Funciones polinómicas
Polinomios Un polinomio es una epresión algebraica de la forma P() = a n n + a n - 1 n - 1 + a n - n - +... + a 1 + a 0 a n, a n -1... a 1, a o son números, llamados coeficientes. a n es el coeficiente principal a o es el término constante. Para cualquier polinomio, (0, a o ) es el intercepto en y.
Polinomios P() = a n n + a n - 1 n - 1 + a n - n - +... + a 1 1 + a 0 El grado de un polinomio, P(), es el eponente mayor al que se encuentra elevada la variable. Polinomio de grado cero (función constante) Ejemplo: P() = Polinomio de grado uno (función lineal) Ejemplo: P() = + Polinomio de grado dos (función cuadrática) Ejemplo: P() = + +
Ejemplo Polinomios f() = 5 4 + + 7 El grado del polinomio es. el coeficiente principal, a n es el término constante, a o es. el intercepto en y, (0, a o ) es..
Indicar el grado e intercepto en y grado: Coef. principal: int-y: grado: Coef. principal: int-y: grado: Coef. principal: int-y:
Ceros de un polinomio Los ceros o las raíces de un polinomio son los valores de tal que f() = 0. Si los ceros son reales, entonces coinciden con los interceptos en de la función. Es posible encontrar los ceros de polinomios de grado mayor que con técnicas que ya hemos estudiado en algunos casos.
Ceros de polinomios de grado mayor que El método practicado anteriormente se puede aplicar a algunos polinomios de grado mayor que. Por ejemplo, consideremos f 5 ( ) 4 14 6 Este es un polinomio de grado 5 y tiene términos Todos los términos tienen un factor de en común. Todos los términos tienen un factor de en común. 4
Ceros de polinomios de grado mayor que mediante factorización f 5 ( ) 4 14 6 4 Se comienza la factorización removiendo el máimo común divisor, o sea el factor.
f ( ) 7 Luego, se factoriza el factor cuadrática que queda dentro de los paréntesis o se resuelve con la fórmula cuadrática. La epresión cuadrática, + 7 +, factorize si eisten factores de 6 que sumen 7. Los factores de 6 que sumen 7 son 6 y 1.
6 ) ( f Usando el método AC. 1 1 ) ( f 1 ) ( f 1 ) ( f
La factorización completa de f() es: f ( ) 1 Los ceros de la función se consiguen igualando cada factor a 0. 0 cuando 0 1 1 0 cuando - 0 cuando
Los interceptos en de la gráfica de f 5 ( ) 4 14 6 4 son: 1 ( 0,0) -,0 y (,0)
Gráficas de un polinomios Polinomio de grado cero (función constante) Ej: P() = La gráfica de P() es una recta horizontal que pasa por (, ).
Gráficas de polinomios Polinomio de grado uno (función lineal) Ej. P() = 1 La gráfica de P() es una recta, con pendiente igual a, intercepto en y en intercepto en en ( ) ( )
Polinomios de grado > 1 La gráfica de un polinomio de grado mayor que 1 es siempre una curva suave y contínua. El comportamiento en los etremos de la gráfica es igual que el comportamiento del monomio Q()=a n n. El comportamiento en los etremos esta determinado por el grado, n, y el signo del coeficiente principal, a n.
Características de polinomios de grado ; grado impar a > 0 a < 0 máimos o mínimos locales: eisten no más de n 1 de estos puntos, donde n es el grado del polinomio. interceptos en : eisten no más de n interceptos en, donde n es el grado del polinomio. comportamiento en los etremos: Si a>0, la gráfica es creciente en ambos etremos. Si a <0, la gráfica es decreciente en ambos etremos.
Ejemplo Ejemplo: Trace la gráfica del polinomio: f ( ) 7 10 Observaciones: Es un polinomio de grado pero le falta el término constante. Todos los términos tienen un factor de en común. Intentamos factorizar para identificar puntos.
cont. Factorice el polinomio: f ( ) 7 10 Igualar cada factor a 0, resolver para y determinar los puntos correspondientes : Para el intercepto en y, evaluamos f(0).
Trace la gráfica: (cont.) f ( ) 7 10
Características de polinomios de grado ; grado par puntos de máimos o mínimos locales: NO eisten más de n 1 de estos puntos, donde n es el grado del polinomio. interceptos en : eisten NO más de n interceptos en, donde n es el grado del polinomio. comportamiento en los etremos: Si a>0, la gráfica es decreciente en el etremo izquierdo y creciente en el etremo derecho. Si a <0, la gráfica es creciente en el etremo izquierdo y decreciente en el etremo derecho.
Trace la gráfica del polinomio: g = ( + 1)( 1)( + )( ) Qué sabemos? grado par; número de interceptos en : número de puntos de retorno, a= 1; La ecuación esta factorizada; los ceros son Los interceptos en son: El intercepto en y es.
Trace la gráfica del polinomio: g = ( + 1)( 1)( + )( )
Multiplicidad Si o uno de los factores de f() es ( c) m y o la gráfica de f tiene un intercepto en en c entonces c es un cero real de multiplicidad m, La gráfica de f muestra el siguiente comportamiento cerca de (c, 0) :
Multiplicidad (cont)
Trace la gráfica del polinomio: Qué sabemos? grado La ecuación ya está en forma factorizada y sus ceros son número de interceptos en : número de máimos o mínimos: coeficiente principal: El intercepto en y es
Trace la gráfica (cont.):
Hallar una posible ecuación para la gráfica si f tiene ceros de multiplicidad 1 y un cero de multiplicidad Qué sabemos? grado es coeficiente principal es Etremos Los interceptos en son El intercepto en y es
Práctica 1 El método presentado anteriormente se puede aplicar para hallar los interceptos en de la gráficas de las siguientes funciones: f 6 5 ) ( a) g ) ( b) p 9 6 ) ( c)
Práctica El método presentado anteriormente se puede aplicar para hallar los interceptos en de la gráficas de las siguientes funciones: 4 a) g( ) 10 5 b) h( ) 5 c) q( ) 18 4 4