EJERCICIOS PROPUESTOS

Derivadas EJERCICIOS PROPUESTOS y. Ejercicios resueltos.. Aplicando la definición de derivada, decide si las siguientes funciones son derivables en los puntos indicados y calcula, si eiste, la derivada. a f en c f en 0 b f en d f sen en 0 a f f f ' lim lim lim 0 0 0 b f f 4 4 f ' lim lim lim 0 0 ( 4 0( 4 4 c Se epresa f como una función definida a trozos: si 0 si 0 f f si > 0 si > 0 lim 0 f f 0 0 f ' 0 lim. Luego f '0 0. 0 lim 0 0 d f f 0 sen f ' 0 lim lim 0 0 4. Estudia si las siguientes funciones son derivables en el punto en el que se cambia su definición. a f si 0 si > 0 b f si si > En todos los casos se comienza estudiando si la función es continua en los puntos donde cambia su definición, porque si no lo es, no será derivable. a La función es continua en 0 porque lim f ( 0 0 f ( 0 lim f ( 0. 0 0 lim f f 0 0 f ' 0 lim 0 lim 0 0 Luego no eiste el límite, por tanto, la función no es derivable. b La función es continua en porque lim f ( f ( lim f (. 0 0 ( ( lim lim f f 0 0 f '( lim 0 ( ( ( lim lim 0 0 Luego f ' 48 Unidad Derivadas

5. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f en el punto de abscisa 0. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 0 es y f ( 0 f '0 ( 0. ( ( ( 0 0 f '( 0 lim lim lim lim. 0 0 0 0 Luego la recta tangente es y y y la recta normal es y y. 6. Calcula el área del triángulo formado por el eje vertical y las rectas tangente y normal a la curva f en el punto de abscisa, previa deducción del número f '. f ( f ( '( lim lim f lim 0 0 0 ( La recta tangente tiene pendiente m - y pasa por el punto A, f ( A,, luego su ecuación es y y la recta normal en A (, tiene pendiente m, luego su ecuación es y. Hay que calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son O ( 0, 0, A (, y ( 0, Por tanto, el área es u. B. f, 7. La tangente a la curva y f en el punto P(, f pasa también por el punto Q (,0. Si ' calcula f. La ecuación de la recta que pasa por Q con pendiente es y. Además, como la recta pasa por el punto ( 5 P, f, entonces f. 8 y 9. Ejercicios resueltos. Derivadas Unidad 49

0. Para una función f : ( 0, cuya gráfica es la de la figura, esboza las gráficas de y f ' y y f ''.. Si f (, eisten los números f ''( 0 y ''( f? si si f si > si > Se estudia que ocurre con f ' : lim 0 ( ( ( 0 ' si '( lim f f < f f ( si 0 > lim 0 0 ( si Así pues, f ' que, como ya se sabe, no es derivable en, pues ( si > f '' Si lim f ' ( f ' 0 lim 0 0, f '' si < si > lim. Luego f ''( 0. 50 Unidad Derivadas

. Sea la función f si 0 si > 0. Calcula, si eisten: ' f, f ''(, f '( 0, f ''( 0, f '( y f ''. Si < 0, f f f ' lim lim 0 0 y f ' f ' f '' lim lim 0 0 Se sabe que f '( y f ''(. Si > 0, f ( ( ( f f ' lim lim y, por tanto, f ''( 0 0 0 si < 0 ' ' si > 0 Así pues, f f y f ''( 0 Para calcular las derivadas en 0 se observa primero si f y f son continuas allí y se calculan los límites laterales: f f 0 lim lim 0 0 f '0 : f ( f ( 0 ( lim lim 0 0 f ' f '0 lim lim f ''( 0 : 0 0 f '( f '0 lim lim 0 0 0, así pues, f '0, así pues, no eiste f ''( 0.. Es la siguiente función derivable en 0? ( 0 si 0 f si > 0 f f f '( 0 lim lim lim ( 0 0 0 f ( f ( 0 ' f ( 0 lim lim lim 0 0 0 0 Luego la función no es derivable en 0. Derivadas Unidad 5

4. Es f derivable en, 0 y? f < si 4( si 0 4 si 0 < si > ( f f 4 4 f ' lim lim lim 4 0 0 0 ( f f 4 4 4 f ' lim lim lim 4 0 0 0 Luego la función es derivable en y f '( 4. ( f 0 f 0 4 0 4 4 f ' 0 lim lim lim 4 0 0 0 ( f 0 f 0 4 4 f ' 0 lim lim lim 0 0 0 0 La función no es derivable en 0. lim f( 8 lim f( 5 Por tanto, la función no es continua en y, en consecuencia, no es derivable en. 5 a 8. Ejercicios resueltos. 9. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a f 87 ( 5 6( 4 d f b ( ( 4 5 4 ( f e f c f ( 4 ( ( 6 f ( 4 ( ( f 4 a ( 4 4 f ' 8 5 6 80 6 6 b ( ( ( f ' 4 6 9 8 5 c ( ( ( 4 f ' 4 4 6 0 d 4( 4 5( 8 6 4 5 4 5 f ' 8 6 4 ( 4 e [ ( ]( ( 4 6 8 f ' 4 ( f ( ( ( 4 ( f ' 4 9 4 4 ( 4 ( ( 4 6 6 5 50 4 9 0 5 Unidad Derivadas

0. Calcula, sin usar la derivada del cociente, la derivada de las funciones siguientes. a f ( b f 5 6 7 a ( f f ' b f 5 6 7 f ' 0 6. Calcula la derivada de la función f tangente sea orizontal?. Hay algún punto en la gráfica de f en el que la ( La derivada es f '. ( ( La tangente en un punto es orizontal si la derivada se anula. Es decir, buscamos valores de tales que 0, como 0 no tiene soluciones reales. Por tanto, no ay ningún punto con tangente orizontal. (. Calcula la derivada de f y alla la abscisa de los puntos de la curva en los que la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante, y. La derivada es f '. Se buscan los puntos en los que la pendiente de la recta tangente sea. Para ello se igual la derivada a. 0, Luego la abscisa de los puntos buscados es 0 o.. Demuestra que, para cualesquiera números reales a y b (no simultáneamente nulos, la gráfica de a b y no tiene ninguna tangente orizontal. a b La derivada es ab y ' ( a b. ab Si tuviera tangente orizontal, entonces y ' 0. Luego ( a b 0 a 0, b 0. Si a 0, b 0, entonces y, recta paralela al eje X. Si a 0, b 0, entonces y, recta paralela al eje X. 4. Comprueba que las funciones f y g derivadas, sabrías deducir que iban a ser iguales? tienen la misma derivada. Sin calcular las f ' ( ( g' ( ( Sí se podría deducir que iban a ser iguales porque f g. Luego, f g(. Por tanto, sus derivadas son iguales. Derivadas Unidad 5

5 a 7. Ejercicios resueltos. 8. Copia y completa la siguiente tabla. f ( g( f '( g' ( ( f g ( f g ' 0 0 0 0 f ( g( f '( g' ( ( f g ( f g ' 0 0 0 0 0 0 9. Sean f ( y g a t ( f g( y t' ( b f '( g( y g' ( 5. Calcula. c Comprueba que el resultado del apartado a coincide con el resultado del producto de las funciones del apartado b. a ( ( 5 5 5 t f g f g f ( 5 5 5 ( 50 t' 4 b ( ' 5 0 f. Luego f '( g 5. y g' c ( 5 0 5 5 50 f ' g g' t' 0 y. Ejercicios resueltos.. Calcula, utilizando la derivada de la función inversa, la derivada de la función: n f n Elevamos a n, tenemos que [ f ] y derivamos ambos miembros. n nf [ ] f ' (. Despejando obtenemos f ' nf [ ] ( n n n n n n n 54 Unidad Derivadas

. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a f c f b 4 f d f a f ' ( b ( f ' 4 4 ( 4 8 c 4 f ' ( ( ( ( 4 ( d 6 8 4 f ' ( ( ( ( 6 6 ( 4 4. Calcula en cada caso, el valor de a: a f ' f ( 0 ( f '0 a b ( f ' 4 f ( 4 ( f '4 a c f '5 a f ( 5 ( f ' 6 a ( ( f '0 f ' f 0 f ' b ( f '4 ( f ' f ( 4 f '( 4 c ( ( f '5 f ' f f ' 6 5. Calcula la ecuación de la tangente a la curva derivada de dica función. 5 y en el punto de abscisa, previa deducción de la Como 5 f y ( f ' 5 4, se tiene que ( f f(. Derivando se obtiene: ( ( ( 5 5 f f ' f ' f ' 5 4 f '(, luego 5 5 4 f '( por lo que f ' 5 5 4. Por tanto, la ecuación de la recta tangente buscada es ( 8 y f ' f. 80 5 6. Calcula la derivada de de la inversa de la función f. La función inversa de f es f. Teniendo en cuenta que f ', se obtiene: ( f ' ( ( ( f ' f f ' ( Derivadas Unidad 55

7 y 8. Ejercicios resueltos. 9. Halla la derivada de las siguientes funciones. a f e 4 b ( f e c f 7 5 4 a f' e ( b f ' 6 e e 6 e 5 5 5 ln7 c Escribimos ln7 f 7 e e ln7 f ' ln7 e ln7 7 5 5 5 5 5 5 40. Obtén la ecuación de la tangente a la curva en el punto de abscisa y e. f ' e y f. Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y. 4. Determina si eiste algún punto con tangencia orizontal en la curva: y e Igualando la derivada a cero: que tanto como f ' e 0. No obstante, como la derivada no se anula nunca, ya e son positivas, la curva no tiene tangentes orizontales. 4. Obtén la ecuación de la tangente a la curva e y e en el punto de abscisa 0. e, f '0 y f' ee f 0, luego la recta tangente es y. 4 a 45. Ejercicios resueltos. 56 Unidad Derivadas

46. Calcula la derivada de: a [( ( f ln ] c f 4 ln [ ] b [( f ln ] d ( 4 f log ( ( 4 4 4 a 9 5 9 f ' ( ( 5 5 ( b 6 f ' ( (si se escribe ( f ln se obtiene la derivada con mayor facilidad. c 8 4 8 4 f ' ln ln ( 4 4 d Se escribe ln 4 4ln f, entonces 8 f '. ln ln ( ln 47. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y ln trazada desde el origen. La ecuación de la recta tangente a la curva por el punto af, ( a es y lna. a Si pasa por el origen debe ser 0 lna, entonces lna, a e y la ecuación buscada es y. e 48. Hay algún punto de la gráfica de y ln con tangente orizontal? Como D( f (, y f ' orizontales. no se anula en ese intervalo, por tanto, la gráfica no tiene tangentes 49. Calcula, simplificando al máimo, la derivada de la función: f Derivando directamente obtenemos f ' e ln e ( ( ( e e e e e e e e e. Si antes de derivar usamos las propiedades de logaritmos para reescribir la función: ln( ( f e ln e, entonces se obtiene también: e e e f ' e e e 50. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f sen en el origen. f '( 0 cos0 y f ( 0 0. Así pues, la recta tangente es y. Derivadas Unidad 57

5. Hay algún punto de la gráfica de f tg en el que la tangente esté menos inclinada que la bisectriz del primer cuadrante? f ', luego las tangentes a la curva siempre tienen pendiente mayor que. Por tanto, no eiste un cos punto donde la tangente a la gráfica de la función esté menos inclinada que la bisectriz del primer cuadrante. 5. Obtén la derivada de las funciones: a ( f sen e b f sen a ( f ' cos e e b ' cos f sen 5. Encuentra los puntos con abscisa en [ 0, π ] para los que la tangente a la curva sen cos orizontal. f es f ' cos sen 0 si cos sen, luego π o 4 5π. 4 Los puntos buscados son P π, 4 y 5 π Q,. 4 sen 54. Pon tu calculadora en grados y obtén, con ayuda de la misma, lim 0 obtenido en radianes y justifica la ventaja de utilizar radianes en Análisis.. Compara el resultado con el 0,º 0,º 0,0 0,00º f ( 0,07458 0,07458 0,07459 0,07459 π El límite es. 80 55. Halla las derivadas de las funciones: a f sen ( b f ( cos a ( ( f ' sen cos ( ( ( ( b cos sen 6 8 6 sen f ' 6( 4( cos cos 56. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a f arcsen c f arccose b f arctg( ln d f arcsen arccos a f ' ( c f ' e e b f ' ( ln d f ' 58 Unidad Derivadas

57. Deriva f arcsen arccos y eplica el resultado. f ' 0 π La razón de este resultado es que arccos arcsen y al derivar ambos miembros se obtiene: ( arccos arcsen ' 0 58. Deriva las funciones: f b f arctg tg arctg( a arctg( arctg a f ' arctg b arctg tg f ' tg arctg cos 59. Ejercicio interactivo. 60. Calcula, mediante derivada logarítmica las derivadas de: a f con > 0 b f sen con > 0 a ( f ' ln f ln ln ln f ' ( ln f b ( ( sen f ' sen sen sen ln f ln sen ln cos ln f ' cos ln f 6. Si f y g son funciones positivas y derivables, deduce la derivada de fg y logarítmica. f g mediante derivación ln( fg lnf lng, derivando, se obtiene: ( fg ' f ' g' ( fg ' f ' g fg ' fg f g f ln lnf lng, derivando se obtiene: g ' f ' g f ' g ' f f ' g fg ' f f g g g g Derivadas Unidad 59

6. Calcula mediante derivación logarítmica la derivada de las siguientes funciones sin preocuparte del dominio de las funciones que aparecen ni de su signo. a f ( c f b ( arctg f d f ( ( a ( ln f ln ln ( ln( ln f ' ln ln f ' ln ln ln f ( b ln f ln arctg ln arctg f ' ln arctg f ' ( arctg ln arctg f arctg arctg ( c ( ln f ln ln Por el ejercicio 60 a sabemos que ( ln ' f ' ( ln ln ln f ' ( ln ln f ' ( d ( ln f ln ln ln ln( f ' f ' f 6. Obtén, en P ( π,, la ecuación de la tangente a la curva: π π. y cos y Derivando la epresión, se obtiene: π y sen π y y ' cos y y ' 0, si π, y y se obtiene: π y' ππ y' 0, luego y ' y la ecuación de la recta tangente es y ( π. π π π 64. Obtén la ecuación de la tangente a la curva implícita y despejando y. y en P (, de dos formas: utilizando la derivación Derivación implícita: yy ' 0 en, y se tiene y '. Despejando y (observa que está cerca de y, luego y es positivo: y y', en, y '. Así pues la recta tangente es y. 60 Unidad Derivadas

65. Calcula, derivando implícitamente, la derivada segunda en cada punto de la circunferencia y 9. Derivando una vez tenemos: yy ' 0, luego y ' y. Derivando de nuevo tenemos: y ' yy '' 0. Por tanto, ( y ' y y 9 9 y '' y y y y ( 9. 66. Usa la derivación implícita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa. a b y 7, si y y 6 y, si 0 a Se deriva: y y y ' 0. Si, entonces y. Por tanto, y '. La ecuación de la recta tangente es y 5. b Se deriva: y y ' y 6 y y ' y '. Si 0, entonces y. Por tanto, y ' 8. La ecuación de la tangente es: y 8 67. Usa la derivación implícita para calcular f ''( si: ( f. f Se deriva una vez la epresión: 6 4 f f ' 0 f f ' 0 f ' ' '' 0 ' '' '' ( ' f f f f f f f f f Se deriva esta epresión: ( ( Por tanto: f '' 9 ( 68 y 69. Ejercicios resueltos. 70. Las aproimaciones lineales son útiles solo si es pequeño. Justifica esta afirmación obteniendo con la calculadora 7 considerando 7 como cercano a 00 en lugar de a. Con la calculadora obtenemos 7 0,8665. Con la aproimación lineal tomando f como f '. 7 7 f ( 7 f ( 00 f '( 00( 7 00 0 0,85 0 Sin embargo, si acemos la aproimación con obtenemos: 4 7 f ( 7 f ( f '( ( 7 0,8 Derivadas Unidad 6

7 4 7. Utiliza las diferenciales para aproimar el valor de,00,00 5,00 y compara el resultado con el número obtenido directamente con la calculadora. 7 4 6 Se considera f 5, f ' 7 0. Por tanto, f 56 y Valor de la aproimación lineal: Con la calculadora se obtiene: 56,54796. L,00 f f ' 0,00 56 0,54 56,54. f ' 54. 7 a 8. Ejercicios resueltos. EJERCICIOS Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica 84. Calcula, usando la definición, las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados. a f 4 en b f en a f f f 4 ' lim lim lim lim ( 0 0 0 0 ' lim lim lim 0 0 0 4 b f f ( f ( ( 85. Eplica por qué no eisten las derivadas de las funciones siguientes. a f en b f 7 en 4 a La función no es continua en (tiene una asíntota vertical y, por tanto, no es derivable. b f 4 f 4 si > 0. Luego no eiste la derivada porque no eiste si < 0 0 ( 4 ( 4 f f lim. 6 Unidad Derivadas

86. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. a f si en si b f c f 7 si < 7 si si < 6 si en en a Continuidad: ( ( lim lim f (. Luego la función es continua en. Derivabilidad: f en y f '. ( ( ( f f ' lim lim lim. Luego la función es derivable 0 0 0 b Continuidad: f es continua en. Derivabilidad: f ' lim lim 7, ( f lim lim 7 y ( f. Por tanto, la función 7 lim f ( f ( 0 lim 0. Por tanto, la ( 7( ( lim lim 0 0 función es derivable en y f '. c Continuidad: f ( ( es continua en. lim lim 6, f ( lim lim y f (. Por tanto, la función 6 4 lim lim 4 0 0 Derivabilidad: ( ( f f f '( lim. Por tanto la 0 lim lim 0 0 ( función no es derivable en. Derivadas Unidad 6

87. Calcula la ecuación de la recta tangente a cada gráfica en el punto indicado. Comprueba a continuación tu respuesta representando, con ayuda de una calculadora gráfica o un ordenador, la gráfica de la función y la recta tangente. a f en A(, f ( b g en B(, g ( c en C( 0, ( 0 a f ', f ' 6y Recta tangente: y 6 8 f 0 b g g g 4 ' lim lim lim 0 0 0 4 ( 4 y g ( Recta tangente: 5 y 4 4 c ( t ( 0 ' 0 lim lim t t lim t 0 t t 0 t t 0t t Recta tangente: y ( ( 0 88. Halla los puntos de intersección de las funciones y e tangente a y es perpendicular a y. y. Comprueba que en dicos puntos la o. Calculamos la pendiente de la tangente en los puntos y. f ( f ( '( lim lim f lim 0 0 0 ( f ( f ( '( lim lim f lim 0 0 0 ( Luego las rectas tangentes son y e y, ambas perpendiculares a y. 64 Unidad Derivadas

89. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y trazadas desde el punto P (,. Representa gráficamente la parábola y las dos tangentes obtenidas. f a a y f '( a a, la ecuación de la recta tangente a la parábola por el punto (, A aa es. y a a Si se quiere que pase por el punto P (, debe ser a a cuyas soluciones son a y a y las tangentes buscadas son y ( ( y y ( (. 90. Sea f ( a b punto P (,4.. Halla los valores de a y b para que la recta y sea tangente a la gráfica en el Como la parábola pasa por (,4 P debe ser 4 a b 4. Además, como la tangente en ese punto tiene pendiente, debe ser f ' a, luego a y b 4. 9. Halla todas las tangentes a la curva y 4 que pasen por (,0 P. La tangente a la curva por el punto de abscisa a tiene ecuación 4 8 debe ser 0 8a a cuyas soluciones son a 0 y a. 4 4. Para que pase por P (,0 y a a Luego las tangentes buscadas son 0 y e y ( 4 8 8. 9. Halla el área limitada por la recta y 4, la normal a la curva tangente a la parábola y en el punto de abscisa. 5 en el punto de abscisa y la y Se representa gráficamente dica área. Para ello se alla la normal a la curva ' 5 en el punto de abscisa : y f, y 8 Y la tangente a la parábola y en es y 4. Se allan los puntos de intersección de las tres rectas: A,4, ( 4,4 B y C 6 4, 5 5 El área es 4 A 4 4 4,9 u. 5 Derivadas Unidad 65

9. Halla el valor de los números reales a y b sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y a b en el punto P (, vale 5. Sabemos que f y de la parábola es f ' 5, es decir 4a b y 4a b 5, luego b y a con lo que la ecuación. y Función derivada. Derivadas laterales 94. Aplicando la definición, calcula la derivada de las funciones siguientes en los puntos en los que estén definidas. a f 4 b f a f 4 si < ( f f 4 4 f ' lim lim 0 0 ( ( lim 4 4 4 4 4 lim 0 0 4 4 4 4 4 b f si > 0 f f f ' lim lim lim ( ( ( ( ( 0 0 0 lim 0 lim 0 ( ( ( ( ( 95. Demuestra que la segunda derivada de una función polinómica de segundo grado es siempre una función constante. Cuánto vale esa constante? P a b c ; entonces P ' a b y coeficiente principal. P'' a que es constante. La constante es el doble del n 96. Encuentra un polinomio f ( sabiendo que f ( ; f ' 4; f ''( 0 ; f '''(, y f ( 0 si n >. Como las derivadas son cero a partir de la cuarta, el polinomio es de tercer grado: f a b c d y sus derivadas sucesivas son: f ' a b c, f '' 6a b y f ''' 6a. Utilizando los valores de la función y las derivadas en se plantea el sistema 6a 6a b 0 a b c 4 a b c d Resolviendo el sistema se tiene que el polinomio buscado es f. 66 Unidad Derivadas

97. Calcula las derivadas laterales de la función f 4 en el punto. Es la función derivable en dico punto? Esboza su gráfica. Se escribe la función a trozos: f 4 si < 4 si f f 4 f '( lim lim 0 0 f f 6 4 f '( lim lim 0 0 La función no es derivable en 98. Calcula las derivadas laterales en (si eisten y decide si las funciones son derivables en dico punto. a f b f c f ( si ( si > si si > d f si si > a La función está definida en [, ], luego no eiste la derivada lateral dereca. f ' lim. La función no es derivable en. 0 b f '( lim 0, ( f 0 ' lim 0 0 c f '( lim, f ' ( lim 0 0 es derivable en ese punto. d f '( lim, f 0 0. La función es derivable en y f ' 0.. La función no es continua en en y, por tanto, no ' lim. La función no es derivable en. Derivadas Unidad 67

99. Dadas las funciones f, g 6 y F a f ' y f '( y lim f ' b g ' y g' ( y lim g' ( c F ' y F ' Es F( derivable en? Es F( continua en? a f ', f ' 4y f lim ' 4 b g' 6, g ' 4y g c Observa que F g 7 lim ' 4 f si <, calcula: g si F F 7 4 5 F '( lim lim lim 0 0 0 ( ( ( 6 ( 7 ( 4 F F F '( lim lim lim 4 0 0 0 d Como F ' y F ' no coinciden, la función F( no es derivable en a pesar de que. El problema es que F( no es continua en pues F f lim f ' lim g lim F lim g 7 F. lim lim y Derivadas de las operaciones con funciones 00. Dadas las funciones f y g a f '( y ' b 5 ', calcula: g c ( f g '( e ( f '( g g f f d ( f g '( f ' fg f g ' ' a f ' y g' ( b ( 5 f ' 5 f ' 0 0 c ( f g ' f ' g' 5 d ( f g ' f ' g' ( 9 4 5 e ( f ' ff ' f f ' ( f ( fg ' f ' g f g' ' ( g g g' f g f ' f ( f ( ' ( f g ' f ' g' 5 f g (( ( ( ( f g f g 5 68 Unidad Derivadas

0. Sea la función: f Represéntala con la calculadora gráfica o el ordenador y alla aproimadamente los puntos en los que su gráfica admite una tangente paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. En la gráfica ay dos puntos en los que la tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Como se quiere f '(, se calcula: ( ' f 0 si La solución 0 es fácil de encontrar por tanteo. La segunda solución se aproima con ayuda de la calculadora. En la gráfica se observa que está entre y más cerca del. Haciendo una pequeña tabla de valores:,,6,5, 0,464 0,08044 0,08 0,0045 0,048 Se observa que > si >,6 y 0 Luego el punto buscado tiene abscisa,5 < 0 si <,5. Derivada de la composición de funciones 0. Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas. b f c f a 5 f a 4 f b f ' c f ' 5 4 4 ( 8 8 ' 5 5 5 4 5 Derivadas Unidad 69

0. Sabiendo que f ; f ' ; g ; g ' 5 y a ( f g ' c ( ' f g e g ' 0, calcula: g ' b ( g f ' d g ' f f ( n f ' a ( f g ' f '( g( g' f '5 5 b ( g f ' g' ( f ( f ' g ' 0 c ( f g f ( g f ( g g f f ' ' ' '5 0 0 ' ( d ( f ' g f ' g ' g g' g' 5 5 f f f g ( f e ( g ' g ' 5 g 4 f ( n n f ' nf ( f ' n 04. Obtén la derivada de f y, a partir del resultado obtenido, escribe la derivada de g. 6 f ' Como g f (, se tiene que g' f '( 6. ( 05. Sea f una función derivable que cumple f ( 8 cualquiera que sea el valor de. Calcula: a f ( f ' b f '( f ( Derivando la epresión f ( 8 se tiene ( f ( ' ( 8 ' f '( 8, para todo. a Como f ' 8, entonces f ( f '( f ( 8 f ( 5 8 5 8. b f '( f ( f '( f ( f '( 8 8 Derivada de la función inversa 06. Calcula en cada caso, el valor de b. a f ' 5 f ( 0 ( f '0 b b f '0 f ( 5 0 ( f '( 5 c f '( b ( f ( 6 ( f '6 8 b a ( ( f '0 f ' f 0 f ' 5 b ( ( ( f ' 5 f ' f 5 f '0 c ( ( ( f ' f ' f 6 f '6 8 70 Unidad Derivadas

07. Si f 0, calcula ( f '( 0. Como f ' y f 0, entonces ( f '0 f ' f 0 f ' ( Derivadas de las funciones eponencial y logarítmica 08. Calcula las derivadas de estas funciones. a f ln a f ' b f e f ' e b 09. Calcula las derivadas de las siguientes funciones en los puntos en los que eistan. a f ln e ln b f c f e d f e 4 a f ' b f ' c f ' d f ' ( ln ln e e ln e ln ln ( ln e e ( 4( 4 ( e e e ( 4 ( ( ( ( 4 e e e ( 4 4 4 e 4 e ( 0. Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes funciones y escribe la epresión general de la derivada enésima. 7 a f e b f ln a n n 7 f 7 e n b f n ( ( n! n Derivadas Unidad 7

. Para qué valores de se anulan las derivadas de las funciones siguientes? a f e 4e c ln f b f ln d f e a f ' e 4e e e 4 0 e 4 0 ln b f ' c ( f ' ln 0 no se anula nunca. d 6 f ' e 0 6 0 0 ( o 6. Derivadas de las funciones trigonométricas y sus inversas. Calcula las derivadas de estas funciones. a f sen ( b f arcsen c f sen cos a f ' 6sen ( cos( b f ' 6 4 c f ' ( sen( cos ( cos( 7 Unidad Derivadas

. Calcula las derivadas de las siguientes funciones en los puntos en los que eistan. a f sen arctg e ln( b f tg f e cos e sen f f sen( 4 c sen( sen f g f ( π ln tg ( π d f sen sen sen cos cos f arcsen cos ( e a f ' sen cos arctg ( arctg b f ' e ( cos sen e ( sen cos ( cos sen ( e e c ( ( f ' cos sen sen sen cos ( ( 7cos sen sen sen cos d Se escribe la función como: sen sencos cos sen cos sen f sen sen sen sen f ' e ' cos ( sen ( ln f tg cos f f ' g f ' f ' ( cos 4 4 ( ( π tg π π ln cos ( π ( ( e ( tg( π ln cos ( ( e e ( e ( e arcsen cos cos sen ( cos ( e 4. Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes funciones y escribe la epresión general de la derivada enésima. a f sen b f cos( 4 n 4n 4n 4n a f sen, f cos, f sen y f cos 4 n 4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n b f cos(, f sen(, f cos( y f sen( Derivadas Unidad 7

5. La función f no es derivable en 0, y la función g sen función p sen? Como D( p [ 0,, sí. Es derivable en 0 la, solo se puede calcular la derivada lateral a dereca. Dica derivada, sí eiste, y para calcularla observa que eisten los límites Luego p lim 0 y sen lim. 0 ' 0 sen sen lim lim lim 0 0 0 0 0. 6. Para qué valores de se anulan las derivadas de las funciones siguientes? cos sen a f b f sen ln sen c f tg sen a f ' ( sen sen sen cos sen no se anula nunca. cos cos sen cos f ' tg 0 kπ, k. sen sen cos b c f ' sen sen cos sen sen cos sen ( cos ( sen no se anula nunca. 7. Estudia la continuidad y la derivabilidad en ( π ( π π π π de la función: f lim f sen 0 lim f f. Luego la función es continua en π. Calculemos la derivada a izquierda y a dereca: 0 ( π π f ' π lim f La función es derivable en π sen si < π π si π sen π senπ cos cosπsen sen ' π lim lim lim 0 0 0 f 'π. π y 8. Estudia en qué puntos es derivable la función: f < si 0 si 0 si > si 0 f ' 0 si 0. Se estudia la derivabilidad en 0 y en. si > f 0 f ' 0 lim 0 0 f 0 f ' lim 0 ' 0 lim 0 ( ' lim 0 Así pues, f es derivable en 0 y no lo es en. 74 Unidad Derivadas

Derivación logarítmica e implícita 9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones. a f c f ( sen e b f d f ( sen cos sen cos a f ' ln e f e ln b ' c f ' ( sen ( ( ln sen cos sen d f ' ( sen cos ( cos sen ln( sen cos ( sen cos cos sen sen cos 0. Dada la curva sen y y y π: a Comprueba que el punto P ( π,0 pertenece a dica curva. b Calcula la ecuación de la tangente en dico punto. a π 0 π 0 sen π 0 π es, efectivamente, π. b Calculemos y '( π : y y ' y yy ' y ' cos y 0. Sustituyendo π e y 0: y ( y y y Luego y '( π 0 y la recta tangente en ( π,0 π ' π ' π cos π 0 π ' π ' π 0. P es y 0. Diferencial de una función. Aproimación lineal de una función en un punto. Sabiendo que ln 0,695 : a Obtén la aproimación lineal de la función f log en y utilízala para obtener los valores aproimados de f( en,0;,9 y,9. Compara estos resultados con los obtenidos con la calculadora. b Qué ocurre a medida que nos alejamos del? a L ln 0,0 L (,0 ln 0,695 0,005 0,6985. Con la calculadora se obtiene 0, L (,9 ln 0,695 0,05 0,645. Con la calculadora se obtiene 0,9 L (,9 ln 0,695 0,45,45. Con la calculadora se obtiene b A medida que nos alejamos del la aproimación lineal va empeorando. L,0 0,69847. L,9 0,6485886. L,9,0647077. Derivadas Unidad 75

. Realiza una estimación lineal de la variación de la siguiente función al incrementar la de a,. f 7, ' 8 f f 9 ; 7 8 ( 7 8 7 4 L y L (, (, 9 9 45 Por tanto, la variación es 4. 45 Síntesis. Dada la función f si k si > Hay algún valor de k para que f sea derivable en? Continuidad en lim f lim f Luego k k Derivabilidad en para k lim f lim k k f ( f ( ( f '( lim lim lim lim 0 0 0 0 f ( f ( ' f ( lim lim lim 0 0 0 ( Por tanto para k la función f es derivable en y f '. 76 Unidad Derivadas

4. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. a f < si 0 si 0 en 0 b f π sen si π cos si en π c f < si 0 4 si 0 en a Continuidad en 0: ( 0 lim ( 0 ( 0 y ( ( f f f 0 Derivabilidad en 0: f 0 f ' 0 lim 0 lim 0. Así pues, la función es continua en 0. 0 ( ' 0 lim lim. Luego f es derivable en 0. 0 0 b Continuidad en π : π π f cos 0 Derivabilidad en y ( lim sen 0. Así pues, la función es continua en π π : π. π sen π π sen cos cos sen π cos f ' lim lim lim cos' ( 0 0 0 0 0 π sen π cos f ' lim lim cos' ( 0 0. Luego la función f es derivable en 0 0 π. c Basta con estudiar la continuidad y derivabilidad en 0, porque en otro caso la función es continua y derivable. Continuidad en 0: ( 0 lim 4 ( 0 y ( ( f f f 0 Derivabilidad en 0: 0 lim. Así pues, la función es continua en 0. 0 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 4 f ' 0 lim lim lim 0 0 0 4 f ' 0 lim lim 0 0 0 Luego la función f no es derivable en 0. Derivadas Unidad 77

5. Calcula la derivada de las siguientes funciones. 4 c f e sen( a f b f ( ln d f arcsen( arctg( a ( 4 4 7 4 8 f ' 4 6 b f ' ( ( ln( ( ln c f ' e ( 6sen( cos( d f ' ( 6. Sea la función f 5. Comprueba que la recta tangente en el punto de corte con el eje Y es paralela a la asíntota de dica función. La función corta al eje Y en ( 0, ( 0 A f, luego A 5 0, ( ( ( 5 f ' f '0 ( Como f y la pendiente de la recta tangente en ese punto es f '0. 5 8, la asíntota es y que también tiene pendiente. 7. Dada la curva y y 6 0, se pide: a Calcular la segunda coordenada del punto P ( 5,, que pertenece a dica curva. b Calcular y '5 utilizando la derivación implícita. c Calcular y '5 despejando previamente la y y derivando posteriormente la función obtenida. (Los valores obtenidos deben coincidir. a Sustituyendo por 5 se tiene 0y y. Luego y P ( 5, b Derivando se obtiene y y ' y ' 0 y sustituyendo por 5 e y por : Luego '5 y 0 y' y' 0 c y 6. Luego 6 y e y' y'5 ( 78 Unidad Derivadas

Cuestiones 8. Si f si 0 sen si > 0 se verifica que: f ' si < 0 cos si > 0 Coinciden las derivadas laterales de f en 0? Aunque f f lim ' lim ', las derivadas laterales en 0 no coinciden, pues, en caso de acerlo, f sería 0 0 derivable en 0 y no lo es, puesto que no es continua ya que lim f 0 y f Las derivadas laterales son: f f 0 sen 0 f '( 0 lim lim 0 0 ( 0 f f f '( 0 lim lim lim ( 0 0 0 0 lim. 0 9. La función f no es derivable en 0 y la función g sen sí lo es. Es derivable en 0 la función p f g? Veamos si eiste Como 0 ( 0 ( 0 p p lim ( sen p 0 p 0, entonces : ( p 0 p 0 sen sen lim lim lim lim 0 0 0 0 0 0 Luego p sen es derivable en 0, y su derivada es 0. < 0. La función f observar. Lo es g ( f (? si 0, cuya gráfica es la de la figura no es derivable en 0 como puedes si 0 La función g( es: g < ( 0 ( 0 si 0 si 0 g g g' ( 0 lim lim lim ( 0 0 0 0 ( 0 ( 0 g g g' ( 0 lim lim lim 0 0 0 0 Así pues, g( es derivable en 0 y su derivada es 0. Derivadas Unidad 79

. Si f es una función par y derivable en, es f '( 0 0necesariamente? ( 0 ( 0 ( 0 f f f f f '( 0 lim lim 0 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ( 0 f f f f f f f '( 0 lim lim lim 0 0 0 Como f es par, f ( f (, así que f Al ser f derivable en 0, debe ser f '0 f '0 f ( 0 f ' 0 lim f ' 0 0 f '0 0., es decir,. Si la función f verifica que para cualesquiera números reales a y b se cumple que f f ( a b f ( a f ( b ab y que lim, demuestra que f es derivable en todos los números reales. 0 Veamos si eiste 0 ( f f lim sea cual fuere. ( f f f f f f Así pues, f f f lim lim 0 0, es decir, f es derivable en y f '. Si f g e, puede aber algún número real para el que se anulen simultáneamente las derivadas de f y g? ( ' ' ' f g e f g f g no se ace cero nunca, por lo que no puede aber ningún número para el que se anule simultáneamente f ' y g ', puesto que, de ser así, se anularía la suma. 4 4. La función f es una función par ( f ( f y su derivada función impar, ( f ' f ' una función par, entonces f ' 4 es una. Justifica que esto ocurre siempre; en concreto: si f derivable en es f ' es una función impar y si f es impar entonces Si f es par, f f f ' f ' f ' f '( f ' es impar Si f es impar, f ' es una función par. f f f ' f ' f ' f ' f ' f '( f ' es par 5. Demuestra esta sencilla fórmula que nos da la derivada segunda de un producto: ( fg '' f '' g f ' g ' fg '' ' ( fg '' fg ' f ' g fg ' ' f '' g f ' g ' f ' g ' fg '' f '' g f ' g ' fg '' 80 Unidad Derivadas

6. Comprueba que las definiciones: f ' f ( a f ( a ( a lim f '( a 0 f f a lim a a son la misma y, aplicando la segunda definición, calcula: cos lim. π π En f ( a f lim a a Tomando llamamos a, por lo que a 0 y escribimos: ( f f a f a f a lim lim a a 0 cos f f π f cos, lim lim f '( π. π π π π (, así que f '( π 0, es decir, f ' cos sen cos lim 0. π π 7. Sin calcular la derivada, comprueba que las siguientes parejas de funciones tienen la misma derivada: a f y g b f cos y c f arctg y g g cos d f ln( arctg y g ln( 0 0 Para comprobarlo no es necesario derivar, basta ver que las funciones difieren en una constante. a g f b f g cos cos cos sen cos cos sen f g arctg arctg. Si arctg n, tgn ; π complementarios, es decir, arctg arctg. c arctg v, tgv. Entonces n y v son ángulos d g f ( ( ( ( ( ( ln 0 0 ln ln 0 ln ln0 ln ln ln0. 8. Si f y g son funciones derivables en cuyas gráficas en el intervalo [ ab, ] son como las de la figura, es decir, f ( a g( a, f ( b g( b, f > g en ( ab,, parece que ay un número c en ( ab, tal que f '( c g' ( c. Será eso siempre cierto? Sí, siempre es cierto, pues la función f g es continua y derivable en [, ] donde alcanza el máimo (. Se trata, pues, de un punto en ( ab, pues ( a 0 y 0 Así que, ' ( c 0, es decir, f '( c g' ( c. ab. Tomemos el valor de c b. Derivadas Unidad 8

Problemas 9. Dadas las parábolas f 4 y g 6 6, calcula el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangentes a dicas parábolas en el punto de corte entre ellas. Se comienza calculando el punto de corte entre las parábolas: 4 6 6 5. El punto de corte es A ( 5,8. En A ( 5,8 la recta tangente a f 4 es y 8 6( 5 En A ( 5,8 la recta tangente a g 6 6 es y 8 6( 5. Operando se obtiene y 6.. Operando se obtiene y 6 8. El área del triángulo de vértices A ( 5,8, B,0 y 9 C,0 es 9 8 u A. 40. Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y para >. En el punto abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dica curva. a Halla la ecuación de dica recta tangente. 4 P, la b Si el desplazamiento es de izquierda a dereca, encuentra el punto en el que la partícula encuentra al eje X. c Si el desplazamiento es de dereca a izquierda, encuentra el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. a y ' ( 0 y. La ecuación de la tangente es 9, ' 0 y. 9 9 b Como la partícula no corta al eje si está en el intervalo (,, cuando sigue la trayectoria debe darse si >. Así pues, debe ser 0 0 9 9 y, el corte. La partícula encuentra el eje X en el punto (,;0 A. c La asíntota más próima a P es. Luego la partícula se encuentra con esa asíntota en B,. 9 4. Dadas las dos curvas: y 5y y 0 y 7y y 0 a Demuestra que ambas pasan por el origen de coordenadas. b Demuestra que las rectas tangentes a dicas curvas en el origen son perpendiculares entre sí. a Al sustituir en ambas ecuaciones y 0, se observa que se cumplen ambas igualdades. b Se calculan las derivadas implícitas de ambas curvas y se sustituye e y por 0 para obtener y '0. y y ' 5y 5 y ' y ' 0. Por tanto, y '0 y yy ' 7y 7 y ' y ' 0. Por tanto, y '0 Luego las tangentes tienen pendientes y y, por tanto, son perpendiculares. 8 Unidad Derivadas

4. La Hoja de Descartes es la curva que corresponde a la gráfica de la ecuación bella forma. y y y tiene esta a Eplica por qué la Hoja de Descartes no es una función. b Comprueba que el punto, pertenece a la Hoja de Descartes. c Mediante la derivación implícita comprueba que la tangente a la oja en el punto, asíntota de la Hoja de Descartes. es paralela a la a La Hoja de Descartes no es una función porque corta a algunas rectas verticales más de una vez (por ejemplo, a la recta b Sustituyendo e y por se observa que se verifica la ecuación y y c Derivando: y y ' y y ' 7 7 9 9 Si y, se tiene y' y' 4 4 Luego la pendiente de la tangente en dico punto es y ', que es paralela a la asíntota. 4. Sea f : [, ] la función definida por: f ( ( [ ] donde [ ] representa la parte entera de, es decir, el mayor entero menor o igual que. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a f es derivable en,. b Si no es entero, f ( 0. ( si < si < 0 a Se escribe f como función definida a trozos: f si 0 <. 0 si < si si < < si < < 0 Derivando se tiene que: f ', luego la función es derivable si no es entero. si 0 < < 0 si < < b f '' si < < si < < 0 0 si 0 < < 0 si < <, f ''' 0 si < < 0 si < < 0. Por tanto, las derivadas sucesivas ya serán 0. 0 si 0 < < 0 si < < 4 Derivadas Unidad 8

44. Sea f la función definida en ( 0, por: f ln Demuestra que para todo entero n, es: f n n ( ( n! n, f '' ln, f f ' ln ''' n multiplicadas por. Como si g, entonces g y a partir de aquí se tiene las derivadas sucesivas de siempre ( n n!, se obtiene el resultado buscado. n 45. Determina todas las funciones f de la forma f ( a b c d con a 0 y que verifican f '( f ' 0 Algunas de las funciones obtenidas anteriormente verifica f ( 0 f (? Derivando se obtiene f ' a b c. Se quiere que a b c a b c 0. Luego b 0 y c a. Las funciones que verifican esto son de la forma Si además se impone la condición de que f ( 0 f ( ninguna de las anteriores verifica que f ( 0 f (. f a a d. debe ser d a a d, luego a debería ser 0. Así pues, 46. Un profesor algo despistado propone a sus estudiantes que encuentren una función f definida en ( 0, tal que: f ' si 0 < 7 si > 7 y que f ( 7. Un estudiante intenta calcular f y se lleva una sorpresa. Eplica qué a ocurrido. a si 0 < 7 Si intenta allar una función con estas características se tendría f que debería ser b si > 7 continua en 7 pues es derivable allí, luego a 4 y b pero la función así obtenida no es derivable en 7 y, por tanto, su derivada no vale en 7 como debería. 47. Supón que f es derivable en. Demuestra que: f ' (Indicación: resta y suma en el numerador f (. ( ( f f lim 0 ( ( f ( f ( f ( f ( ( f f f f f f lim lim lim 0 0 0 ( ( ( ( f f f f f f f f lim lim ' ' ' 0 0 ( f f f 84 Unidad Derivadas

48. En la figura se representa la gráfica de la función derivada ' f. f de una cierta función : [ 0, ] a Halla una epresión algebraica de f sabiendo que su gráfica pasa por el origen de coordenadas. b Representa gráficamente la función f (. c Se verifica f '' 0? a f ' si 0 si < <. Luego f a si 0 < < b si b Como ( 0 0 f y, al ser derivable, f es continua en, se tiene que a 0 y b. Luego 4 4 b. c En la gráfica de f ' se observa que no eiste f ''. Se comprueba calculando: f '' lim f '' lim 0 0 49. El coste total de producción de q unidades de cierto producto viene dado, en euros, por la epresión: C q q 5q 0 Una empresa produce en la actualidad un total de 50 unidades y estudia la posibilidad de aumentar la producción a 50,5 unidades. Estima, utilizando la aproimación lineal, cuál será la diferencia de costes si se producen 50,5 unidades en lugar de 50. ( 0,5 0,5 ' L q C q C q L ( 50,5 560 0,5 Luego la diferencia de costes es de 0,5. Derivadas Unidad 85

50. Sea f una función definida en que pasa por el origen, y que admite segunda derivada y que verifica: f ' f f '' Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto (,. Se sabe que f f f ( f f ' '' ' '. Luego ( f f ' ' Como f ( 0 0, debe ser a 0 y se tiene f f f f y una función cuya derivada es tiene la forma a Así pues, la ecuación de la recta tangente en ' 6 ' 6 ' 6., es y 6 7., así pues f f ' a. 5. Supón que f y g son funciones derivables en todo y tales que: i f ( 0 y g 0 0 ii f ' g y g' f a Sea f g. Calcula ' ( y utiliza el resultado obtenido para probar que f g todo. b Supón que F y G son otro par de funciones derivables que verifican i, ii y considera la función: k f F g G Calcula k' ( y utiliza el resultado obtenido para decidir qué relación eiste entre f y F y entre g y G. c Conoces algún par de funciones f y g que verifiquen i, ii? Puede aber otras? para a ' f g ' f ' f g' g g f f g 0 Luego ( es constante y como ( 0 f ( 0 g( 0 0, entonces f g para todo. ( b para todo y, por tanto, ( ( ( k' f F g G ' f ' F' f F g' G' g G ( g G ( f F ( f F ( g G 0 Luego k es constante y como k( 0 ( f ( 0 F( 0 ( g( 0 G( 0 0, entonces 0 k es la suma de dos cuadrados, deben ser f F 0 y g G 0. Luego f F g G para todo. c Sí, f cos y g sen satisfacen las condiciones, y por b son las únicas. k para todo, y como y 86 Unidad Derivadas

5. Una partícula que se mueve en el plano XY baja deslizándose a lo largo de la curva de ecuación y 9. En el punto ( 4,5 P abandona la curva y sigue por la recta tangente a dica curva. a Calcula el punto R del eje Y por el que pasará la partícula. b Eiste algún otro punto Q de la curva tal que la recta tangente a la curva en el punto Q corte al eje Y en el mismo punto R anterior? a Como y ' 9 4 5 y 4 y 4 9 5 5 5, y '( 4. Recta tangente en P ( 4,5 : 5 ( 4 Punto de corte de la recta tangente con el eje Y: b Recta tangente a la curva y 9 9 0 y R 0, 5 5. 9 en el punto (, 9 Q a a : a a 9 y a 9 ( a y a 9 a 9 a 9 9 Si queremos que pase por R 0, 5, entonces 9 9 a 4 o a 4. 5 a 9 Luego si a 4, Q ( 4,5 y si a 4, Q ( 4,5. Por tanto, la recta tangente a la curva en ( 4,5 9 al eje Y en el punto R 0, 5. Q también corta 5. Define a trozos la función: y calcula ( f f '. f min, Resolvemos la inecuación, como es siempre positiva, se obtiene la inecuación equivalente: 4 0 Resolviendo la ecuación bicuadrada ocurre en los intervalos (,, [,] 4 0 se obtienen las soluciones y. Observando qué, se tiene que: y si [,] > si (, (, La función es f Como f ' ( si [,] si [,] 4 5 4 4 5 8 f f f f f 5 65, entonces ( '( ( ' Derivadas Unidad 87

Para profundizar 54. Halla la función f que cumple la ecuación: para todo, sabiendo que f f 0 ' 0 0. ( f ( f ( '' ' De la ecuación anterior se deduce que: ( ( f '' f ' f ' ' f ' a. a Por tanto, f ', pero como f '0 0, a 0. Aora debemos encontrar una función cuya derivada sea f ' y esta es ( ln Como f ( 0 0, b 0 y la función buscada es ( f ln. f b. 55. Los siguientes límites se pueden escribir como el valor de una cierta función en un punto. Aplicando esta idea, calcúlalos. a ( 0 lim 0 c tg lim π 4 π 4 b cos lim π π d cos lim π π a Tomando 0 f 0, f f f ' lim lim 0. 0 0 b Sea f cos π, π π π cos f f cos lim lim lim π π f ' sen. π π 0 0 c Llamando f tg y π, 4 π π tg tg tg 4 4 π lim lim f '. π 0 4 π cos 4 4 π 4 d Llamando f cos y π, cos cos( π cos π lim lim f '( π sen( π 0. π π 0 a b 56. a Encuentra dos números reales a y b para los que: b Sea f : {, } definida mediante la fórmula: f Obtén la fórmula para la derivada n-ésima de f. a Debe ser a a b b para todo. En particular, si 0, se tiene 0 a b y si, a. Luego los números buscados son a y b. b f. Como si n g, entonces n! g, se tiene: n f n n n! ( n! n n ( ( n n 88 Unidad Derivadas

57. Considera una función f :. f ( f ( f (. f ( 0 0. f '( 0 que satisface las siguientes propiedades: para cualesquiera,. a Demuestra que ( 0 b Demuestra que 0 f. Indicación: Toma 0 en. f para todo. Indicación: Toma en. c Utiliza la definición de derivada para probar que f ' f para todo número real. d Sea g otra función que satisface las tres condiciones y considera k f. g Demuestra que k es derivable en todo, y obtén k' (. Qué relación entre f y g? e Conoces alguna función f que satisfaga las tres condiciones? Puede aber más de una? a Llamando a f 0 f 0 0 f 0 f 0 a. Por tanto, concluye que f ( 0. a a. Luego a 0 o a y como f 0 0 se b Como f ( 0 f ( ( f f (, entonces c f no puede ser cero. f f f f f f f ' lim lim f lim f f '( 0 f f. 0 0 0 d k f f f k( k g g g f f f g f f g ' lim lim lim lim 0 0 0 g g g 0 g 0 0 f. g Luego k( es una función constante ya que su derivada se anula para todo. a f ag. Pero como f 0 y g ( 0, entonces a y f g f g e La función f e satisface las tres condiciones y por d es la única.. Derivadas Unidad 89

Autoevaluación Comprueba qué as aprendido. Calcula las ecuaciones de las tangentes a la parábola y trazadas desde el punto P,. Llamemos a a la abscisa del punto de tangencia como se muestra en la figura (abrá dos tangentes desde P. La pendiente de r es a y también es a. a a Así pues, a a a a a a 0 a o a. a Los puntos de tangencia son, pues, 4 por lo que las ecuaciones de las tangentes pedidas son:, y y ( y y 4 4 y 4 4. *Como ya sabes, si f es continua en a, y eiste lim f' a, dico número coincide con f' ( a (derivada en a por la izquierda. Análogamente por la dereca. Aplicando ese resultado, calcula los números a y b para a si que f sea derivable en. b ln si > El único punto donde podría no ser derivable es en. Para que lo sea, f debe ser continua en, es decir, lim f lim f f (, por lo que a b. a si < Por otra parte, ' f, así que, lim f ' a y lim f '. si > Entonces, si a b y a, f es derivable en, por tanto, si a y b se verifica que f es derivable en.. Calcula la derivada de las siguientes funciones (no te preocupes por el dominio de f o de f '. a cos f sen b [ ( f sen ] sen c f e a cos sen cos cos sen cos f ' cos cos 4 b f ' sen [( ] cos[ ( ] ( sen c f ' e cos sen e 4. Calcula la derivada en 0 de la inversa de la función Llamando g( a la inversa de f ( tenemos que g( f Si f ( 0, 0 0,, así pues g'0 f ' decir, f '( 8, con lo que '0 g. 8 f 0. g ( f f (. Nos piden '0, así que ' ' g., por lo que g '0 f ' siendo f ( ', es 90 Unidad Derivadas

5. Calcula la derivada por la dereca en de la función: f π si < 4 arctg( ln si Diferiría muco de la derivada en de la función g arctg( ln? f( es continua en. Derivando la función se obtiene: f 0 si < ' si ( ln Por tanto ( f '. ( ln Se obtiene el mismo resultado calculando g ' puesto que f( g( si. 6. Calcula la ecuación de la tangente a la elipse Realiza los cálculos sin obtener y como función de. y en los puntos de ordenadas 5 9 4. Derivando implícitamente, tenemos que yy ' 0, por lo que 9 4 4 y '. 9y Si y 5, tenemos que 4 5, con lo que 9 4 9 5 4, luego o. 9 9 9 Si, 8 4 5 4 y ' y la recta pedida será y (. 6 5 5 5 Si, 4 5 4 y ' y la recta pedida será y (. 5 5 7. Obtén la función f para la que si f' 5 cos π si > a si Si si f ', f. 5 cos π si > 5 senπ b si > π Como f ( 0, tenemos que y f ( 0. 0 0 a, a y si f es derivable en, debe ser continua, por lo que: lim f lim f, es decir, a 5 senπ b π, con lo que 4 5 b, b, así que: si f 5 senπ si > π 8. Calcula las derivadas laterales en 0 de la función f (. Eiste f '( 0? f ( f ' 0 lim lim ( f ' 0 lim lim 0 0 0 0 Por tanto, f no es derivable en 0. Derivadas Unidad 9

Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso. Sea f una función definida en, que admite segunda derivada. A. Si f ( 0 > f (, entonces f '0 f '. B. Si g f ( sen, entonces g'0 f '0 >. C. Para cualquier número real, se verifica que: ( f f f f ' ' '' 0 D. Eisten números a para los que lim f ' lim f '. a a La respuesta correcta es C. ( f f '' f ' f ' f f '', por lo que ( f f f f ( f ' ' '' ' 0.. Sea g 6 y f una función tal que f ' e. La tangente a la curva y ( f g abscisa verifica que: A. Es orizontal. C. Su pendiente es mayor que f '. B. Tiene pendiente negativa. D. Es paralela a la gráfica de y g en el punto de. La respuesta correcta es D. ( f g ' f '( g( g'. Como g ( 0 y g ', es ( f g f ' '0.. Considera la función f sen ln sen. A. Presenta un punto con tangente orizontal. B. Su derivada siempre es positiva. C. No es derivable en los puntos de corte con el eje orizontal. D. f ' en los puntos en los que es derivable. La respuesta correcta es D. Como cos para todo valor de, entonces f ' cos. Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4. Sea f : derivable y tal que su gráfica es simétrica respecto de la recta. A. f, ( f( C. f,' ( f' B. f, f( 4 D. Si f f lim lim Son verdaderas la A y la D. Si la gráfica es simétrica respecto de la recta, debe ocurrir que f f sea cual fuere. Observando aora que los números y 4 equidistan de pues 4 concluimos que B también es verdadera. La afirmación C es falsa como lo prueba, por ejemplo, la función f ( y 0. 9 Unidad Derivadas

5. Para todo mayor que se verifica: A. Si f e f '' e C. Si f sen f '' sen( π B. Si f e f '' e D. Si f cos f '' cos( π C es verdadera ya que si f sen, f ' cos, f '' sen y sen( π sen. D también es verdadera ya que f cos nos lleva a f ' sen, f '' cos y cos( A y B son falsas porque ( '' 4 f e. π cos. Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 6. Sea f : derivable.. La tangente a la curva y f en es orizontal.. La curva y f corta al eje de abscisas en el punto. A. C. pero. B. pero D. y se ecluyen entre sí. La relación correcta es la C., por lo que si se da es f ( 0, con lo que y' f f ' y ' 0y se da. Así que pero, como prueba, por ejemplo, y (, con lo que f ( y' ( ( (, es decir, y ' 0 pero f ( verifica. verifica pues no corta al eje orizontal, es decir, no se Señala el dato innecesario para contestar 7. Sea f ( g ( asen be donde g : es una función derivable. Para calcular la ecuación de la tangente a la curva y f en 0 nos dan los siguientes datos:. La curva y g corta al eje vertical en. Las curvas y f y y g 0,4. se cortan en.. y f tiene tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante en ( 0,4. 4. El punto ( 0,a b es el máimo de la curva y. A. Puede eliminarse el dato. C. Puede eliminarse el dato. B. Puede eliminarse el dato. D. Puede eliminarse el dato 4. La ecuación de la tangente pedida es y f ( 0 f '0, f ( 0 b., por lo que f '0 g( 0 a b con el dato, se obtiene f ' g g ' acos be El dato nos dice que f ( g(, o sea, g ( asen be g ( g 0 4., así que asen be 0, que junto con el dato 4 nos permite calcular a y b que el máimo de la curva y se alcanza en 0 y vale, por lo que según el dato 4, a b, que junto a la igualdad anterior, dada por el dato, nos permite calcular a y b y emos obtenido y f sin tener que utilizar el dato. Por tanto, la respuesta correcta es C. la ecuación de la tangente a Derivadas Unidad 9