Epresiones algebraicas enteras Instituto San Marcos MATEMATICA Año Una epresión algebraica es una combinación cualquiera de números, de letras o de números y letras, unidos entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz. En una epresión algebraica a los números se los denomina coeficientes y a las letras, variables o indeterminadas. 8 y y Si las variables no están afectadas por una raíz o actuando como divisor, las epresiones algebraicas son enteras y se denominan polinomios; o no son polinomios. Un polinomio puede tener una o varias variables. y 5m 8z (varias variables) 5 1(una sola variable) Si un polinomio tiene un solo término se llama monomio 6 Si tiene términos se llama binomio Si tiene términos se llama trinomio 5 1 Y si tiene términos se llama cuadrinomio 7 El mayor eponente con el que aparece la variable en los términos, con coeficiente distinto de cero, determina el grado de un polinomio. P = 5 ; polinomio de grado. 1 Q = ; polinomio de primer grado. El coeficiente que multiplica a la variable de mayor eponente en un polinomio es el coeficiente principal. 5 = 5 ; el coeficiente principal es - R T = 7 9; el coeficiente principal es 1. Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los eponentes de las variables. Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero. M = 5 H = N = 5 El término de grado cero es aquel que no tiene variable. = ; Suma y resta de polinomios 8= 8 El día lunes, un fabricante de juguetes compró m de gomaespuma, 1m de tela y m de cinta. El viernes hizo otra compra de m de gomaespuma, 5m de tela y 8 m de cinta. Cuál fue la compra total que hizo? Para resolver el problema se debe sumar la compra del día lunes y la del día viernes.
MATEMATICA Año m 1m m m 5m 8m= m m 1m 5m m 8m = ( ) ( 1 5) ( 8) m m m= 6 m 15 m 8m En total compró 6m de gomaespuma, 15m de tela y 8 m de cinta. No se puede sumar cantidades de distintas magnitudes como volumen ( m ), superficie ( m ) y longitud (m). La epresión de la compra realizada en cada uno de los días y el total, son polinomios cuya variable e m. Los términos que tienen la misma variable y eponente se llaman términos semejantes. En el ejemplo anterior, m y m son términos semejantes; también lo son 1m y 5m, y m y 8m. Sólo se pueden sumar o restar entre sí términos semejantes. Reducir un polinomio es sumar y/o restar los términos semejantes del mismo. a) 7 = 5 b) 7 9 7= Para sumar o restar polinomios, se deben sumar o restar los términos semejantes entre sí. P = ; Q = Sean los polinomios a) Hallar P Q Se completan y ordenan los polinomios, se encolumnan los términos semejantes y se suma. 5 b) Hallar P Q Restar dos polinomios es equivalente a sumar el opuesto del sustraendo. P Q = P Q Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos monomios deben multiplicarse los coeficientes y = las variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la n m potenciación. ( ) = a) 5= 1 c) ( ) = 1 b) 5 = 6 = 6 7 d) n m n m Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta, efectuando luego la multiplicación de monomios y reduciendo si es posible el polinomio. Dados: P = y Q 5 ; hallar P Q = 5 = 5 5 5 = 1 15 5 = 1 1 n m
Forma práctica Instituto San Marcos MATEMATICA Año 5 5 1 15 5 1 1 Producto de la suma de dos términos por su diferencia Si lo que se desea calcular es el área de un rectángulo de base a b y de altura a b, se procede de la siguiente manera: ( a b) ( a b) = a b a b a b = a a b b a b = a b a) = = 9 b) 5 5 = 5 = 5 c) = = 16 6 Potenciación de polinomios Para resolver la potencia de un monomio se deben aplicar las propiedades de la potenciación. n n n ab = a b a) 9 b) = = 6 = = 8 c) Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es un trinomio que se llama trinomio cuadrado perfecto. = = 81 1 a b = a ab b a b = a b a b = a a b b a b b) a) = = c) Cubo de un binomio 5 = 5 5 = 9 5 = = El cubo de un binomio es un cuatrinomio que se llama cuatrinomio cubo perfecto. El desarrollo del volumen de un cubo de arista a bes el siguiente:
MATEMATICA Año ( a b) = a a b ab b 5 5 5 5 15 75 15 División de polinomios = = Para dividir dos monomios deben dividirse los coeficientes y las n : m = n m variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación : = : : = 1 7 : = 1 : 7 : = a) b) : = : ( : ) = Para dividir un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y resta; luego se dividen lo monomios en cada uno de los términos. c) d) :( ) 1: ( ) ( : ) = = 9 5 9 5 1 ( ( a b c) : d = a: d b: d c: d 15 1 6 9 : = 15 : 1 : 6 : 9 : ) = 5 Para dividir dos polinomios: El polinomio dividendo debe tener mayor o igual grado que el divisor. El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado. El polinomio divisor debe estar ordenado.
MATEMATICA Año Regla de Ruffini. Teorema del resto La Regla de Ruffini es un método práctico para dividir un polinomio P por otro cuya forma sea ± a = = : Q Dados: P 5 5 y Q Hallar P, aplicando la regla de Ruffini. Teorema del resto El resto de la división de un polinomio por otro de la forma ± a, es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor. a) Dados: P= 5 5 y Q = El resto d e la división P : Q, se obtiene: P = 5 5 P ( ) = 16 5= 1 El resto de la división es 1 por b) Dados: P = y Q = El resto de la división P : Q, es: P = P = 9 6 = Q( ) Si el resto es (cero): P es divisible