Tema 4: Representación de Funciones.- Dominio y recorrido: Dominio: Valores de para los que está definida (eiste) f () Recorrido: Valores que toma f () Funciones Polinómicas, son de la forma f ( ) ao a... an an y su dominio es. n n ao a... an an Funciones Racionales, son de la forma f ( ) y su dominio es n n bo b... bn bn menos los valores que anulan el denominador. Funciones Irracionales, son del tipo f ( ) n f '( ), siendo su dominio: El mismo que f () si n es impar El conjunto de valores reales que hagan f ( ) 0 si n es par n n Funciones eponenciales, son de la forma f '( ) f ( ) a, con a>0 y a, su dominio es. Funciones logarítmicas, son de la forma f ( ) log f '( ), con a>0 y f '( ) > 0 Funciones circulares: f ( ) sen, f ( ) cos, su dominio es. A partir de estas dos, podemos definir el resto de funciones circulares: sen π tg( ), sec( ) sus dominios son ( ), cos cos k k Z cos ctg( ), cos ec( ) sus dominios son { kπ, k z} sen sen.- Simetrías: La función f : A es par si A f ( ) f ( ) La curva de toda función par es simétrica respecto del eje OY a Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 7
La función f : A es impar si A f ( ) f ( ) La curva de toda función impar es simétrica respecto del origen de Coordenadas (0,0).- Periodicidad: La función f : A es periódica, si eiste un número real T distinto de cero, llamado periodo, tal que: f ( T ) f ( ) 4.- Puntos de discontinuidad: Son los puntos donde la función no es continua. lim f ( ) f ( a) > a Una función es continua en un punto a cuando se cumple: lim f ( ) lim > a > a 4..- Tipos De discontinuidades: f ( ) f ( a) 5.- Puntos de corte con los ejes: Para calcular los puntos de corte de la función con el eje, hacemos f ( ) 0 y calculamos las raíces. Luego calculamos (0) 0, f (0). 6.- Ramas infinitas: 6..- Asíntotas Verticales: f, y los puntos de corte son los puntos ( ) La recta a es una asíntota vertical de la función f () si eiste alguno de estos límites:. lim f ( ) ±. lim f ( ) ±. lim f ( ) ± > a > a > a Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 8
Normalmente las asíntotas verticales se hallan en los valores de que anulan el denominador. 6..- Asíntotas Horizontales: límites: La recta yk es una asíntota horizontal de la función f () si eiste alguno de los siguientes. lim > f ( ) k. lim > f ( ) k Una función tiene como máimo asíntotas horizontales correspondientes a cada uno de los límites en el infinito. 6..- Asíntotas Oblicuas y ramas parabólicas: Se estudian solo si lim f ( ) ± >± f ( ) Si lim ± la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. >± f ( ) Si lim 0 >± la curva tiene una rama hiperbólica en la dirección OX. (de la forma y ) f ( ) Si lim m 0 >± oblicua. f ( ) Si lim m 0 >± de la recta ym y lim [ f ( ) m] b >± y lim [ f ( ) m] >±, la curva tiene la asíntota ymb llamada asíntota, la curva tiene una rama parabólica en la dirección Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 9
7.- Monotonía y Curvatura: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 40
8.- Esquema de para la representación de funciones: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 4
9.- Ejemplo: Representar la función f ( ) 4.- Dominio: La función es un cociente de polinomios, por tanto su dominio es el conjunto de los números reales, menos los valores que anulen el denominador. 4 0 4 ± { } Df ( ),.- Simetrías: ( ) ( ) f ( ) f ( ) Por tanto la función es impar, es simétrica respecto del origen de 4 4 coordenadas..- Periodicidad: La función f () no es periódica. 4.- Puntos de discontinuidad: Como f () es un cociente de polinomios, es una función continua ecepto donde se anule el denominador. lim lim > > f ( ) f ( ) lim > lim > f ( ) f ( ) La función f () presenta en y en - dos discontinuidades asintóticas. 5.- Puntos de corte con los ejes. Hacemos f ( ) 0 0 4 4 Calculamos f ( 0) 0 0 0 Por tanto el punto de corte con el eje X y con el eje Y es el (0,0) 6.- Asíntotas: Como hemos visto ya, f () presenta en y en - dos asíntotas verticales. Como lim > f ( ) y lim > alguna asíntota oblicua o rama parabólica. f ( ) Calculamos lim lim lim > > 4 >± 4 f ( ), no presenta asíntotas horizontales, pero si puede presentar Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 4
>± >± 4 f presenta una asíntota oblicua en y. 4 4 Y ahora calculamos lim [ f ( ) ] lim lim 0 Por tanto () 7.- Monotonía y curvatura: Para ello, lo primero es calcular la derivada de f () >± ( ) f '( ) y la igualamos a cero para calcular los etremos relativos: ( 4) 0 ( ) f '( ) 0 ( ) 0 ( 4) Estudiamos ahora el signo de f '( ) para ver los intervalos de monotonía. Dibujamos una línea recta en la que ponemos los puntos que hacen la derivada 0, los puntos que hacen la función cero, y los puntos donde no es continua. f ()>0 f ()<0 f ()<0 f ()<0 f ()<0 f ()>0-0 f () es creciente en el intervalo (, ) (, ) f () es decreciente en el intervalo (, ) (,) (, ) f () tiene un máimo en ( ) f () tiene un mínimo en f en el punto (, ) f ( ) en el punto (, ) Vamos a calcular ahora los puntos de infleión, donde la curva cambia de cóncava a convea. Para ello trabajamos con la segunda derivada. f ''( ) 8 ( ) f ''( ) y la igualamos a cero ( 4) 8 ( ) f ''( ) 0 8 ( ) 0 { 0 ( 4) Obtenemos puntos, vamos a ver donde la función cambia de convea a cóncava. f ()<0 f ()>0 0 Tenemos un punto de infleión en el punto (0,0) Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 4
8.- Gráfica de la función: Con todos los datos que ya tenemos de f (), lo único que nos falta es representarla. OTRO ESQUEMA Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 44
0.- Problemas.- Estudiar las asíntotas de la función f ( ) 4.- De la función f ( ) se pide: ( ) a) Dominio de Definición y asíntotas. b) Máimos y mínimos relativos en intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Representación Gráfica..- Estudia y representa gráficamente la siguiente función: f ( ) 4.- Sea la función definida por f ( ) a) Estudiar las asíntotas, las zonas de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos relativos y las zonas de concavidad y conveidad. b) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, realiza un esbozo de la gráfica de f. 5.- Dada la función f( ) e, se pide a) Dominio y asíntotas. Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay. b) Crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica a partir de los resultados anteriores. 6.- Dada la función f( ) ln, >0, se pide: a) Eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln 0 tiene eactamente una raíz. b) Representar gráficamente la curva de la función f. 7.- Dada la función f( ) ln a) Determinar su dominio de definición. b) Calcula sus asíntotas c) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máimos y mínimos. d) Dibuja la gráfica de la función f. Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 45
.- Resolución de Problemas.- Estudiar las asíntotas de la función f ( ) Asíntotas Verticales: lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: f ( ) Como lim, calculamos el límite lim ± f ( ) lim lim m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la ± ± dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim [ f ( ) m ] : ± lim [ f ( ) m ] lim lim lim ± ± ± ± Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y 4.- De la función f ( ) se pide: ( ) a) Dominio de Definición y asíntotas. b) Máimos y mínimos relativos en intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Representación Gráfica. Dominio: Dom( f ) { } Asíntotas Verticales: 4 4 lim ( ) 0 4 4 lim ( ) 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto Asíntota Horizontal: 4 lim La función no presenta Asíntota Horizontal 4 lim Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 46
Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: 4 f ( ) Como lim, calculamos el límite lim ± ± f ( ) 4 lim lim ( ) m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en ± ± la dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim [ f ( ) m ] : ± 4 4 lim [ f ( ) m ] lim lim 0 ( ) ( ) ± ± ± Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 8( ) 8 f '( ) 4 ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: 8 8 f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) Creamos una tabla: f () - 0 f() Intervalos de Crecimiento: ], [ [, [ Intervalos de Decrecimiento: ],] Asíntota Vertical Mínimo Relativo (,4) Máimos y mínimos: Mínimo relativo en (,4) Representación Gráfica: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 47
.- Estudia y representa gráficamente la siguiente función: f ( ) Dom( f ),.- Dominio: { }.- Simetrías: ( ) ( ) f ( ) Por tanto la función es impar simétrica respecto al origen de coordenadas..- Periodicidad: La función no es periódica. 4.- Continuidad: La función es contínua en todos los puntos de su dominio, mientras que en los puntos - y presenta discontinuidades de segunda especie (Asintóticas). 5.- Puntos de corte con los ejes: Eje : f ( ) 0 0 Eje y: f ( 0) 0 Corta a los ejes en el (0,0) 6.- Asíntotas: Asíntotas Verticales: lim lim 0 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto - lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: Como lim ± ±, calculamos el límite f ( ) lim ± f ( ) lim lim m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la ± ± dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim [ f ( ) m ] : ± lim [ f ( ) m ] lim lim lim 0 ± ± ± ± Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 48
Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y 7.- Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 4 4 ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: Creamos una tabla: ( ) f '( ) 0 ( ( ) 0 ) 0 ± - 0 f () 0 - No Definida - 0 - No Definida - 0 f() Máimo Relativo Asíntota Vertical Asíntota Vertical Mínimo Relativo, (0,0), Intervalos de Crecimiento: ], ] [, [ Intervalos de Decrecimiento: [, [ ],[ ], ] Máimo relativo en (, ) y mínimo relativo en (, ) 8.- Concavidad y conveidad. Puntos de Infleión: Para ello necesitamos la segunda derivada: ( ) f '( ) ( ) ( ) f ''( ) 0 0 ( ) Por tanto en (0,0) tenemos un punto de infleión: - 0 f () - No Definida 0 - No Definida f() Asíntota Vertical Punto de Infleión (0,0) Asíntota Vertical Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 49
9.- Representación Gráfica: 4.- Sea la función definida por f ( ) a) Estudiar las asíntotas, las zonas de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos relativos y las zonas de concavidad y conveidad. b) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, realiza un esbozo de la gráfica de f. El dominio de la función es, por tanto no tiene asíntotas verticales. lim 0 La función presenta una asíntota horizontal en y0. lim 0 No presenta asíntotas oblicuas ya que Estudiemos su derivada: lim ± ± Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 50
f ( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) ( ) ; '( ) 0 0 ± f Creamos una tabla: - f () - 0 0 - f() Min Absoluto Ma Absoluto 0 -/ / 0 Intervalos de Crecimiento: [,] Intervalos de Decrecimiento: ], ] [, [ Máimo Absoluto en, y mínimo absoluto en, Para los intervalos de concavidad y conveidad utilizaremos la segunda derivada: f'( ) ( ) f''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 f''( ) 0 0 y ± 0 f () - 0 0-0 f() Punto de Infleión, 4 Punto de Infleión (0,0) Punto de Infleión, 4 El dibujo de la gráfica es: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 5
5.- Dada la función f( ), se pide e a) Dominio y asíntotas. Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay. b) Crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica a partir de los resultados anteriores. Dominio de f; *. Asíntotas Verticales: lim 0 0 e La función no tiene asíntota vertical lim e Asíntota Horizontal: lim e La función presenta Asíntota Horizontal en y / lim e La función no presenta asíntotas oblicuas. Calculamos la derivada para estudiar los distintos intervalos de crecimiento y decrecimiento. f( ) e e e f'( ) > 0 e e Por tanto la función es siempre creciente, Creciente en ],0[ ]0, [ Creamos una tabla: 0 f () f() No definida No definida / / La función no tiene ni máimos ni mínimos relativos. El dibujo de la gráfica es: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 5
6.- Dada la función f( ) ln, >0, se pide: a) Eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln 0 tiene eactamente una raíz. b) Representar gráficamente la curva de la función f. Vamos a estudiar la función. Dominio ]0, [ LH ' ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim lim lim lim ln 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculamos su derivada: f'( ) ln ; igualamos a cero: Creamos una tabla: f'( ) 0 ln e 0 f () f() No Definida No Definida - e - 0 Min Absoluto e e Intervalos de Crecimiento:, e Intervalos de Decrecimiento: 0, e Mínimo absoluto en e, e e A la pregunta de eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln-0 tiene eactamente una raíz diremos que: La función f es una función definida en X>0, vemos que la función empieza en -, y es decreciente hasta e, en el que hay un mínimo absoluto, y a partir de este punto pasa a ser creciente hasta. Por tanto, tenemos una función que al principio es negativa, cambia de signo a positiva, que es contínua, y que diverge a, entonces corta al eje una vez sola vez, y la ecuación solo tiene una solución. Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 5
Si dibujamos la gráfica: 7.- Dada la función f( ) ln a) Determinar su dominio de definición. b) Calcula sus asíntotas c) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máimos y mínimos. d) Dibuja la gráfica de la función f. Dominio de f: ]0,[ ], [ Asíntotas Verticales: lim ln 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto lim ln 0 Asíntota Horizontal: lim ln lim 0 0 ln La función no presenta Asíntota Horizontal Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: Como lim, calculamos el límite ln f( ) lim lim 0 ln f( ) lim Por tanto la función presenta una Rama hiperbólica en la dirección del eje OX. Para los intervalos de crecimiento de la función necesitamos calcular su derivada: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 54
ln f( ) f'( ) ; f'( ) 0 ln 0 e ln ln ( ) Creamos una tabla: 0 e f () f() No Definida No Definida Intervalos de Decrecimiento: ]0,[ U ],e] - No definida Asíntota Vertical 0 - Mínimo Absoluto 0 e Intervalos de Crecimiento: [ e, [ Mínimo absoluto en ( ee, ) La representación gráfica es: Matemáticas Verano 008 Raúl.G.M. Página 55