ESTADÍSTICA BÁSICA GLOSARIO Y MAPAS CONCEPTUALES Atoi Ruiz Bueo_018
Estrategias para respoder a ua preguta de ESTADÍSTICA: Nº de variables implicadas e la iterrogació:.- Descripció de la distribució de los valores 1 variable Tipo de variable: Cuatitativa Cualitativa.- Tipos de distribució: Sigue ley Normal?.- Cálculo de probabilidad (%) e la distribució..- Cálculo de muestras represetativas..- Estimació de valores (putual o itervalo) variables Tipo de variables: Cuatitativa Cualitativa.- Dos variables cuatitativas (coeficiete lieal de Pearso) Si hay relació.- Dos variables cualitativas (Chi-cuadrado) Regresió (predicció) Atoi Ruiz Bueo 018
1.- Para resumir ua distribució se debe respoder a lo siguiete: TIPOS DE INDICADORES Idicadores de posició: Cómo se ecuetra los valores ordeados INDICADORES CÁLCULO INTERPRETACIÓN Cetiles Percetiles Deciles C? li? fai 1 100 i fi Quiere decir que hay u porcetaje por ecima o debajo del valor del ídice de putuacioes. Idica el lugar que le correspode a u valor cocreto respecto al grupo. Ejemplo: Si obteemos el valor del percetil 80 de ua distribució, a partir del valor obteido por ecima se ecuetra el 0% de las putuacioes. Qué porcetaje de alumos está aprobados (valor que se debe obteer para aprobar). Porcetaje de suspedidos. Idicadores de tedecia cetral: Dóde se cocetra los valores Media aritmética Mediaa Moda Es el valor promedio. El valor que represeta a todos los demás. Es aquel valor que ocupa el valor cetral de la distribució. Que es lo mismo que el percetil 50, el Cuartil y el decil 5 (previa ordeació creciete de los valores) Valor que se preseta co mayor frecuecia e ua distribució. Puede ser uimodal, bimodal o multimodal Statistics Edat Edat N Valid 0 Missig 0 Media 4,50 Mode 3 a Percetiles 50 4,50 a.-existe múltiples modas. Se muestra el valor más pequeño Atoi Ruiz Bueo 018 3
TIPOS DE INDICADORES INDICADORES CÁLCULO INTERPRETACIÓN Idicadores de dispersió: Rago, recorrido o Amplitud (R) Co itervalos: R = Vmàx Vmí + 1 Si itervalos: R = Vmàx Vmí Que variabilidad existe etre los datos Rago itercuartil (RI) o (IQR) Es la diferecia etre los cuartiles tercero y primero. Nos da básicamete, iformació sobre el 50% cetral de la distribució RI = Q3 Q1 Variaza La variaza es el promedio de las diferecias al cuadrado de cada valor respecto a la media de la distribució Desviació Estádar/Típica Las uidades de la variaza o so las mismas que las de la muestra, ya que estamos elevado las diferecias al cuadrado. Esto implica ciertas dificultades e iterpretar la magitud de la dispersió del grupo. Para superar esta dificultad, dispoemos de la desviació típica Coeficiete de variació de Pearso. Es ua uidad de medida relativa, o depede de las uidades de medida de la variable, por lo tato, permite la comparació etre diferetes muestras. Se trata de saber qué media de dos muestras es más represetativa, e relació a sus desviacioes típicas CV Sd 100 X Idicadores de forma: El tipo de forma que preseta el cojuto de datos de la distribució Asimetría Idica la distribució de los valores e toro a la media aritmética (a su derecha e izquierda) respecto a la moda o mediaa. La iterpretació del resultado es el siguiete: As > 0,5 La distribució es asimétrica a la izquierda (asimetría positiva) As < -0,5 La distribució es asimétrica a la derecha (asimetría egativa) -0,5< As < 0,5 Se cosidera simétrica, porque e muy pocas ocasioes el coeficiete será igual a cero. Curtosis Es el estudio del aputamieto de la curva e la parte cetral de la distribució, e relació a la curva ormal Cu > 0 363 Leptocúrtica (Levatada) 0 63 < Cu < 0 363 Mesocúrtica (ormal) Cu < 0 63 Platicúrtica (plaa) Atoi Ruiz Bueo 018 4
.- Probabilidad Formulas a utilizar: a.- Para coocer la probabilidad, si se tiee los valores de la variable: b.- Para coocer los valores de ua probabilidad dada: Z. sd xi Z i sd c.- Si os da el área o el porcetaje, el proceso cosiste e ver la probabilidad e la tabla (págia, 8 de este documeto) y buscar el valor de Z correspodiete. c-1) Probabilidad de que, si elegimos u alumo al azar, tega ua putuació igual o meor que 6,8 i Z sd c.) Id. (Para ua probabilidad,) putuació etre 4, y 5,6 i Z sd c.3) Etre qué valores está compredido el 95% de la distribució? Z. sd xi Sd = Desviació Estádar; Media aritmética; x i Valor de la Variable Atoi Ruiz Bueo 018 5
Ejemplos: (Fuete: Ormazábal, F.J. (coord.) Vila, R.; Mateo, M.; Torrado, M.; Berlaga, V.; el Barrio, J.;Ruiz, A. (01) Probabilitat i estadística aplicada a l educació.. Barceloa: Uiversitat de Barceloa. Dipòsit Digital: http://hdl.hadle.et/445/1384) a.- Probabilidad de obteer u sujeto al azar taga ua putuació Z igual o meor que -1,7 Plateamieto del problema Ecotramos la solució e la Tabla de putuacioes Z (pág. 8): d) probabilidad de obteer u valor compredido etre,0 i 0,85 Plateamieto del problema Será la probabilidad de u valor igual o meor de,0 (0,9783) meos la probabilidad del valor igual o meor que 0,85 (0,803): -1 7 0 pr (z -1,7) = 0,047 ó 4,7%) 0 0 85 0 pr (0,85 x,0) = 0,9783 0,803 = 0,176 ó 17,6%. b) Probabilidad de obteer u valor Z igual o mayor que -1,7 Plateamieto del problema -1 7 0 Será el área total (1) meos el valor obteido de la taula putuacioes Z: pr (z -1,7) = 1 0,047 = 0,9573 ó 95,73% e) A partir de que valor Z estará el 0% más alto? Plateamieto del problema 80 0 Z i=? 0 Será u valor que deja por debajo el 80% (o u área de 0,8000). Mirado e el cuerpo de la tabla de Z, el valor más próximo es 0,7995, que correspode a u valor Z = 0,84. c) Probabilidad de obteer u valor Z compredido etre - 0,6 i 1,38 Plateamieto del problema 0-0 6 1 38 Será el área que queda por debajo del valor Z=1,38 meos la que queda por debajo de -0,6: pr (-0,6 z 1,38) = 0,916 0,3974 = 0,5188 ó 51,88%. f) Etre que valores se ecuetra el 95% (cetral) de la distribució? Plateamieto del problema Estará etre el valor Z que deja por debajo el 5% (0,050), que, segú la Tabla de Z, es de -1,96 y el que deja por debajo el 5 95 5 97,5% (0,975) es 1,96. Z 1=? 0 Z =? Atoi Ruiz Bueo 018 6
.1 Comprobar si ua variable sigue ley ormal: (prueba de kolmogorov) (EN EL SPSS, LA HIPÓTESIS NULA: ES QUE LA VARIABLE SIGUE LEY NORMAL) 1.- Ver cuál es la diferecia máxima obteida e la muestra (Diferecia máxima observada) para la variable. Este dato lo proporcioa el output de Spss. Prueba de Kolmogorov-Smirov para ua muestra B1 Dificil B Iteressat B1 Pesada P3 Edat ays P4 Temps arribar Uiversitat N 108 109 108 109 109 Parámetros ormales a,b Diferecias más extremas Media 5,60 4,76 4,68 0,13 49,93 Desviació típica 1,119 1,11 1,59,16,81 Absoluta,69,183,176,8,17 Positiva,166,183,130,8,17 Negativa -,69 -,153 -,176 -,177 -,089 Z de Kolmogorov-Smirov,79 1,907 1,85,943 1,34 Sig. asitót. (bilateral),000,001,003,000,060 a. La distribució de cotraste es la Normal. b. Se ha calculado a partir de los datos. Diferecia máxima observada.- Cálculo de la diferecia máxima teórica (e las tablas LILLIEFORS págia 9 de este documeto- se aplica cuado se descooce los parámetros) si la muestra es superior a 35, hemos de calcular: 0,886 3.- Decisió: E valor absoluto (si teer e cueta el sigo (+ ó -) Sigue Ley Normal Si la diferecia máxima Observada (la calculada e la muestra) es INFERIOR O IGUAL que la Diferecia máxima Teórica obteida co la tabla de LILLIEFORS. Sigue ley Normal Si di máx. obs. di máx. teórica (INFERIOR O IGUAL) No sigue Ley Normal Si la diferecia máxima Observada (la calculada e la muestra) es SUPERIOR que la Diferecia máxima Teórica obteida co la tabla de LILLIEFORS. NO Sigue ley Normal di máx. obs. > di máx. teórica (SUPERIOR) Atoi Ruiz Bueo 018 7
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P R O V A DE K O L M O G O R O V Tamay de la mostra () 1 3 4 5 Massey Lilliefors = 0,05 = 0,01 = 0,05 = 0,01 0,975 0,81 0,708 0,64 0,565 0,995 0,99 0,88 0,733 0,669 0,381 0,337 0,417 0,405 6 7 8 9 10 0,51 0,486 0,457 0,43 0,410 0,618 0,577 0,543 0,514 0,490 0,319 0,300 0,85 0,71 0,58 0,364 0,348 0,331 0,311 0,94 11 1 13 14 15 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,468 0,450 0,433 0,418 0,404 0,49 0,4 0,34 0,7 0,0 0,84 0,75 0,68 0,61 0,57 16 17 18 19 0 0,38 0,318 0,309 0,301 0,94 0,39 0,381 0,371 0,363 0,356 0,13 0,06 0,00 0,195 0,190 0,50 0,45 0,39 0,35 0,31 5 30 0,70 0,40 0,30 0,90 0,180 0,161 0,03 0,187 Superior a 35 1,36 1,63 0,886 1,031 MASSEY Se aplica cuado los parámetros so coocidos. LILLIEFORS Se aplica cuado se descooce los parámetros Atoi Ruiz Bueo 018 9
3.- Estadística Iferecial: Pautas resolució problemas estadísticos Pasos a seguir y diagrama de decisió 1.- Qué tipo de variable preseta el problema (cualitativa o cuatitativa)?.- Decidir que os demada el problema, formula a utilizar y codicioes Tipo de variable Qué os demada el problema Formulas a utilizar Valores de alfa, Z y Codicioes de aplicació Cuatitativa Estimació putual o De Itervalo (Estima la MEDIA de la població) (Cuatos alumos se podría esperar.,cuatos sujetos se puede esperar) Calcular ua muestra (Tamaño de la muestra, idividuos o sujetos ecesarios, tamaño ecesario de la muestra etc..) La putual es el estadístico de la muestra (media aritmética) De itervalo: X Z X Z / / Poblacioes ifiitas (No se cooce N) e Z Z / Z/ / e e Valores Z / 0.10 (10%) Z = 1.645 0.05 (5%) Z= 1.96 (bilateral) 0.0 (%) Z=.33 N = Es el parámetro de la població. 0.01 (1%) Z=.58 Poblacioes fiitas (Se cooce N) e N N Z Z N / / 1 Z / e ( N 1) = Es el estadístico de la muestra Cualitativa (categorial) Estimació putual o Itervalo (Estima la proporció o el porcetaje ) (Cuatos sujetos se puede esperar..) La estimació putual es el porcetaje o la proporció obteida e la muestra De itervalo po p Z / po p Z / pq Codicioes de aplicació: Muestras grades, Todos los productos p, q, po, qo.. debe teer u valor míimo de 5. Calcular ua muestra. (Tamaño de la muestra, idividuos o sujetos ecesarios, Tamaño ecesario de la muestra) Poblacioes ifiitas (Se descooce N) e Z / p q Z / / p q e p q Z e Poblacioes fiitas (Se cooce N) e Z / p q N N Z / p q N 1 e ( N 1) ( Z / p q) Si se descooce P -Se estima a partir de les datos obteidos e estudios ateriores. - Si es descooce p i q - Es realiza u sodeo previo (u piloto) - Se escoge el caso más desfavorable o máximo: p = q = 0 5 (Ya que el producto p q es máximo: p q = 0 5) - Se utiliza los valores observados (po y qo). (Media aritmètica); (Desviació estádar); Z / (Valor Z -bilateral- del error cosiderado) e (Precisió o error muestral). Atoi Ruiz Bueo 018 10
4.- Correlació y Regresió: Pruebas estadísticas segú tipo de variables Coeficiete de correlació Variable X Variable Y SPSS Pearso (rxy) Cuatitativa cotiua (o discreta) Cuatitativa cotiua (o discreta) Aalizar > Correlacioes > Bivariadas... > Pearso Spearma (rs ó ρxy) Medida co ua escala ordial Medida co ua escala ordial Aalizar > Correlacioes > Bivariadas... > Spearma Chi-cuadrado (χ ) Cualitativa Cualitativa Aalizar > Estadísticos descriptivos > Tablas de cotigecia... > Estadísticos... > Chi-cuadrado Biserial (rb) Cuatitativa cotiua (o discreta) Dicotomizada (cualitativa artificial) -- Biserial putual (rbp) Cuatitativa cotiua (o discreta) Cualitativa dicotómica -- Tetracòrica (rt) Dicotomizada (cualitativa artificial) Dicotomizada (cualitativa artificial) -- Atoi Ruiz Bueo 018 11
ELEMENTS FONAMENTALS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN: 1.- Correlació: Relació etre dos variables de tipo cuatitativo. Tabla de Iterpretació coeficietes de la correlació líea de Pearso. Valor coeficiete Tipo de relació Direcció r = 0 Relació lieal NULA Creciete Si r = 1 Decreciete Si r = -1 r = 1 Relació lieal PERFECTA Creciete Si r > 0 Decreciete Si r < 0 0 < r 0.30 Relació lieal MUY DÉBIL 0.30 < r 0.7 Relació lieal DÉBIL 0.70 < r 0.87 Relació lieal MODERADA 0.87 < r < 1 Relació lieal FUERTE Creciete Si r > 0 Decreciete Si r < 0 Creciete Si r > 0 Decreciete Si r < 0 Creciete Si r > 0 Decreciete Si r < 0 Creciete Si r > 0 Decreciete Si r < 0 r (E valor E la prueba de correlació, La Hipótesis ula de iicio de la prueba es que No hay relació etre las dos variables. Ejemplo Iterpretació, a partir output Spss: Test verbal (x) Exame de llegua (y) Correlacioes Correlació de Pearso Sig. (bil ateral) N Correlació de Pearso Sig. (bil ateral) N **. La correlació es sigificativa al ivel 0,01 (bilateral). Exame de Test verbal (x) llegua (y) 1,84**,,003 10 10,84** 1,003, 10 10 Atoi Ruiz Bueo 018 1
Observado la Tabla aterior que os ofrece el programa Spss, vemos como os muestra lo siguiete: Es u Tabla simétrica (cotiee iformació del cruce las dos variables), Nos proporcioa el tamaño muestra (N), el coeficiete de correlació de Pearso y la sigificació estadística de la relació etre dos variables (siempre es de dos e dos). Co estos datos podemos decir lo siguiete:.- Como la sigificació bilateral (,003), es iferior a 0,05, por tato podemos rechazar la H 0 co u riesgo α de 0,05 (0,01) y aceptamos la H 1, co lo que podemos cocluir que la correlació etre las variables (0,84) es sigificativa (por tato, o puede ser explicada úicamete por la ifluecia del Azar)..- Hay ua relació positiva (sigo positivo del coeficiete de correlació de Pearso), por cosiguiete, a medida que aumeta ua variable la otra tambié aumeta. A mayor putuació test verbal, mayor putuació e el exame de legua. Además, la relació ecotrada la podemos calificar de moderada (0,84, e el coeficiete de correlació). Correlació de Spearma: Cuado las codicioes de aplicació de Pearso o se cumple (Nivel de medida de las variables de itervalo o cotiuas, variables sigue Ley ormal, Relació lieal, Homocedasticidad (homogeeidad de variazas), Tamaño muestral grade. La iterpretació de los resultados es del mismo tipo que el que se ha lleva acabo co la correlació de Pearso..- Regressió: Cuado existe correlació etre dos variables cuatitativas, esto os permite predecir valores de ua variable sobre la otra, esto se realiza mediate ua prueba de regresió. Por tato, os permite predecir el valor de la variable depediete a partir de los valores de la variable idepediete. La prueba de regresió os permite obteer ua recta que se deomia de regresió de ua variable Y sobre X. Dicha recta se utiliza para estimar o predecir los valores de la variable Y a partir de los valores de la variable X. Y ' a b X yx yx Ordeada e el orige Pediete de la recta Variable DEPENDIENTE Es e la que obtedré u resultado e fució de los valores de X. Variable INDEPENDIENTE Es a partir de la que se realiza la predicció. Si se cooce el valor de X podré calcular el valor que tedrá Y Ejemplo: Predecir la putuació de u exame a partir de la ota de u parcial. X es la variable que hace la predicció, la explicativa o la idepediete. (Nota parcial) Y es la variable a predecir, la explicativa o la depediete (putuació exame) Atoi Ruiz Bueo 018 13
Ejemplo iterpretació output SPSS: Variables Test Verbal y Exame de Legua. Modelo 1 Resume del modelo R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregida estim ació,84 a,679,639,505 a. Variables predictoras: (Cos tate), Tes t verbal (x) R = Coeficiete de correlació. R = Coeficiete de determiació. R corregida = Ídice que tiee e cueta el úmero de variables itroducidas e el modelo. Error típ. de la estimació= Es el valor de la raíz positiva de la variacia residual. S xy S x 1 rxy R Es ua valoració de la cualidad del ajuste del modelo. E uestro ejemplo: el valor es de 0.679. Esto sigifica que el modelo explica el 67.9 % de la variació de la variable depediete. E otras palabras, idica que el 67.9% de los cambios que se da e el exame de legua es explicada por las diferecias que se da e el test verbal. Modelo 1 (Cos tate) Test verbal (x) a = b = Coeficietes a Coeficietes o estadarizados a. Variable depediete: Exame de llegua (y) Coeficietes estadarizad os B Error típ. Beta t Sig. -9,661 4, -,88,051,958,33,84 4,114,003 Utilizamos la recta de regresió costruida a partir de la fució de relació lieal (y = a + bx) dode X e Y so las variables y a (ordeada e el orige) y b (pediete de la recta) so costates. Atoi Ruiz Bueo 018 14
Si tomamos los valores de la salida que os proporcioa el Spss, teemos la siguiete fució: Y ' 9,661 0,958 X De esta maera, si ua persoa tiee, por ejemplo, ua putuació e el test verbal, el valor más probable e el exame de legua es: (Substituyedo la X, por el valor 0). Y = -9,66 + 0,958 0 = 9,51. Cálculo del itervalo de regresió (co u determiado error): S xy S x 1 rxy =.505 (Error típ. de la estimació ) ver output Itervalo de cofiaza será: (tomado u riesgo 0.05). Recordar aquí que tomaremos la fórmula de la estimació de ua variable cuatitativa por itervalo (ver secció 3, estadística iferecial) Y Y Z 13'90 / S yx 9'51 1'96 '4 9'51 4'39 5' 1 Este resultado os idica que para u idividuo que ha obteido 0 putos e X (test verbal) lo más probable (Y) es que obtega 9,51 e Y, pero e el 95% de los casos (co u ivel de cofiaza del 95 % o u riesgo de error del 5%) su putuació oscilará etre u máximo de 13'90 y u míimo de 5'1. Atoi Ruiz Bueo 018 15
3.- Relació etre dos variables cualitativas (categoriales) La prueba de Chi-cuadrado de Pearso Se puede aplicar co cualquier tipo de variables cualitativas (categoriales). No tiee igú tipo de restricció (o hay ua míima, o es ecesario que las distribucioes se ajuste a la curva ormal, etc..). El valor del coeficiete de chi-cuadrado idica si hay o o correlació pero o el setido i la itesidad de la correlació. Coeficietes que idica la itesidad de la correlació a partir de chi-cuadrat: Tablas de per (V. Dicotómicas) Coeficiete phi Tallas de k per l (V. politómicas) Coeficiete de cotigecia k l C Toma valores e el itervalo: 1 1 Se iterpreta igual que el coeficiete de correlació Pearso para variables cuatitativas, El cálculo de chi-cuadrado tiee ua codició de aplicació que cosiste e que como máximo u 0% de las frecuecias teóricas (o esperadas) puede ser iferiores a 5. Si esta codició o se cumple etoces se debe reagrupar algua categoría y volver a hacer el cálculo de la chicuadrado desde el pricipio. Si la tabla de cotigecia es de x y hay algua frecuecia esperada iferior a 5, etoces como que ya o se puede reagrupar igua categoría, e vez de cosultar la "Chi-cuadrado de Pearso" que aparece e el output se ha cosultar la "Correcció por Cotiuidad". Esto úicamete para las tablas de cotigecia de x. Atoi Ruiz Bueo 018 16
El output del Chi cuadrado e Spss: Los descriptivos de la cotigecia: NIVELL Nivell (curs) Total 1 Tabla de cotigecia NIVELL Nivell (curs) * SEXE Sexe SEXE Sexe Total 1 Home Doa Recueto 186 136 3 Frecuecia esperada 0,7 119,3 3,0 % detro de NIVELL Nivell (curs) 57,8% 4,% 100,0% % detro de SEXE Sexe 54,7% 68,0% 59,6% % del total 34,4% 5,% 59,6% Recueto 154 64 18 Frecuecia esperada 137,3 80,7 18,0 % detro de NIVELL Nivell (curs) 70,6% 9,4% 100,0% % detro de SEXE Sexe 45,3% 3,0% 40,4% % del total 8,5% 11,9% 40,4% Recueto 340 00 540 Frecuecia esperada 340,0 00,0 540,0 % detro de NIVELL Nivell (curs) 63,0% 37,0% 100,0% % detro de SEXE Sexe 100,0% 100,0% 100,0% % del total 63,0% 37,0% 100,0% Nos proporcioa Tabla descriptiva del recueto del cruce de categorías de las variables. Se muestra la frecuecia, el porcetaje por fila, porcetaje por columa y la frecuecia esperada. Las pruebas de relació: Pruebas de chi-cuadrado Valor gl Sig. asitótica (bilateral) Sig. exacta (bilateral) Sig. exacta (uilateral) Chi-cuadrado de Pearso 9,45 a 1,00 Correcció por cotiuidad b 8,701 1,003 Razó de verosimilitudes 9,37 1,00 Estadístico exacto de Fisher,003,00 Asociació lieal por lieal 9,8 1,00 N de casos válidos 540 a. 0 casillas (0,0%) tiee ua frecuecia esperada iferior a 5. La frecuecia míima esperada es 80,74. b. Calculado sólo para ua tabla de x. E primer lugar se comprueba que el porcetaje de frecuecias esperadas (o teóricas) que hay co valores iferiores a 5: e este ejemplo hay u 0%, por lo tato se cumple la codició de aplicació. El valor de Chi-cuadrado es 9.45 y su sigificació de 0,00; como esta sigificació es meor que el alfa a 0,05 podemos cocluir que el Sexo del alumado tiee relació sigificativa co el curso e que está los alumos. Atoi Ruiz Bueo 018 17
Ahora bie, si queremos saber cua itesa es esta relació, os fijaremos e el coeficiete Phi, que e el ejemplo da -1.131, co ua sigificació estadística de 0,00. Medidas simétricas Valor Sig. aproximada Phi -,131,00 Nomial por omial V de Cramer,131,00 Coeficiete de cotigecia,130,00 N de casos válidos 540 Se ecotró ua relació estadísticamete sigificativa, baja y directamete proporcioal ( r = 0.131, p < 0. 05), etre el sexo y el curso de los estudiates. Atoi Ruiz Bueo 018 18