ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA VARIABLE COMPLEJA Misceláneas de problemas 2014 Tema: Números Complejos (C). 1. Clasifica los siguientes números complejos en reales e imaginarios. Mencionar, para cada uno, cuál es la parte real y cuál la imaginaria. a) 3i b) 1 3 5 2 c) 6 5 d) 3 5i e) 0 f ) i g) 1 i 3 h) 15 2. Representa gráficamente los números complejos: a) 3 + 4i b) 3 2i c) 1 2i d) 2 + i e) 6 f ) 5i g) 1 3i h) 1 + i 1
2 NÚMEROS COMPLEJOS. 3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 9 b) 3i c) 3i + 1 d) 3 + 1 2 i e) 1 3 i f ) 2 7i g) 3 7 1 5 i h) a bi 4. Representa gráficamente todos los números complejos z tales que al sumarlos con su respectivo conjugado, se obtenga dos; es decir: z + z = 2. 5. Representa gráficamente los números complejos z tales que z z = 2. Qué debe verificar z?. 6. Escriba en forma trigonométrica y polar los complejos: a) 4 + 3i b) 1 + i c) 5 12i d) 3 + 5i 7. Calcular tres argumentos del número complejo z = 1 i. 8. Efectúa las siguientes operaciones entre números complejos: a) (2 + 3i) + (4 i) b) (3 + 3i) (6 + 2i) c) (3 2i) + (2 + i) 2( 2 + i) d) (2 i) (5 + 3i) + 1 (4 4i) 2 9. Multiplica los siguientes números complejos: a) 1 + 2i; 3 2i b) 2 + i; 5 2i
NÚMEROS COMPLEJOS. 3 c) i + 1; 3 2i; 2 + 2i d) 3(2 i); 2 + 3i; i 10. Efectúa las siguientes divisiones de numeros complejos: a) 2+i 1 2i b) 7 i 3+i c) 5+5i 3 i d) 5+5i 3 i e) 3 i 2+i f ) 18 i 3+4i 11. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: a) 5 3(3 + 2 3 i) b) 2i( i+2) 1+i c) ( 2i)2(1+3i) 4+4i d) (1+3i)(1+2i) 1+i 12. Dado el número complejo z = 2 + 2i, calcula y representa: a) su conjugado z b) la suma z + z c) el producto z z 13. Efectúa los siguientes productos y expresa el resultado en forma polar y binomial: a) (cos 30 0 + i sin 30 0 ) 2(cos 15 0 + i sin 15 0 ) b) 2(cos 23 0 + i sin 23 0 ) 3(cos 37 0 + i sin 37 0 ) c) 5(cos 33 0 + i sin 33 0 ) d) (2 + 2i)(1 i) 14. Verificar que: a) ( 2 i) i(1 2i) = 2i b) (2, 3)( 2, 1) = ( 1, 8)
4 NÚMEROS COMPLEJOS. c) (3, 1)(3, 1)( 1, 1 ) = (2, 1) 5 10 15. Probar que: a) Re(iz) = Im(z) b) Im(iz) = Re(z) 16. Probar que: (1 + z) 2 = 1 + 2z + z 2 17. Comprobar que los números z = 1 ± i satisfacen la ecuación z 2 2z + 2 = 0 18. Dados z = (1, 3), w = (2, 1). Hallar z w; z w z 1 19. Dados z = 1 + 3i, w = 2 + i. Calcular y representar: a) z + w b) z w c) z 2 d) z + w z e) w 20. Hallar: 21. Hallar el módulo de los complejos: i 32 i 17 i 2 i 3 a) 2i(1 + i)( 2 2i)3 (1 i)(1 + i) b) (2 i)( 1 + 2i) 22. Representa gráficamente las sumas: a) ( i) + (3 i) b) ( 2 + i) + (3 2i) 23. Representa gráficamente el número complejo 3 2i. Aplícale un giro de 90 0 alrededor del origen. Cuál es el nuevo número complejo? 24. Hallar el módulo de: z = 2 4i 4 + 2i
NÚMEROS COMPLEJOS. 5 25. A qué campo numérico pertenecen las soluciones de estas ecuaciones? a) x 2 3x + 2 = 0 b) x 2 2x + 2 = 0 c) 2x 2 7x + 3 = 0 d) x2 2 + 8 = 0 26. Resolver en C las siguientes ecuaciones: a) i z = 1 b) e i z = 1 i c) i z = 1 i 27. Resolver en C la siguiente ecuación: a) z 2 2z 2 + 4i = 0 b) z 4 + (4 2i)z 2 8i = 0 28. Hallar la parte real y la parte imaginaria de: (1 i) 10 (i 3 1) 4 29. Probar que 3 + i y 3 i son raíces de la ecuación x 2 6x + 10 = 0 30. Escribe en forma binomial el complejo r = 2(cos45 0 + isen45 0 ). Representar gráficamente. 31. El módulo de un número complejo es 5 y su argumento 600 0. Escribe el número en forma trigonométrica. 32. Qué argumento tiene el siguiente número complejo? 4(3 2i) + 5( 2 + i). 33. Escribe todos los números complejos que pertenezcan a la circunferencia de centro (1, 2) y radio 5. 34. Usar la ley asociativa de la suma y la propiedad distributiva para demostrar que: z(z 1 + z 2 + z 3 ) = zz 1 + zz 2 + zz 3 35. Escribiendo i = (0, 1) e y = (y, 0), probar que (iy) = ( i)y = i( y).
6 NÚMEROS COMPLEJOS. 36. a) Escribir (x, y)+(u, v) = (x, y) que el número 0 = (0, 0) es único como identidad aditiva. b) Análogamente, deducir de (x, y)(u, v) = (x, y) que el número 1 = (1, 0) es único como identidad multiplicativa. 37. Resolver la ecuación z 2 + z + 1 = 0 en z = (x, y) escribiendo: (x, y)(x, y) + (x, y) + (1, 0) = (0, 0) y resolviendo entonces un par de ecuaciones simultáneas en x, y. Ayuda: Ver que ningún número real x satisface la ecuación para concluir que y 0. Sol.: z = ( 1 2, ± 3 2 ). 38. Reducir cada una de estas cantidades a un número real: a) 1 + 2i 3 4i + 2 i 5i b) 5i (1 i)(2 i)(3 i) c) (1 i) 4 39. Hallar las potencias: a) (2 3i) 3 b) (3 + i) 2 c) i 23 d) (2 + 2i) 4 40. Sabemos que z 1 = 3 2i, z 2 = 4 3i, z 3 = 3i. Calcular: a) z 1 + 2z 2 z 3 b) z 1 (z 2 + z 3 ) c) z2 2 d) 2z 1 z 2 + z 3 41. Calcular las potencias: a) [2(cos 45 0 + i sin 45 0 )]4
NÚMEROS COMPLEJOS. 7 b) ( 2 30 0 ) 6 c) [ 4 3(cos 10 0 + i sin 10 0 )] 8 42. Calcular: 3 1 i 1 i 3 43. Hallar las raíces de: a) 4(cos 60 0 + i sin 60 0 ) b) 4 81(cos 120 0 + i sin 120 0 ) 44. Si z = 1 + i. Hallar el valor de la fracción: De igual manera, hallar para z = 1 i 45. Hallar el módulo y el argumento de: z 3 + z z 2 + 2 ( ) 4 2 + 2i 2 2i 46. Cuánto debe valer x para que el número (1 + xi) 2 sea imaginario puro?. 47. Hallar los números x e y para que se verifique la igualdad: (3 + xi) + (y + 3i) = 5 + 2i 48. Determina x para que el producto (3 + 2i)(6 + xi) sea: a) Un número real. b) Un número imaginario puro. 49. Determine los números reales x e y para que se cumpla: x + 2i 1 i + yi = 1 50. Resolver: 4 + xi 2 + i = y + 2i 51. Probar que:
8 NÚMEROS COMPLEJOS. a) ( 1)z = z b) 1 1/z = z (z 0) 52. Usar las leyes asociativa y conmutativa del producto para demostrar que: (z 1 z 2 )(z 3 z 4 ) = (z 1 z 3 )(z 2 z 4 ) 53. Probar que si z 1 z 2 z 3 = 0, al menos uno de los tres factores es cero. 54. Usar la identidad, para demostrar la ley cancelativa: z 1 z z 2 z = z 1 z 2 (z 2 0, z 0) 55. Demostrar, por inducción, la fórmula binomial. 56. Localizar vectorialmente los números z 1 + z 2 y z 1 z 2, donde: a) z 1 = 2i, z 2 = 2 3 i b) z 1 = ( 3, 1), z 2 = ( 3, 0) c) z 1 = ( 3, 1), z 2 = (1, 4) d) z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 1 iy 1 57. Probar que 2 z Re(z) + Im(z) Ayuda: Reduzca esta desigualdad a ( x y ) 2 0 58. En cada caso, esbozar una gráfica con el conjunto de puntos determinado por la condición propuesta: a) z 1 + i = 1 b) z + i 3 c) z 4i 4 59. Usando z 1 z 2 que es la distancia entre los puntos z 1 y z 2, dar un argumento geométrico para justificar que: a) z 4i + z + 4i = 10 representa una elipse con focos en (0, ±4) b) z 1 = z + i representa la recta que pasa por el origen con pendiente 1. 60. Usar las propiedades de los conjugados y de los módulos, para probar que:
NÚMEROS COMPLEJOS. 9 a) z + 3i = z 3i b) iz = iz c) (2 + i) 2 = 3 4i d) (2z + 5)( 2 i) = 3 2z + 5 61. Esbozar una gráfica con el conjunto de puntos determinado por la condición: a) Re(z i) = 2 b) 2z i = 4 62. Usando las propiedades de la conjugación, demostrar: a) z 1 z 2 z 3 = z 1 z 2 z 3 b) z 4 = z 4 63. Usando las propiedades de los módulos, si z 3 z 4, demostrar: z 1 + z 2 z 3 + z 4 z 1 + z 2 z 3 z 4 64. Demostrar que: a) z es real si y sólo si z = z b) z es real o imaginario puro si y sólo si z 2 = z 2 65. Probar por inducción, que para n = 2, 3,... a) z 1 + z 2 + + z n = z 1 + z 2 + + z n b) z 1 z 2 z n = z 1 z 2 z n 66. Demostrar que z z 0 = R, la ecuación de una circunferencia de radio R centrada en z 0, se puede escribir 67. Hallar el argumento principal Arg(z) de: a) z = i 2 2i b) z = ( 3 i) 6 z 2 2Re(zz 0 ) + z 0 2 = R 2
10 NÚMEROS COMPLEJOS. 68. Calcular el siguiente número complejo: z = 2 ( ) 1 + i i log 1 i 69. Hallar log 2 2i (1 + i) 70. Probar que: a) e iθ = 1 b) e iθ = e iθ 71. Usando la fórmula de De Moivre, deducir las siguientes identidades trigonométricas: a) cos 3θ = cos 3 θ 3 cosθ sen 2 θ b) sen 3θ = 3 cos 2 θ sen θ sen 3 θ 72. Simplificar la expresión: ( ) 6 1 + sin θ + i cosθ 1 + sin θ i cosθ 73. Verificar que: a) i(1 3i)( 3 + i) = 2(1 + 3i) 5i b) 2 + i = 1 + 2i c) ( 1 + i) 7 = 8(1 + i) d) (1 + 3i) 10 = 2 11 ( 1 + 3i) 74. Probar que si Re(z 1 ) > 0 y Re(z 2 ) > 0, entonces: Arg(z 1 z 2 ) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 ) donde Arg(z 1 z 2 ) denota el argumento principal de z 1 z 2, etc. 75. Hallar las raíces cuadradas de: a) 2i b) 1 3i
NÚMEROS COMPLEJOS. 11 y expresarlas en coordenadas rectangulares. 76. En cada caso, hallar todas las raíces en coordenadas rectangulares, dibujarlas como vértices de ciertos cuadrados e indicar cuál es la raíz principal: a) ( 16) 1/4 b) ( 8 8 3i) 1/4 77. En cada caso, hallar todas las raíces en coordenadas rectangulares, dibujarlas como vértices de ciertos polígonos regulares e indicar cuál es la raíz principal: a) ( 1) 1/3 b) 8 1/6 78. Calcular las cuatro raíces de la ecuación z 4 + 4 = 0. Usarlas para factorizar z 4 + 4 en factores cuadráticos con coeficientes reales. 79. Como las tres raíces cúbicas de un número complejo z 0 no nulo se pueden expresar como c 0, c 0 ω 3, c 0 ω 2 3, donde c 0 es la raíz cúbica principal de z 0 y ω 3 = exp(i 2π 3 ) = 1 + i 3 2 Probar que si z 0 = 4 2 + i4 2, entonces c 0 = 2(1 + i) y las otras dos raíces cúbicas son, en forma rectangular, los números: c 0 ω 3 = ( 3 + 1) + ( 3 1)i 2, c 0 ω 2 3 = ( 3 1) ( 3 + 1)i 2 80. a) Probar que la fórmula usual resuelve la ecuación cuadrática az 2 + bz + c = 0 (a 0) cuando los coeficientes a, b y c son números complejos. Esto es, completando el cuadrado en el miembro de la izquierda, deducir la fórmula cuadrática z = b + b 2 4ac 2a donde ambas raíces cuadradas se consideran cuando b 2 4ac 0 b) Usar el resultado del inciso a) para hallar las raíces de la ecuación: z 2 + 2z + (1 i) = 0
12 NÚMEROS COMPLEJOS. 81. Representar gráficamente los siguientes conjuntos y discutir si son dominios: a) z 2 + i 1 b) 2z + 3 > 4 c) Im(z) > 1 d) Im(z) = 1 e) 0 arg(z) π/4 (z 0) f ) z 4 z 82. Cuáles de los conjuntos del ejercicio anterior no son abiertos ni cerrados? 83. Cuáles de los conjuntos del ejercicio 81 son acotados? 84. En cada caso, dibujar una gráfica del cierre del conjunto dado: a) π < arg(z) < π (z 0) b) Re(z) < z c) Re( 1 ) 1 z 2 d) Re(z 2 ) > 0 85. Sea S el conjunto abierto formado por todos los puntos z tales que z < 1 o z 2 < 1. Argumentar por qué no es conexo. 86. Demostrar que un conjunto S es abierto si, y sólo si, todos sus puntos son puntos interiores.