ) dv e e v Ejercicios propuestos 5., donde es la región comprendida entre las curvas. Calcular dd,, +, + en el primer cuadrante.. Calcular da siendo la región del primer cuadrante limitada por la hipérbola: 6 ; las rectas: ; ; 8.. Calcular ( + )( ) da, donde es la región limitada por en el primer cuadrante.. Calcular da + usando la siguiente a b a b ; siendo la elipse 5. Calcular ( + ) r cosθ a transformación:. r senθ b da donde es la región limitada por las curvas: ; u 9 ; ;. Utilizando la transformación: v 8

MOISES VILLENA Integración Múltiple da ; siendo el triángulo con vértices; (,); (,); (,), 6. Calcular ( + ) u usando la siguiente transformación:. uv + da ; siendo el paralelogramo con vértices; (,); 7. Calcular ( )( ) (,); (5,); (,-). 8. Evaluar ( ) cos ( + ) da; es la región acotada por el cuadrado con u vértices (,); (,); (,); (,). Utilizando la transformación v + sen dd, 9. Empleando un cambio de variable adecuado evalúe ( ) ( + ) donde D es el paralelogramo con vértices en ( π,), ( π, π ), ( π,π ), ( ). Una lámina cuadrada definida por los vértices (, ), (, ), (, ), ( ) densidad variable dada por f (, ) ( )( ) lámina. esp. gr. gr D cm,π., tiene una. Determine la masa de la 5.. ÁEA DE UNA SUPEFICIE. Si tuviésemos una superficie con ecuación z f (, ), quisiéramos hallar el valor del área de una porción de la superficie, podemos actuar con la misma metodología con la que hemos resuelto nuestros problemas hasta el momento; es decir, particionar la región luego sumar dando lugar a una integral. Observe la gráfica: z z f (, ) ds da 85

MOISES VILLENA Integración Múltiple Llamemos S, al valor del área de la porción de la superficie, entonces: S ds El asunto sería ahora proectar la superficie al plano obteniendo la región. Podemos pensar en una transformación de a. Denotando como la función vectorial para la superficie, tenemos:, ( f,, ( ) ) Los vectores de derivadas parciales con respecto a ( ) con respecto a ( ), serían: Entonces: (,, f ) (,, f ) ds da Calculando el vector producto cruz luego su magnitud: i j k f f, f, f + f + f ( ) Finalmente: S ds + f + f da Si la ecuación de la superficie está dada en FOMA IMPLÍCITA, es decir ( ) F,, z. La formula anterior se transforma a: F + F + Fz S da Demuéstrela! F z 86

MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo Demuestre que el área de la esfera + + z a es π a. SOLUCIÓN: Trabajaremos con la porción superior de la esfera el resultado del área multiplicado por por ser simétrica. z z a a a La región en este caso sería: a + a a El área estaría dada por S eemplazando: F + F + F z F z da ( ) ( ) ( ) F + F + Fz + + z S da da F z z + + z da z + + z da z + + z da z 87

MOISES VILLENA Integración Múltiple eemplazando por la ecuación de la superficie Cambiando a polares: z a + + z a S da da z a a π π θ a ( a r ) ( ) π a π a S a da a rdrdθ a a r a a a dθ a π a dθ da Ejemplo Encuentre el área de la región de la esfera +. Soluci.on: Haciendo un dibujo + + z 9 limitada por el cilindro z z 9 La región en este caso sería: 88

MOISES VILLENA Integración Múltiple r cosθ El área estaría dada por S eemplazando: F + F + F z F z da ( ) ( ) ( ) F + F + Fz + + z S da da F z z z + + z da + + z da z + + z da eemplazando por la ecuación de la superficie z 9 Cambiando a polares: z + + z 9 S da da z 9 6 π cosθ da 9 S 6 da 6 rdrdθ 9 9 r π 6 π ( 9 r ) 6 cosθ ( senθ) dθ π ( θ θ) ( π ( )) ( π ) u 6 + cos 6 + S 6 6 dθ 89

MOISES VILLENA Integración Múltiple Puede ocurrir que no sea posible proectar la superficie en el plano que si se la pueda proectar en el plano z o en el plano z, en tales casos tenemos: Proectando en el plano z. f, z Si la ecuación de la superficie está dada por ( ) ds + f + f ddz z O en forma implícita, si F(,, z ) entonces; ds Proectando en el plano z. F + F + F z F ddz Si la ecuación de la superficie está dada por f (, z) ds + f + f z ddz F,, z F + F + Fz ds F O en forma implícita si ( ), entonces: ddz Ejemplo Demuestre que el área lateral del cilindro, que se muestra es π ah. z h S: + a a SOLUCIÓN: Proectando en el plano z 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple h a + + z + + ( ) ( ) F F F S ddz ddz F h a a a arcsen a ( z) ( ) a arcsen arcsen h π a h π ah a a h ddz 5... SUPEFICIES PAAMETIZADAS. Si para una superficie están dadas sus ecuaciones paramétricas: uv, ( ) S: ( uv, ) z z( uv, ) Que definen su vector posición: ( ) ( uv, ) ( uv, ), ( uv, ), z( uv, ) Entonces el diferencial de superficie está dado por: ds u v dudv Ejemplo. Hallar el área de la superficie de la esfera + + z a. SOLUCIÓN: Empleando las ecuaciones paramétricas para la esfera: a senφ cosθ S : a senφ senθ ; φ π; θ π z a cosφ El vector posición para los puntos de la esfera sería: ( φθ, ) ( asenφ cos θ, asenφ senθ, acosφ) Las derivadas parciales serían: φ ( a cosφ cos θ, a cos φ senθ, a senφ) ( a sen sen, a sen cos,) θ φ θ φ θ El producto cruz su magnitud: 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple i j k φ θ a cosφ cosθ a cosφ senθ a senφ a senφ senθ a senφ cosθ ( a sen φ cos θ, a sen φsenθ, a senφcos φcos θ a senφcos φsen θ) + φ φ θ asen ( ) a sen φ cos θ + a sen φsen θ + a senφcosφcos θ + a senφcosφsen θ ( cos ) cos ( cos ) asenφ θ + senθ + asenφ φ θ + senθ asenφ + asenφcos φ ( sen cos ) asenφ φ + φ θ φ El área de la esfera estaría dado por: π π π π ( ) ( ) ( )( ) S a senφ dφdθ a cosφ θ a + π πa Ejercicios propuestos 5.5. Calcular el área de la superficie de la parte del paraboloide + z que queda dentro π + esp. ( ) de la esfera + z z 6. Encontrar el área de la superficie del plano + z limitado por el cilindro z, el plano. esp.. Encontrar el área de la parte de la superficie esférica + + z situada entre los planos z z. Calcular el área de la porción de la superficie z limitada por el cilindro + 5. Calcular el área de la porción de la esfera + a ; siendo a>o rcosφ 6. Calcular el área de la superficie dada por: rcosφ z φ + + z a interior al cilindro r, φ π 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5. INTEGALES TIPLES 5.. DEFINICIÓN Para definir una integral para una función de tres variables, análogamente a integrales dobles, deberíamos pensar que nuestra región de integración se etendería a la forma [ ab, ] [ cd, ] [ eg, ] ; es decir, ahora se tendría un paralelepípedo, una región de, la cual se la denota como Q : k g Q e b c d a Si hacemos particiones de Q, la ijk -ésima partición tendría la forma: Δz k Δ j Δ i Y su volumen sería: Δ Vijk ΔiΔjΔ zk. w f,, z definida en Q, para esta Una función de tres variables ( ) partición sería de la forma Donde ( i,, j k ) partición. (,, zk ) i f ΔΔ Δ z j i j k z representa un punto cualquiera de la ijk -ésima 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir: l m n lim n m k j i l De aquí surge la definición de integrales triples ( i,, z j k ) f ΔΔ Δz i j k Sea f una función de tres variables definida en una región de, Q [ a, b] [ c, d] [ e, g] {(,, z) / a b c d e z g} l m n f i j zk n Δ Δ Δ se m k j i l Al lim ( i,, z j k ) le denomina la Integral Triple de f en Q se la denota de la siguiente manera: g d b e c a f ( zdddz,, ) Además, si eiste este límite decimos que f es integrable en Q. Si f ( ),, z, sería el volumen de la región Q. En esta sección nos ocuparemos de calcular volúmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo con su evaluación; en otra sección calcularemos otras integrales triples además con alternativas de evaluación. El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales también, porque al igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas. Y es más, si tuviésemos regiones generales también el teorema de Fubini es aplicable. Ejemplo Encontrar el volumen de la región acotada por Solución Haciendo un dibujo z + z. 9

MOISES VILLENA Integración Múltiple z z z + La integral triple para el volumen sería: V dz da z da + + ( ) ( ) + da ( ) da Para definir la región, determinemos la curva de intersección entre las superficies: z + z Igualando, tenemos: + + + 9 95

MOISES VILLENA Integración Múltiple + 9 + 6 Poniendo límites, tenemos: + 6 ( ) ( ) V da dd ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) 6 9 7 6 7 Empleando sustitución trigonométrica: t sent entonces d cost dt π t reeemplazando d d d 96

MOISES VILLENA Integración Múltiple π π π π π ( ) ( ) 8 V ( 6 ) d 6 ( sent) costdt 7 7 8 7 6 ( 6cos t)( costdt) ( cos ) t dt 6 + cos t dt ( + cos t+ cos t) 6 π π π ( + cost ) dt + costdt + dt sent sent t+ + t+ 8 π V π u dt π Ejemplo Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuación + + z a. Solución: Haciendo un gráfico z Q z a dz d d a a z 97

z a MOISES VILLENA Integración Múltiple El volumen del paralelepípedo diferencial sería: dv dzda (altura por área de la base), será mejor plantearlo de esta forma para que el da sea planteado igual que en integrales dobles. El volumen total sería: V dzda Q Trabajando con la porción superior de la esfera, haciendo un barrido vertical, el límite inferior para z sería la ecuación del plano z el límite superior sería la ecuación de la esfera z a, entonces: V dz da a da los demás límites se los obtiene observando la proección de la superficie en el plano a + a a Pasando a polares evaluando la integral: π V a da a r rdrd a π a ( a r ) ( a ) θ π a π θ Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluación; por tanto, aquí también es posible utilizar trasformaciones. 98

MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.. INTEGALES TIPLES EN COODENADAS ESFÉICAS ecordemos que las transformaciones en coordenadas esféricas son: ρ senφ cosθ ρ senφ senθ z ρ cosφ Análogamente a integrales dobles, ahora una integral triple en condiciones especiales puede ser epresada de la siguiente forma: Q Q ( z,, ) ( ρθφ,, ) f ( zdv,, ) f( ρ, θ, φ) dρdθdφ Hallemos el Jacobiano: ( z,, ) ( ρθφ,, ) ρ ρ zρ θ θ zθ φ φ zφ senφcosθ senφsenθ cosφ ρsenφsenθ ρsenφcosθ ρcosφcosθ ρcosφsenθ ρsenφ cosφ ρ senφcosφsen θ ρ senφcos φcos θ ρsenφ ρsen φcos θ + ρsen φsen θ ρ senφcos φ sen θ + cos θ ρ sen φ sen θ + cos θ ρ senφcos φ ρ sen φ ρ senφ cos φ + sen φ ρ senφ Por tanto: ( z,, ) ( ρθφ,, ) ρ senφ Ejemplo Calcular el volumen de la esfera + + z a empleando coordenadas esféricas. Solución: La ecuación de la esfera en coordenadas esféricas es ρ a 99

MOISES VILLENA Integración Múltiple z ρ a φ ρ θ El volumen estaría dado por: π π a V sen d d d ρ φ ρ φ θ Evaluando π π a π π a ρ V sen d d d sen d d ρ φ ρ φ θ φ φ θ π a π a + a θ π a ( cosφ) ( ) π dθ π dθ Ejemplo Hallar el volumen de la porción del cono por la esfera + + z a. Solución: Haciendo un dibujo: z +, limitada superiormente