.7. Teorem de Green en el Plno. Se un curv cerrd, simple, suve trozos positivmente orientd en el plno, se l región limitd por l curv, e incluendo. Si F ( ) F ( ),, son continus tiene primers derivds prciles continus en lgun región biert R que conteng, con R, entonces F F F(, ) d + F(, ) d emostrción: Se demostrrá el Teorem de Green pr un cso prticulr, pr ello se debe probr que Fd Fd F F Pr demostrr l primer iguldd, se supondrá que l región puede ser definid de l siguiente mner {(, )/, ( ) ( )} bg g un región Tipo I, Figur 39, donde g g son funciones continus. Puede observrse entonces, que l curv puede ser dividid en dos prtes: donde es l prte inferior de l curv, definid por {(, ) /, ( )} b g es l prte superior de l curv, definid por
{(, ) /, ( )} b g d g () c g () R b Figur 39. Región Tipo I. Tomndo l orientción positiv de l curv dd, emplendo l definición de l integrl de líne, su evlución, se tiene entonces (, ) (, ) + (, ) F d F d F d Recordndo que el signo negtivo de l segund integrl es debido que se est recorriendo l curv en el sentido contrrio l orientción positiv de l curv. Tmbién se observ que se puede escribir donde l iguldd que se obtiene se debe l plicción del teorem fundmentl del cálculo. Al igulr ls ecuciones () () result b b (, ( )) (, ( )) F g d F g d (, ( )) (, ( )) F g F g d ( ) b g F F ( ) g b b dd ( ) g (, ) g ( ) F d (, ( )) (, ( )) F g F g d Fd F b () ()
(3) L primer iguldd que se querí demostrr. Ahor se supondrá que l región tmbién puede ser definid de l siguiente mner {(, )/, ( ) ( )} c dh h un región Tipo II, Figur 40, donde h h son funciones continus. Puede observrse entonces, que l curv puede ser dividid en dos prtes: 3 4 donde 3 es l prte izquierd de l curv, definid por {(, ) /, ( )} c d h 3 4 es l prte derech de l curv, definid por {(, ) /, ( )} c d h 4 d h () c R h () b Figur 40. Región Tipo II. Tomndo l orientción positiv de l curv dd. e l definición de l integrl de líne su evlución se tiene entonces (, ) (, ) + (, ) F d F d F d 3 4 d c d c ( ( ), ) ( ( ), ) F h d+ F h d c ( ( ), ) ( ( ), ) F h F h d d (4)
omo se observó nteriormente el signo negtivo de l primer integrl se debe que se est recorriendo l curv en el sentido contrrio l orientción positiv de l curv. Ahor bien, se puede escribir que donde l iguldd que se obtiene se debe l plicción del teorem fundmentl del cálculo. Al igulr ls ecuciones (4) (5) result Sumndo ls igulddes (3) (6), se tiene que que es lo que se querí demostrr. ( ) d h F F ( ) c h d c d c dd h (, ) h ( ) F F F(, ) d + F(, ) d ( ) F d ( ( ), ) ( ( ), ) F h F h d Fd F (6) (5) EJEMPLO 40. Evlúe l integrl de líne d + 3 d, siendo l curv el triángulo cuos vértices son los puntos (, ), (, ) ( 3, 0 ), plicndo el Teorem de Green. Solución. En l Figur 4 se observ l región sobre l cul se dese plicr el Teorem de Green, vemos que l vrible se v desplzr entre ls fronters de ls regiones definids por ls funciones, rect que ps por los puntos (,) (, ), l rect 3, rect que ps por los puntos ( 3, 0) ( ),. Al plicr el Teorem de Green pr est región se obtiene l siguiente integrl de líne
Figur 4. Región del ejemplo 40. ( ) ( ) 3 3 d + d 3 3 ( ) dd 0 3 4 d 0 4 5 3 3 + d 0 7 3 8 54 3 0 + + + 6 + 35 3 7 4 3 5 3 6 39 + 8 0 96 596 5 3 4 5 5 d 0 EJEMPLO 4. Evlúe l integrl de líne 3 3 d d, siendo l curv l circunferenci + 4, orientd de mner positiv, plicndo el Teorem de Green. Solución. Aplicmos el Teorem de Green sobre l curv observd en l Figur 4, recorrid positivmente.
Figur 4. Región del ejemplo 4. Al plnter l integrl de líne, se observ que l integrl doble equivlente obtenid medinte el Teorem de Green, con un cmbio de coordends polres, se determin el vlor de l integrl que se está estudindo. ( ) ( ) 3 3 3 3 d d ( 3 3 ) 0 [ θ ] (( ) ( ) ) π 3 r cosθ + r senθ rdrdθ 0 0 π 4 3 r 0 0 π 3 6dθ 36 96π π 0 dθ EJERIIOS PROPUESTOS.7. ) Evlúe l integrl de líne ( + ) + ( + cos ) e d d, siendo l curv l fronter de l región delimitd por ls prábols mner positiv, plicndo el Teorem de Green. + 4, orientd de
) Evlúe l integrl de líne rctg ( ) d+ 3 d, siendo l curv l fronter de l región delimitd por el rectángulo cuos vértices están ubicdos en los puntos (, 0 ), ( 0, ), (,3 ) ( 3, ), orientd de mner positiv, plicndo el Teorem de Green. 3) Evlúe l integrl de líne esend + e cos d, siendo l curv l elipse 3 8 4 +, orientd de mner positiv, plicndo el Teorem de Green. 4) Evlúe l integrl de líne ( ) l región cotd por ls gráfics de positiv, plicndo el Teorem de Green. + d + d, siendo l curv l fronter de, 0, 4 5) Evlúe l integrl de líne ( + ) + ( + ), orientd de mner d d, siendo l curv l fronter de l región cotd por ls gráfics de + + 4, orientd de mner positiv, plicndo el Teorem de Green..7.. Teorem de Green pr el cálculo de áre de regiones plns. Se un curv cerrd, simple, suve trozos, que delimit un región, el áre de l región puede ser determind medinte l siguiente integrl: d d emostrción: Se un curv cerrd, simple, suve trozos, que limit un región, tomndo F (, ) 0 (, ) F, se obtiene F F d
e igul form l tomr F (, ) ( ) F, 0, se obtiene F F d Al sumr ests dos epresiones miembro miembro se obtiene l epresión que permite trvés del Teorem de Green, clculr el áre de un región pln que es lo que se querí demostrr. d d EJEMPLO 4. etermine el áre de l región cotd por l curv, donde es l hipocicloide 3 cos t 3 sen t con 0 t π Solución. L Figur 43 muestr l región l cul se le dese clculr el áre, l cul está encerrd por l hipocicloide dd de form prmétric por l función ( ) ( ) ( ) ( ) g: / g t cos 3 t, sen 3 t R R. Figur 43. Hipocicloide del Ejemplo 4.
Por lo que l sustituir est prmetrizción de l curv en el Teorem de Green pr determinr el áre de un región nos qued l siguiente integrl d d π cos 3 cos 3 cos 0 π 4 4 3 cos 3 cos 0 tsen t+ sen t t dt π 3 cos tsen t( cos t sen t) dt 0 + 3 π sen ( t ) dt 8 0 3 t sen 8 8 3 π 8 ( ) ( ( )) 3 3 t sen t t sen t t sent dt ( 4t ) π 0 EJEMPLO 43. etermine el áre de l región cotd por ls gráfics de ls curvs 4 6. Solución. En l Figur 44 se muestr l región cotd por ls gráfics de ls funciones 4 6, se puede decir que l región está cotd por un curv prcilmente suve, tl que, en donde un prmetrizción pr ls curvs [ ] () ( ), son g [ ] () ( :0,4 / g t t,4t ) R g :4,0 R / g t t,6t, respectivmente. Al plicr ls propieddes de l integrl de líne sustituir l prmetrizción correspondiente en cd integrl, se clcul el vlor del áre de l región medinte el Teorem de Green.
d d d d + d d 4 0 t( 8t) 4t ( ) dt+ t( 6) 6t( ) dt 0 4 4 0 4tdt+ 0dt 0 4 4 3 4t 3 0 8 3 Figur 44.Región del Ejemplo 43. EJEMPLO 44. Se un región cotd por un trectori simple cerrd dentro del plno, plique el Teorem de Green pr demostrr que ls coordends del centroide (, ) de l región son, d A, en donde A, es el áre superficil de l región. d A
Solución. Pr demostrr que ls coordends del centroide (, ) vienen dds por ls integrles de líne epuests nteriormente, se debe probr que que d A. Se plicrá el teorem de Green l integrl de líne definid por, obteniéndose l siguiente iguldd d A 0d d A + A A A ( ) ( 0) e l mism mner, se plic el teorem de Green l integrl de líne definid por d A, obteniéndose l siguiente iguldd
Lo que qued demostrdo. A d d+ A ( 0) A A A d ( 0) ( ) EJERIIOS PROPUESTOS.7.. ) etermine el áre de l región cotd por ls gráfics de ls curvs. ) etermine el áre de l región cotd por l elipse 3) etermine el áre de l región cotd por l curv 4 4 +. 3 3 +. 4) etermine el áre de l región cotd por l curv, donde es l crdioide r + cosθ con 0 θ π. 5) etermine el áre de l región cotd por ls gráfics de ls curvs. 3.7.3 Teorem de Green sobre regiones doblemente cones. El teorem de Green se puede etender csos en donde l región no se simplemente cone (estos es, cundo l región es nulr o lo que es lo mismo, tiene
uno o vrios huecos ). Aquí se debe tomr en considerción que l integrl de líne l ser plicd en regiones como ests se estudi sobre l fronter complet de l mism (no solo en l prte eterior o interior de l fronter), de tl mner que l curv fronter se recorre siempre en sentido positivo, es decir, mnteniendo l región cotd l izquierd. Figur 45. Región doblemente cone. omo se observ en l Figur 45, como l región es doblemente cone, el Teorem de Green no puede ser plicdo directmente, dividmos entonces est región cone en dos regiones,, tl como se muestr en l Figur 46, de tl mner que ls regiones son regiones simplemente cones, hor se puede plicr el teorem de Green en cd un de ls regiones por seprdo. Al sumr ests integrles dobles sobre se obtiene l integrl doble sobre tod l región R. Sbiendo que F F F F F F + Fd+ Fd+ Fd+ Fd Fd+ Fd Fd+ Fd + Fd+ Fd + Fd+ Fd + Fd+ Fd 3 4
Fd+ Fd Fd+ Fd+ Fd+ Fd+ Fd+ Fd+ Fd+ Fd 3 4 En donde es el recorrido de l curv, con 3 4, se hce en sentido positivo de mner que l región qued l izquierd, es el recorrido de l curv, con 3 4, se hce en sentido positivo de mner que l región que d l izquierd Además como ls integrles de líne son recorrids en dirección opuest en ls prtes comunes, curvs denotds como,, 4 4 ests integrles de líne se cnceln de mner que solmente permnecen ls integrles de líne sobre, obteniéndose: F F F d + F d + F d + F d Fd+ F d+ Fd+ F d+ Fd+ F d+ Fd+ F d 3 3 Fd+ F d+ Fd+ F d+ Fd+ F d+ Fd+ F d 3 3 Fd+ Fd+ Fd+ Fd Figur 46. Región doblemente cone. Est demostrción puede ser etendid regiones que tengn un número finito de gujeros.
, determine + + EJEMLO 45. Se el cmpo vectoril F(, ), F dr, donde es () culquier curv cerrd que conteng l origen de coordends (b) ulquier curv cerrd que NO conteng l origen de coordends. Solución. () Se puede tomr como un curv que contiene l origen un circunferenci de centro en el origen rdio, con > 0, cu prmetrizción está ( ) dd por l función vectoril g: / g( t) cos ( t), sen( t) integrl de líne qued definid por R R, por lo que l ( ) cos( t) π sen t F dr, ( sen() t, cos() t ) dt 0 π sen () t cos () t + dt 0 π dt 0 π + + (b) Ahor bien, el cmpo vectoril F(, ), es un cmpo conservtivo, cu función potencil es (, ) f rctg. undo se define un curv cerrd que no contiene l origen, el cmpo esclr f tiene derivds continus de primer orden en tod l región cotd por l curv, por lo que por. propieddes de los cmpos conservtivos, se tiene que F dr 0