XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL I (3º de.s.o.) Primera parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. n la figura adjunta puedes ver una semicircunferencia de centro O y diámetro, una circunferencia de centro P tangente a ella y a su diámetro, y una circunferencia de centro Q tangente a, a la semicircunferencia y a la circunferencia de centro P. Si O =, calcula el radio de la circunferencia de centro Q. P Q Problema. O uántos números de diez cifras, que terminan en 01, son múltiplos de 01?
XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL I (3º de.s.o.) Segunda parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. (1 punto) scribe el número 3 3 5 6 5 como Problema. (1,5 puntos) Sea T el número b del problema anterior. n el triángulo de la figura, el segmento es paralelo al lado. Si = T, = 10 y el área del triángulo es 30, calcula el área del trapecio. b en donde b es un número entero. Problema 3. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. n la figura adjunta, la recta es tangente a la circunferencia de centro O en el punto, las cuerdas y tienen igual longitud y el o T ángulo ˆ. alcula el valor del ángulo ˆ. Problema 1. (1 punto) 101 101 1 alcula el valor de 101 101 1 101 101 1 101 101 1. O Problema. (1,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior y n la suma de las cifras de T. l trapecio está dividido en cuatro triángulos rectángulos n como se muestra en la figura. Si y =, calcula el área de dicho trapecio dando el resultado en forma de fracción irreducible. F Problema 3. ( puntos) a Sea T, irreducible, la respuesta del problema anterior y k = a + b. b Ordenamos por diagonales los números naturales en una cuadrícula, como se muestra en la figura. Si tomamos como eje de abscisas la fila de abajo (1, 3, 6, 10, ) y como eje de ordenadas la columna de la izquierda (1,,, 7, ) diremos que, por ejemplo, las coordenadas del número 9 son (, 1), las del 5 (1, 1) y las del número 16 serán (0, 5). uáles serán las coordenadas del número k? (0, 60) Problema. (5 puntos) Sea a la respuesta del problema 3 y b la suma de las coordenadas de la respuesta del problema 3. Si llamamos t al área del triángulo y s al área del cuadrilátero O, calcula s t. (0, b) : 11 7 1 8 13 5 9 1 1 3 6 10 15 O s t (a, 0) (60, 0)
XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL II (º de.s.o.) Primera parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. Un triángulo isósceles tiene una mediana de 15 cm y una altura de cm. alcula el área de cada uno de los dos triángulos determinados con estos datos. Problema. Las soluciones de la ecuación x bx c 0, con b c, son los números reales r y s, y las soluciones de la ecuación x cx b 0 son los números reales r y t. alcula s + t.
XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL II (º de.s.o.) Segunda parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. (1 punto) l área de un octógono regular es. alcula la longitud del lado de dicho octógono. Problema. (1,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. alcula el número de raíces reales de la ecuación 3 x ( T 1) x ( T 1) x 1 0. Problema 3. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. alcula lg3 lg8 7 lg3 lg 5 lg5t. Problema 1. (1 punto) l número positivo x expresa la medida, en grados sexagesimales, de un ángulo. alcula el menor número x que verifica senx cos( x ). P Problema. (1,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. n la figura se observa un cuadrado y un triángulo equilátero P. Si el área del triángulo P es T, calcula la suma de las áreas de los triángulos P y P. Problema 3. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. alcula el número de puntos reticulares que hay en el interior del triángulo limitado por las rectas x = 0, y = 0, x + y = T. Notas. 1.- Se llaman puntos reticulares a los que tienen sus coordenadas enteras..- Los puntos interiores de un triángulo no pertenecen a ninguno de sus lados. Problema. (5 puntos) Sea a la respuesta del problema 3 y s la suma de los dígitos de la respuesta del 3. esde un punto de un río comienza a moverse una lancha a favor de la corriente con s velocidad respecto de la orilla v km/h. n el mismo instante un bote que se encuentra en a un punto, aguas abajo, comienza a moverse, también con velocidad constante, al encuentro de la lancha y se encuentran en un punto situado entre y, tal que = 5. Si la lancha hubiera salido desde el punto y el bote desde el punto se habrían encontrado en un punto tal que =. alcula la velocidad de la lancha y del bote en aguas quietas.
XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL III (1º de achillerato) Primera parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. x n las rectas y x, y marcamos, respectivamente, los puntos P y Q de coordenadas enteras positivas, ambas menores que 99. alcula el número de parejas (P,Q) tales que los puntos y que dividen al segmento PQ en tres partes iguales tengan también sus coordenadas enteras. Problema. ncuentra, si existen, cuatro enteros positivos consecutivos cuyo producto sea el mismo que el de otros dos enteros positivos consecutivos o justifica que no existen.
XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL III (1º de achillerato) Segunda parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. (1 punto) alcula el mayor entero n tal que 01 1 Problema. (1,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. n. (Recuerda: Obtén la mayor solución de la ecuación lgt x lgt x. x es la parte entera de x. Problema 3. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior. Si n es un entero con 1 n 10T, calcula el número de valores de n para los que el producto n n n n es divisible entre 5. Problema 1. (1 punto) Si 0 < x < π, x π, calcula el valor absoluto de la diferencia entre las soluciones de la 3 ecuación sec x 1 cos x cos x cos x.... Problema. (1,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior y k. T k Si a bi a bi 51 k, calcula el valor de a b. Problema 3. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior esde el punto P exterior a la circunferencia hemos trazado las tangentes P y P a dicha circunferencia. Si el cociente entre el mayor y el menor de los arcos es T + 1, obtén el cociente entre el ángulo central correspondiente al menor de dichos arcos y el ángulo P ˆ. P Problema. (5 puntos) Sea a la respuesta del problema 3 y b la respuesta del problema 3. Un trapecio tiene tres lados iguales cuyas medidas vienen expresadas con números enteros, siendo uno de ellos la base menor. Si el perímetro del trapecio es a(1 b) y el área k también entero, calcula el valor de k. k, con k