Matemáticas Empresariales I. Series

Matemáticas Empresariales I Lección 2 Series Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 40

Series de números Reales Motivación Sea a n una sucesión de numeros reales y sea s n otra sucesión obtenida a partir de la primera, de la siguiente forma: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3... s n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n... Al elemento s n se le denomina serie de numeros reales de término general a n y se representa por: n=1 El objetivo: Saber si sucesión s n tiene ĺımite (converge suma de a n será finita). M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 40 a n

Series de números Reales La serie n=1 a n es convergente = sucesión de sumas parciales s n converge: ĺım n s n = S S R es la suma de la serie: S = Si no existe limite = la serie es divergente Observación: s n es una sucesión = Podría usar definición de ĺımite de una sucesión (lección 1). Más facil a través de a n. n=1 a n M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 40

Series. Estudio de la convergencia Condición Necesaria Proposición: Sea n=1 a n una serie numérica. Si es convergente, entonces el ĺımite de su termino general es cero ĺım n a n = 0 (condicion necesaria de convergencia pero ojo no es suficiente) M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 40

Series. Estudio de la convergencia Condición Necesaria - Ejemplo Estudie el carácter de la serie n=1 n2 +1 n 2 1. El primer paso para estudiar la convergencia de una serie es comprobar si cumple la condición necesaria. Para ello debemos calcular el ĺımite ĺım n a n, que en este caso se reduce a calcular: n 2 + 1 ĺım n n 2 1 = ĺım 1 + 1 n 2 n 1 1 = 1 + 0 1 0 = 1 n 2 Como el ĺım n a n 0 se concluye que dicha serie no es convergente (Si dicho ĺımite hubiera sido 0, entonces no podríamos haber concluido nada acerca de la convergencia de la serie). M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 40

Series. Estudio de la convergencia Condición Necesaria - Ejercicio Estudie el carácter de la serie n=1 en n M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 40

Criterio de Cauchy (Necesaria y Suficiente) La serie n=1 a n es convergente si, y solo si, para cada ɛ > 0, existe un n 0 R tal que, n n 0 y p N, se verifica: EJEMPLO - APUNTES a n+1 + + a n+p < ɛ M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 40

Series Famosas Serie Geométrica La serie n=1 a r n 1 con a, r R se denomina serie geométrica de razon r s n = a + ar + ar 2 + ar 3 + + ar n 1 = a 1 r a ar n 1 1 r si r ±1 Si r < 1, S = ĺım n s n = es la suma de la serie, que es convergente. A veces la serie se especifica como s n = r + r 2 + r 3 + + r n y en ese caso la suma es S = ĺım n s n = Serie Armónica La serie armónica de grado α. n=1 1 n α Si α > 1 la serie armónica converge Si α 1 la serie armónica diverge r 1 r con α R, se denomina serie M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 40

negativos - Comparación Sean n=1 a n y n=1 b n dos series de términos no negativos para las que existe un m N tal que, n m,0 a n b n. Entonces: Si n=1 b n converge, entonces n=1 a n converge Si n=1 a n diverge, entonces n=1 b n diverge M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 40

negativos - Comparación - Ejemplo 1 Estudie el carácter de la serie: Primero = condición necesaria: ĺım n n=1 1 ln(n). 1 ln(n) = 1 = 0 la serie podría ser convergente. A partir de n = 3 es fácil comprobar que n > ln(n) = 1 n < 1 ln(n) Por otro lado, como n=1 1 n es la serie armónica con α = 1 se sabe que dicha serie diverge. El criterio de comparación dice que, como 1 n < 1 ln(n) y n=1 1 n diverge, la serie n=1 (que siempre esta por encima de la otra) diverge también. 1 ln(n) M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 40

negativos - Comparación - Ejemplo 2 Estudie el carácter de la serie: Primero = condición necesaria: ĺım n n=1 1 n 2 +1. 1 n 2 + 1 = 1 = 0 podría ser convergente. A partir de n = 1 es fácil comprobar que n 2 < n 2 + 1 = 1 n 2 > 1 n 2 + 1 Como n=1 1 es la serie armónica con α = 2 se sabe que dicha serie n 2 converge. El criterio de comparación dice que, como 1 > 1 n 2 n 2 +1 y la serie también. n=1 1 n 2 +1 n=1 1 converge, n 2 (que siempre esta por debajo de la otra) converge M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 40

negativos - Comparación - Ejercicio Estudie, por el método de comparación, el carácter de la serie: ( ) n=1 log (n+1) 2. n(n+2) M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 40

negativos - Critero de la Raíz Sea n=1 a n una serie de términos no negativos. Sea Entonces: ĺım n n an = l Si l < 1, entonces n=1 a n converge Si l > 1 (ó l = ), entonces n=1 a n diverge M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 40

negativos - Critero de la Raíz - Ejemplo Estudie el carácter de la serie: n=1 1 2. n Primero = condición necesaria: 1 ĺım n 2 n = 1 = 0 Para aplicar este criterio tenemos que calcular que en este caso ĺım n ĺım n y que, operando y despejando queda, n an n 1 1 ĺım n 2 = 1 2 Como el ĺımite es menor que 1 la serie converge. 2 n M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 40

negativos - Critero de la Raíz - Ejercicio Estudie, por el método anterior, el carácter de la serie posibles valores de a y b. n=1 en n n para los M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 40

negativos - Criterio del cociente (D alembert) Sea n=1 a n una serie de términos no negativos. Sea Entonces: a n+1 ĺım n a n = l Si l < 1, entonces n=1 a n converge Si l > 1 (ó l = ), entonces n=1 a n diverge M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 40

negativos - Criterio del cociente (D alembert) - Ejemplo Estudie el carácter de la serie: n=1 1 2. n a Lo primero que tenemos que hacer para calcular el ĺım n+1 n a n es ver que si a n = 1 2, entonces a n n+1 = 1 (se sustiye n por (n+1) en la sucesión). 2 n+1 Se calcula el limite anterior: ĺım n y que, operando y despejando queda 1 2 n+1 1 2 n = 2n 2 n+1 1 ĺım n 2 = 1 2 Como el ĺımite es menor que 1 la serie converge. M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 40

negativos - Criterio del cociente (D alembert) - Ejercicio Estudie, por el método anterior, el carácter de la serie: n=1 2n n!. M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 40

negativos - Raabe Sea n=1 a n una serie de términos no negativos. Sea ( ĺım n 1 a ) n+1 = l n a n Entonces: Si l > 1 (ó l = ), entonces n=1 a n converge. Si l < 1 (ó l = ), entonces n=1 a n diverge. M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 1 Estudie el carácter de la serie: n=1 1 2. n Para calcular ( ĺım n 1 a ) n+1 n a n hay que calcular la expresión Antes hemos visto a n+1 a n ( 1 a ) n+1 a n = 1 2 y por lo tanto ( 1 a ) n+1 = 1 1 a n 2 = 1 2 M. León Matemáticas Empresariales I 20 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 1 (cont.) Si multiplicamos por n se obtiene: n 2 y finalmente ( ĺım n 1 a ) n+1 n = ĺım n a n n 2 = Y aplicando las condiciones del criterio se puede concluir que la serie converge. M. León Matemáticas Empresariales I 21 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 2 Estudie, para los posibles valores positivos de a, el carácter de la serie: n=1 n2 +1 na n. a En primer lugar utilizaremos el criterio de D alembert (ĺım n+1 n a n ): Para calcular a n+1 : a n+1 = (n + 1)2 + 1 (n + 1)a n+1 Operando en dicha expresión (aplicando el binomio de Newton) se obtiene que: a n+1 = (n2 + 2n + 1) + 1 (n + 1)a n+1 = n2 + 2n + 2 (n + 1)a n+1 Una vez obtenido a n+1 se sustituye en el cociente a n+1 a n, que en este caso vale M. León Matemáticas Empresariales I 22 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 2 (cont.) a n+1 a n = n 2 +2n+2 (n+1)a n+1 = (n2 + 2n + 2)nan n 2 +1 (n 2 + 1)(n + 1)a n+1 = (n2 + 2n + 2)n a(n 2 + 1)(n + 1) = n3 + 2n 2 a(n 3 + n 2 + na n Para estudiar el carácter de la serie del enunciado, se debe calcular el ĺımite: a n+1 n 3 + 2n 2 + 2n ĺım = ĺım n a n n a(n 3 + n 2 + n + 1) = 1 a Se concluye que: Si a > 1 entonces l < 1 y la serie es convergente. Si a < 1 entonces l > 1 y la serie es divergente. Si a = 1 entonces l = 1 y no podemos asegurar el carácter de la serie. Por lo tanto, si a = 1 debemos aplicar otros criterios M. León Matemáticas Empresariales I 23 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 2 (cont.) El paso siguiente más ( habitual al criterio de D alembert es el criterio de Raabe (ĺım n n 1 a n+1 a n )). Ya está calculada de antes la expresión a n+1 a n = pasamos a calcular ( n 1 a n+1 a n ): ( n 1 a ) ( n+1 = n 1 n3 + 2n 2 ) + 2n a n n 3 + n 2 + n + 1 Donde hemos ya se ha incorporado que a debe valer 1. Operando ( n 1 a ) ( n+1 n 3 + n 2 + n + 1 (n 3 + 2n 2 ) + 2n) = n a n n 3 + n 2 = + n + 1 ( 2n 2 ) ( + n 1 2n 2 ) + n 1 = n n 3 + n 2 = n + n + 1 n 3 + n 2 + n + 1 M. León Matemáticas Empresariales I 24 / 40

negativos - Raabe -Ejemplo 2 (cont.) Por último, se debe calcular el ĺımite de la expresión anterior: ( ĺım n 1 a ) ( n+1 n 2 ) ĺım n a n n + 1 n n n 3 + n 2 = + n + 1 ( n 3 n 2 ) + n = ĺım n n 3 + n 2 = 1 + n + 1 Como l < 1 la serie diverge también con a = 1. M. León Matemáticas Empresariales I 25 / 40

negativos - Raabe -Ejercicio Estudie, por el método anterior, el carácter de la serie: n=1 n α n para los posibles valores de α M. León Matemáticas Empresariales I 26 / 40

negativos - Criterio Logaritmico Sea n=1 a n una serie de términos no negativos. Sea ( ) ln 1 an ĺım = l n ln(n) Entonces: Si l > 1, entonces n=1 a n converge. Si l < 1, entonces n=1 a n diverge. M. León Matemáticas Empresariales I 27 / 40

negativos - Criterio Logaritmico - Ejemplo Estudie el carácter, para los posibles valores positivos de a y b de la serie: n=1 anb n. ( ) 1 an ln(n) ). ln Aplicando el criterio logaritmico (ĺım n ( ) En primer lugar se calcula la expresión ln 1 an 1 a n = n an b y tomando logaritmos ( ) 1 ln = ln(n) ln(a) b ln(n) a n (con a n = anb n ): Con la expresión anterior como numerador se calcula el cociente M. León Matemáticas Empresariales I 28 / 40

negativos - Criterio Logaritmico - Ejemplo (cont.) ( ) ln 1 an ln(n) = y al aplicar el limite, con ln(n) ln(a) b ln(n) ln(n) = 1 ln(a) ln(n) b se obtiene que el ln(a) ĺım n ln(n) = 0 ( ) ln 1 an ĺım = 1 b n ln(n) M. León Matemáticas Empresariales I 29 / 40

negativos - Criterio Logaritmico - Ejemplo (cont.) ĺım = 1 b n Si b > 0, entonces l < 1 y la serie diverge. Si b < 0, entonces l > 1 y la serie converge. Si b = 0, entonces el criterio logarítmico no sirve. Dicha serie se traduce en n=1 an n = a y dicha serie será divergente si a 0 (suma infinita del mismo elemento). M. León Matemáticas Empresariales I 30 / 40

Series de términos positivos y negativos - Convergencia condicional e incondicional Definición: Diremos que la serie n=1 a n es absolutamente convergente cuando la serie n=1 a n es convergente. (no hace falta decir nada acerca de la convergencia de n=1 a n puesto que si n=1 a n converge entonces n=1 a n converge también). Definición: Diremos que la serie n=1 a n es condicionalmente convergente cuando converge, pero la serie n=1 a n diverge. M. León Matemáticas Empresariales I 31 / 40

Series de términos positivos y negativos - Convergencia condicional e incondicional Caso particular: Series Alternadas Definición: la serie n=1 ( 1)n+1 a n con a n > 0, n N se denomina serie alternada. Criterio de Leibnitz (para series alternadas): Sea n=1 ( 1)n+1 a n una serie alternada cuyos términos decrecen en valor absoluto (a n es decreciente), entonces dicha serie es covergente si, y sólo si, el ĺımite de su termino general es cero (ĺım n a n = 0) M. León Matemáticas Empresariales I 32 / 40

Convergencia condicional e incondicional - Ejemplo Estudie la convergencia condicional e incondicional de la serie ( 1) n+1 n=1. n 2 En primer convergencia condicional = criterio de Leibnitz: 1 Serie del ejercicio es una serie alternada (tiene la forma ( 1) n+1 ) 2 a n = 1 n 2 es una serie monótona y decreciente con ĺım n 1 n 2 = 0 Se concluye que la serie converge de forma condicional. M. León Matemáticas Empresariales I 33 / 40

Convergencia condicional e incondicional - Ejemplo (cont.) Convergencia incondicional = valor absoluto, ( ( 1) n+1 = 1) = estudio de la serie n=1 n=1 ( 1)n+1 n 2 Como dicha serie es la serie armónica con α = 2 > 1 se concluye que dicha serie es convergente. Como converge la serie y converge el valor absoluto de la serie, concluimos que dicha serie converge de forma absoluta o incondicional. 1 n 2 M. León Matemáticas Empresariales I 34 / 40

Convergencia condicional e incondicional - Ejercicio Estudie la convergencia condicional e incondicional de la serie: n=1 ( 1) n+1 n 2 n. M. León Matemáticas Empresariales I 35 / 40

Aplicaciones Económicas - La hipótesis de la renta permanente Si una familia tiene unas rentas de R 1 en el primer periodo, R 2 en el segundo y así sucesivamente, la renta permanente será: RP = R 0 + R 1 (1 + i 1 ) + R 2 (1 + i 1 )(1 + i 2 ) + + R n n k=1 (1 + i k) Si se supone que el tipo de interés es el mismo en todos los periodos, entonces la expresión para la renta permanente queda: RP = R 0 + R 1 (1 + i) + R 2 (1 + i) 2 + + R n (1 + i) n Y si se supone que las rentas son las mismas para todos los periodos: RP = R + R (1 + i) + R (1 + i) 2 + + R (1 + i) n = R (1 + i) n n=1 M. León Matemáticas Empresariales I 36 / 40

Aplicaciones Económicas - La hipótesis de la renta permanente Serie Geométrica de razón 1 1+i (Convergente si i > 0) = Y operando RP = R 1 1 ( 1 1+i ) RP = R 1 i M. León Matemáticas Empresariales I 37 / 40

Aplicaciones Económicas - Ejemplo Suponga una economía en el que el tipo de interés es el 2 % (i = 0,02). En dicha economía, hay dos jóvenes que acaban de acabar sus estudios. El primero, acaba de aprobar unas oposiciones y ganará 10 unidades monetarias (u.m.) al año. Al otro joven le ha tocado en la quiniela un premio de 100 u.m. Cual de ellos debería comprarse un coche de 90 u.m. porque tenga una renta permanente mayor? El primero tendrá una renta permanente que atiende a la expresión RP = n=1 10 (1 + 0,02) n La renta permanente anterior es una suma geométrica de razón r = 1 (1 + i) = 1 (1 + 0,02) = 0,98 M. León Matemáticas Empresariales I 38 / 40

Aplicaciones Económicas - Ejemplo (cont.) Como la razón es menor que 1, la serie converge y la suma es: RP = 10 1 r = 10 (1 0,98) = 500 La renta permanente del segundo alumno es 100, por lo tanto la renta permanente del primer alumno es mayor y es el que debería comprarse el coche. M. León Matemáticas Empresariales I 39 / 40

Aplicaciones Económicas - Ejercicio Sea la serie X n, donde X n es el area de los cuadrados que se van inscribiendo según indica el dibujo. El primer cuadrado tiene lado L. Estudiar si dicha serie es convergente y en caso afirmativo hallar su suma. M. León Matemáticas Empresariales I 40 / 40