SECCIÓN.4 Vecores angenes vecores normales 859 En la sección precedene se vio que el vecor velocidad apuna en la dirección del movimieno. Esa observación lleva a la definición siguiene, que es válida para cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámero es el iempo. DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE Sea una curva suave en un inervalo abiero I, repreada por r. El vecor uniario angene en se define como Como se recordará, una curva es suave en un inervalo si es coninua disina de cero en el inervalo. Por ano, la suavidad es suficiene para garanizar que una curva enga vecor uniario angene. Hallar el vecor uniario angene a la curva dada por cuando Solución La derivada de es Derivada de. Por ano, el vecor uniario angene es Definición de. Susiuir Cuando el vecor uniario angene es Figura.0 como se muesra en la figura.0. En el ejemplo, ha que observar que la dirección del vecor uniario angene depende de la orienación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura.0 esuviera dada por aunque ambién reprearía el vecor uniario angene en el puno apunaría en dirección opuesa. Traar de verificar eso.
860 CAPÍTULO Funciones vecoriales La reca angene a una curva en un puno es la reca que pasa por el puno es paralela al vecor uniario angene. En el ejemplo se usa el vecor uniario angene para hallar la reca angene a una hélice en un puno. Hallar hallar después un conjuno de ecuaciones paraméricas para la reca angene a la hélice dada por en el puno Curva: r() = cos i + j + k Solución La derivada de es lo que implica que Por consiguiene, el vecor uniario angene es 6 z Vecor uniario angene. 5 C En el puno el vecor uniario angene es Reca angene Usando los números direcores el puno (x,, z ) se obienen las ecuaciones paraméricas siguienes (dadas con el parámero ). x (,, 4) Figura. Esa reca angene se muesra en la figura.. En el ejemplo ha una canidad infinia de vecores que son orogonales al vecor angene Uno de esos vecores es el vecor Eso se desprende de la propiedad 7 del eorema.. Es decir, Normalizando el vecor se obiene un vecor especial llamado el vecor uniario normal principal, como se indica en la definición siguiene. DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL Sea una curva suave en un inervalo abiero I repreada por. Si enonces el vecor uniario normal principal en se define como
SECCIÓN.4 Vecores angenes vecores normales 86 Hallar para la curva repreada por Solución Derivando, se obiene lo que implica que el vecor uniario angene es Vecor uniario angene. Usando el eorema., se deriva con respeco a para obener Curva: r() i j C N() ( 4i j) 5 Por ano, el vecor uniario normal principal es T() (i 4j) 5 x Vecor uniario normal principal. Figura. Cuando el vecor uniario normal principal es como se muesra en la figura.. El vecor uniario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamene. En curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando Vecor uniario angene. observando que debe ser o Figura. Como se sigue que ano como son vecores uniarios normales. El vecor uniario normal principal es el que apuna hacia el lado cóncavo de la curva, como se muesra en la figura. (véase ejercicio 94). Eso ambién es válido para curvas en el espacio. Es decir, si un objeo se mueve a lo largo de la curva en el espacio, el vecor apuna hacia la dirección en la que se mueve el objeo, mienras que el vecor es orogonal a apuna hacia la dirección en que gira el objeo, como se muesra en la figura..
86 CAPÍTULO Funciones vecoriales Hélice: r() = cos i + j + k z Hallar el vecor uniario normal principal para la hélice dada por Solución De acuerdo con el ejemplo, se sabe que el vecor uniario angene es Vecor uniario angene. Así, esá dado por Como se sigue que el vecor uniario normal principal es x Vecor uniario normal principal. Figura.4 Nóese que ese vecor es horizonal apuna hacia el eje z, como se muesra en la figura.4. Ahora se vuelve al problema de describir el movimieno de un objeo a lo largo de una curva. En la sección anerior, se vio que si un objeo se mueve con rapidez consane, los vecores velocidad aceleración son perpendiculares. Eso parece razonable, porque la rapidez no sería consane si alguna aceleración acuara en dirección del movimieno. Esa afirmación se puede verificar observando que si es una consane. (Ver la propiedad 7 del eorema..) Sin embargo, si un objeo viaja con rapidez variable, los vecores velocidad aceleración no necesariamene son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proecil el vecor aceleración siempre apuna hacia abajo, sin imporar la dirección del movimieno. En general, pare de la aceleración (la componene angencial) acúa en la línea del movimieno ora pare (la componene normal) acúa perpendicular a la línea del movimieno. Para deerminar esas dos componenes, se pueden usar los vecores uniarios que juegan un papel análogo a cuando se reprean los vecores en el plano. El eorema siguiene esablece que el vecor aceleración se encuenra en el plano deerminado por TEOREMA.4 VECTOR ACELERACIÓN Si es el vecor posición de una curva suave exise, enonces el vecor aceleración se encuenra en el plano deerminado por
SECCIÓN.4 Vecores angenes vecores normales 86 Demosración Para simplificar la noación, se escribe en lugar de en lugar de así sucesivamene. Como se sigue que Por derivación, se obiene Regla del produco. Como se expresa mediane una combinación lineal de se sigue que a esá en el plano deerminado por A los coeficienes de de en la demosración del eorema.4 se les conoce como componenes angencial normal de la aceleración se denoan por Por ano, se puede escribir El eorema siguiene da algunas fórmulas úiles para TEOREMA.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN Si es el vecor posición de una curva suave [para la cual exise], enonces las componenes angencial normal de la aceleración son las siguienes. Nóese que A la componene normal de la aceleración ambién se le llama componene cenrípea de la aceleración. Nóese que se encuenra en el plano de Por ano, se puede usar la figura.5 para concluir que, en cualquier insane las componenes de la proección del vecor aceleración sobre sobre N esán dadas por, respecivamene. Además, como se iene En los ejercicios 96 97 se pide demosrar las oras pares del eorema. Figura.5 Las fórmulas del eorema.5, juno con algunas oras fórmulas de ese capíulo, se resumen en la página 877.
864 CAPÍTULO Funciones vecoriales Hallar las componenes angencial normal de la aceleración para el vecor posición dado por Solución Para empezar se halla la velocidad, la rapidez la aceleración. De acuerdo con el eorema.5, la componene angencial de la aceleración es como Componene angencial de la aceleración. la componene normal de la aceleración es Componene normal de la aceleración. En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alernaiva siguiene para. Hallar las componenes angencial normal de la aceleración para la hélice dada por Solución De acuerdo con el eorema.5, la componene angencial de la aceleración es Componene angencial de la aceleración. Figura.6 Como se puede usar la fórmula alernaiva para la componene normal de la aceleración para obener Componene normal de la aceleración. Nóese que la componene normal de la aceleración es igual a la magniud de la aceleración. En oras palabras, pueso que la rapidez es consane, la aceleración es perpendicular a la velocidad. Ver la figura.6.
SECCIÓN.4 Vecores angenes vecores normales 865 El vecor posición para el proecil mosrado en la figura.7 esá dado por Vecor posición. Hallar la componene angencial de la aceleración cuando Solución Figura.7 La componene angencial de la aceleración es En los insanes especificados, se iene Vecor velocidad. Velocidad. Vecor aceleración. Componene angencial de la aceleración. En la figura.7 se puede ver que, a la alura máxima, cuando la componene angencial es 0. Eso es razonable porque en ese puno la dirección del movimieno es horizonal la componene angencial de la aceleración es igual a la componene horizonal de la aceleración. En los ejercicios a 4, dibujar el vecor uniario angene los vecores normales a los punos dados... En los ejercicios 5 a 0, hallar el vecor uniario angene a la curva en el valor especificado del parámero. 5. 6. 7. 8. 9. 0.. 4. En los ejercicios a 6, hallar el vecor uniario angene hallar un conjuno de ecuaciones paraméricas para la reca angene a la curva en el espacio en el puno P... 4. 5. 6.
866 CAPÍTULO Funciones vecoriales En los ejercicios 7 8, usar un sisema algebraico por compuadora para reprear la gráfica de la curva en el espacio. Después hallar un conjuno de ecuaciones paraméricas de la reca angene a la curva en el espacio en el puno P Reprear la gráfica de la reca angene. 7. 8. En los ejercicios 9 0, hallar un conjuno de ecuaciones paraméricas para la reca angene a la gráfica en uilizar las ecuaciones de la reca para aproximar 9. 0. En los ejercicios, verificar que las curvas en el espacio se coran en los valores dados de los parámeros. Hallar el ángulo enre los vecores angenes a las curvas en el puno de inersección... En los ejercicios a 0, enconrar el vecor uniario normal principal a la curva en el valor especificado del parámero.. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. En los ejercicios a 4, hallar (si exise) para un objeo que se mueve a lo largo de la raecoria dada por la función vecorial Usar los resulados para deerminar la forma de la raecoria. Es consane la rapidez del objeo o cambiane?... 4. En los ejercicios 5 a 44, hallar a a para la curva plana en el insane 5. 6. 7. 8. r cos i j, r cos i j k, 6 9. 40. 4. 4. 4. 44. En los ejercicios 45 a 48, considerar un objeo que se mueve según la función de posición a a 45. Hallar 46. Deerminar las direcciones de en relación con la función de posición 47. Deerminar la rapidez del objeo en cualquier insane explicar su valor en relación con el valor de 48. Si la velocidad angular se reduce a la miad, en qué facor cambia? En los ejercicios 49 a 54, dibujar la gráfica de la curva plana dada por la función vecorial,, en el puno sobre la curva deerminada por dibujar los vecores T N. Observar que N apuna hacia el lado cóncavo de la curva. 49. 50. 5. 54. Función 5. r() 4i 4 j Insane 5. r ) )i j 0 En los ejercicios 55 a 6, hallar T a en el insane dado para la curva espacial Hallar T( ) a Resolver para N en la ecuación a a 55. 56. Función 57. r ) cos i j k 0 4 Insane 58. r ) i j k 59. r i j k 60. r ) i j 4k 6. r e i e cos j e k 0 6. r ) e i j e k 0
SECCIÓN.4 Vecores angenes vecores normales 867 En los ejercicios 6 66, usar un sisema algebraico por compuadora reprear gráficamene la curva espacial. Enonces hallar T a en el insane dado Dibujar en la curva en el espacio. 6. 64. Función r 4i cos j k r cos i j k Insane 7. La figura muesra una parícula que sigue la raecoria dada por r cos, cos. La figura muesra ambién los vecores para 65. r i j k 66. r i j k 67. Definir el vecor uniario angene, el vecor uniario normal principal, las componenes angencial normal de la aceleración. 68. Cuál es la relación enre el vecor uniario angene la orienación de una curva? Explicar. 69. a) Describir el movimieno de una parícula si la componene normal de la aceleración es 0. b) Describir el movimieno de una parícula si la componene angencial de la aceleración es 0. a) Hallar en b) Deerminar si la rapidez de la parícula aumena o disminue en cada uno de los valores indicados de. Dar razones para las respuesas. En los ejercicios 7 a 78, hallar los vecores T N, el vecor uniario binormal de la función vecorial en el valor dado de 7. r cos i j 74. k 70. Un objeo se mueve a lo largo de la raecoria dada por r() i 4j. Enconrar v(), a() T() N() (si exise). Cuál es la forma de la raecoria? Es consane o variable la velocidad del objeo? 7. La figura muesra la raecoria de una parícula repreada por la función vecorial r, cos. La figura muesra ambién los vecores en los valores indicados de Figura para 7 Figura para 74 75. r i j cos k, 0 4 76. r e i e cos j e k, 0 0 77. r 4 i 4 cos j k, 0 78. r cos i j k, 0 4 a) Hallar en b) En cada uno de los valores indicados de, deerminar si la rapidez de la parícula aumena o disminue. Dar razones para las respuesas. 79. Hallar las componenes angencial normal de la aceleración de un proecil disparado con un ángulo con la horizonal con rapidez inicial Cuáles son las componenes cuando el proecil esá en su alura máxima? 80. Uilizar los resulados del ejercicio 79 para hallar las componenes angencial normal de la aceleración de un proecil disparado con un ángulo de 45 con la horizonal con rapidez inicial de 50 pies por segundo. Cuáles son las componenes cuando el proecil esá en su alura máxima?
868 CAPÍTULO Funciones vecoriales 8. Un proecil se lanza con velocidad inicial de 0 pies por segundo desde 5 pies de alura con un ángulo de 0 con la horizonal. a) Deerminar la función vecorial de la raecoria del proecil. b) Usar una herramiena de graficación para reprear la raecoria aproximar la alura máxima el alcance del proecil. c) Hallar d) Usar una herramiena de graficación para complear la abla. Velocidad e) Usar una herramiena de graficación para reprear las funciones escalares Cómo cambia la velocidad del proecil cuando ienen signos opuesos? 8. Un proecil se lanza con velocidad inicial de 0 pies por segundo desde una alura de 4 pies con un ángulo de 45 con la horizonal. a) Deerminar la función vecorial de la raecoria del proecil. b) Usar una herramiena de graficación para reprear la raecoria aproximar la alura máxima el alcance del proecil. c) Hallar d) Usar una herramiena de graficación para complear la abla. Velocidad 8. Debido a una ormena, los conroladores aéreos en ierra indican a un piloo que vuela a una aliud de 4 millas que efecúe un giro de 90 ascienda a una aliud de 4. millas. El modelo de la raecoria del avión durane esa maniobra es donde es el iempo en horas r es la disancia en millas. a) Deerminar la rapidez del avión. 0.5.0.5.0.5.0 0.5.0.5.0.5.0 b) Usar un sisema algebraico por compuadora calcular Por qué una de ésas es igual a 0? 84. Un avión volando a una aliud de 6 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer una bomba. Hallar las componenes angencial normal de la aceleración que acúan sobre la bomba. 85. Un objeo, aado al exremo de una cuerda, gira con rapidez consane, de acuerdo con la función de posición dada en los ejercicios 45 a 48. a) Si la velocidad angular se duplica, cómo se modifica la componene cenrípea de la aceleración? b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longiud de la cuerda se reduce a la miad, cómo cambia la componene cenrípea de la aceleración? 86. Un objeo de masa m se mueve con rapidez consane v siguiendo una raecoria circular de radio r. La fuerza requerida para producir la componene cenrípea de la aceleración se llama fuerza cenrípea esá dada por La le de Newon de la graviación universal esablece que donde d es la disancia enre los cenros de los dos cuerpos de masas M m, G es una consane graviaoria. Usar esa le para mosrar que la rapidez requerida para el movimieno circular es En los ejercicios 87 a 90, usar el resulado del ejercicio 86 para hallar la rapidez necesaria para la órbia circular dada alrededor de la Tierra. Tomar GM millas cúbicas por segundo al cuadrado, suponer que el radio de la Tierra es 4 000 millas. 87. La órbia de un ransbordador espacial que viaja a 5 millas sobre la superficie de la Tierra. 88. La órbia de un ransbordador espacial que viaja a 45 millas sobre la superficie de la Tierra. 89. La órbia de un saélie de deección érmica que viaja a 85 millas sobre la superficie de la Tierra. 90. La órbia de un saélie de comunicación que esá en órbia geosíncrona a r millas sobre la superficie de la Tierra. [El saélie realiza una órbia por día sideral (aproximadamene horas, 56 minuos), por consiguiene, parece permanecer esacionario sobre un puno en la Tierra.] En los ejercicios 9 9, deerminar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muesre que es falsa. 9. Si el indicador de velocidad de un auomóvil es consane, enonces el auomóvil no puede esar acelerando. 9. Si en un objeo en movimieno, enonces el objeo se mueve en una línea reca. 9. Una parícula sigue una raecoria dada por r() cosh(b)i h(b)j donde b es una consane posiiva. a) Mosrar que la raecoria de la parícula es una hipérbola. b) Mosrar que 94. Mosrar que el vecor uniario normal principal N apuna hacia el lado cóncavo de una curva plana. 95. Mosrar que en un objeo que se mueve en línea reca el vecor es 0. 96. Mosrar que 97. Mosrar que 98. Una parícula de masa uniaria se mueve en línea reca bajo la acción de una fuerza que es función de la velocidad v de la parícula, pero no se conoce la forma de esa función. Se observa el movimieno se encuenra que la disancia x recorrida en el iempo esá relacionada con por medio de la fórmula donde a, b c ienen valores numéricos deerminados por la observación del movimieno. Hallar la función para el rango de v cubiero en el experimeno. Ese problema fue preparado por el Commiee on he Punam Prize Compeiion. The Mahemaical Associaion of America. Todos los derechos reservados.
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